Cálculo Diferencial e Integral - Derivadas de Funções Elementares

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Cálculo Diferencial e Integral A 
 
 
 
 
 
 
 Derivadas 
 
Derivadas de Funções Elementares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
3 - DERIVADAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
 
3.1 - Tangentes 
 
Se uma curva C , como mostra a figura a seguir, possui uma equação ( )xfy = e 
desejar-se encontrar a tangente à curva em um ponto ( )( )afaP , , onde ax = , 
supondo um ponto ( )( )xfxQ , qualquer, próximo ao este, onde ax  , e calculando a 
inclinação da reta secante PQ , da geometria analítica tem-se: 
 
 
( ) ( )
ax
afxf
m
PQ −
−
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então faz-se Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar x tender a a , isto 
é, ax → . Se 
PQ
m tender a um número m , então define-se a tangente T como sendo a 
reta que passa por P e tem inclinação m . Isso sigifica que a reta tangente é a posição 
limite da reta secante PQ quando Q tende a P , isto é, quando PQ → . 
 
Definição: A reta ( )T tangente a uma curva ( )xfy = em um ponto ( )( )afaP , é 
a reta que passa por P e possui inclinação 
 
 
( ) ( )
ax
afxf
m
ax −
−
=
→
lim 
 
desde que esse limite exista. 
 
Exemplo: Encontre uma reta tangente à parábola 2xy = no ponto ( )1,1P . 
 
Solução: Aqui tem-se 1=a e ( ) 2xxf = , logo a inclinação é 
 
( )( ) •afaP ,
 
( )( ) •xfxQ ,
 
X
 
Y 
•
 
X
 
Y 
•P
 
Q
 •
 
•Q
 
Q
 
T
 
( ) ( )afxf − 
ax − 
a x 
 
 
 2 
 
( ) ( ) ( )( )
( ) 2111lim
1
11
lim
1
1
lim
1
1
lim
11
2
11
=+=+=
−
+−
=
−
−
=
−
−
=
→→→→
x
x
xx
x
x
x
fxf
m
xxxx
 
 
Usando a forma ponto-inclinação de uma reta, ou seja, 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )axmafxf
ax
afxf
m −=−
−
−
= , 
 
encontra-se que a equação da reta tangente á parábola 2xy = no ponto ( )1,1P é 
 
 ( ) 12122121 −=+−=−=− xyxyxy 
 
Observação: É normal referir-se à inclinação da reta tangente, em determinado ponto, 
como sendo a inclinação da curva no ponto. 
 
 
Porém , há outra forma de colocar-se a expressão da inclinação m da reta tangente, às 
vezes mais fácil de ser utilizada . Ou seja , denominando a diferença entre x e 0xa = 
de x , isto é, 
 
 0xxx −= 
donde 
 
 xxx += 0 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a inclinação da reta secante PQ , é 
 
 
( ) ( )
x
xfxxf
m
PQ 
−+
= 00 . 
 
E quando Q tende a P , isto é, quando PQ → , ou seja, 00 xxx →+ significa que 
0→x ; e assim, a expressão para a inclinação da reta tangente fica 
( )( )xxfxxQ ++ 00 , 
X
 
Y T
 
( ) ( )00 xfxxfy −+= 
0x xx +0 
•
 ( )( ) •afaP ,
 ( ) 00 xxxx −+= 
 
 
 3 
 
 
( ) ( )
x
xfxxf
m
x 
−+
=
→
00
0
lim , 
 
ou generalizando, para 0x sendo um x qualquer, tem-se: 
 
 
( ) ( )
x
xfxxf
m
x 
−+
=
→ 0
lim . 
 
 
Exemplo: Encontre uma reta tangente à hipérbole xy 3= no ponto ( )1,3 . 
 
Solução: Seja ( ) xxf 3= , então a inclinação da reta tangente em ( )1,3 é 
 
 
( ) ( )
( )
x
x
x
x
x
x
fxf
m
xxx 
+
+−
=

−
+
=

−+
=
→→→
3
33
lim
1
3
3
lim
33
lim
000
 
 
 
( ) ( ) 3
1
3
1
lim
3
lim
3
lim
000
−=
+
−=
+

−=
+
−
=
→→→ xxx
x
xx
x
m
xxx
 
 
Portanto, a equação da reta tangente no ponto ( )1,3 é 
 
 
 ( ) 6311
3
1
3
3
1
1 +−=++−=−−=− xyxyxy 
 
ou seja , na forma mais geral da equação, tem-se: 
 
063 =−+ yx . 
 
3.2 - Taxa de Variação e Incremento 
 
Dada uma função ( )xfy = , que varia uniformemente em um certo intervalo, e 
considere-se x um ponto deste intervalo. Se dermos a x um pequeno acréscimo que 
chamaremos de x , neste ponto a função y terá um acréscimo y da forma 
 
 ( )xxfyy +=+ 
ou 
 
 
 (3.1) 
 
 
Se dividirmos a expressão (3.1) por x temos 
 
( ) ( ) ( )xfxxfyyxxfy −+=−+= 
 
 
 4 
 
 (3.2) 
 
 
 
A Expressão (3.2) é denominada de taxa de variação média y em relação a x , e a 
Expressão (3.1) é chamada de incremento da função y . 
 
Graficamente podemos representar as Expressões (3.1) e (3.2) da forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que xy  é a inclinação da reta secante (que corta a curva em P e Q ). Se 
x for muito pequeno, isto é, 0→ x , então o ponto Q tende para o ponto P , a 
inclinação da reta secante ( )PQ tende para a inclinação “ m ” da reta tangente no 
ponto P , ou seja, 
 ( )
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
m
xx 
−+
=


==
→→ 00
limlimtan  
 
 
 
 
 
 
 
O “ m ” é também chamado de coeficiente angular da reta tangente à curva 
( )xfy = no ponto P . Esta reta só contém um ponto ( )11, yx em comum com a 
curva ( )xf , e sua equação é: 
 
 bmxy += 
 
onde m e b podem ser determinados em cada ponto ( )11, yx conforme mostra o 
exemplo a seguir. O coeficiente angular m pode ser convertido em ângulo usando a 
expressão (3.3) ou seja ( )tan=m , logo ( )m1tan −= . 
 
x
xfxxf
x
y

−+
=

 )()( 11 
( ) ( )
x
xfxxf
m
x 
−+
=
→ 0
lim
 





=
−=
−=
mxy
yyy
xxx
12
12
 
 
 
reta secante 
y 
x 
tangente em P 
1x 2x 
1y 
2y 
X 
Y ( )xf 
Q 
P 
 
 
 5 
Exemplo: Dada a função xxy +=
2
, determinar a equação da reta tangente e seu 
ângulo no ponto 20 =x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cálculo do m : 
 
 
x
xfxxf
m
x 
−+
=
→
)()(
lim 0
0 x
xxx
x 
+−++
=
→
)2(2)(
lim
2
0
2
0
0
 
 
x
xxxxx
m
x 
−−+++
=
→
222
lim
2
0
22
0
0
0
2
0
0
2
2
lim x
x
xxx
x
=

+
=
→
 
 
 oo mxybbmxy −=+= 00 
 
 
Dados xm , e y , calcula-se b . 
 
se 
 ( ) ( ) 46,2, 00 == myx 
 
e a equação da reta tangente que tem um ponto P em comum com a curva ( )xfy = é 
 
 24 += xy e 2246 −=−=b 
 
 
Exemplo: Dada a função calcular o coeficiente angular da reta e a reta tangente no 
ponto ( )2,7=P . 
 
 3)( −= xxf 
 
 
x
xfxxf
m
x 
−+
=
→
)()(
lim 0
0
 como 7=x 
 
( )6,2P 
12 
 
9 
 
6 
 
3 
 
 
-2 
Se 2
2 += xy 
para 62 == yx 
e o ponto onde vamos 
calcular a tangente é 
( )6,2P 
y 
1 2 3 x 
 
 
 
 
 6 
x
x
m
x 
−−−+
=
→
373)7(
lim
0 x
x
x 
−+
=
→
24
lim
0
 
 
racionalizando e lembrando que ( )a b− ( )a b+ ( ) 222 baba −=−= 
 
 
 
( )( )
( ) xx
xx
m
x ++
++−+
=
→ 24
2424
lim
0 ( )24
44
lim
0 ++
−+
=
→ xx
x
x
 
 
 
( )24
lim
0 ++

=
→ xx
x
m
x 4
1
24
1
=
+
= 
 
A reta tangente no ponto ( ) ( )2,7, 11 == yxP da curva é 
 
 
4
1
7
4
1
211 =+=+= bbbmxy 
 
 logo 
4
1
4
1
+= xy é a equação da reta tangente no ponto P . 
 
 
3.3 - DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
Dada uma função ( )xf , a sua derivada representada por ( )xf  é definida por 
 
 ( )
x
xfxxf
xf
x 
−+
=
→
)()(
lim
0
m
x
y
x
=


=
→ 0
lim (3.6) 
 
O domínio da função ( )xf  (derivada), é o conjunto de todos os números x do domínio 
de ( )xf para os quais o limite do quociente xy  existe. 
 
 
Exemplos de derivadas: 
 
1) Dada a função ( ) 2xxf = , achar a sua derivada 
 
 ( )
x
xfxxf
xf
x 
−+
=
→
)()(
lim
0 x
xxx
x 
−+
=
→
22
0
)(
lim 
 
 ( ) ( ) xxx
x
xxxxx
xf
xx
22lim
2
lim
0
222
0
=+=

−++
=
→→
 
 
 ( ) xxf 2= 
 
 
 7 
 
 
 
3.4 - OBTENÇÃO DE ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
 
1) Derivada de uma constante 
 
 Se ( ) kxf = , então 
 
( ) 0lim
)()(
lim
00
=

−
=

−+
==
→→ x
kk
x
xfxxf
k
dx
d
x
dx
d
xx
 
 
Então, 
 
 0=k
dx
d
 
 
 
2) Derivada da função identidade 
 
Se( ) xxf = , então 
 
( ) 1lim
)()(
lim
00
=


=

−+
==
→→ x
x
x
xxx
x
dx
d
x
dx
d
xx
 
 
1=x
dx
d
 
 
 
 
3) Derivada de uma função elevada a uma potência 
 
 Seja ( ) nxxf = então 
 
( )
x
xxx
x
dx
d
x
dx
d
nn
x
n

−+
==
→
)()(
lim
0
 
 
Pelo binômio de Newton 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )  nnnnnnnn xx
n
nnnn
xx
nnn
xx
nn
xx
n
xxx 

−−−
++

−−
+

−
++=+ −−−−



21
11
321
21
21
1
1
)( 33221
 
 
( ) ( )( ) nnnn
n
n xx
n
n
xx
nnn
xx
nn
xx
nx
xx ++
−−
+
−
++=+ −−− 033221
!
!
!3
21
!2
1
!1!0
)(  
 
 
 
 8 
( ) ( )( ) nnnnnn xxx
nnn
xx
nn
xnxxxx ++
−−
+
−
++=+ −−− 33221
!3
21
!2
1
)( 
 
( )
x
xxxx
nn
xnxx
x
dx
d
nnnnn
x
n

−++
−
++
=
−−
→
221
0
!2
1
lim 
 
 
1
2
1
0
...
2
)1(
lim −
−
−
→
=












+
−
+= n
n
n
x
n nxx
xnn
nxx
dx
d
 
 
O número n pode ser um número racional, do tipo qpn = . Reunindo essas três 
últimas com outras regras restantes tem-se: 
 
 
Exemplo: 
 
23
3
3 3xx
dx
d
dx
xd
dx
yd
xy ==== , 
 
isto é, 
 
 23 3xx
dx
d
= 
 
( )
( ) ( )
( )xg
x
xfxxf
xfy
dx
dy
x
=

−+
===
→0
lim onde ( )xg é uma nova função de x 
 
 
 
Exercícios Propostos: 
 
 Derivar as funções ( )xfy = dadas abaixo utilizando a expressão geral para 
funções elementares, isto é, se 
 
 
( )
dx
du
nu
dx
dy
xuyse nn == 
 
 
a) ( ) xxxf 42 += em um ponto genérico Resposta: 42 += x
dx
dy
 
 
b) ( ) 12 3 −= xxf no ponto ( )15,2=P Resposta: 24=
dx
dy
 
 
 
 
 9 
c) ( )
x
xf
2
= no ponto ( )1,2=P Resposta: 
2
1
=
dx
dy
 
 
d) ( )
3
7
−
−=
x
xf em um ponto genérico Resposta: 
( ) 23
7
−
=
xdx
dy
 
 
f) ( )
2
2
x
xf = em um ponto genérico Resposta: 
3
2
xdx
dy −
= 
 
g) 
2
3
2
3 xx
y += no ponto ( )7,2=P Resposta: 
2
15
=y 
 
h) 3 xy = em um ponto genérico Resposta: 
3 23
1
x
y = 
 
i) ( ) ( )832 −= xxf em um ponto genérico Resposta: ( ) ( )73216 −= xxf 
 
j) ( ) )16().
1
3( −+= x
x
xxf no ponto ( )20,1=P Resposta: ( ) 30= xf 
 
k) ( )
3
2
13





 +
=
x
x
xf em um ponto genérico Resposta: ( ) 




 +





 +
−=
3
2
2
2313
3
x
x
x
x
xf 
 
l ) ( ) 122 −+= xxxg em um ponto genérico Resposta: ( )
12
1
2 −+
+
=
xx
x
xg