Resposta de Estado Nulo

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Exercício. A equação diferença abaixo representa um sistema discreto no tempo. 
y [n+2 ]−1,4 y [n+1]+0,48 y [n ]=2 x [n+2 ]−1,2 x [n]
Calcule a expressão da resposta de estado nulo.
Condições iniciais: y [−1]=1 ; y [−2]=4/5 
Sinal de entrada: x [n ]=(0,8 )nu [n ] 
Solução:
Para calcular a resposta de estado nulo deve-se calcular inicialmente a resposta ao
impulso e neste exemplo os cálculos necessários para obter esta expressão já foram
realizados e a equação obtida é dada por:
Cálculo de yzs[n] – resposta de estado nulo é a convolução entre o sinal de entrada 
x[n] e a resposta ao impulso h[n]: 
yZS [n ]=x [n]∗h [n ]
Substituindo x[n] e h[n]:
yZS[n]=0,8
nu [n] ∗ [−2,5 δ [n ] + [0,5 (0,8 )n + 4 (0,6 )n] u [n ] ]
Aplicando a propriedade distributiva:
yZS [n]=(0,8)
n u[n] ∗ (−2,5δ [n]) + (0,8)n u[n] ∗ 0,5(0,8)n u[n] + (0,8)n u[n] ∗ 4(0,6)n u[n]
Mudando a posição das constantes:
yZS [n]=−2,5(0,8)
n u[n] ∗ δ [n] + 0,5(0,8)n u[n] ∗ (0,8)n u[n] + 4(0,8)n u[n] ∗ (0,6)n u [n]
O primeiro termo é a convolução da exponencial (0,8)n com o impulso e corresponde a
primeira linha da Tabela de Somatório de Convolução.
δ[n-k]*x[n] = x[n-k] sendo k=0 que fica então o mesmo sinal x[n].
O segundo termo é a convolução de duas exponenciais com a mesma base e corresponde a 
linha 5 da Tabela de Somatório de Convolução: 
γ nu [n ] ∗ γ nu [n ]=(n+1)γ nu [n]; com γ =0,8
h [n ]=−2,5 δ [n ] + [0,5 (0,8 )n + 4 (0,6 )n ] u [n ]
O terceiro termo é a convolução de duas exponenciais com bases diferentes e corresponde a 
linha 4 da Tabela de Somatório de Convolução: 
γ 1
nu [n]∗γ 2
nu[n] =
γ 1
n+1−γ 2
n+1
γ 1−γ 2 u[n] com γ 1=0,8 e γ 2=0,6
Substituindo:
yZS[n]=−2,5(0,8)
n u [n ] + 0,5 (n+1)(0,8)n u [n] + 4[(0,8)n+1−(0,6)n+10,8−0,6 ]u [n ]
Simplificando:
yZS[n]=−2,5(0,8)
n u [n] + 0,5 (n+1)(0,8)n u [n] + 20 [(0,8)n+1−(0,6)n+1 ]u[n]
Simplificando as exponenciais em n+1 e juntando os dois termos da exponencial (0,8)n.
yZS [n]=−2,5(0,8)
n u[n] + 0,5(n+1)(0,8)n u[n] + 16 (0,8)nu[n]−12(0,6)n u[n]
yZS[n]=0,5(n+1)(0,8)
n u[n] + 13,5(0,8)n u[n]−12(0,6)n u [n]