Aula 21 - Cilindros - Papirando

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GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
DEFINIÇÃO 
 
Consideremos dois planos paralelos 
distintos  e  , um círculo C, pertencente 
ao plano a e uma reta r não paralela a  . 
 
Denominamos cilindro circular ou 
simplesmente cilindro à reunião de todos 
os segmentos paralelos a r que possuem 
um dos extremos num ponto qualquer de C 
e outro extremo em  . 
 
As bases de um cilindro são os círculos C e 
C’. 
Chamamos geratriz qualquer um dos 
segmentos paralelos a r que possuem um 
extremo na circunferência de C. A reunião 
de todas as geratrizes constitui a superfície 
lateral do cilindro. 
A distância entre os planos  e  que 
contém as bases é a altura do cilindro. 
 
CILINDRO RETO 
 
Quando as geratrizes são perpendiculares 
às bases, temos um cilindro reto. Caso 
contrário, o cilindro é oblíquo. 
 
Cilindro Reto 
 
CILINDRO DE REVOLUÇÃO 
 
O sólido gerado pela revolução completa de 
um retângulo em torno de um de seus lados 
é chamado cilindro de revolução. 
A base do retângulo gerador é o raio (R) da 
base do cilindro, enquanto o lado que gera 
a superfície lateral do cilindro é a geratriz 
(g), que representa a própria altura (h) do 
cilindro. 
 
A reta r, que contém o lado em torno do 
qual foi feita a revolução, é o eixo do 
cilindro. 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
SEÇÕES 
 
A seção transversal (paralela às bases) de 
um cilindro circular é um círculo 
congruente às bases. 
A seção meridiana (contém o eixo do 
cilindro) de um cilindro circular é um 
paralelogramo, e, no caso do cilindro de 
revolução, é um retângulo cuja base é o 
diâmetro da base do cilindro e cuja altura é 
igual a altura do cilindro. 
 
Quando a seção meridiana é um quadrado, 
o cilindro é chamado cilindro equilátero. 
Para que isto ocorra, devemos ter h = 2R. 
 
Área Lateral 
A superfície lateral de um cilindro reto de 
altura h e raio da base R pode ser 
planificada segundo um retângulo de base 
2 R e altura h, como mostra a figura a 
seguir: 
 
Assim sendo, a área lateral do cilindro é 
equivalente à área do retângulo, ou seja: 
L
S 2 Rh 
Área total 
A área total de um cilindro é igual à área 
lateral acrescida das áreas das bases, que 
são dois círculos. Então: 
T
S 2 Rh 2 R²   
 TS 2 R h R  
Volume 
Pelo princípio de Cavalieri, antes 
enunciado, dado um cilindro, é sempre 
possível obter um prisma com a base 
apoiada no mesmo plano que ele, com a 
mesma área da base e altura e, assim, 
consequentemente, com o mesmo volume. 
Portanto: 
 
 
CILINDRO PRISMA
V V 
CILINDRO B
V S h  
CILINDRO
V R²h 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Exemplo: 
Determinar a área lateral, a área total e o 
volume de um cilindro gerado pela 
revolução de um retângulo com 3 cm de 
base e 4 cm de altura. 
Resolução: 
 
L
S 2 Rh 2 3 4      
L
S 24 cm² 
   TS 2 R h R 2 3 4 3       
T
S 42 cm² 
V R²h 3² 4     
V 36 cm³ 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Um cilindro circular reto, de altura 
igual a 
2
3
 do raio da base e de 12 𝑐𝑚² de 
área lateral, possui raio da base igual a 
_____𝑐𝑚. 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
2) Um cilindro equilátero tem 196 cm² 
de área lateral. O raio da base desse 
cilindro mede_____𝑐𝑚. 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
3) Um cilindro de 18 𝑐𝑚 de altura e raio da 
base igual a 5 𝑐𝑚 contém água até a metade 
de sua altura. Por algum motivo, houve 
necessidade de despejar essa água em um 
outro cilindro com 40 𝑐𝑚 de altura, cujo 
raio da base mede 4 𝑐𝑚. 
 
Considerando 3  , o valor que mais se 
aproxima da altura atingida pela água no 
segundo cilindro é 
a) 14 𝑐𝑚 
b) 16 𝑐𝑚 
c) 20 𝑐𝑚 
d) 24 𝑐𝑚 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
4) Um cilindro equilátero cuja geratriz 
mede 8 𝑐𝑚, tem área lateral igual a _______
 cm² . 
a) 128 
b) 64 
c) 32 
d) 16 
 
5) Um cilindro de altura 𝐻 = 5 𝑐𝑚 e raio 
da base 𝑅 = 4 𝑐𝑚, tem volume 𝑉= ________
 cm³ . 
a) 50 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
 
6) A diagonal da secção meridiana de um 
cilindro equilátero mede 10 2 cm . A área 
lateral desse cilindro, em 𝑐𝑚², é 
a) 250 
b) 200 
c) 100 
d) 50 
 
7) Um retângulo, de lados 2 𝑚 e 5 𝑚, gira 
360° em torno de seu maior lado. A área 
lateral do sólido obtido, em 𝑚², é 
a) 10 
b) 20 
c) 10 
d) 20 
 
8) Um cilindro equilátero é equivalente a 
um cone, também equilátero. Se o raio da 
base do cone mede 3 cm , o raio da base 
do cilindro mede, em cm, 
a) 3 
b) 
3 12
2
 
c) 
3 6
3
 
d) 6 
 
9) O raio da base de um cilindro equilátero 
e a aresta de um cubo são congruentes. A 
razão entre as áreas totais do cilindro e do 
cubo é 
a) 2 
b) 4 
c)  
d) 2 
 
10) Um prisma quadrangular regular 
está circunscrito a um cilindro equilátero. 
Se a aresta da base do prisma mede 4 𝑐𝑚, 
então o volume do cilindro, em 𝑐𝑚³, é 
a) 16 
b) 12 
c) 8 
d) 4 
 
11) Num cilindro circular reto, o 
diâmetro da base mede 8 𝑐𝑚 e a geratriz, 
10 𝑐𝑚. A área lateral desse cilindro, em 
𝑐𝑚², é 
a) 160 
b) 80 
c) 80 
d) 40 
 
12) Se um cilindro reto está circunscrito 
a uma esfera de raio 𝑅, então a razão entre 
a área da superfície esférica e a área total 
do cilindro é 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
a) 1 
b) 
1
2
 
c) 
2
3
 
d) 
4
5
 
 
13) A área da secção paralela ao eixo de 
um cilindro circular reto, de 8 𝑚 de altura 
e 1 𝑚 de raio, feita a 0,6 𝑚 do eixo, em 𝑚², 
é 
a) 16,00 
b) 12,80 
c) 6,40 
d) 8,60 
 
14) A secção meridiana de um cilindro 
equilátero tem 4 2 cm de diagonal. O 
volume do cilindro, em 𝑐𝑚³, é de: 
a) 16 
b) 24 
c) 32 
d) 54 
 
15) Dobrando-se a altura de um cilindro 
circular reto e triplicando o raio de sua 
base, pode-se afirmar que seu volume fica 
multiplicado por: 
a) 6 
b) 9 
c) 12 
d) 18 
e) 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. c 9. c 
2. c 10. a 
3. a 11. b 
4. b 12. c 
5. d 13. b 
6. c 14. a 
7. d 15. d 
8. b 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Um cilindro circular reto, de altura 
igual a 
2
3
 do raio da base e de 12 𝑐𝑚² de 
área lateral, possui raio da base igual a 
_____𝑐𝑚. 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
Resolução: 
A área lateral é dada por: 
L
2 4
A 12 2 r h 2 r r r²
3 3
   
 
       
 
 
r² 9 r 3 cm    
Gabarito: “c”. 
 
2) Um cilindro equilátero tem 196 cm² 
de área lateral. O raio da base desse 
cilindro mede_____𝑐𝑚. 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
Resolução: 
No cilindro equilátero, a seção meridiana 
forma um quadrado, portanto, a altura é o 
dobro do raio. Posto isso: 
 LA 196 2 r (h) 2 r 2r 4 r²         
r² 49 r 7 cm    
Gabarito: “c”. 
 
3) Um cilindro de 18 𝑐𝑚 de altura e raio da 
base igual a 5 𝑐𝑚 contém água até a metade 
de sua altura. Por algum motivo, houve 
necessidade de despejar essa água em um 
outro cilindro com 40 𝑐𝑚 de altura, cujo 
raio da base mede 4 𝑐𝑚. 
 
Considerando 3  , o valor que mais se 
aproxima da altura atingida pela água no 
segundo cilindro é 
a) 14 𝑐𝑚 
b) 16 𝑐𝑚 
c) 20 𝑐𝑚 
d) 24 𝑐𝑚 
Resolução: 
O volume de água no primeiro cilindro é 
igual ao volume de água no segundo: 
1 2
V V 
2 2
1 1 2 2
R h R h   
2 2
1 1 2 2
R h R h  
Sendo 
1 2 1
18
R 5 cm, R 4 cm, h 9 cm
2
    
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
2 2
25 9
(5)²9 (4)² h h 14,0625 14 cm
16

       
Gabarito: “a”. 
 
4) Um cilindro equilátero cuja geratriz 
mede 8 𝑐𝑚, tem área lateral igual a _______
 cm² . 
a) 128 
b) 64 
c) 32 
d) 16 
Resolução: 
No cilindro equilátero a seção meridiana 
forma um quadrado. Portanto, a altura do 
cilindro mede o dobro do raio da base 
H 2R . Sendo a área lateral dada por: 
l
H
S 2 R H 2 H H²
2
  
 
      
 
 
Perceba que a geratriz de um cilindro mede 
a própria altura dele, portanto: H 8 cm 
Então: 
l
S H² (8)² 64 cm²      
Gabarito: “b” 
 
5) Um cilindro de altura 𝐻 = 5 𝑐𝑚 e raio 
da base 𝑅 = 4 𝑐𝑚, tem volume 𝑉= ________
 cm³ . 
a) 50 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
Resolução: 
O volume do cilindro é dado por: 
cil
V R² h (4)² (5) 80 cm³       
Gabarito: “d”. 
 
6) A diagonal da secção meridiana de um 
cilindro equilátero mede 10 2 cm . A área 
lateral desse cilindro, em 𝑐𝑚², é 
a) 250 
b) 200 
c) 100 
d) 50 
Resolução: 
No cilindro equilátero a seção meridiana 
forma um quadrado. A diagonal do 
quadrado mede D L 2 , logo: 
10 2 L 2 L=10 cm  
O lado 𝐿 mede o dobro da medida do raio 
da base do cilindro L 2r r 5 cm   
e o lado 𝐿 representa a altura do cilindro 
h L 10 cm  
Sendo assim, a medida da área lateral do 
cilindro é dada por: 
l
S 2 r h 2 (5) (10) 100 cm²       
Gabarito: “c”. 
 
7) Um retângulo, de lados 2 𝑚 e 5 𝑚, gira 
360° em torno de seu maior lado. A área 
lateral do sólido obtido, em 𝑚², é 
a) 10 
b) 20 
c) 10 
d) 20 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Resolução: 
O retângulo irá definir um cilindro em que 
o seu eixo de rotação será a altura e o outro 
lado será o raio da base, logo, ℎ = 5 𝑚 e 𝑟 = 
2 𝑚. 
l
S 2 r h 2 (2) (5) 20 m²       
Gabarito: “d”. 
 
8) Um cilindro equilátero é equivalente a 
um cone, também equilátero. Se o raio da 
base do cone mede 3 cm , o raio da base 
do cilindro mede, em cm, 
a) 3 
b) 
3 12
2
 
c) 
3 6
3
 
d) 6 
Resolução: 
Sólidos equivalentes são aqueles que 
possuem o mesmo volume. Logo, o volume 
do cone e do cilindro são iguais. Lembre 
também das definições de cilindro e cone 
equilátero, a seção meridiana destes forma, 
respectivamente, um quadrado e um 
triângulo equilátero. Sendo assim: 
cone con con
3
h (2R ) 3R
2
   
cil cil
h 2R 
Sendo assim: 
con cil
V V 
2 2
con con cil cil
1
R h R h
3
     
   2 2con con cil cil1 R 3R R 2R3    
3 3
con cil
3
R 2R
3
  
3 3
cil con
3
R R
6
   
 
3
3
cil
3 9 3
R 3
6 6 2
    
3
3
cil
3 12
R
2 2
   
Gabarito: “b”. 
 
9) O raio da base de um cilindro equilátero 
e a aresta de um cubo são congruentes. A 
razão entre as áreas totais do cilindro e do 
cubo é 
a) 2 
b) 4 
c)  
d) 2 
Resolução: 
Lembre-se da definição de cilindro 
equilátero, a seção meridiana forma um 
quadrado. Sendo assim: 
cil cil
h 2R 
Segundo o enunciado: 
cil cubo
R L d  
Sendo assim, calculamos a área superficial 
do cilindro conforme: 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
2
cilindro lat base cil cil cil
S S 2S 2 R h 2 R     
2 2
cil cil cil cil
2 R (2R ) 2 R 6 R 6 d²       
cilindro
S 6 d² 
A área superficial do cubo é dada por: 
2
cubo cubo
S 6 L 6d²   
Então a razão entre as áreas vale: 
cilindro
cubo
S 6 d²
S 6d²

  
Gabarito: “c”. 
 
10) Um prisma quadrangular regular 
está circunscrito a um cilindro equilátero. 
Se a aresta da base do prisma mede 4 𝑐𝑚, 
então o volume do cilindro, em 𝑐𝑚³, é 
a) 16 
b) 12 
c) 8 
d) 4 
Resolução: 
Na base do cilindro temos a seguinte 
situação: 
 
O lado da base do prisma mede 
cil
2r 4 R 2 cm   é o raio da base do 
cilindro. 
Lembre-se da definição de cilindro 
equilátero, a seção meridiana forma um 
quadrado. Sendo assim: 
cil cil
h 2R 4 cm  
Então o volume do cilindro é dado por: 
2
cil cil cil
V R h (2)² (4) 16       
Gabarito: “a”. 
 
11) Num cilindro circular reto, o 
diâmetro da base mede 8 𝑐𝑚 e a geratriz, 
10 𝑐𝑚. A área lateral desse cilindro, em 
𝑐𝑚², é 
a) 160 
b) 80 
c) 80 
d) 40 
Resolução: 
No cilindro dado, o raio da base mede 
R 4 cm . E a área lateral do cilindro é 
calculada como: 
l
S 2 R h 2 (4) (10) 80 cm²       
Gabarito: “b”. 
 
12) Se um cilindro reto está circunscrito 
a uma esfera de raio 𝑅, então a razão entre 
a área da superfície esférica e a área total 
do cilindro é 
a) 1 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
b) 
1
2
 
c) 
2
3
 
d) 
4
5
 
Resolução: 
Na situação dada, temos a seguinte seção 
meridiana: 
 
cil esf
R R R  
cil esf
H 2R 2R  
Sendo assim: 
2
esf esf
cil cil cil cil
S 4 R
S 2 R (R H )


 

 
2R² 2R² 2
R(R 2R) 3R² 3
  

 
Gabarito: “c”. 
 
13) A área da secção paralela ao eixo de 
um cilindro circular reto, de 8 𝑚 de altura 
e 1 𝑚 de raio, feita a 0,6 𝑚 do eixo, em 𝑚², 
é 
a) 16,00 
b) 12,80 
c) 6,40 
d) 8,60 
Resolução: 
Na situação dada, a altura da face gerada 
pelo plano é a mesma altura do cilindro, 
mas devemos descobrir o comprimento da 
base. Observe a seguinte figura que mostra 
a visão superior do cilindro: 
 
O segmento BD representa o plano que 
secciona o cilindro. 
Perceba que aplicando Pitágoras no 
triângulo 𝐴𝐵𝐶, obtemos que BC 0,8 m . 
Logo, 
L
0,8 L=1,6 m
2
  
A área do plano é dada por: 
S B h (8) (1,6) 12,8 m²     
Gabarito: “b”. 
 
14) A secção meridiana de um cilindro 
equilátero tem 4 2 cm de diagonal. O 
volume do cilindro, em 𝑐𝑚³, é de: 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CILINDRO 
/mestreviana /canalmestreviana 
a) 16 
b) 24 
c) 32 
d) 54 
Resolução: 
Primeiramente, lembremos que a secção 
meridiana de um cilindro equilátero forma 
um quadrado. Sendo assim, a diagonal de 
um quadrado de lado 𝑙 é dada por: 
D l 2 4 2 l 4 cm    
O diâmetro 𝑑 da base do cilindro mede 
l 4 cm e a altura ℎ do cilindro mede 
l 4 cm . 
Então calcularemos o volume do cilindro, 
conforme: 
cil
d² (4)²
V h (4) 16 cm³
4 4
 
     
Gabarito: “a”. 
 
15) Dobrando-se a altura de um cilindro 
circular reto e triplicando o raio de sua 
base, pode-se afirmar que seu volume fica 
multiplicado por: 
a) 6 
b) 9 
c) 12 
d) 18 
e) 36 
Resolução: 
 Sabemos que o volume de um 
cilindro é obtido pela seguinte equação: 
2
c b
V r h   
Portanto, temos que se triplicamos o raio 
da base 
b b
r' 3r e dobramos a altura 
h' 2h , obtemos então: 
'
c b
V r' ² h'   
'
c b
V (3r )² (2h)   
' 2
c b
V 18 r h   
'
c c
V 18V 
Logo, o volume duplica. 
Gabarito: “d”.