AULA 1_TOPOGRAFIA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
Departamento de Engenharia de Transportes e Geodésia 
ENGENHARIA DE AGRIMENSURA 
E CARTOGRÁFICA 
Prof. Marcony de Paulo Ramos 
 PLANIMETRIA 
ENGA50 – TOPOGRAFIA A 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
SUMÁRIO 
• MEDIÇÃO DE ÂNGULOS; 
• ORIENTAÇÃO PARALEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS; 
• MÉTODOS DE LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO; 
• CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO; 
• MEMORIAL DESCRITIVO; 
• AVALIAÇÃO DE ÁREA. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 2 
MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Ângulos Horizontais (Hz) e Verticais(V): 
 Uma das operações básicas em Topografia é a medição 
de Ângulos Horizontais e Ângulos verticais. 
 Na realidade, no caso dos ângulos horizontais, direções 
são medidas em campo, e a partir destas direções são 
calculados os ângulos. 
 Para a realização destas 
medições emprega-se um 
equipamento denominado 
 de TEODOLITO ou 
ESTAÇÃO TOTAL. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 3 
MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Ângulos Horizontais (Hz) e Verticais(V): 
 Ângulo horizontal: Ângulo formado por dois planos 
verticais que contém as direções formadas pelo ponto 
ocupado e os pontos visados. 
 É medido sempre na Horizontal, razão pela qual o 
teodolito deve estar devidamente nivelado. 
 
 O ângulo entre as 
direções AO-OB e 
CO-OD é o mesmo. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Ângulos Horizontais (Hz) e Verticais(V): 
Ângulos Horizontais. 
 Sempre que possível a pontaria deve ser realizada o mais 
próximo possível do ponto, para evitar erros na leitura, 
principalmente quando se está utilizando uma baliza, a qual 
deve estar perfeitamente na vertical. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Ângulos Horizontais (Hz) e Verticais(V): 
Ângulos Verticais(V): É o ângulo formado entre a linha do 
horizonte (plano horizontal) e a linha de visada, medido no 
plano vertical que contém os pontos. Varia de 0º a + 90º 
(acima do horizonte) e 0º a - 90º (abaixo do horizonte). 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Ângulos Horizontais (Hz) e Verticais(V): 
 Ângulos Zenitais(Z): É ângulo formado entre a vertical do 
lugar (Zênite) e a linha de visada. Varia de 0º a 180º, sendo a 
origem da contagem o zênite. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Ângulos Horizontais (Hz) e Verticais(V): 
 Ângulos Zenitais(Z) / Ângulos Verticais(V): 
 A relação entre o ângulo zenital e vertical é dada pela 
equação. 
 Z + v = 90º 
 V = 90º - Z 
 Z = 90º - V 
 Exercícios: 
 a) Transforma o ângulo vertical - 57° 23‟ 10‟ em ângulo zenital. 
 b) Transforma o ângulo vertical 33° 48‟ 58‟ em ângulo zenital. 
 c) Transforma o ângulo zenital 63° 28‟ 55‟ em ângulo vertical. 
 d) Transforma o ângulo zenital 130° 02‟ 36‟ em ângulo vertical. 
 
 
 
 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Teodolito: 
 Os teodolitos são equipamentos destinados à medição de 
ângulos verticais ou direções horizontais. 
 Objetivando a determinação dos ângulos internos ou 
externos de uma poligonal, bem como a posição de 
determinados detalhes necessários ao levantamento. 
 Atualmente existem diversas marcas e modelos de 
teodolitos. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Teodolito: 
 Como elementos principais que constituem os 
teodolitos, mecânicos ou automáticos, ópticos ou digitais, 
podem-se citar: 
 Sistemas de Eixos; 
 Círculos Graduados ou Limbos; 
 Luneta de Visada; e 
 Níveis. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Teodolito: 
* Sistema de Eixos: 
 A figura ilustra os eixos de um teodolito, a saber: 
VV : Eixo vertical, principal 
ou de rotação do teodolito; 
 
ZZ : Eixo de colimação 
ou linha de visada; 
 
KK : Eixo secundário ou 
de rotação da luneta. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Teodolito: 
* Luneta de Visada: 
 
• Dependendo da aplicação do instrumento a capacidade de 
ampliação pode chegar a até 80 vezes (teodolito 
astronômico WILD T4). 
 
• Em Topografia normalmente utilizam-se lunetas com poder 
de ampliação de 30 vezes. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 Teodolito: 
* Níveis: 
 
• Os níveis de bolha podem ser: 
Esféricos (com menor precisão); 
Tubulares; ou 
Digitais (nos equipamentos mais recentes). 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
* Estações Totais: 
 De maneira geral pode-se dizer que uma Estação Total 
nada mais é do que: 
Um teodolito eletrônico (medida angular); 
Um distanciômetro eletrônico (medida linear); e 
Um processador matemático. Associados em um só 
conjunto. 
 A partir de informações medidas em campo, como 
ângulos e distâncias, uma Estação Total permite obter outras 
informações como: 
 Distância reduzida ao horizonte (distância horizontal); 
 Desnível entre os pontos (ponto “a” equipamento, ponto “b” 
refletor); 
 Coordenadas dos pontos ocupados pelo refletor, a partir de uma 
orientação prévia. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
* Estações Totais: 
 Além destas facilidades estes equipamentos permitem 
realizar correções no momento da obtenção das medições ou até 
realizar uma programação prévia para aplicação automática de 
determinados parâmetros como: 
Condições ambientais (temperatura e pressão atmosférica); 
Constante do prisma. 
 Além disto, é possível configurar o instrumento em função 
das necessidades do levantamento, alterando valores como: 
Altura do instrumento; 
 Altura do refletor; 
Unidade de medida angular; 
Unidade de medida de distância (metros, pés); 
Origem da medida do ângulo vertical (zenital, horizontal ou nadiral); 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
* Estações Totais: 
 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
* Métodos de Medida Angular: 
 Em Topografia, normalmente deseja-se determinar o 
Ângulo Horizontal compreendido entre duas direções, 
conforme exemplo abaixo. 
 
 
 
 A medição de Ângulos Horizontais pode ser realizados 
pelo seguintes métodos: 
Aparelho não Orientado; 
Aparelho Orientado pelo Norte Verdadeiro ou Geográfico; 
Aparelho Orientado pela Bússola; 
Aparelho Orientado na Ré; 
Aparelho Orientado na Vante; 
Deflexão; 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
* Métodos de Medida Angular: 
 Em termos práticos a método mais utilizado e Aparelho 
Orientado na Ré. 
 Neste caso, zera-se o instrumento na estação RÉ e faz-se 
a pontaria na estação de VANTE. 
 No caso de uma poligonal fechada, se o caminhamento 
do levantamento for realizado no sentido horário, será 
determinado ângulos externos. Caso sentido anti-horário, será 
determinado ângulos internos. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
* Técnicas de Medição de Direções Horizontais: 
– Simples: 
 Instala-se o teodolito em A, visa-se a estação B em 
Pontaria Direta, e anota-se Lb. A seguir, visa-se a estação C e 
lê-se Lc. 
 Em qualquer medida de ângulo horizontal é fundamental 
que os retículos verticais estejam perfeitamente sobre o alvo. 
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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
* Técnicas de Medição de Direções Horizontais: 
– Simples: 
 É a técnica de medição de Direções Horizontais 
mais utilizada na prática, porém temos outro métodos 
como: 
Pares Conjugados (PD e PI); 
Medidas com Reiterações; 
Medidas com Repetição; 
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ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Norte Magnético e Geográfico: 
 O planeta Terra pode ser considerado um gigantesco 
imã, devido à circulação da corrente elétrica em seu núcleo 
formado de ferro e níquel em estado líquido. Estas correntescriam um campo magnético, como pode ser visto na figura. 
 Este campo magnético ao redor da 
 terra tem a forma aproximada do campo 
magnético ao redor de um imã de barra 
Simples. 
 
Tal campo exerce uma força de atração sobre a agulha da bússola, fazendo 
com que a mesma entre em movimento e se estabilize quando sua ponta 
imantada estiver apontando para o Norte magnético. 
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ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Norte Magnético e Geográfico: 
 A Terra, na sua rotação diária, gira em torno de um eixo. 
Os pontos de encontro deste eixo com a superfície terrestre 
denominam-se de Pólo Norte e Pólo Sul verdadeiros ou 
geográficos. 
 O eixo magnético não coincide com o eixo geográfico. 
Esta diferença entre a indicação do Pólo Norte magnético (dada 
pela bússola) e a posição do Pólo Norte geográfico denomina-
se de declinação magnética. 
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ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Azimute e Rumo: 
– AZIMUTE: 
 Azimute de uma direção é o ângulo formado entre a 
meridiana de origem que contém os Pólos, magnéticos, 
geográficos ou de quadrícula, e a direção considerada. É 
medido a partir do Norte, no sentido horário e varia de 0º a 
360º. 
 
ou O 
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ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Azimute e Rumo: 
– RUMO: 
 Rumo é o menor ângulo formado pela meridiana que 
materializa o alinhamento Norte Sul e a direção 
considerada. Varia de 0º a 90º, sendo contado do Norte ou do 
Sul por leste e oeste. 
 Este sistema expressa o ângulo em função do 
quadrante em que se encontra. Além do valor 
numérico do ângulo acrescenta-se uma sigla 
( NE, SE, SO, NO) cuja primeira letra indica a 
origem a partir do qual se realiza a contagem 
e a segunda indica a direção do giro ou quadrante. 
ou O 
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ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
Azimute e Rumo: 
- Conversão entre Rumo e Azimute: 
• OBS: Independente da orientação do sistema (geográfico ou 
magnético) a forma de contagem do Azimute e do Rumo, 
bem como a conversão entre os mesmos ocorre da mesma 
forma. 
ou O ou O 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 25 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Azimute e Rumo: 
- Conversão entre Rumo e Azimute: 
 Sempre que possível é recomendável a transformação 
dos rumos em azimutes, tendo em vista a praticidade nos 
cálculos de coordenadas, por exemplo, e também para a 
orientação de estruturas em campo. 
 Para entender melhor o processo 
de transformação, observe a seqüência 
indicada a partir da figura. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 26 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Azimute e Rumo: 
- Conversão entre Rumo e Azimute: 
 Conversão de azimute para rumo: 
 No primeiro quadrante: 
 R1 = AZ1(NE); 
 No segundo quadrante: 
 R2 = 180º - AZ2(SE); 
 No terceiro quadrante: 
 R3 = AZ3 - 180º(SO); 
 No quarto quadrante: 
 R4 = 360º - AZ4(NO); 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 27 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Azimute e Rumo: 
- Conversão entre Rumo e Azimute: 
Conversão de rumo para azimute: 
 No primeiro quadrante: 
AZ1 = R1; 
 No segundo quadrante: 
 AZ2 = 180º - R2; 
 No terceiro quadrante: 
 AZ3 = 180º + R3; 
 No quarto quadrante: 
 AZ4 = 360º - R4 ; 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 28 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Exercícios: 
1) Transforme os seguintes rumos em azimute e vice versa. 
a) Rumo = 30º 25' SE: 
b) Rumo = 38º 15' NO: 
c) Azimute = 33º 43„: 
d) Azimute = 233º 40„: 
 
 
 
 
 
Obs: Não esqueça de colocar a orientação do rumo. 
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ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Declinação Magnética: 
 Declinação magnética é o ângulo formado entre o 
meridiano verdadeiro e o meridiano magnético; ou também pode 
ser identificado como desvio entre o azimute verdadeiros e os 
correspondentes magnéticos. 
 Varia com o tempo e com a posição geográfica, podendo 
ser ocidental ( W), negativa quando o Pólo magnético estiver a 
oeste (W) do geográfico e oriental ( E), positiva quando o Pólo 
magnético estiver a leste (E) do geográfico. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 30 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Declinação Magnética: 
 O valor da declinação magnética é variável, podendo 
ocorrer tanto no espaço (variações geográficas), quanto no 
tempo (variações diurnas, mensais, anuais e seculares), 
além das acidentais. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 31 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Declinação Magnética: 
 Os processos de determinação da declinação 
magnética podem ser por métodos da Astronomia de 
campo; por magnetômetros e pelos mapas isogônicos e 
isopóricos. 
 
Mapas isogônicos e isopóricos: 
 
Linhas isogônicas - Linhas que possuem o mesmo valor 
de declinação magnética; 
Linhas isopóricas - Linhas que possuem o mesmo valor 
de variação anual desta declinação. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 32 
Cálculo da declinação magnética 
DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ] 
DM = -18,4° + [ (18 + 0,2) . (-7,44’) ] 
DM = -20° 39’ 25” (20° 39’ 25” W - ocidental) 
DM - Declinação Magnética. 
Cig - Curva isogônica (valor interpolado). 
Cip - Curva Isopórica (valor interpolado). 
A – Diferença entre o ano de construção do mapa e 
do ano da observação (por ex.,1980 para 1982 = 02). 
Calcule a declinação magnética para Belo 
Horizonte em 31 de março de 1998 ? 
Cig – Linha com mesmo valor de 
declinação magnética. 
Cig = - 18,4° (interpolação). 
Cip – Linha com mesma variação 
anual de declinação magnética. 
Cip = -7,44’ (interpolação). 
A = 1998-1980 = 18 anos. 
Fa 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ] 
Declinação 
Magnética do ponto 
no Ano do Mapa. 
Variação da Declinação 
Magnética ao passar 
dos Anos. 
33 
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ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Convergência Meridiana: 
 É o ângulo formado entre o Polo Norte Geográfico e o 
Polo Norte de Quadricula (Meridiano Central). A 
Convergência Meridiana é utilizada para transformar o 
azimute verdadeiro em azimute plano (norte de quadricula). 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
 O azimute plano é 
utilizado, em Geodésia, 
no cálculo do transporte 
de coordenadas planas 
do Sistema de Projeção 
UTM (E,N). 
35 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Bússolas: 
 A bússola é um instrumento idealizado para determinar a 
direção dos alinhamentos em relação à meridiana dada pela 
agulha magnética. 
 Uma bússola consiste essencialmente de uma agulha 
magnetizada, livremente suportada no centro de um círculo 
horizontal graduado, também conhecido como limbo. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 36 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Métodos de Determinação do Norte Verdadeiro: 
 A determinação do Norte verdadeiro: 
Fundamentada em determinações astronômicas; ou 
 Determinação direta do Norte Verdadeiro. 
 
Utilizando o sistema GNSS (Norte de Quadricula). 
 Utilizando o valor da Convergência Meridiana Plana é possível 
transformar o Norte de Quadrícula em Norte Verdadeiro. 
 
 É mais precisa que a técnica que se baseia na 
determinação do Norte magnético para uma posterior 
transformação. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 37 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
 - Métodos de Determinação do Norte Quadricula: 
 Determinação de Azimute a partir de dois pontos: 
 Quando temos as coordenadas de dois pontos podemos calcular o valor 
do azimute entre os dois pontos (alinhamento). 
 Exemplo: Seja a coordenada do ponto A(0,0) e do ponto B(10,10), 
calcule o azimute do alinhamento (representado por: AzAB).* 
3°Q: ΔX < 0 ( - ) e 
 ΔY < 0 ( - ) 
4°Q: ΔX < 0 ( - ) e 
 ΔY > 0 ( + ) 
AZAB = 
AZAB = + 180° AZAB = + 180° 
AZAB = + 360° 
N 
S 
O E 
1°Q: ΔX > 0 ( + ) e 
 ΔY > 0 ( + ) 
2°Q: ΔX > 0 ( + ) e 
 ΔY < 0 ( - ) 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 38 
ORIENTAÇÃO PARA LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
- Métodos de Determinação do Norte Quadricula: 
 Determinação de Azimute a partir de dois pontos: 
 Quando temos as coordenadas de dois pontos podemos calcular o valor 
do azimute entre os dois pontos (alinhamento). 
 Exemplo: Seja a coordenada do ponto A(12,45) e do ponto B(1,100), 
calcule o azimute do alinhamento (representado por: AzAB). 
 
3°Q: ΔX < 0 ( - ) e 
 ΔY < 0 ( - ) 
4°Q: ΔX < 0 ( - ) e 
 ΔY > 0 ( + ) 
N 
S 
O E 
1°Q: ΔX > 0 ( + ) e 
 ΔY > 0 ( + ) 
2°Q: ΔX > 0 ( + ) e 
 ΔY < 0 ( - ) 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 39 
AZAB = 
AZAB = + 180° AZAB = + 180° 
AZAB = + 360° 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 Levantamento Topográfico denomina-se ao conjunto 
de processos e operações realizadas para obtenção de medidas 
no terreno (ângulos e distâncias), capazes de definir um trecho 
da superfície terrestre, com objetivo de representá-lo em planta. 
 Se tratando de Levantamento Planimétrico, são 
coletados ângulos horizontais e verticais, e distâncias 
horizontais, onde estes são projetados num mesmo plano 
horizontal. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 40 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 Segunda a NBR 13.133 (ABNT), o levantamento 
topográfico, em qualquer de suas finalidades, deve ter, no 
mínimo, as seguintes fases: 
• Planejamento e seleção de métodos e aparelhagem; 
• Apoio topográfico; 
• Levantamento de detalhes; 
• Cálculos e ajustes; 
• Original topográfico; 
• Desenho topográfico. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 41 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 Diferentes tipos de medição dão origem aos diferentes 
métodos para a DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE APOIO. 
 
 Se observam somente distâncias tem-se a trilateração, 
somente ângulos, triangulação; ângulos e distâncias para os vários 
pontos visíveis entre si, “triangulateração” e se os ângulos e as 
distâncias são observadas somente entre pontos consecutivos de um 
polígono, poligonação. 
 
Site para visualização do Banco de Dados Geodésicos Brasileiro: http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/. 
É possível visualizar a localização de todas as estações do Sistema Geodésico Brasileiro. 
 
Estes são os métodos da Topografia Clássica. Outro método, 
bastante eficiente e hoje em dia muito utilizado é o 
posicionamento por satélites (GNSS). 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 42 
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
http://www.bdg.ibge.gov.br/appbdg/
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 - TRILATERAÇÃO. 
 
 A Trilateração consiste basicamente em, a partir de 
coordenadas de um ponto e um azimute ou de coordenadas de 
dois pontos. Salienta-se que são as injunções mínimas. 
 
 Determinar coordenadas de outros pontos de apoio, 
observando apenas DISTÂNCIAS HORIZONTAIS. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 43 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 - TRILATERAÇÃO. 
• Representação de uma Trilateração. 
 
Fonte: Domingues (2008) 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 44 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 - TRILATERAÇÃO. 
 
 Ou seja, a partir dos valores conhecidos ou dados 
(coordenadas de um ponto e azimute ou coordenadas de dois 
pontos): 
A(XA, YA) e AzAB ou A(XA, YA), B(XB e YB) 
 E das observações (somente distâncias horizontais): 
dh 
 São determinados as incógnitas (coordenadas 
planimétricas dos pontos de apoio): 
B(XB, YB), C(XC, YC), D(XD, YD)... 
 Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 45 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
- TRILATERAÇÃO. 
• Processamento de uma Trilateração. 
 Lei dos Cossenos e Lei dos Senos: 
B = arccos( 
𝐚𝟐+𝐜𝟐 − 𝐛𝟐
𝟐∗𝐚∗𝐜
 ) = arcsen( 
𝐛 ∗𝐬𝐞𝐧 𝐀
𝐚
 ) 
Com a Lei dos cossenos é possível determinar os ângulos 
internos dos triângulos (uso inicial, já que não possui 
nenhum ângulo inicialmente). Após determinar um 
ângulo é possível utilizar a Lei dos Senos na determinação 
dos outros ângulos. 
Transformação dos ângulos horizontais em Azimute (Az): 
Calculo das coordenadas vetoriais (parciais): ΔX e ΔX. 
 ΔX = di * sen (Az) 
 ΔY = di * cos (Az) 
Calculo das coordenadas dos vértices da Trilateração. 
B(XB, YB), C(XC, YC), D(XD, YD)... Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 46 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 - TRIANGULAÇÃO. 
 
 A Triangulação consiste basicamente em, a partir de 
coordenadas de um ponto, um azimute e uma distância horizontal 
ou de coordenadas de dois pontos. Salienta-se que são as 
injunções mínimas. 
 
 Determinar coordenadas de outros pontos de apoio, 
observando apenas ÂNGULOS HORIZONTAIS. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 47 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 - TRIANGULAÇÃO. 
Fonte: Domingues (2008) Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 48 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
- TRIANGULAÇÃO. 
 
 Ou seja, a partir dos valores conhecidos ou dados 
(coordenadas de um ponto, azimute e uma distância ou 
coordenadas de dois pontos): 
A(XA, YA), AzAB e DAB(BASE) ou A(XA, YA), B(XB e YB) 
 E das observações (somente ângulo horizontais): 
αi 
São determinados as incógnitas (coordenadas planimétricas dos 
pontos de apoio): 
B(XB, YB), C(XC, YC), D(XD, YD)... 
 Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 49 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 - TRIANGULAÇÃO. 
Lei dos Senos: 
AC = 
𝐀𝐁 ∗𝐬𝐞𝐧 𝐁
𝐬𝐞𝐧 𝐂
 
Com a Lei dos senos é possível determinar todos os lados 
dos triângulos. 
Transformação dos ângulos horizontais em Azimute (Az): 
Calculo das coordenadas vetoriais (parciais): ΔX e ΔX. 
 ΔX = di * sen (Az) 
 ΔY = di * cos (Az) 
Calculo das coordenadas dos vértices da Triangularação. 
B(XB, YB), C(XC, YC), D(XD, YD)... Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 50 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 - TRIANGULATERAÇÃO. 
 
 A Triangulateração consiste basicamente em, a partir de 
coordenadas de um ponto e um azimute ou de coordenadas de 
dois pontos. Salienta-se que são as injunções mínimas. 
 
 Determinar coordenadas de outros pontos de apoio, 
observando apenas ÂNGULOS HORIZONTAIS e 
DISTÂNCIAS HORIZONTAIS. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 51 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
- TRIANGULATERAÇÃO. 
Fonte: Domingues (2008) Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 52 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
- TRIANGULATERAÇÃO. 
 Ou seja, a partir dos valores conhecidos ou dados 
(coordenadas de um ponto e azimute ou coordenadas de dois 
pontos): 
A(XA, YA) e AzAB ou A(XA, YA), B(XB e YB) 
 E das observações (somente ângulo horizontais e 
distâncias horizontais): 
di e αi 
 São determinados as incógnitas (coordenadas 
planimétricas dos pontos de apoio): 
B(XB, YB), C(XC, YC), D(XD, YD)... 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 53 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
- TRIANGULATERAÇÃO. 
Transformação dos ângulos horizontais em Azimute (Az): 
Calculo das coordenadas vetoriais (parciais): ΔX e ΔX. 
 ΔX = di * sen (Az) 
 ΔY = di * cos (Az) 
Calculo das coordenadasdos vértices da Triangulateração. 
B(XB, YB), C(XC, YC), D(XD, YD)... 
Como todos os lados e todos os ângulos dos 
triângulos são conhecidos, não há a necessidade 
do uso das Lei trigonométricas Seno e Cosseno. 
É necessário apenas calcular as coordenadas 
relativas. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 54 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
– POLIGONAÇÃO. 
 
 A Poligonação consiste basicamente em, a partir de 
coordenadas de um ponto e um azimute ou de coordenadas de 
dois pontos. Salienta-se que são as injunções mínimas. 
 
 Determinar coordenadas de outros pontos de apoio, 
observando apenas ÂNGULOS HORIZONTAIS e 
DISTÂNCIAS HORIZONTAIS de pontos consecutivos. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 55 
Fonte: Domingues (2008) 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 – POLIGONAÇÃO. 
 Salienta-se que, os ângulos e as distâncias são observadas 
somente entre pontos consecutivos de um polígono, diferentes 
dos outros métodos já abordados. Tendo a necessidade de 
visibilidade entre alguns pontos, principal vantagem deste 
método. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 56 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 – POLIGONAÇÃO. 
 Ou seja, a partir dos valores conhecidos ou dados 
(coordenadas de um ponto e azimute ou coordenadas de dois 
pontos): 
A(XA, YA) e AzAB ou A(XA, YA), B(XB e YB) 
 E das observações (somente ângulo horizontais e distâncias 
horizontais): 
di e αi 
São determinados as incógnitas (coordenadas planimétricas dos 
pontos de apoio): 
B(XB, YB), C(XC, YC), D(XD, YD)... 
 Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 57 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 – POLIGONAÇÃO. 
Transformação dos ângulos horizontais em Azimute (Az): 
Calculo das coordenadas vetoriais (parciais): ΔX e ΔX. 
 ΔX = di * sen (Az) 
 ΔY = di * cos (Az) 
Calculo das coordenadas dos vértices da Poligonal. 
B(XB, YB), C(XC, YC), D(XD, YD)... 
Como todos os lados e todos os ângulos do 
polígono (poligonal), não há a necessidade do 
uso das Lei trigonométricas Seno e Cosseno. 
É necessário apenas calcular as coordenadas 
relativas. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 58 
 – POLIGONAÇÃO. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
Pontos da Poligonal 
(Pontos de Apoio) 
Poligonal 
(Corresponde a área 
a ser Levantada????) 
59 
 – POLIGONAÇÃO. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
Área a ser Levantada 
Poligonal não 
corresponde a área 
a ser Levantada (na 
maioria dos casos). 
É possível visualizar 
todos os VÉRTICES da 
área a ser levantada a 
partir dos pontos de 
Apoio já criados? 
60 
 – POLIGONAÇÃO. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
Poligonais Secundária 
(Pontos de Apoio) 
Poligonais Principal 
(Pontos de Apoio) 
Como realizar o 
Levantamento 
Topográfico da área a 
ser levantada? 
61 
 – POLIGONAÇÃO. 
Por Irradiação Topográfica. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
Irradiação Topográfica 
(Pontos Temáticos ou 
Pontos de Detalhes) 
62 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 A determinação de coordenadas de pontos em 
topografia mais utilizado é o Método de Poligonação 
devido sua praticidade. 
 Uma poligonal consiste em uma série de linhas 
consecutivas onde são conhecidos os comprimentos e 
direções, obtidos através de medições em campo. 
 O levantamento de uma poligonal é realizado através 
do método de caminhamento, percorrendo-se o contorno de 
um itinerário definido por uma série de pontos, medindo-se 
todos os ângulos, lados e uma orientação inicial. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 63 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 Na Figura abaixo (representação de uma poligonal), 
as estações, ou pontos de apoios, são identificados com 
números variando de 1 a 4. 
• O ponto 1 tem suas coordenadas, (X1,Y1), conhecidas. 
• O ponto I é o ponto de referência para o azimute 
conhecido (AzI). Salienta-se que, este ponto pode ter 
coordenadas conhecidas ou ser simplesmente um ponto 
de azimute. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 64 
 
Procedimento de campo: 
• Inicialmente instalar o equipamento no ponto de coordenadas 
conhecidas, estação 1, e observar o ângulo horizontal horário α1, 
com origem no ponto I e término no ponto 2. Observar a 
distância horizontal entre pontos 1 e 2, d1. 
• Mudar o instrumento para a estação 2 e observar α2 e d2. Mudar 
para estação 3 e observar α3 e d3. E assim por diante. 
Salienta-se que, as poligonais pode ser Abertas, Fechadas e 
Enquadradas. 
 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 65 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
Após, a realização do procedimento de campo são realizados os 
cálculos das coordenadas retangulares, será tratado os cálculos de 
coordenadas das poligonais Abertas, Fechadas e Enquadradas 
(PONTOS DE APOIO). 
 
90˚0’02” 
90˚0’02” 
90˚0’02” 
Norte 
90˚0’02” 
1 
2 
3 
4 Dados Iniciais (Injunções mínimas) 
 AzAB = 46°; 
 XA= 1000 m; 
 XA= 2000 m; 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 66 
Fazer no quadro a representação do 
azimute inicial e mostrar os cálculos. 
POLIGONAÇÃO 
90˚00‟01” 
90˚00‟04” 
90˚00‟03” 
N=Norte 
90˚00‟00” 
1 
2 
3 
4 
Dados Iniciais (Injunções mínimas) 
 Az1-2 = 136°; 
 X1= 100 m; 
 X1= 200 m; 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 67 
Az2-3 
Az1-2 N 
N 
N 
N 
Az3-4 
Az4-1 
Az2-3=Az1-2+90°00‟01‟‟ – 180° = 46°00‟01‟ 
AzP1-P2 = AzP0-P1 + - 180º: 
Az = Azanterior + Hz – 180°: 
Se maior que 360° subtrair 360°: 
Se menor que 0°  soma 360°: 
Az3-4=Az2-3+90°00‟03‟‟ – 180° = - 43°59‟56‟*+360°=316°00‟04” 
Az4-1=Az3-4+90°00‟00‟‟ – 180° = 226°00‟04” 
Az1-2_Calculado=Az4-1+90°00‟04‟‟ – 180° = 136°00‟08” 
Az1-2=Az4-1+ Hz1-2 – 180° 
Az2-3=Az1-2+ Hz2-3 – 180° 
Az4-1=Az3-4+ Hz4-1 – 180° 
Az3-4=Az2-3+ Hz3-4 – 180° 
Hz1-2 
Hz2-3 
Hz3-4 
Hz4-1 
 ErroANG = Az1-2_Calculado - Az1-2_DADO 
 ErroANG = 136°00‟08” – 136°00‟00” 
 ErroANG = + 0° 00° 08° 
 Correção_ErroANG = - (ErroANG) / n° de Estações 
 Correção_ErroANG = - (+ 0° 00° 08°) / 4 = - 0° 00‟ 02” 
Az2-3= 46°00‟01” + 1*(– 0°00‟02”) = 45° 59‟ 59” 
Az3-4=316°00‟04” + 2*(– 0°00‟02”) = 316° 00‟ 00” 
Az4-1=226°00‟04” + 3*(– 0°00‟02”) = 225° 59‟ 58” 
Az1-2=136°00‟08” + 4*(– 0°00‟02”) = 136° 00‟ 00” 
AzCorrigido=Azcalculado + N*Correção_ErroANG 
 TolerânciaANG = ?? 
POLIGONAÇÃO 
90˚00‟01” 
90˚00‟04” 
90˚00‟03” 
N=Norte 
90˚00‟00” 
1 
2 
3 
4 
Dados Iniciais (Injunções mínimas) 
 Az1-2 = 136°; 
 X1= 100 m; 
 X1= 200 m; 
68 
Az2-3 
Az1-2 N 
N 
N 
N 
Az3-4 
Az4-1 
Hz1-2 
Hz2-3 
Hz3-4 
Hz4-1 
Az2-3= 46°00‟01” + 1*(– 0°00‟02”) = 45° 59‟ 59” 
Az3-4=316°00‟04” + 2*(– 0°00‟02”) = 316° 00‟ 00” 
Az4-1=226°00‟04” + 3*(– 0°00‟02”) = 225° 59‟ 58” 
Az1-2=136°00‟08” + 4*(– 0°00‟02”) = 136° 00‟ 00” 
∆X = Dist * sen Az 
∆Y = Dist * cos Az 
∆X2-3 
∆Y2-3 
∆X3-4 
∆Y4-1 
∆X4-1 
∆Y3-4 
∆X1-2 
∆Y1-2 
∆X2-3 = Dist2-3 *sen (Az2-3) ∆Y2-3 = Dist2-3 *cos (Az2-3) 
∆X3-4 = Dist3-4 *sen (Az3-4) 
∆Y4-1 = Dist4-1 *cos (Az4-1) ∆X4-1 = Dist4-1 *sen (Az4-1) 
∆Y3-4 = Dist3-4 *cos (Az3-4) 
∆X1-2 = Dist1-2 *sen (Az1-2) ∆Y1-2 = Dist1-2 *cos (Az1-2) 
∆X2-3 = 10,01 m *sen (45°59‟59”) = 7,2006 m ∆Y2-3 = 10,01 m *cos (45°59‟59”) = 6,9536 m 
∆X3-4 = 9,98 m *sen (316°00‟00”) = -6,9627 m 
∆Y4-1 = 9,99 m *cos (225°59‟58”) = -6,9397 m ∆X4-1 = 9,99 m *sen (225°59‟58”) = -7,1861 m 
∆Y3-4 = 9,98 m *cos (316°00‟00”) = 7,1790 m 
∆X1-2 = 10,02 m *sen (136°00‟00”) = 6,9604 m ∆Y1-2 = 10,02 m*cos (136°00‟00”) = -7,2078 m 
 ∆X calculado = 0,0122 m 
 ∆YDado = Yfinal – Yinicial = ∆Ydado = ∆YCalculado 
 ErroLIN-X = ∆XCalculado - ∆XDado  ErroLIN-Y = ∆YCalculado - ∆YDado 
 ∆XDado = (Xfinal – Xinicial ) = (∆XDado) = ∆Xcalculado 
 ∆YCalculado = -0,0150 m 
ErroLIN-X = 0,0122 m – 0 m ErroLIN-Y = - 0,0150 m – 0 m 
 ∆XDado = (Xfinal – Xinicial ) =(X1- X1)= 100 m – 100 m = 0 m  ∆YDado = (Yfinal – Yinicial ) = (Y1- Y1)= 200 m – 200 m = 0 m 
ErroLINEAR = [(ErroLIN-X)² + (ErroLIN-Y)²]
0,5 
ErroLINEAR = [(0,0122m)² + (-0,0149m)²]
0,5 
ErroLNEAR = 0,01926 m
 TolerânciaLINEAR = ???
 
POLIGONAÇÃO 
90˚00‟01” 
90˚00‟04” 
90˚00‟03” 
N=Norte 
90˚00‟00” 
1 
2 
3 
4 
Dados Iniciais (Injunções mínimas) 
 Az1-2 = 136°; 
 X1= 100 m; 
 X1= 200 m; 
69 
Az2-3 
Az1-2 N 
N 
N 
N 
Az3-4 
Az4-1 
Hz1-2 
Hz2-3 
Hz3-4 
Hz4-1 
Az2-3= 46°00‟01” + 1*(– 0°00‟02”) = 45° 59‟ 59” 
Az3-4=316°00‟04” + 2*(– 0°00‟02”) = 316° 00‟ 00” 
Az4-1=226°00‟04” + 3*(– 0°00‟02”) = 225° 59‟ 58” 
Az1-2=136°00‟08” + 4*(– 0°00‟02”) = 136° 00‟ 00” 
∆X = Dist * sen Az 
∆Y = Dist * cos Az 
∆X2-3 
∆Y2-3 
∆X3-4 
∆Y4-1 
∆X4-1 
∆Y3-4 
∆X1-2 
∆Y1-2 
∆X2-3 _corrigido = ∆X2-3 + (- ErroLinear_X ) /  Dist * Dist2-3 
∆X3-4 _corrigido = ∆X3-4 + (- ErroLinear_X ) /  Dist * Dist3-4 
∆X4-1 _corrigido = ∆X4-1 + (- ErroLinear_X ) /  Dist * Dist4-1 
∆X1-2 _corrigido= 6,9604 m + (- 0,0122m) / 40m * 10,02 m = 6,9573 m 
∆X2-3 _corrigido= 7,2006 m + (- 0,0122m) / 40m * 10,01 m = 7,1975 m 
∆X3-4 _corrigido= -6,9627 m + (- 0,0122m) / 40m * 09,98 m = -6,9657 m 
∆X4-1 _corrigido= -7,1861 m + (- 0,0122m) / 40m * 09,99 m = -7,1891 m 
∆X1-2 _corrigido = ∆X1-2 + (- ErroLinear_X ) /  Dist * Dist1-2 
 ∆X _corrigido= 0,0000 m  ∆YCalculado = -0,0001 m 
ErroLIN-X = 0,0122 m – 0 m ErroLIN-Y = - 0,0149 m – 0 m 
ErroLINEAR = [(ErroLIN-X)² + (ErroLIN-Y)²]
0,5 
ErroLINEAR = [(0,0122m)² + (-0,0149m)²]
0,5 
ErroLINEAR = 0,0193 m
 TolerânciaLINEAR = ???
 
 Correção_ErroLinear_X = - (ErroLinear_X) /  Dist * Dist 
 Correção_ErroLinear_Y = - (ErroLinear_Y) /  Dist * Dist 
L =  Dist = 40,00 m 
∆Y2-3 _corrigido = ∆Y2-3 + (- ErroLinear_Y ) /  Dist * Dist2-3 
∆Y3-4 _corrigido = ∆Y3-4 + (- ErroLinear_Y ) /  Dist * Dist3-4 
∆Y4-1 _corrigido = ∆Y4-1 + (- ErroLinear_X ) /  Dist * Dist4-1 
∆Y1-2 _corrigido= -7,2078 m + (- -0,0149) / 40m * 10,02 m = -7,2041 m 
∆Y2-3 _corrigido= 6,9536 m + (- -0,0149) / 40m * 10,01 m = 6,9573 m 
∆Y3-4 _corrigido= 7,1790 m + (- -0,0149) / 40m * 09,98 m = 7,1827 m 
∆Y4-1 _corrigido= -6,9397 m + (- -0,0149) / 40m * 09,99 m = -6,9360 m 
∆Y1-2 _corrigido = ∆Y1-2 + (- ErroLinear_Y ) /  Dist * Dist1-2 
POLIGONAÇÃO 
90˚00‟01” 
90˚00‟04” 
90˚00‟03” 
N=Norte 
90˚00‟00” 
1 
2 
3 
4 
Dados Iniciais (Injunções mínimas) 
 Az1-2 = 136°; 
 X1= 100 m; 
 X1= 200 m; 
70 
Az2-3 
Az1-2 N 
N 
N 
N 
Az3-4 
Az4-1 
Hz1-2 
Hz2-3 
Hz3-4 
Hz4-1 
Az2-3= 46°00‟01” + 1*(– 0°00‟02”) = 45° 59‟ 59” 
Az3-4=316°00‟04” + 2*(– 0°00‟02”) = 316° 00‟ 00” 
Az4-1=226°00‟04” + 3*(– 0°00‟02”) = 225° 59‟ 58” 
Az1-2=136°00‟08” + 4*(– 0°00‟02”) = 136° 00‟ 00” 
∆X = Dist * sen Az 
∆Y = Dist * cos Az 
∆X2-3 
∆Y2-3 
∆X3-4 
∆Y4-1 
∆X4-1 
∆Y3-4 
∆X1-2 
∆Y1-2 
X3corrigido = X2 + ∆ X2-3 _corrigido = 106,9573 m + 7,1975 m =114,1548 m 
X4corrigido = X3 + ∆ X3-4 _corrigido = 114,1548 m + -6,9657 m =107,1891 m 
X1corrigido = X4 + ∆ X4-1 _corrigido = 107,1891 m + -7,1891 m =100,0000 m 
∆X1-2 _corrigido= 6,9573 m 
∆X2-3 _corrigido= 7,1975 m 
∆X3-4 _corrigido= -6,9657 m 
∆X4-1 _corrigido= -7,1891 m 
X2corrigido = X1 + ∆X1-2 _corrigido = 100,0000 + 6,9573 m =106,9573 m 
ErroLIN-X = 0,0122 m – 0 m ErroLIN-Y = - 0,0149 m – 0 m 
ErroLINEAR = [(ErroLIN-X)² + (ErroLIN-Y)²]
0,5 
ErroLINEAR = [(0,0122m)² + (-0,0149m)²]
0,5 
ErroLINEAR = 0,0193 m
 TolerânciaLINEAR = ???
 
 Correção_ErroLinear_X = - (ErroLinear_X) /  Dist * Dist 
 Correção_ErroLinear_Y = - (ErroLinear_Y) /  Dist * Dist 
L =  Dist = 40,00 m 
Y2-3 _corrigido = Y2 + ∆Y2-3 = 192,8034 m + 6,9648m =199,7682 m 
Y3-4 _corrigido = Y3 + ∆Y3-4 = 199,7682 m + -7,1902m =206,9584 m 
Y4-1 _corrigido = Y4 + ∆Y4-1 = 206,9584 m + -6,9584 m =200,0000 m 
∆Y1-2 _corrigido= -7,1966 m 
∆Y2-3 _corrigido= 6,9648 m 
∆Y3-4 _corrigido= 7,1902 m 
∆Y4-1 _corrigido= -6,9584 m 
Y1-2 _corrigido = Y1 + ∆Y1-2 = 200,0000 m + -7,1966 m =192,8034 m 
X1Dado= 100,0000 m Y1Dado= 200,0000 m 
POLIGONAÇÃO 
90˚00‟01” 
90˚00‟04” 
90˚00‟03” 
N=Norte 
90˚00‟00” 
1 
2 
3 
4 
Dados Iniciais (Injunções mínimas) 
 Az1-2 = 136°; 
 X1= 100 m; 
 X1= 200 m; 
71 
Az2-3 
Az1-2 N 
N 
N 
N 
Az3-4 
Az4-1 
Hz1-2 
Hz2-3 
Hz3-4 
Hz4-1 
∆X = Dist * sen Az 
∆Y = Dist * cos Az 
∆X2-3 
∆Y2-3 
∆X3-4 
∆Y4-1 
∆X4-1 
∆Y3-4 
∆X1-2 
∆Y1-2 
R
É 
E
S
T 
V
A
N 
DIST Ângulo 
Horizontal 
HzEST_VANTE 
Azimute 
Calculado 
AzEST_VANTE 
Azimute 
Corrigido 
AzEST_VANTE 
Delta X 
 (∆X) 
∆XEST_VANTE 
Delta Y 
 (∆Y) 
∆YEST_VANTE 
Delta X 
 (∆X) 
Corrigido 
Delta Y 
(∆Y) 
Corrigido 
Coordena X 
XEST 
 
Coordena Y 
YEST 
 
4 1 2 10,02 m 90°00‟04” 136°00‟00” 136°00‟00” 6,9605m -7,2078m 6,9573m -7,2041m 100,0000 m 200,0000 m 
1 2 3 10,01 m 90°00‟01” 046°00‟01” 045°59‟59” 7,2005m 6,9536m 7,1975m 6,9573m 106,9573m 192,7959m 
2 3 4 9,98 m 90°00‟03” 316°00‟04” 316°00‟00” -6,9327m 7,1790m -6,9657m 7,1827m 114,1548m 199,7532m 
3 4 1 9,99 m 90°00‟00” 226°00‟04” 225°59‟58” -7,1861 -6,9397m -7,1891m -6,9360m 107,1891m 206,9359m 
=40,00 m 136°00‟08” 136°00‟00” =0,0122m =-0,0149m =0,0000m =-0,0001m 100,0000m 199,9999m 
AzP1-P2 = AzP0-P1 + - 180º: 
Az = Azanterior + Hz – 180°: 
Se maior que 360° subtrair 360°: 
Se menor que 0°  soma 360°: 
 ErroANG = Az1-2_Calculado - Az1-2_DADO 
AzCorrigido=Azcalculado + N*Correção_ErroANG 
 Correção_ErroLinear_X = - (ErroLinear_X) /  Dist * Dist 
 Correção_ErroLinear_Y = - (ErroLinear_Y) /  Dist * Dist 
X2corrigido = X1 + ∆X1-2 _corrigido 
∆X1-2 _corrigido = ∆X1-2 + (- ErroLinear_X ) /  Dist * Dist1-2 
Az2-3 = Az1-2 + Hz2-3 - 180º 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 As Poligonais levantadas em campo poderão ser: 
Poligonal Fechadas; 
Poligonal Enquadradas; ou 
Poligonal Abertas. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 72 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 As Poligonais levantadas em campo poderão ser: 
Poligonal Fechadas; 
Parte de um ponto com coordenadas conhecidas e 
retorna ao mesmo ponto. Sua principal vantagem é 
permitir a verificação de erro de fechamento angular e 
linear. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 73 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 As Poligonais levantadas em campo poderão ser: 
Poligonal Enquadrada; 
Parte de dois pontos com coordenadas conhecidas e 
acaba em outros dois pontos com coordenadas 
conhecidas. Permite a verificação do erro de fechamento 
angular e linear. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 74 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 As Poligonais levantadas em campo poderão ser: 
Poligonal Aberta; 
Parte de um ponto com coordenadas conhecidas e acaba 
em um ponto cujas coordenadas deseja-se determinar. 
Não é possível determinar erros de fechamento, portanto 
devem-se tomar todos os cuidados necessários durante o 
levantamento de campo para evitá-los. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 75 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 
 Como visto anteriormente, a vantagem de utilizar uma 
poligonal fechada ou enquadrada é a possibilidade verificar os 
erros angular e linear cometidos no levantamento da mesma. 
 Para o Calculo de uma poligonal é necessário ter no 
mínimo: 
Um ponto com coordenadas conhecidas (X,Y) e uma 
orientação (Az); 
ou 
Dois pontos com coordenadas conhecidas [(Xa ,Ya) e (Xb, Yb)]. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 76 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO 
TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
 Um dos elementos necessários para a definição de uma 
Poligonal são os ângulos formados por seus lados. A medição 
destes ângulos pode ser feita utilizando técnicas como pares 
conjugados, repetição ou outra forma de medição de ângulos. 
 Normalmente são determinados os ângulos externos ou 
internos da poligonal. Dependendo do sentidode 
caminhamento, que pode ser horário ou anti-horário. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 77 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
Poligonais Fechadas - (UFPR, 2012). 
 
• Cálculo do erro de fechamento angular, realizando antes do calculo 
do azimute. 
• Distribuição do erro de fechamento angular, distribuição nos ângulos 
horizontais coletados; 
• Transformação dos ângulos horizontais corr em azimutes; 
• Cálculo das componentes vetoriais, ΔX e ΔY, a partir dos azimutes 
calculados e das distâncias observadas; 
• Cálculo do erro de fechamento linear; 
• Distribuição do erro de fechamento linear; 
• Cálculo das coordenadas topográficas do pontos de apoio 
compensadas dos erros angular e linear. 
 Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 78 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
Poligonais Fechadas e Enquadrada - (Domingues, 2008). 
• Transformação dos ângulos horizontais observados em 
azimutes; 
• Cálculo do erro de fechamento angular; 
• Distribuição do erro de fechamento angular; 
• Cálculo das componentes vetoriais, ΔX e ΔY, a partir dos 
azimutes compensados do erro angular e das distâncias 
observadas; 
• Cálculo do erro de fechamento linear; 
• Distribuição do erro de fechamento linear; 
• Cálculo das coordenadas topográficas do pontos de apoio 
compensadas dos erros angular e linear. 
 Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 79 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
• A partir dos dados medidos em campo (ângulos e distâncias), 
orientação inicial e coordenadas do ponto de partida é 
possível calcular as coordenadas de todos os pontos da 
poligonal. 
• Inicia-se o cálculo a partir do ponto de partida. A figura a 
seguir ilustra o processo de cálculo. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 80 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
• A partir da coordenada do ponto P1 será possível calcular a 
coordenada do próximo ponto e assim por diante, onde 
devemos seguir os seguintes passos para realizar os cálculos: 
 Verificação do Erro de Fechamento Angular; 
 Cálculo dos Azimutes; 
 Cálculo das Coordenadas Parciais; 
 Verificação do Erro de Fechamento Linear; 
 Correção das Coordenadas Parciais ( Correção do Erro Linear); 
 Cálculo das Coordenadas Finais. 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 81 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Verificação do Erro de Fechamento Angular: 
• Para a poligonal fechada, antes de calcular o azimute das direções, 
é necessário fazer a verificação dos ângulos medidos. Uma vez 
que a poligonal forma um polígono fechado é possível verificar se 
houve algum erro na medição dos ângulos. Em um polígono 
qualquer, o somatório dos ângulos internos deverá ser igual a: 
Somatório dos ângulos medidos = (n - 2) × 180º: 
 n é numero de estações da Poligonal: 
 ea é Erro angular(ea): 
ea = ∑Hz (Somatório dos ângulos medidos) - (n - 2) x 180°: 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 82 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Verificação do Erro de Fechamento Angular: 
• Este erro terá que ser menor que a tolerância angular (eang), que 
pode ser entendida como o erro angular máximo aceitável nas 
medições. 
• Se o erro cometido for menor que o erro aceitável, deve-se 
realizar uma distribuição do erro cometido entre as estações e 
somente depois realizar o cálculo dos azimutes. É comum 
encontrar a seguinte tabela para o cálculo da tolerância 
angular(Tang): 
Tang 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 83 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Verificação do Erro de Fechamento Angular: 
• Caso o erro cometido seja maior que o erro tolerável é necessário 
refazer as medições angulares. 
• Um critério utilizado para a eliminação do erro angular cometido 
é distribuir proporcionalmente o erro para cada estação. A 
correção calculada não deve ser inferior à precisão com que foram 
realizadas as medições. 
• Assim após a distribuição do erro angular calcula-se o Azimute. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 84 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Cálculo dos Azimutes: 
• Como a orientação é determinada apenas para uma direção da 
poligonal, é necessário efetuar o cálculo dos azimutes para todas 
as demais direções da poligonal. Isto é feito utilizando os ângulos 
horizontais medidos em campo. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 85 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Cálculo dos Azimutes: 
• A figura ilustra este cálculo. A partir do azimute inicial da direção 
P0-P1 e ângulo horizontal interno P0-P1-P2 (aqui denominado de 
alfa( ), medido no sentido horário) é possível calcular o azimute 
da direção P1-P2 a partir da equação. 
AzP1-P2 = AzP0-P1 + - 180º: 
Az = Azanterior + Hz – 180°: 
 
Se maior que 360° subtrair 360°: 
Se menor que 0°  soma 360°: 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 86 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Cálculo das Coordenadas Parciais (relativas) (ΔX e ΔY): 
• Após todos os ângulos terem sido corrigidos e os azimutes 
calculados é possível iniciar o cálculo das coordenadas 
parciais, conforme as equações a seguir. 
 ΔX = d * sen (Az): 
 ΔY = d * cos (Az): 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 87 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Verificação do Erro de Fechamento Linear: 
• A partir do ponto de partida (P0), calculam-se as 
coordenadas parciais dos demais pontos até retornar ao ponto 
de partida (a somatória das coordenadas parciais em X ou em 
Y deverá ser zero). Se este valor for diferente de zero, 
dizemos que cometemos um erro planimétrico ou erro linear. 
Como os ângulos foram ajustados, este erro será decorrente 
de imprecisões na medição das distâncias. 
 ΔX = elX : 
 ΔY = elY : 
• El = ( elX 
2 + elY 
2 )0,5 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 88 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Verificação do Erro de Fechamento Linear: 
• É necessário verificar se este erro está abaixo de uma 
determinada tolerância linear (TLinear)que é dado pela 
Tabela: 
TLinea 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 89 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Correção do Erro Linear: 
 
• Se o erro cometido for menor que o permitido, parte-se então 
para a distribuição do erro. As correções às coordenadas 
parciais serão proporcionais às distâncias medidas. Quanto 
maior for a distância, maior será a correção. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 90 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Correção do Erro Linear: 
• Será aplicada uma correção para as coordenadas X e outra para as 
coordenadas Y, conforme equações abaixo: 
 L = d : soma dos vértices da poligonal(soma das distâncias). 
 ΔX = elX . ΔX + ΔX + (
 ΔY = elY . ΔY + ΔY + (
 d : distância. 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 91 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 Cálculo das Coordenadas Finais: 
X = X + 
Y = Y + 
 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 92 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Fechada: 
 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
Az_A_B 76˚25'32" XA1000m YA 2000m 
RE EST VANTE 
ÂNGULO HORIZONTAL DISTÂNCIA 
 (m) 
° ' " 
G A B 126 38 40 79,80 
A B C 127 33 20 63,60 
B C D 143 0 45 68,90 
C D E 123 10 6 80,60 
D E F 122 47 18 72,90 
E F G 125 2 41 92,40 
F G A 131 47 3 56,00 
Ré Est Vante Hz Distância 
Az 
Calc. 
Az 
Corrig. 
Delta X 
Calc. 
Delta Y 
 Calc. 
Delta X 
Corrig 
Delta Y 
Corrig 
X 
Calcul 
Y 
Calcul. 
Ré Est Vante Hz Distância 
Hz 
Corrig 
Az 
Corrig. 
Delta X 
Calc. 
Delta Y 
Calc. 
Delta X 
Corrig 
Delta Y 
Corrig 
X 
Calc. 
Y 
Calc. 
93 
RESUMO: Poligonal Fechada. 
• Calcular ERRO ANGULAR (ea = Somatório dos ângulos medidos – (n-2)x 180°): 
• Verificar TOLERÂNCIA ANGULAR: 
• Distribuição do ERRO ANGULAR ( 
• calculo do AZIMUTE (Az = Azanterior + Hz – 180°:). 
• Calculo das coordenadas parciais em X (ΔX = d * sen (Az)): 
• Calculo das coordenadas parciais em Y (ΔY = d * cos (Az)): 
• Verificação do erro LINEAR em X ΔX = elX ): 
• Verificação do erro LINEAR em Y ΔY = elY ): 
• Verificação do erro LINEAR 𝐄𝐋 = ( elX² + elY² )
. 
• Verificar tolerância LINEAR. 
• Distribuição do ERRO LINEAR em X ( 
• Distribuição do ERRO LINEAR em Y ( 
• Coordenadas parciais corrigidas – ΔXCORR [ΔXCORR = ΔXCalculado+ ΔXCalculado
• Coordenadas parciais corrigidas – ΔYCORR [ΔYCORR = ΔYCalculado+ ΔYCalculado 
• Calculo das coordenadas em X (X = X + ). 
• Calculo das coordenadas em Y (Y = Y + ). 
 
 
 
 
 
L = distância 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 94 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 95 
-0,00194444 ° ' "
Eang= 0 0 -7
Tang= 0 0 52,9
Az_DADO 76 25 32
AZ_CAL 76 25 25
E_LINEAR X= 0,33698
E_LINEAR Y= -0,34291
E_LINEAR= 0,480771
T_LINEAR= 0,30117
-0,00194444 ° ' "
Eang= 0 0 -7
Tang= 0 0 52,9
Az_DADO 76 25 32
E_LINEAR X= 0,33698
E_LINEAR Y= -0,34291
E_LINEAR= 0,480771
T_LINEAR= 0,30117
° ' " ° ' " ° ' "
G A B 79,80 126 38 40 76 25 32 76 25 32 77,57085 18,72974 77,51855 18,78296 1000,00000 2000,00000
A B C 63,60 127 33 20 23 58 52 23 58 53 25,84958 58,10989 25,80790 58,15230 1077,51855 2018,78296
B C D 68,90 143 0 45 346 59 37 346 59 39 -15,50596 67,13252 -15,55112 67,17847 1103,32645 2076,93527
C D E 80,60 123 10 6 290 9 43 290 9 46 -75,66060 27,78189 -75,71342 27,83564 1087,77533 2144,11373
D E F 72,90 122 47 18 232 57 1 232 57 5 -58,18329 -43,92170 -58,23106 -43,87308 1012,06191 2171,94937
E F G 92,40 125 2 41 177 59 42 177 59 47 3,23053 -92,34351 3,16998 -92,28189 953,83085 2128,07629
F G A 56,00 131 47 3 129 46 45 129 46 51 43,03587 -35,83175 42,99917 -35,79440 957,00083 2035,79440
X (m) Y (m)
Az cal
RÉ EST
VAN
TE
DISTÂCIA 
(m)
Hz Az corri ΔX (m) 
CALCULADO
ΔY (m) 
CALCULADO
ΔX (m) 
CORRIGIDO
ΔY (m) 
CORIGIDO
° ' " ° ' " ° ' "
G A B 79,80 126 38 40 126 38 41 76 25 32 77,57085 18,72974 77,51855 18,78296 1000,00000 2000,00000
A B C 63,60 127 33 20 127 33 21 23 58 53 25,84958 58,10989 25,80790 58,15230 1077,51855 2018,78296
B C D 68,90 143 0 45 143 0 46 346 59 39 -15,50596 67,13252 -15,55112 67,17847 1103,32645 2076,93527
C D E 80,60 123 10 6 123 10 7 290 9 46 -75,66060 27,78189 -75,71342 27,83564 1087,77533 2144,11373
D E F 72,90 122 47 18 122 47 19 232 57 5 -58,18329 -43,92170 -58,23106 -43,87308 1012,06191 2171,94937
E F G 92,40 125 2 41 125 2 42 177 59 47 3,23053 -92,34351 3,16998 -92,28189 953,83085 2128,07629
F G A 56,00 131 47 3 131 47 4 129 46 51 43,03587 -35,83175 42,99917 -35,79440 957,00083 2035,79440
X (m) Y (m)
Hz CORR
RÉ EST
VAN
TE
DISTÂCIA 
(m)
Hz Az ΔX (m) 
CALCULADO
ΔY (m) 
CALCULADO
ΔX (m) 
CORRIGIDO
ΔY (m) 
CORIGIDO
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Enquadrada. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
AzA_B_DADO 
AzE_F_DADO 
A 
D 
E 
F 
B 
C 
96 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Enquadrada. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
RE EST VANTE 
ÂNGULO HORIZONTAL 
DISTÂNCIA 
(METROS) 
COORDENADAS 
 X (m) 
COORDENADAS 
 Y (m) ° ' " 
-- A B -- -- -- 207,041 1000,0000 2000,0000 
A B C 120 10 18 87,00 1205,0000 1971,0000 
B C D 250 37 07 115,00 
C D E 321 57 10 50,00 
D E F 136 53 9 42,913 1320,0000 1986,0000 
E F -- -- -- -- -- 1300,0620 1948,0000 
Ré Est Vante Hz Distância 
Az 
Calcul. 
Az 
Corrig. 
Delta X 
Calcul. 
Delta Y 
Corrig 
Delta X 
Corrig 
Delta Y 
Calcul. 
X 
Corrig 
Y 
Corrig 
97 
RESUMO Enquadrada: 
• Calculo do AZIMUTE (Az = Azanterior + Hz – 180°:). 
• Calcular ERRO ANGULAR (ea = Azcal–Azdado): 
• Verificar TOLERÂNCIA ANGULAR: 
• Distribuição do ERRO ANGULAR ( 
• Calculo das coordenadas parciais em X (ΔX = d * sen (Az)): 
• Calculo das coordenadas parciais em Y (ΔY = d * cos (Az)): 
• Verificação do erro LINEAR em X elx = Δxcal – Δxdado): 
• Verificação do erro LINEAR em Y ely = Δycal – Δydado): 
• Verificação do erro LINEAR 𝐄𝐋 = ( elX²+ elY² )
. 
• Verificar tolerância LINEAR. 
• Distribuição do ERRO LINEAR em X ( 
• Distribuição do ERRO LINEAR em Y ( 
• Coordenadas parciais corrigidas – ΔXCORR [ΔXCORR = ΔXCalculado+ ΔXCalculado
• Coordenadas parciais corrigidas – ΔYCORR [ΔYCORR = ΔYCalculado+ ΔYCalculado 
• Calculo das coordenadas em X (X = X + ). 
• Calculo das coordenadas em Y (Y = Y + ). 
 
 
 
 
 
L = distância 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 98 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Calculo de Pontos de Apoio. 
- Cálculo de uma Poligonal Aberta. 
 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
Ré Est Vante Hz Distância 
Az 
Calcul. 
Delta X 
Calcul. 
Delta Y 
Calcul. 
X 
Calcul. 
Y 
Calcul. 
Az_A_B 46˚12„25" XA 1100m YA 2400m 
RE EST VANTE 
ÂNGULO HORIZONTAL DISTÂNCIA 
 (m) ° ' " 
W‟ A B 126 38 40 79,80 
A B C 127 33 20 63,60 
B C D 143 0 45 68,90 
C D E 123 10 6 80,60 
99 
RESUMO: Poligonal Aberta. 
• Calculo do AZIMUTE (Az = Azanterior + Hz – 180°:). 
• Calculo das coordenadas parciais em X (ΔX = d * sen (Az)): 
• Calculo das coordenadas parciais em Y (ΔY = d * cos (Az)): 
• Calculo das coordenadas em X (X = X + ). 
• Calculo das coordenadas em Y (Y = Y + ). 
 
 
 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 100 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 – Pontos de detalhes: 
 - Irradiação. 
 Consiste em, a partir de uma linha de referência conhecida, 
medir um ângulo e uma distância. É semelhante a um sistema de 
coordenadas polares. A distância pode ser obtida utilizando uma 
trena, distanciômetro eletrônico ou estação total ou obtida por 
métodos taqueométricos. Este método é muito empregado no 
levantamento de detalhes em campo.
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 101 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 – Pontos de detalhes: 
 - Irradiação. 
 Neste método o equipamento fica estacionado sobre um 
ponto e faz-se a “varredura” dos elementos de interesse 
próximos ao ponto ocupado, medindo direções e distâncias para 
cada elemento a ser representado. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 102 
E Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 103 
D 
A 
C 
B 
Az𝐃𝐀 
AzA_P1 P1 
P2 P3 
P4 
P5 
P6 
P7 
P8 
𝜶𝐀_𝐏𝟏 
Az = Az ant + Hz - 180˚ 
Az𝐀_𝑷𝟏 = Az𝐃𝐀 + 𝜶𝐀_𝐏𝟏 - 180˚ Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 104 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 – Pontos de detalhes: 
 - Irradiação. 
 
 Durante a execução de um levantamento de detalhes é 
importante elaborar um croqui da área que está sendo 
levantada, associando um nome ou número a cada feição ou 
ponto levantado, e a mesma indicação deve ser utilizada na 
caderneta de campo. Isto visa facilitar a elaboração do desenho 
final. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 105 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 – Pontos de detalhes: - Irradiação. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 106 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 – Pontos de detalhes: - Irradiação. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
DISTÂNCIA
° ' " ° ' " (metros)E A 1 95 1 41 39 14 0 33,09 20,92876 25,63074 1020,92876 2025,63074
A B 2 33 14 12 275 20 20 18,36 -18,28035 1,70833 1048,66965 2036,93833
A B 3 185 25 45 67 31 53 24,39 22,53853 9,32130 1089,48853 2044,55130
A B 4 200 53 23 82 59 31 26,3 26,10351 3,20883 1093,05351 2038,43883
B C 5 67 24 18 231 15 13 24,39 -19,02234 -15,26507 1029,69766 2083,21493
C D 6 92 6 34 171 41 33 17,64 2,54873 -17,45490 1001,88873 2071,83510
D E 7 121 42 11 138 23 27 16,63 11,04308 -12,43412 988,41308 2002,96588
D E 8 128 14 11 144 55 27 23,28 13,37809 -19,05217 990,74809 1996,34783
IRRADIAÇÃO
RE ES
T
V
A
N
TE
ÂNGULO HORIZ. Az CALC
∆ X (m) ∆ Y (m) X Y
107 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 – Pontos de detalhes: - Irradiação. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
E A 1 1020,92876 2025,63074
A B 2 1048,66965 2036,93833
A B 3 1089,48853 2044,55130
A B 4 1093,05351 2038,43883
B C 5 1029,69766 2083,21493
C D 6 1001,88873 2071,83510
D E 7 988,41308 2002,96588
D E 8 990,74809 1996,34783
IRRADIAÇÃO
R
E
ES
T
V
A
N
TE
X Y
108 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 – Pontos de detalhes: 
 - Irradiação. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
DADOS DA POLIGONAL 
R
E 
ES
T 
V
A
N
TE
 
Azimute 
COORDENADA
S 
COORDENADA
S 
° ' " ‘ X (m)‘ ‘ Y (m)’ 
G A B 129 24 8 3458,378 2592,126 
A B C 346 21 12 3937,463 2681,733 
B C D 258 53 36 4416,548 2771,339 
C D E 46 25 39 4895,632 2860,946 
D E F 265 17 42 5374,717 2950,552 
E F G 95 34 32 5853,802 3040,159 
F G A 35 13 45 4367,456 3505,201 
IRRADIAÇÃO 
R
E 
ES
T 
V
A
N
TE
 
ÂNGULO HORIZ. (Hz) Az CALC DISTÂNCIA 
∆ X (m) ∆ Y (m) X Y 
° ' " ° ' " (metros) 
G A P1 352 27 45 40,13 
A B P2 50 54 41 31,25 
B C P3 124 45 19 80,46 
C D P4 232 50 52 52,68 
D E P5 333 52 32 30,17 
E F P6 225 16 32 87,94 
DISTÂNCIA
° ' " ° ' " (metros)
G A P1 352 27 45 207 41 30 40,13 -18,64894 -35,53356 3439,72906 2556,59244
A B P2 50 54 41 0 18 49 31,25 0,17105 31,24953 3937,63405 2712,98253
B C P3 124 45 19 291 6 31 80,46 -75,06109 28,97662 4341,48691 2800,31562
C D P4 232 50 52 311 44 28 52,68 -39,30774 35,07255 4856,32426 2896,01855
D E P5 333 52 32 200 18 11 30,17 -10,46856 -28,29555 5364,24844 2922,25645
E F P6 225 16 32 310 34 14 87,94 -66,79972 57,19476 5787,00228 3097,35376
∆ Y (m) X YRE ES
T
V
A
N
TE
ÂNGULO HORIZ. 
(Hz)
Az CALC
∆ X (m)
IRRADIAÇÃO
109 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Pontos de detalhes: 
Intersecção à Vante: 
• O método de interseção a vante consiste em obter as 
coordenadas planimétricas de um ponto a partir do 
conhecimento das coordenadas de dois outros pontos e da 
execução de medidas angulares somente. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 110 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Pontos de detalhes: 
Intersecção à Vante: 
Conhecidas as coordenadas de P(XP,YP) e de Q(XQ,YQ), determina-
se os ângulos e E calcula-se as coordenadas de 1(X1,Y1). 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 111 
CÁLCULO DO LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
– Pontos de detalhes: 
Intersecção à Vante: 
 Cada triângulo são conhecidos dois ângulos e um lado. As 
demais distâncias e ângulos necessários à determinação da superfície 
em questão são determinados por relações trigonométricas. 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 112 
MEMORIAL DESCRITIVO. 
 
 Memorial descritivo é empregado normalmente para 
descrever limites e confrontações de lotes urbanos ou rurais. 
 
 É a partir do memorial descritivo que se gera a 
escritura pública imobiliária. 
 
 O memorial deve conter um cabeçalho onde se 
identifica o imóvel, o proprietário, o município, a comarca, a 
unidade federativa e informa o perímetro e a área do imóvel. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 113 
MEMORIAL DESCRITIVO. 
 
 Descreve o perímetro do imóvel, informando as 
COORDENADAS DOS VÉRTICES, os AZIMUTES e as 
DISTÂNCIAS entre vértices e os NOMES DOS 
CONFRONTANTES, guardando absoluta identidade com a 
planta do imóvel. 
 
 A descrição do perímetro e das confrontações deve 
começar no vértice situado mais ao NORTE (e à oeste se 
houver dois pontos com coordenadas “N” iguais) e seguir o 
limite no SENTIDO HORÁRIO, indicando as coordenadas do 
vértice de partida, o azimute, distância e a confrontação até o 
próximo vértice, separando cada lado descrito por ponto e 
vírgula. Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 114 
MEMORIAL DESCRITIVO. 
 
 Ao final do relatório informar a definição e realização do 
sistema topográfico, datar e assinar. 
 
 Para mais informações sobre memorial descritivo de 
imóveis rurais consultar a “Norma técnica para 
georreferenciamento de imóveis rurais”, do INCRA. 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 115 
3 – MEMORIAL DESCRITIVO. 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
Uso restrito à disciplina TRN 071 - UFJF 
116 
3 – MEMORIAL DESCRITIVO. 
 Faça o memorial descritivo do lote a partir das coordenadas dos 
pontos: 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
Uso restrito à disciplina TRN 071 - UFJF 
117 
3 – MEMORIAL DESCRITIVO. 
 Faça o memorial descritivo do lote a partir das coordenadas dos 
pontos: 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
X (m) Y (m) Distância
4 2.868,2045 1.171,4622 94 57 43 18,00
1 2.886,1371 1.169,9053 185 4 9 34,58
2 2.883,0817 1.135,4602 275 4 8 12,39
3 2.870,7449 1.136,5545 355 50 16 35,00
Az
Uso restrito à disciplina TRN 071 - UFJF 
118 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 119 
3 – MEMORIAL DESCRITIVO. 
 Faça o memorial descritivo do exercício de irradiação: 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
E A 1 1020,92876 2025,63074
A B 2 1048,66965 2036,93833
A B 3 1089,48853 2044,55130
A B 4 1093,05351 2038,43883
B C 5 1029,69766 2083,21493
C D 6 1001,88873 2071,83510
D E 7 988,41308 2002,96588
D E 8 990,74809 1996,34783
IRRADIAÇÃO
R
E
ES
T
V
A
N
TE
X Y
120 
3 – MEMORIAL DESCRITIVO. 
 Faça o memorial descritivo do exercício de irradiação: 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
E A 1 1020,92876 2025,63074
A B 2 1048,66965 2036,93833
A B 3 1089,48853 2044,55130
A B 4 1093,05351 2038,43883
B C 5 1029,69766 2083,21493
C D 6 1001,88873 2071,83510
D E 7 988,41308 2002,96588
D E 8 990,74809 1996,34783
IRRADIAÇÃO
R
E
ES
T
V
A
N
TE
X Y
X (m) Y (m) Distância
5 1029,698 2083,215 157 42 28,3 50,01
2 1048,670 2036,938 247 49 24,5 29,96
1 1020,929 2025,631 337 36 15,4 49,97
6 1001,889 2071,835 247 44 41,6 30,05
Az
121 
 
 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
3 – MEMORIAL DESCRITIVO. 
 Faça o memorial descritivo do exercício de irradiação: 
 
122 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
 
 A avaliação de áreas é uma atividade comum na 
Topografia. Por exemplo, na compra e venda de imóveis 
rurais e urbanos esta informação se reveste de grande 
importância. 
 Basicamente os processos para determinação de 
áreas podem ser definidos como: 
Analíticos; 
Gráficos; 
 Computacionais; e 
Mecânicos. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 123 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
- Processo Gráfico: 
 Neste processo a área a ser avaliada é dividida em 
figuras geométricas, como triângulos, quadrados ou outras 
figuras, e a área final será determinada pela somatória de 
todas as áreas das figuras geométricas. 
 As figuras ilustram a aplicação do método gráfico, 
através do processo de divisão da área em quadrículas e em 
figuras geométricas equivalentes. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 124 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
 
- Processo Computacional: 
 Atualmente é uma forma bastante prática para o 
cálculo de áreas. Baseado no emprego de algum programa 
gráfico do tipo CAD, no qual são desenhados os pontos 
que definem a área levantada e o programa calcula esta 
área, por métodos analíticos. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 125 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
 
- Processo Mecânico: 
 Utiliza-se um equipamento denominado de 
Planímetro. Esteconsiste em dois braços articulados, com 
um ponto fixo denominado de pólo e um cursor na 
extremidade dos braços, o qual deve percorrer o 
perímetro do polígono que se deseja calcular a área. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 126 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
 
- Processos Analíticos: 
 Neste método a área é avaliada utilizando fórmulas 
matemáticas que permitem, a partir das coordenadas dos 
pontos que definem a feição, realizar os cálculos 
desejados. 
 O cálculo da área de poligonais, por exemplo, pode 
ser realizado a partir do cálculo da área de trapézios 
formados pelos vértices da poligonal (fórmula de Gauss). 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 127 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
- Processos Analíticos: 
 Através da figura é possível perceber que a área da 
poligonal definida pelos pontos 1, 2, 3 e 4 pode ser 
determinada pela diferença entre as áreas 1 e 2. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 128 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
- Processos Analíticos: 
 A área 1 pode ser calculada a partir das áreas dos 
trapézios formados pelos pontos 2', 2, 1, 1´ e 1', 1, 4, 4'. 
Na figura é apresentada a fórmula de cálculo da área de 
um trapézio qualquer. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 129 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
- Processos Analíticos: 
 A área 2 pode ser calculada a partir das áreas dos 
trapézios formados pelos pontos 2', 2, 3, 3´ e 3', 3, 4, 4'. 
Na figura é apresentada a fórmula de cálculo da área de 
um trapézio qualquer. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 130 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
- Processos Analíticos: 
 A área da Poligonal é dada pela subtração da Área 1 
com a Área 2. 
Área Poligonal = Área 1 – Área 2: 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 131 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
- Processos Analíticos (Formula de Gauss): 
 Por este Método, o calculo de área pode ser 
realizado facilmente montando-se uma tabela com as 
coordenadas dos pontos, com o cuidado de repetir a 
coordenada do primeiro ponto no final da tabela, e 
multiplicando-se de acordo com o ilustrado pela figura. 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 132 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
– Exercícios: 
 Determine a área do polígono utilizando os 
seguintes métodos: Gráfico, Analítico e Analítico (Método 
de Gauss): 
45 m² 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 133 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 134 
AVALIAÇÃO DE ÁREA 
X(m) Y(m) 
14 3 
2 2 
6 10 
12 15 
19 12 
20 5 
14 3 
X(m) Y(m) 
14 3 
2 2 
6 10 
12 15 
19 12 
20 5 
14 3 
28 m² 
20 m² 
90 m² 
144 m² 
95 m² 
60 m² 
437 m² 
6 m² 
12 m² 
120 m² 
285 m² 
240 m² 
70 m² 
733 m² 
Área = | 437 m² - 733 m² | 
 2 
= 148 m² 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 135 
EXERCICIOS 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
RE EST 
V
A
N
TE
 ÂNGULO HORIZ. 
(Hz) 
Ang. Corrigido 
Az CALC 
DISTÂNCIA 
∆ X (m) ∆ Y (m) 
∆ X (m) ∆ Y (m) 
X Y (HzCORR) (metros) 
° ' " ° ' " ° ' " CORR CORR 
 
 
 
 
 
 
 
 
DADOS DE CAMPO. 
Az_A_B 76˚25'32" XA 
 
=1000m YA =2000m 
RE EST VANTE 
ÂNGULO HORIZONTAL 
DISTÂNCIA (m) 
° ' " 
G A B 126 38 40 79,80 
A B C 127 33 20 63,60 
B C D 143 0 45 68,90 
C D E 123 10 6 80,60 
D E F 122 47 18 72,90 
E F G 125 2 41 92,40 
F G A 131 47 3 56,00 
 
TABELA PARA CALCULO DA POLIGONAL. 
1) DETERMINE AS COORDENADAS DOS PONTOS DE APOIO (PONTOS DA POLIGONAL). 
136 
EXERCICIOS 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
DADOS DE CAMPO. 
TABELA PARA CALCULO DA POLIGONAL. 
2) DETERMINE AS COORDENADAS DOS PONTOS DE APOIO (PONTOS DA POLIGONAL). 
Az_A_B 155˚3'8" XA =1000m YA =2000m 
RE EST VANTE 
ÂNGULO HORIZONTAL 
DISTÂNCIA (m) 
° ' " 
E A B 117 53 52 72,30 
A B C 101 44 50 109,20 
B C D 95 44 7 78,20 
C D E 117 6 20 82,40 
D E A 107 31 6 81,10 
 
RE EST 
V
A
N
TE
 ÂNGULO HORIZ. 
(Hz) 
Az Calculado Az Corrigido 
(AzCORRIGIDO) 
DISTÂNCIA 
∆ X (m) ∆ Y (m) 
∆ X (m) ∆ Y (m) 
X Y (AzCALCULADO) (metros) 
° ' " ° ' " ° ' " CORR CORR 
 
 
 
 
 
 
137 
EXERCICIOS 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
Az_REF_A 23˚28'57" XA = 1000m YA = 2000m 
 POLIGONAL (DADOS DE CAMPO) 
RE EST VANTE 
ÂNGULO HORIZONTAL DISTÂNCIA 
(m) ° ' " 
REF A B 177 57 45 48,99 
IRRADIAÇÃO (DADOS DE CAMPO) 
RE EST VANTE 
ÂNGULO HORIZONTAL DISTÂNCIA 
(m) ° ' " 
REF A 1 - RUA 0 0 0 27,72 
REF A 2 - RUA 4 7 57 27,74 
REF A 3 - RUA 18 30 43 28,96 
REF A 4 - RUA 22 13 5 29,61 
REF A 5 - LOTE 55 39 33 12,86 
REF A 6 - LOTE 81 1 59 41,11 
REF A 7 - LOTE 108 44 14 42,29 
REF A 8 - LOTE 141 41 49 16,23 
A B 9 - RUA 24 14 20 15,03 
A B 10 - RUA 31 1 19 15,85 
A B 11 - RUA 47 0 2 11,36 
A B 12 - RUA 47 0 2 13,36 
A B 13 - RUA 62 21 29 15,54 
A B 14 - RUA 69 4 30 14,61 
A B 15 - RUA 84 52 52 52,94 
A B 16 - RUA 87 1 53 52,68 
A B 17 - RUA 94 53 9 52,34 
DADOS DE CAMPO. 
3) DETERMINE AS COORDENADAS DOS PONTOS DE APOIO (PONTOS DA POLIGONAL) 
E DOS PONTO DE DETALHES (PONTOS DA IRRADIAÇÃO). 
138 
EXERCICIOS 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
RE EST 
V
A
N
TE
 
ÂNGULO HORIZ. (Hz) Az CALC 
DISTÂNCIA 
∆ X (m) ∆ Y (m) X(m) Y(m) (metros) 
° ' " ° ' " 
-- REF A -- -- -- 23 28 57 -- -- -- -- -- 
REF A B 177 57 45 48,99 1000,0000 2000,0000 
 A B - -- -- -- -- -- -- -- -- -- 
TABELA PARA CALCULO DA POLIGONAL. 
3) DETERMINE AS COORDENADAS DOS PONTOS DE APOIO (PONTOS DA POLIGONAL) 
E DOS PONTO DE DETALHES (PONTOS DA IRRADIAÇÃO). 
139 
EXERCICIOS 
Uso restrito à disciplina ENGA50 - UFBA 
RE EST 
VANT
E 
ÂNGULO HORIZ. (Hz) Az CALC DISTÂNCIA 
∆ X (m) ∆ Y (m) X Y 
° ' " ° ' " (metros) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) DETERMINE AS COORDENADAS DOS PONTOS DE APOIO (PONTOS DA POLIGONAL) 
E DOS PONTO DE DETALHES (PONTOS DA IRRADIAÇÃO). 
TABELA PARA CALCULO DA IRRADIAÇÃO. 
140 
BIBLIOGRAFIAS 
• ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 13133 – Execução de levantamento 
topográfico. Rio de Janeiro, 1994. 
• BORGES, C.A. Topografia. Editora Edgard Blücher Ltda. 
• BORGES, C.A. Topografia aplicada à Engenharia Civil. Editora Edgard Blücher Ltda. 
• COMASTRI, J.A. Curso de topografia. Editora UFV. 
• COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia:altimetria. 3. ed. Viçosa - MG: UFV, 2005. 200 p. 
• ERBA, D.A. et al. Topografia para estudantes de Arquitetura, Engenharia e Geologia. Editora 
UNISINOS. 
• GONÇALVES, J. A.; MADEIRA, S.; , J. J. S. Topografia: conceitos e aplicações. [S.l.]: Lidel, 2012. 
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• MCCORMAC, J. C. Topografia. 5. ed. [S.l.]: LTC, 2006. 408 p. 
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