Aula 9 - Radicais - Papirando

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ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
No capítulo de “Números Inteiros” tivemos 
o primeiro contato com os radicais. Vale 
lembrar que: 
nn A b b A   , com n N e n 2 . 
Naquele capítulo, trabalhamos apenas com 
raízes exatas. Neste, vamos aprender as 
operações e propriedades. 
 
IMPORTANTE 
Gostaria de abordar um assunto que 
confunde muito os alunos do Ensino 
Fundamental e também no Médio. Você 
saberia me responder o valor de 4 ? 
Muitos dirão 2 ou – 2. Vamos mostrar que 
esse resultado é incompatível com o que 
estudamos no capítulo “Conjuntos”. Você 
concorda que 4 é um número real? Claro 
que sim, não é mesmo? Como vimos no 
capítulo sobre conjuntos, há uma 
correspondência biunívoca entre os 
elementos do conjunto IR, dos números 
reais e os pontos da reta numerada, ou seja, 
a cada número real está associado um 
único ponto e vice-versa. Portanto, se 4 
fosse 2 ou – 2, o número real 4 estaria 
associado a dois pontos distintos na reta 
numerada, o que seria, no mínimo, 
contraditório! Assim sendo, quando 
trabalhamos com raízes de índices pares de 
números não negativos, devemos 
considerar a raiz aritmética, sem o 
respectivo sinal. Logo, temos 4 2 , 
9 3 , 16 4 e assim por diante. 
 
Note que na definição da raiz: 
nn A b b A   , lê-se, "se raiz n A b , 
então nb A ". Cuidado com a sua 
recíproca: n nb A A b   , em que 
lemos: "se nb A , então n A b , só é 
válida para radicais com índices ímpares. 
Poxa, agora complicou! Não entendi nada 
do que você quis dizer! Calma, querido 
leitor, vou explicar direitinho! 
Pela definição: 24 2 2 4   , o que é 
uma definição correta! 
Porém  
2
2 4 4 2     é uma 
afirmação falsa! pois, como dissemos, as 
raízes de índices pares são aritméticas. 
Muitos utilizam essa recíproca para 
justificar essa interpretação incorreta da 
definição. 
 
EXPOENTE FRACIONÁRIO 
Todo número elevado a um expoente 
fracionário é igual a um radical, cujo índice 
é o denominador do expoente e cujo 
radicando é o número elevado ao 
numerador do expoente. 
a
b abx x 
Exemplos: 
a) 
2
3 2 335 5 25  
b)    
3
3 7772 2 8     
c) 
5
9 5 9x x 
 
PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
1ª) Para extrair a raiz de uma potência, 
dividimos o expoente da potência pelo 
índice da radical. 
Exemplos: 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
a) 
15
3 15 53a a a  
b) 7 14 23 3 9  
 
Obs.: Caso a divisão não seja exata, o 
quociente será o expoente do fator que 
sairá do radical, enquanto que o resto será 
o expoente do fator que ficará sob o radical. 
n np q ra a a  
onde: 
 
 
Exemplos: 
a) 5 513 2 13x x x  
b) 3 311 3 2 33 2048 2 2 2 8 4    
 
Obs.: Quando o expoente do fator que se 
encontra no radicando é menor do que o 
índice, tal fator não poderá ser extraído do 
radical. 
Exemplos: 
Os radicais abaixo não admitem extração 
de qualquer fator. 
a) 7 6x 
b) 23 4x y 
 
2ª) A raiz de um produto é igual ao produto 
das raízes dos fatores. 
n n na b a b   
Observação Importante: 
No caso em que o índice n é par, os 
números a e b devem ser não negativos. 
 
 
 
Exemplos: 
a) 5 53 354x 4 x  
b) 33 7 7 2 23 3 3327x 27 x x x x 3x x     
 
3ª) A raiz de uma divisão é igual à raiz do 
dividendo dividida pela raiz do divisor. 
n
n
n
a a
b b
 
Neste caso, também é válida a observação 
feita na 2ª propriedade. 
Exemplos: 
a) 
144 144 12
2, 4
25 525
   
b) 
56 6 5
5
3 3 35 5
3x 3x x 3x
4y 4y 4y
  
 
4ª) Quando multiplicamos ou dividimos o 
índice do radical e o expoente do radicando 
por um mesmo número diferente de zero, a 
raiz não se altera. 
Exemplos: 
a) 6 6 2 34 4 2 2x x x   
b) 5 5x6 303 3x6 18a a a  
 
Observações Importantes: 
A raiz de índice par de um número negativo 
não é um número real. 
 
Exemplo ilustrado 
Supondo-se que tal procedimento fosse 
possível no conjunto R, teríamos, por 
exemplo: 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
4 x  
x² 4!  
 
O que seria impossível no conjunto dos 
números reais, pois toda potência de 
expoente par nunca é negativa e, portanto, 
não há nenhum número que elevado ao 
quadrado, dê – 4, o que confirma a nossa 
observação. O número x em questão, não é 
um número real, e sim um número 
chamado de complexo, e sua determinação 
é objeto de estudo no Ensino Médio. 
 
RADICAIS SEMELHANTES 
Chamamos de radicais semelhantes 
àqueles que apresentam o mesmo índice e 
o mesmo radicando. 
Exemplos: 
São semelhantes os radicais. 
a) 35 x e 37 x 
b) 342 x y ; 34
3
x y
4
 e 34 x y 
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
I) Adição e Subtração 
Só podemos somar ou subtrair radicais 
semelhantes. Para isto, devemos conservar 
a parte irracional (radical) e operar 
algebricamente os coeficientes. 
Exemplos: 
a)  3 3 3 37 2 4 2 7 4 2 11 2    
b)  5 5 5 53 a 8 a 3 8 a 5 a     
c)  5 2 3 2 7 2 5 3 7 2 9 2      
 
 
 
II) Multiplicação e divisão 
Só podemos multiplicar ou dividir radicais 
que apresentem os mesmos índices. Neste 
caso devemos conservar o índice comum e 
multiplicar ou dividir os radicandos. 
Quando os índices forem diferentes 
devemos, antes de proceder tais operações, 
reduzi-los ao mesmo índice, como veremos 
em seguida às operações. 
Exemplos: 
a)  
2
5 33 3 5
20
3 3 x
5
   
b)    
323 5 75 x x x 2  
 
III) Potência 
Para elevarmos um radical a um expoente. 
devemos conservar o índice e elevar o 
radicando a esse expoente. 
Exemplos: 
a)    
2 25 53 3 6 55x x x x x   
b)  
3
7 37 72 2 8  
 
IV) Raiz 
Para extrair a raiz de um radical, devemos 
conservar o radicando e multiplicar os 
índices. 
Exemplos: 
a) 3 5 15a a 
b) 124 23 6129 9 3 3   
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
REDUÇÃO DE RADICAIS AO 
MESMO ÍNDICE 
Há casos, como na multiplicação e divisão 
de radicais, em que é necessário que os 
radicais possuam os mesmos índices. 
Quando tal fato não ocorre, devemos 
reduzi-los ao mesmo índice. Para isto, 
devemos seguir alguns procedimentos: 
1°) Calculamos o MMC entre os índices. 
2°) Dividimos o MMC encontrado pelo 
índice de cada um dos radicais. 
3°) Multiplicamos cada resultado obtido 
pelo expoente do respectivo radicando. 
Exemplo: 
Reduzir ao mesmo índice os radicais 3 2a , 
a e 4 3a 
Resolução: 
Calculamos o MMC dos índices: 
MMC (3, 2, 4) = 12 
Vamos dividir o MMC pelos índices: 
12
4
3
 
12
6
2
 
12
3
4
 
Vamos multiplicar o índice e o expoente de 
cada radicando pelos quocientes 
encontrados, ordenadamente: 
3 3 4 122 2 4 8a a a   
2 62 121 1 6 6a a a   
4 34 123 3 3 9a a a   
 
Eureka! Aí estão os radicais com os 
mesmos índices. 
 
 
 
INTRODUÇÃO DE UM FATOR 
EM UM RADICAL 
Já aprendemos no início do capítulo a 
extrair, quando possível, um fator de um 
radical. Agora vamos aprender como 
introduzir um fator em um radical. Neste 
caso, basta multiplicar o radicando do 
radical pelo fator elevado ao índice. 
n nnb a a b  
Exemplos: 
a) 23 2 2 3 18   
b) 
52 3 3 105y x x y  
 
RACIONALIZAÇÃO DE 
DENOMINADORES 
É matematicamente incorreto deixarmos 
um radical em um denominador. Por isto 
devemos eliminá-lo, sem, no entanto, 
alterar o valor da fração. Assim sendo, 
devemos multiplicar o numerador e o 
denominador da fração dada por um 
mesmo fator convenientemente escolhido 
de modo a eliminar o radical. Tal fator é 
chamado de fator racionalizante, e o 
processo que permite acabamos com o(s) 
radical(is) do denominador, sem alterar a 
fração, é chamado de racionalização. Em 
seguida vamos abordar os três casos mais 
importantes. 
 
1° Tipo: O denominador é composto por 
um único radical, que tem índice 2. 
O fator racionalizante é o próprio radical. 
b b a b a
aa a a

 

 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
Exemplos: 
a) 
3 3 2 3 2
22 2 2
 

 
b) 
5 5 2 5 2
42 2 2 2 2

 
2° Tipo: O denominador é composto por 
um único radical de índice diferente de 2. 
O fator racionalizante, neste caso, tem o 
mesmo índice que o radical do 
denominador, porém o seu radicando é 
igual à base do radicando do radical do 
denominador elevada à diferença entre o 
índice e o seu expoente original. 
n nn p n p
n n n np p n p p n p
n n nn p n p n p
n np n p n
b b a b a
a a a a a
b a b a b a
aa a
 
 
  
 

  
 
  
 
Exemplos: 
a) 
5 55 2 3
5 5 55 52 2 5 2 2 3
5 5 53 3 3
5 52 3 5
3 3 x 3 x
x x a x a
3 x 3 x 3 x
xx x x


 
  
 
  

 
 
Nota: É óbvio, que com a prática, o leitor 
poderá "pular" algumas das passagens 
anteriores, agilizando, com isto, o processo. 
b) 
7 4 7
7 7 7 73 3 4
5 5 5 2 5 16
28 2 2 2

  

 
 
3° Tipo: O denominador é composto pela 
soma ou diferença de radicais de índices 2. 
Neste caso, o fator racionalizante é o 
conjugado do denominador, que é obtido 
trocando-se o sinal entre os termos que o 
compõem. 
 
   
 
   
 
2 2
c a bc
a b a b a b
c a b c a b
a ba b
 
 
   
   
 

 
Exemplos: 
a) 
 
   
 
   
 
2 2
5 7 35
7 3 7 3 7 3
5 7 3 5 7 3
47 3
 
 
   
  
 

 
 
b) 
 
   
 
6 7 16
7 1 7 1 7 1
6 7 1
7 1
6
 
 
   

  
 
 
RADICAL DUPLO 
Um radical da forma A B é chamado 
de radical duplo. Em alguns casos ele pode 
ser escrito de uma forma mais simples, em 
outros não. Consideremos a hipótese 
abaixo como viável. 
A B x y   , com x y . 
O nosso objetivo será determinar, se 
possível, os valores de x e y. Para isto, 
comecemos elevando ambos os membros 
ao quadrado. 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
   
2 2
A B x y   
A B x y 2 xy    
A B x y 4xy    
Para que dois números irracionais sejam 
iguais, devemos ter as partes racionais 
iguais e os radicandos iguais. Daí: 
x y A  
B
4xy B xy
4
   
Devemos encontrar dois números de soma 
A e produto 
B
4
. Lembrando do capítulo 
“Equações do 2° grau”, podemos compor a 
equação do 2° grau: 
x² S x P 0    
B
x² A x 0
4
    
   
2 B
A A 4 1
4x
2 1
      


 
2A A B
x
2
 
 
 
Fazendo-se 2A B C  , temos: 
Como x y , concluímos que 
A C
x
2

 e 
A C
y
2

 e, portanto, 
A C A C
A B
2 2
 
   
lembrando que 2C A B  . 
No caso de 2A B não ser exata, o radical 
duplo não pode ser expresso sob a forma 
de radicais mais simples. 
Exemplos: Simplifique 
a) 7 13 
Resolução: 
A = 7 e B = 13 
Então: 2 2C A B 7 13 36 6      
7 6 7 6 13 1
7 13
2 2 2 2
 
     
 
b) 11 4 6 11 96   
Resolução: 
A = 11 e B = 96 
Temos: 2 2C A B 11 96 25 5      
11 5 11 5
11 4 6
2 2
8 3 2 2 3
 
   
   
 
 
PROCESSO DE EXTRAÇÃO DA 
RAIZ QUADRADA DE UM 
NÚMERO 
Exemplo ilustrativo: 
Extrair a raiz quadrada de 21.609 
1°) Dividir o número em classes de dois 
algarismos, a começar pela direita (a 
última classe à esquerda pode ter um só 
algarismo). 
2.16.09 
2°) Procurar a raiz do maior quadrado 
contido na última classe à esquerda. 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
Escrever esta raiz à direita do número 
proposto; depois subtrair o seu quadrado 
da classe que se opera e ao lado do resto, 
abaixar a classe seguinte; 
 
3°) Separar por um ponto o primeiro 
algarismo à direita do número assim 
formado e dividir a parte que resta à 
esquerda pelo dobro da raiz encontrada; 
escrevendo o quociente ao lado do dobro 
da raiz (tal quociente deve ser no máximo 
igual a 9). 
 
4°) Verificar se o quociente é satisfeito: 
escreva o dobro da raiz acompanhada do 
quociente encontrado. Multiplique esse 
número pelo quociente. Subtraia esse 
produto do número que se opera. 
 
5°) Se a subtração for possível, o quociente 
é o segundo algarismo da raiz; escrever à 
direita do precedente; caso contrário, o 
quociente deve ser diminuído de uma ou 
várias unidades até obtermos um produto 
menor ou igual ao número que está sob a 
raiz. 
 
6°) Abaixar a classe seguinte ao lado do 
resultado da última subtração e operar 
sobre o número resultante, utilizando o 
mesmo procedimento dos itens 3°, 4° e 5°. 
Continuar assim até com esgotarem as 
classes a abaixar. 
 
Observações: 
1) Depois de baixar uma classe e separar 
um algarismo à direita, pode acontecer que 
o número restante à esquerda seja inferior 
ao dobro da raiz obtida. Nesse caso, é 
preciso escrever um zero na raiz e baixar a 
classe seguinte. 
2) Para se tirar a prova da extração da raiz 
quadrada, é preciso multiplicar por si 
mesmo o número encontrado como raiz e, 
se houver resto, somá-lo ao produto para 
obter o radicando. 
Assim, se n é a raiz por falta de um número 
x, e r é o resto encontrado, vale a relação: 
x n² r  
Exemplo: 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
Na determinação de raiz quadrada de um 
número, encontra-se 25 e resto 29. Qual 
era o número? 
Resolução: 
Número: x 
Raiz: n = 25 
Resto: r = 29 
x n² r  
2x 25 29  
x 654 
 
RAIZ QUADRADA COM ERRO 
INFERIOR A 𝟏
𝐝
 
Obtermos a raiz quadrada de um número N 
"a menos de 
1
d
", é o mesmo que calculá-la 
com erro inferior a 
1
d
. Para isto, devemos 
calcular a raiz por falta de produto 2N d , 
dividindo o resultado por d. Ou seja: 
2N d
N
d

 
Exemplos: 
a) Determinar a 8 menos de 0,1. 
Resolução: 
N = 8 
1 1
0,1 d 10
d 10
    
2N d
N
d

 
28 10 800 28
8 2,8
10 10 10

    
Cálculos: 
 
 
Observação: Como a raiz não foi exata 
(houve resto 0 ), 28 é a raiz por falta, 
enquanto que 29 é a raiz por excesso. 
 
b) Determinar o valor de 18112 , com erro 
inferior 4. 
Resolução: 
N = 18112 
1 1 1
4 d
1d 4
4
    
2N d
N
d

 
2
1
18112
4 1
18112 4 18112
1 16
4
 
  
 
     
4 1132 4 33 132    
 
Cálculos: 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
RESTO MÁXIMO NA 
EXTRAÇÃO DE UMA RAIZ 
QUADRADA 
Consideremos dois números naturais 
consecutivos N e N + 1. Os seus quadrados 
são 2N e  
2
N 1 , respectivamente. A 
diferença entre esses quadrados é 
 
2 2N 1 N 2N 1    . Portanto, se 
adicionarmos 2N + 1 ao quadrado perfeito 
2N , obteremos o próximo quadrado 
perfeito  
2
N 1 . Assim sendo, o maior 
número que podemos adicionar a 2N sem 
obtermos o próximo quadrado perfeito 
(N+ 1), é 2N. Este é o resto máximo na 
extração de uma raiz quadrada. 
 
2 2Resto máximo N 1 N 1 2N     
Daí, concluímos que o resto máximo, neste 
caso, é o DOBRO DA RAIZ. 
Exemplo: 
Na extração da raiz quadrada por falta de 
um número x, encontrou-se 18 e o resto foi 
o maior possível. Calcule o valor de x. 
Resolução: 
 
Resto máximo 2 18 36   
2x 18 36  
x 360 
 
Observação: 
No caso da raiz cúbica o maior resto 
possível será: 
 
3 3 2Resto máximo N 1 N 1 3N 3N      
Exemplo: 
Qual o resto máximo que podemos obter na 
extração da raiz cúbica de um número em 
que se encontra 26 como raiz? 
Resolução: 
Raiz: N = 26 
Resto máximo 2 23N 3N 3 26 3 26 2106       
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Simplifique os radicais, considerando a, 
b, c, x, y e z são números reais não 
negativos, n N e n 2 . 
a) 
6a 
b) 
12 4x 
c) 
5 8x 
d) 
3 126 
e) 
n 2n5 
f) 
4 64 
g) 324 
h) 2500 
i) 
3 216 
j) 
3 3888 
 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
2) Desenvolver as potências a seguir, 
simplificando ao máximo o resultado. 
a) 
1
225 
b) 
1
38 
c) 
0,516 
 
3) Reduzir ao mesmo índice os seguintes 
radicais: 
a) 
4 26 35, 9, 3 
b) 
3 42, 5, 3 
 
 
4) Efetuar as operações abaixo, 
simplificando ao máximo os resultados. 
a) 
3 4 3 
b) 
5 3 18 
c) 
4 3 2a 
 
5) Racionalizar os denominadores abaixo: 
a) 
1
2 
b) 
11
5 3 
 
6) Escrever as raízes a seguir, sob a formade soma ou diferença de dois radicais. 
a) 6 11 
b) 7 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA 
RADICAIS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. 3. 
a) a³ a) 12 12 1225, 6561, 729 
b) 3 x b) 12 12 1264, 625, 27 
c) 5 3x x 4. 
d) 46 a) 
12 3 
e) 25 b) 
30 18 
f) 2 2 c) 
12 a 
g) 18 5. 
h) 50 
a) 
2
2 
i) 6 
b) 
5 3
2

 
j) 36 18 6. 
2. 
a) 
11 1
2 2

 
a) 5 
b) 
13 1
2 2

 
b) 2 
c) 4