Gabarito Prova 2 Calculo 1

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NOTA
Prof Sergio Ventura (Demat/ICE) – 2020.1
Nome: Matŕıcula:
Gabarito 2 de IC241 – Cálculo I (T4 e T5)
Questão 1. © Calcule as derivadas de:
(0,5 pontos) ppxq :“ senn x ¨ cosnx;a) (0,5 pontos) qpxq :“
b
x `
a
x ` ?x.b)
Resposta. a) Pela regra da derivada do produto junto com a regra da cadeia, temos
p1pxq “ psenn xq1 ¨ cosnx ` senn x ¨ pcosnxq1
“
`
n ¨ senn´1 x ¨ cosx
˘
¨ cosnx ` senn x ¨ p´n ¨ sennxq
“ n ¨ senn´1 x ¨ pcosx ¨ cosnx ´ senx ¨ sennxq
“ n ¨ senn´1 x ¨ cospn ` 1qx.
b) Usando (repetidamente) a regra da cadeia:
q1pxq “ 1
2
´
x `
a
x ` ?x
¯´1{2 d
dx
´
x `
a
x ` ?x
¯
“ 1
2
´
x `
a
x ` ?x
¯´1{2
ˆ
1 ` 1
2
px ` ?xq´1{2 d
dx
px ` ?xq
˙
“ 1
2
´
x `
a
x ` ?x
¯´1{2
ˆ
1 ` 1
2
px ` ?xq´1{2
ˆ
1 ` 1
2
x´1{2
˙˙
.
Questão 2. © (1 ponto) Seja hpxq :“ x2 ` ax ` b, para todo x. Determine os valores de a e b para os quais a
reta y “ 2x seja tangente à curva de h no ponto p2, 4q.
Resposta. Como a inclinação da reta tangente à curva de h é dada por h1pxq “ 2x` a, de modo que h1p2q “ 4` a, para
que a reta y “ 2x seja tangente à curva de h no ponto p2, 4q, devemos ter 2 “ 4 ` a, donde a “ ´2. Por outro lado, para
que o ponto p2, 4q pertença à curva de h, devemos ter
4 “ hp2q “ p2q2 ` a ¨ 2 ` b “ 4 ´ 4 ` b,
donde b “ 4.
Questão 3. © Dada fpxq :“ x
1 ` x2 , determine:
(0,5 pontos) os pontos x tais a derivada se anula;a)
(1 ponto) os intervalos onde o sinal de f 1 é positivo e onde é negativo;b)
(1 ponto) os intervalos onde o sinal de f2 é positivo e onde é negativo;c)
(1,5 pontos) o esboço do gráfico de f .d)
Resposta. a) Calculando a derivada, temos:
f 1pxq “ 1 ` x
2 ´ xp2xq
p1 ` x2q2
“ 1 ´ x
2
p1 ` x2q2
,
donde concluimos que a derivada se anula em x “ ˘1.
b) O sinal de f 1 depende do sinal de 1 ´ x2. Logo, temos
f 1pxq ă 0, para 1 ă x2 e f 1pxq ą 0 para 1 ą x2,
isto é,
f 1pxq ă 0, para |x| ą 1 e f 1pxq ą 0 para |x| ă 1.
c) Como
f2pxq “ p´2xq
`
1 ` x2
˘2 ´
`
1 ´ x2
˘
2
`
1 ` x2
˘
2x
p1 ` x2q4
“ ´2x
`
1 ` x2
˘
´ 4x
`
1 ´ x2
˘
p1 ` x2q3
“ 2x
`
x2 ´ 3
˘
p1 ` x2q3
,
logo segue que
f2pxq ą 0 para x ą
?
3 ou ´
?
3 ă x ă 0 e f2pxq ă 0 para x ă ´
?
3 ou 0 ă x ă
?
3.
d) Por fim, note que dom pfq “ R, fp0q “ 0, f é ı́mpar e que lim
xÑ˘8
fpxq “ lim
xÑ˘8
1
1
x
` x “ 0. Portanto,
´6 ´4 ´2 2 4 6
´0.5
0.5
x
y
fpxq
Questão 4. © Calcule os limites:
(1 ponto) lim
xÑ0
x ´ tan x
x ´ senx ;a) (1 ponto) limxÑ1{2´
lnp1 ´ 2xq
tan πx
.b)
Resposta. a) Como temos uma indeterminação do tipo 0
0
, aplicando uma vez a regra de L’Hôpital:
lim
xÑ0
x ´ tanx
x ´ senx “ limxÑ0
1 ´ sec2 x
1 ´ cosx “ limxÑ0
1 ´ 1
cos2 x
1 ´ cosx “ limxÑ0
cos2 x ´ 1
cos2 x ¨ p1 ´ cosxq “ ´ limxÑ0
cosx ` 1
cos2 x
“ ´1 ` 1
1
“ ´2.
b) Como temos uma indeterminação do tipo 88 , aplicando uma vez a regra de L’Hôpital:
lim
xÑ1{2´
lnp1 ´ 2xq
tanπx
“ lim
xÑ1{2´
´2
1 ´ 2x ¨
1
π sec2 πx
“ ´ 2
π
¨ lim
xÑ1{2´
cos2 πx
1 ´ 2x
“ ´ 2
π
¨ lim
xÑ1{2´
2pcosπxqp´π senπxq
´2
“ ´ 2
π
¨
ˆ
2 ¨ 0 ¨ p´π ¨ 1q
´2
˙
“ 0,
onde o penúltimo limite é uma indeterminação do tipo 0
0
, donde aplicamos (novamente) a regra de L’Hôpital.
Questão 5. © (2 pontos) Dados n número reais a1, a2, . . . , an, provar que a soma
n
ÿ
i“1
px´aiq2 é mı́nima quando
x é a média aritmética de a1, a2, . . . , an.
Resposta. Seja spxq :“ px ´ a1q2 ` px ´ a2q2 ` ¨ ¨ ¨ ` px ´ anq2. Logo,
spxq “
`
x2 ´ 2a1x ` a21
˘
`
`
x2 ´ 2a2x ` a22
˘
` ¨ ¨ ¨ `
`
x2 ´ 2anx ` a2n
˘
“ nx2 ´ 2pa1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` anqx ` pa21 ` a22 ` ¨ ¨ ¨ ` a2nq,
isto é, o gráfico de s é uma parábola com concavidade para cima. Portanto, seu (único) ponto cŕıtico é minimizador global.
Mas
s1pxq “ 2nx ´ 2pa1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` anq,
donde, imponto s1pxq “ 0, obtemos
x “ a1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` an
n
.