divisibilidade

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Critérios de divisibilidade 
Para verificar se um número é divisível por outro, devemos 
efetuar uma divisão muitas vezes lenta e trabalhosa. Existem, porém, algumas regras que 
nos permitem verificar rapidamente se um número é divisível por outro, sem efetuar a 
divisão. 
Vejamos algumas dessas regras: 
Um número é divisível por 2 quando é par. 
Exemplos: 12 é divisível por 2 porque é par. 
360 é divisível por 2 porque é par. 137 
não é divisível por 2 porque não é par. 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3. 
Exemplos: 207 é divisível por 3, pois a soma 2 + .0 + 7 = 9é divisível por 3. 
7 458 é divisível por 3, pois a soma 7 + 4 + 5+8 = 24é divisível por 3. 1 
438 não é divisível por3, pois a soma 1 + 4 + 3 + 8 = 16 não é 
divisível por 3. 
Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos 
do número é divisível por 4, 
Exemplos: 1 800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
4 116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
 3 850 não é divisível por 4, pois não termina em 00, e 50 não é divisível por 4. 
Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for zero ou 5. 
 Exemplos: 405 é divisível por 5, porque o algarismo das unidades é 5. 340 é divisível 
por 5, porque o algarismo das unidades é 0. 51 3 não é divisível por 5, pois o 
algarismo das unidades não é 0 ou 5. 
Um número é divisível por 6 quando é divisível simultaneamente por 2 e por 3, 
Exemplos: 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 
5 214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 
(soma: 12). 716 não é divisível por 6 (é divisível por 2, mas 
não é divisível por 3). 
Divisibilidade por 7 (método prático) Tomar o último algarismo , calcular seu dobro, subtrair esse 
resultado do número formado pelos algarismos restantes. Se o resultado for divisível por 7 então, o 
número original também será divisível por 7 
Ex. 1: 238\8.2 = 16; 23 -16 = 7 como 7 é divisível por 7; 238 também é 
divisível. 
Ex.2: 693\3.2 = 6;69 - 6 = 63, como 63 é divisível por 7; 693 também é 
divisível. 
 
 
Um número é divisível por 8 quando o número formado 
pelos três últimos algarismos do número é divisível por 8. 
Exemplos: 7 000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
56 104 é divisível por 8, pois 1 04 é divisível por 8. 
78 164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9, 
Exemplos: 207 é divisível por 9, pois a soma 2 + .0 + 7 = 9 que é divisível por 9. 
7488 é divisível por 3, pois a soma 7 + 4 + 8+8 = 27é divisível por 9. 
1 438 não é divisível por 9, pois a soma 1 + 4 + 3 + 8 = 16 não é 
divisível por 9. 
Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades for zero. 
Exemplos: 450 é divisível por 10, porque o algarismo das unidades é 0. 
 340 é divisível por 10, porque o algarismo das unidades é 0. 
 5 1 3 não é divisível por 10, pois o algarismo das unidades não é 0. 
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par com a 
soma dos algarismos de ordem ímpar for um múltiplo de 11. 
 Exemplos:. 
► Verifique se o número 87 549 é divisível por 1 
1. Temos que: 
Número: 8 7 5 4 9 SI(soma das ordens impares) = 9 + 5 + 8= 22 
Ordens: 5a4a 3a 2a 1a Sp (soma das ordens pares)= 4 + 7 = - 1 1 
 11 
Como 11 é divisível por 11, então o número 87 549 é divisível por 11. 
►Verifique se o número 439 087 é divisível por 11. 
 Temos que: Número: 4 3 9 0 8 7 SI(soma das ordens impares) = 4 + 9 + 8= 2 1 
 Ordens: 6ª 5a 4a 3a 2a 1a Sp (soma das ordens pares)= 3 + 0 + 7 = - 1 0 
 11 
Um número é divisível por 1 2 quando é divisível simultaneamente por 3 e por 4 
Exemplos: 
• 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 e por 4 . 
• 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 
• 340 não é divisível por 1 2 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3). 
Um número é divisível por 1 5 quando é simultaneamente divisível por 3 e por 5. 
Exemplos: 
• 1 0 5 é divisível por 1 5, porque é divisível por 3 (soma = 6) e por 5 (termina em 5). 
• 324 não é divisível por 1 5 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 
• 530 não é divisível por 1 5 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3). 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
1) 0 número 1 é considerado especial, não é primo nem composto (tem apenas um 
divisor). 
2) 0 único número primo par é o 2. 
3) A palavra primo significa primeiro. Os números primos são "os primeiros", pois 
outros podem ser escritos a partir deles, através de multiplicações. Um número é 
primo se possui extritamente dois divisores naturais :um e ele mesmo. 
Exemplos: 8 = 2 . 2 . 2 ; 9 = 3 . 3 ; 1 2 = 2 . 2 . 3 
Crivo de Eratóstenes 
Você já conhece os menores números primos. São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 1 7, 1 9, 
... Coube a Eratóstenes, brilhante matemático grego, a distribuição de forma ordenada da 
sucessão dos menores números primos, que recebeu o nome de "Crivo de Eratóstenes". 
O Crivo consistia num método simples para isolar os números primos num dado 
conjunto de números naturais. Os números eram dispostos em ordem crescente numa 
tábua, sendo furados os números compostos. A tábua com diversos furos tinha a 
semelhança de uma peneira, daí o nome de Crivo. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1.Determine o valor de m , para que o número 2m . 35 tenha 
18 divisores. 
2.Dado o número 23. 32. 5, calcule seu maior divisor de 
dois algarismos. 
3.Sendo D = 23 . 52 . 7n, determine n, de modo que D tenha 60 
divisores. Determine o 4.número que tem a seguinte decomposição 
em fatores primos: 22. 33. 7. 
5.Determine o menor número natural que admite 12 divisores. 
6.Calcule o número de divisores de N, sendo N = 242. 153. 92. 
7.O número N tem 27 divisores e pode ser escrito na forma N = 9 . 10m , Qual o 
número N? 
8.Determine o número de divisores naturais de 81 000. 
9.Dado o número 180, pergunta-se: 
a.Quais os divisores primos desse número? 
b.Quais os divisores compostos desse número? 
10. Sabendo-se que o número A= 23. 3 . 5n tem 24 divisores, 
pergunta-se: 
a) Qual o valor de n? b) Qual o valor de A? 
11.Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 210 a fim de se obter 
um número divisível por 126? 
12.Determine dois números que admitem 15 divisores e que possuem fatores 
primos 2 e 7. 
13.Quantos divisores possui o número N = 20 . 49 . 50 . 70? 
14.Determine o menor número natural que admite 10 divisores. 
15.Decompondo dois números, A e B, em fatores primos, obteremos: A=25. 
34 e B = 2. 32. 5.7. Qual dos dois tem mais divisores? 
 
16.Sem efetuar a potência, dê a decomposição em fatores primos de 403. 
 
17.Determine o menor número natural, não-nulo, que se deve multiplicar por 
13860 para se obter um número divisível por 2 600. 
 
 
Determine o número de vezes que o fator primo 3 aparece no produto dos 
números naturais de 1 a 60.