Aula 3 e 6 - Tri+óngulos e Ceviana - Papirando

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GEOMETRIA PLANA 
TRIÂNGULOS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
DEFINIÇÃO 
Triângulo é o polígono que possui três 
lados. 
CLASSIFICAÇÃO 
1. Quanto aos lados 
a) equilátero 
Apresenta os três lados e os três ângulos 
respectivamente congruentes. 
 
b) isósceles 
Apresenta dois lados e dois ângulos 
respectivamente congruentes. Todo 
triângulo equilátero é isósceles. 
Em um triângulo isósceles o lado diferente 
(quando existe) é chamado de base, o 
vértice a ele oposto é o vértice principal e 
os ângulos adjacentes à base, chamados de 
ângulos de base, são congruentes. Na 
figura: 
Base: BC . 
Vértice principal: A. 
Ângulos da base: B , C 
 
c) Escaleno 
Apresenta os três lados e ângulos 
diferentes. 
 
2. Quanto aos ângulos 
a) Retângulo 
Apresenta um ângulo reto. Os outros dois 
ângulos são agudos e complementares 
 
  90º   
Obs.: O lado oposto ao ângulo reto é 
chamado hipotenusa e os outros dois, 
catetos. 
b) Acutângulo 
Apresenta os três ângulos agudos. 
 
c) obtusângulo 
Apresenta um ângulo obtuso. Os outros 
dois ângulos são agudos. 
 
 
 
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TRIÂNGULOS 
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CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA 
DE UM TRIÂNGULO 
"A medida de cada lado de um triangulo 
deve ser menor que a soma e maior que o 
módulo da diferença dos outros dois.” 
|b c | a b c
| a c | b a c
| a b | c a b
   
   
   
 
 
Exemplos: 
1) Verifique quais triângulos, com lados 
dados abaixo, existem. 
a) 7, 8 e 13 
b) 5, 12 e 6. 
c) 6, 6 e 6. 
d) 6, 9 e 15. 
 
Resolução: 
Como conhecemos os valores dos três 
supostos lados, basta, ao invés de 
aplicarmos as duas condições, verificar se o 
maior “lado” é estritamente menor do que 
a soma dos outros dois. Em caso afirmativo 
o triângulo existe, em caso contrário não 
existe. 
a) Maior valor = 13 
13 < 7 + 8 
O triângulo de lados 7, 8 e 13 existe 
 
b) Maior valor = 12 
12 > 5 + 6 
O triângulo de lados 5, 12 e 6 não 
existe 
 
c) Maior valor = 6 
6 < 6 + 6 
O triângulo de lados 6, 6 e 6 existe e 
é equilátero 
 
d) Maior valor = 15 
15 = 6 + 9 
O triângulo de lados 6, 9 e 15 não 
existe 
 
2) Determine os valores inteiros de x 
para que o triângulo da figura abaixo 
exista. 
 
Resolução: 
Como neste caso não podemos precisar 
qual é o maior lado, já que não sabemos o 
valor de x, devemos aplicar as duas 
condições de existência. 
x 2 8 5
x 2 8 5
x 11
x 1
   

  
 


 
Logo  x 2,3,4,5,6,7,8,9,10 . 
 
 
 
 
 
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TRIÂNGULOS 
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TEOREMA 
ANGULAR DE THALES 
 
“Em todo triângulo, a soma dos ângulos 
internos é Igual a 180°." 
  A B C 180º   
 
CONSEQUÊNCIA DO TEOREMA 
ANGULAR DE THALES 
"Cada ângulo externo de um triângulo é 
igual à soma dos dois ângulos internos não 
adjacentes." 
  x A B  
 
CEVIANA DE UM TRIÂNGULO 
Chama-se ceviana do um triângulo 
qualquer reta que contém um vértice e 
intersecta o lado oposto ou o seu 
prolongamento. 
PRINCIPAIS CEVIANAS 
1. ALTURA DE UM TRIÂNGULO 
É a ceviana perpendicular a um lado ou a 
seu prolongamento. 
 
AH é a altura relativa ao lado BC . 
2. MEDIANA 
É a ceviana que liga o vértice ao ponto 
médio do lado oposto. 
 
AM é mediana relativa ao lado BC . 
 
3. BISSETRIZ INTERNA 
É a ceviana que divide o ângulo interno em 
dois ângulos adjacentes congruentes. 
 
AR é bissetriz interna do ângulo A . 
4. BISSETRIZ EXTERNA 
É a ceviana que divide o ângulo externo em 
dois ângulos adjacentes congruentes. 
 
 
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AS é bissetriz externa do ângulo A . 
 
Atenção: 
Mediatriz é toda reta perpendicular ao lado 
que contém o seu ponto médio, não 
necessariamente passando pelo vértice, daí 
não ser considerada ceviana. 
 
MN é mediatriz do lado BC . 
 
 
 
1) As três alturas de um triângulo 
encontram-se em um mesmo ponto 
chamado de ORTOCENTRO, as três 
medianas no BARICENTRO, as três 
bissetrizes internas no INCENTRO, e as três 
bissetrizes externas encontram-se, duas a 
duas, nos EX-INCENTROS, e as mediatrizes 
encontram-se no CIRCUNCENTRO. 
2) O incentro é o centro da circunferência 
inscrita no triângulo, enquanto que o 
circuncentro é o centro da circunferência 
nele circunscrita. Daí, o incentro é o ponto 
equidistante dos lados do triângulo, e o 
circuncentro equidista de seus vértices. 
3) Em um triângulo acutângulo, o 
ortocentro está em seu interior, já no 
obtusângulo ele está em seu exterior, 
enquanto que no triângulo retângulo, ele 
coincide com o vértice do ângulo reto. 
4) O triângulo cujos vértices são os pés das 
alturas de um triângulo, é chamado de 
triângulo órtico. O triângulo retângulo é o 
único que não possui triangulo órtico. 
5) O baricentro divide cada mediana em 
dois segmentos aditivos que estão sempre 
na razão 2:1, ou seja, a distância do vértice 
ao baricentro vale sempre o dobro da 
distância do baricentro até o lado. 
 
G é baricentro 
AG 2 GM  
6) Em um triângulo isósceles chamamos de 
altura principal àquela relativa à base, a 
qual é também mediana, mediatriz e 
bissetriz, simultaneamente. 
7) Em um triângulo equilátero, o incentro, 
o baricentro, o ortocentro e o circuncentro 
são coincidentes. 
8) Em todo triângulo, o ângulo formado 
pelas bissetrizes internas de dois de seus 
ângulos vale sempre 90° mais a metade do 
terceiro ângulo interno. 
Se liga no bizu! 
 
 
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 Ax 90º
2
  
9) Em todo triângulo, o ângulo formado 
pelas bissetrizes de dois de seus ângulos 
externos, vale sempre 90° menos a metade 
do ângulo interno localizado no terceiro 
vértice. 
 
 Ax 90º
2
  
10) Em todo triângulo, o ângulo formado 
por uma bissetriz interna e outra externa, 
traçadas de vértices diferentes, vale 
sempre a metade do ângulo interno 
localizado no terceiro vértice. 
 
 Ax
2
 
Exemplos: 
Dados um triângulo MNP de ângulos 
M 30º , N 70º e P 80º , determine: 
a) o ângulo  formado pelas bissetrizes 
internas de M e N ; 
b) o ângulo  formado pelas bissetrizes 
externas de M e P ; 
c) o ângulo  formado pela bissetriz 
interna do N com a bissetriz externa 
de P . 
 
Resolução: 
a) 
P 80º
90º 90º 130º
2 2
      . 
b) 
N 70º
90º 90º 55º
2 2
      . 
c) 
M 30º
15º
2 2
    . 
11) Em todo triângulo retângulo, o ângulo 
formado pela altura e pela mediana, 
relativas à hipotenusa, vale sempre a 
diferença entre as medidas dos ângulos 
agudos do triângulo. 
 
  
AH altura
AM mediana
x | B C |


 
 
12) Em todo triângulo, o ângulo formado 
pela altura e pela bissetriz interna, 
traçadas de um mesmo vértice, vale 
sempre a semi-diferença entre os ângulos 
internos localizados nos outros vértices. 
 
 
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  
AH altura
AS bissetriz
| B C |
x
2




 
CONGRUÊNCIA 
DE TRIÂNGULOS 
 
1º caso (LLL) - São congruentes dois 
triângulos que tem os três lados 
respectivamente congruentes. 
 
2º caso (LAL) - São congruentes dois 
triângulos que têm um ângulo congruente 
compreendido entre dois lados 
respectivamente congruentes. 
 
3º caso (ALA) - São congruentes dois 
triângulos que têm um lado congruente 
compreendido entre dois ângulos 
respectivamente congruentes. 
 
4º caso (LAA) - São congruentes dois 
triângulos que têm um lado congruente, e 
dois ângulos respectivamente 
congruentes, sendo um deles oposto ao 
lado congruente. 
 
Obs.: O símbolo de congruência é  . Assim, 
como os pares de triângulos acima são 
congruentes, podemos escrever que: 
ABC ' A' B'C'  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Determine o perímetro de um triângulode lados 3 cm, 5 cm e 6 cm. 
 
2) Os lados de um triângulo são expressos, 
em centímetros, por 2x 1 , 4x 2 e x 9 . 
Determine a medida do maior lado, 
sabendo que o perímetro do triângulo 
vale 29 cm. 
 
3) A base de um triângulo isósceles e um 
outro lado, estão na razão 2 para 3. Se o 
perímetro do triângulo vale 40 cm, 
determine as medidas de seus lados. 
 
4) O perímetro de um triângulo isósceles 
mede 16 cm. O comprimento da base 
vale 
3
5
 da soma dos outros lados que são 
iguais. A base mede: 
a) 5 cm 
b) 6 cm 
c) 8 cm 
d) 10 cm 
e) 12 cm 
 
5) Um triângulo isósceles tem lados iguais a 
7 e 16. Calcule o perímetro do triângulo. 
 
6) Quais os valores possíveis para x 
sabendo que 10, 8 e x 3 são lados de um 
triângulo? 
 
7) Classifique, quanto aos lados e ângulos, 
os triângulos cujos ângulos medem: 
a) 30°, 70° e 80° 
b) 30°, 60° e 90° 
c) 40°, 40° e 100° 
d) 60°, 60° e 60° 
e) 45°, 45° e 90° 
f) 20°, 80° e 80° 
 
8) Classifique, quantos aos lados e ângulos, 
o triângulo cujos ângulos são expressos 
por 2x 10º , x 30º e x 20º . 
 
9) Em um triângulo, dois ângulos medem 
43° 19’ 37” e 54° 52’ 49”. Determine a 
medida do outro ângulo. 
 
10) Os ângulos internos de um triângulo 
são expressos por 3x 3º , 2x 1º e x 40º . 
Determine-os. 
 
11) Os ângulos da base de um triângulo 
isósceles são expressos em graus por 
4x 10º e 2x 40º . Determine a medida do 
ângulo do vértice. 
 
12) Os ângulos internos de um triângulo 
são expressos em graus por números 
pares e consecutivos. Calcule-os. 
 
13) Determine as medidas dos ângulos 
de um triângulo, sabendo que elas são 
inversamente proporcionais a 1,2 e 6. 
 
14) Na figura abaixo, determine o valor 
do S a b c    . 
Hora do papiro! 
 
 
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15) Determinar a soma dos ângulos 
assinalados nas figuras a seguir 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
16) Em um triângulo ABC, a soma das 
medidas dos ângulos externos em A e B 
vale 260°, enquanto que a soma das 
medidas dos ângulos externos em A e C 
vale 220°. Determine os ângulos 
internos desse triângulo. 
 
17) Na figura, as retas r e s são paralelas. 
 
A medida y é igual a: 
a) 70° 
b) 80° 
c) 90° 
d) 100° 
e) 110° 
 
18) Em um triângulo ABC, o ângulo A 
está para o ângulo B assim como 7
3
. 
Enquanto que o ângulo B está para o 
ângulo C , assim como 3
5
. Determine a 
medida do menor ângulo externo desse 
triângulo. 
 
19) Na figura abaixo AB AC . Calcule a 
medida do ângulo x. 
 
 
 
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20) Em um triângulo ABC, um ponto D 
do lado BC é equidistante dos três 
vértices do triângulo. Classifique, quanto 
aos ângulos, esse triângulo. 
 
21) Qual é o único triângulo cujo 
circuncentro pertence a um dos seus 
lados? 
 
22) Se em um triângulo, um dos ângulos 
é o dobro da soma dos outros dois, 
podemos garantir que seu ortocentro é 
interior, exterior ou pertence a um de 
seus lados? 
 
23) Um triângulo não possui triângulo 
órtico. Determine as medidas de seus 
ângulos, sabendo-se que um deles é a 
quinta parte da soma dos outros. 
 
24) Considere o triângulo ABC da figura. 
Se a bissetriz interna do ângulo B forma 
com a bissetriz externa do ângulo C um 
ângulo de 50°, determine a medida do 
ângulo interno A . 
 
 
25) Em um triângulo isósceles as 
bissetrizes dos ângulos da base formam 
um ângulo que equivale ao triplo do 
ângulo principal. Determine os ângulos 
desse triângulo. 
 
26) Num triangulo ABC,  B C 90º  . 
Calcular o menor dos ângulos formados 
pela bissetriz interna AD com BC . 
 
27) Em um triângulo ABC as bissetrizes 
internas dos ângulos B e C formam um 
ângulo  4x 30º   e as bissetrizes 
externas de B e C formam um ângulo 
 x 10º   . Determine o valor de x. 
 
28) Determine os ângulos obtusos 
formados em torno do incentro de um 
triângulo ABC, no qual tem-se A 60º e 
B 70º . 
 
29) Em um triângulo MNP, temos 
M 80º e P 70º . Determine a medida do 
ângulo formado pela bissetriz interna do 
ângulo M com a altura que parte do 
vértice M. 
 
30) Em um triângulo retângulo, o maior 
ângulo é o quíntuplo do menor. 
Determine a medida do ângulo formado 
pela altura e mediana traçadas do vértice 
do ângulo reto. 
 
31) Na figura abaixo, AH é altura e AM é 
mediana, relativa à hipotenusa. 
Sabendo-se que a altura e a mediana 
fazem um ângulo de 14°, determine os 
ângulos B e C do triângulo. 
 
 
 
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32) Em um triângulo retângulo, a altura 
e bissetriz relativas à hipotenusa 
formam um ângulo de 18°. Quanto mede 
o maior dos ângulos agudos? 
 
33) Em um triângulo ABC, o ângulo 
formado pela altura e pela bissetriz 
interna traçadas do vértice B, mede 5°, 
enquanto que aquele formado pela 
altura e pela bissetriz interna traçadas 
do vértice A, mede 10°. Determine os 
ângulos desse triângulo. 
 
34) Em um triângulo isósceles, um dos 
ângulos é o triplo do outro. Sabendo-se 
que o ortocentro desse triângulo é 
interior a ele, determine a medida de seu 
menor ângulo interno. 
 
35) Em um triângulo ABC, os pontos M, 
N e P são, respectivamente, os pontos 
médios dos lados BC , AC e AB . Os 
segmentos AM , BN e CP intersectam-se 
no ponto R. Sabendo-se que AR 10 , 
RN 6 e CP 12 , determine a soma das 
medidas dos segmentos RM , BR e RP . 
 
36) Em um triângulo isósceles ABC, de 
base BC igual 7 cm, a soma das medianas 
relativas aos lados iguais é 18 cm. Sendo 
G o ponto de encontro dessas medianas, 
determine o perímetro do triângulo GBC. 
 
37) No interior de um triângulo 
isósceles ABC, constrói-se um triângulo 
equilátero BCD. O ângulo A , ângulo 
principal do triângulo ABC, é igual ao 
dobro do ângulo ABD . Determine a 
medida do ângulo A. 
 
38) Na figura abaixo, as retas r e s são 
paralelas. Sabendo- se que AC AE e 
BE BD , determine a medida do ângulo 
CED . 
 
 
39) Na figura abaixo, o triângulo ABC é 
isósceles, de base BC e o triângulo DEF é 
equilátero. Determine a medida do 
ângulo x , em função de y e z . 
 
40) Na figura tem-se AB AC e CD CE
. Determine x. 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. 14 cm 16. 60°, 40° e 80° 
2. 12 cm 17. C 
3. 10 cm, 15 cm e 15 
cm 
4. A; B; D 19. 30° 
5. 39 20. Retângulo 
6. – 1 < x < 15 21. Retângulo 
7. 22. Exterior 
a. Escaleno e 
acutângulo 
23. 30°, 60° e 90° 
b. Escaleno e 
retângulo 
24. 100° 
c. Isósceles e 
obtusângulo 
25. 36°, 72° e 72° 
d. Equilátero e 
acutângulo 
26. 45° 
e. Isósceles e 
retângulo 
27. 40° 
f. Isósceles e 
acutângulo 
28. 115°, 120° e 125° 
8. Escaleno e 
obtusângulo 
29. 20° 
9. 81° 47’ 34” 30. 54° 
10. 72°, 45° e 63° 31. 52° e 38° 
11. 40° 32. 63° 
12. 58°, 60° e 62° 33. 60°, 70° e 50° 
13. 108°, 54° e 18° 
34. 
3
25º 42' 51 "
7 
14. 130° 35. 21 
15. 36. 19 cm 
a. 110° 37. 30° 
b. 360° 38. 90° 
c. 180° 
39. 
 y zx
2



 
d. 360° 40. 60° 
e. 900° 
18. 36°