integrais duplas e triplas

Prévia do material em texto

Sexta Feira 
 
 
 
 
 
 
Cálculo C 
 
 
 
 
 
 
16/02/2018 Integrais múltiplas 
 
Integrais Duplas e Triplas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Código: CIV002C 
 
Turma: CIV216AN 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo C 
 
 1
Integrais múltiplas 
 
Integrais duplas 
 
As integrais duplas possuem duas variáveis independentes, a serem 
integradas independentemente, e os limites de integração de uma variável 
independente podem depender da outra variável independente. 
 
Exercício: Calcular a integral dupla relativa à região ( )∫∫
D
dRxyysen onde 
( ) ( ) ( ){ }π≤≤∪≤≤ℜ∈ yxyx 020/,: 2D . 
 
Solução: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫ ∫∫∫ −−=





−==
2
1
2
0
2
0
2
0 0
0cos2coscossensen dyydyxy
y
y
dydxxyydRxyy
D
π
 
 
( ) ( )[ ] ( ) [ ] [ ] ππ
π
π
=−+−−=


 −−=−−= ∫∫∫ 0002sen2
1
12cossen
0
0
yydyydRxyy
D
 
 
Resposta: ( ) π=∫∫
D
dRxyysen . 
 
 
Exercício: Calcular a integral dupla relativa à região ∫∫ +D
dR
yx 22
2
 onde 
( ) ( ) ( ){ }xyxyx ≤≤∪≤≤ℜ∈ 021/,: 2D . 
 
Solução: ∫∫ ∫ ∫ +
=
+D
x
dydx
yx
dA
yx
2
1 0 2222
22
 
 
( )∫∫ 




 −=




 1
0
2
1
0
01arctan
1
2arctan
1
2 dx
x
dx
x
y
x
x
 
 
( ) ( ) ( )[ ] 21
2
1
ln1arctan21arctan2 x
x
dx ⋅=∫ 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]02ln1arctan21ln2ln1arctan2 −⋅=−⋅ 
 
( ) ( ) ( ) ( )2ln
2
2ln
4
22ln1arctan2
2
22
ππ =⋅




=⋅=
+∫∫D
dA
yx
 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 16/02/2018 Integrais duplas e triplas 
 
 2
Resposta: ( )2ln
2
2
22
π=
+∫∫D
dA
yx
 
 
Exercício: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide 
16zy2x 22 =++ e os planos 2=x e 2=y , e os três planos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: ( )∫∫ −−=
D
dAyxV 22 216 
 
( ) ( ) ∫∫ ∫∫∫ 





−−=−−=−−=
2
0
2
0
2
32
0
2
0
2222 2
3
16216216 dyxy
x
xdxdyyxdAyxV
D
 
 
( ) ( ) ∫∫∫ 




 −−=





+−+−−−=





−−=
2
0
22
0
2
32
0
2
0
2
3
4
3
8
3200022
3
2
2162
3
16 dyydyydyxy
x
xV
 
 
( ) ( ) 






+−−=





−=





−−=





−−= 00
3
2
42
3
88
3
4
3
88
3
4
3
896
3
4
3
8
32
32
0
3
2
0
3
2
0
3 y
y
y
y
y
yyV 
 
..48
3
144
3
32
3
176
vuV ==




 −= 
 
Exercício: Calcular a integral dupla ( )∫∫ −+
D
dAyx4 , sabendo que o domínio é 
( ){ }1,20/, 2 +≤≤≤≤ℜ∈= xyxxyxD . 
X 
Z
Y 
16
2 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo C 
 
 3
 
Solução: Donde a integral de volume ( )∫∫ −+=
D
dAyxZ 4 será: 
( ) ( ) ∫∫ ∫∫∫
+
+






−+=−+=−+=
2
0
1
22
0
1
2
444 dx
y
xyydydxyxdAyxZ
x
x
x
x
D
 
 
( ) ( ) ( )∫














−+−





 +−+++=
2
0
2
2
2
2
4
2
1
114 dx
x
xx
x
xxxZ 
 
∫∫∫∫ =


 −=


 −=





+−−−−−+++=
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
7
2
18
2
1
4
2
4
2
1
2
44 dxdxdxdx
x
xxx
x
xxxZ 
 
( ) ( ) 702
2
7
2
7 2
0
=−== xZ 
 
Exercício: Calcular a integral dupla ∫∫ −
D
dAx24 , sabendo que o domínio é um círculo de 
raio igual a dois, isto é, 2=r mas 42 22222222 =+⇒+=⇒+= yxyxyxr , donde
222 44 xyxy −±=⇒−= 
 
Solução: Então domínio será ( ){ }222 44,22/, xyxxyx −+≤≤−−≤≤−ℜ∈=D 
 
Donde a integral de volume ∫∫ −=
D
dAxV 24 será: 
 
∫∫ ∫∫∫ −
−+
−−−
−+
−−




 −=−=−=
2
2
x4
x4
2
2
2
x4
x4
2
D
2 dxyx4dydxx4dAx4V
2
2
2
2
 
 
∫∫ −− 








 −+



 −=



 



 −−



 −−



 −+



 −=
2
2
2
2
2
2
2
2
2222 dxx4x4dxx4x4x4x4V 
 
( ) ( )[ ] ( ) 


 −=−=−+−= ∫∫∫∫ −−−−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22 dxxdx42dxx42dxx4x4V 
 
( ) ( ) 










 −+




 −=















 −−−⋅−





−⋅=





−=
−
3
8
8
3
8
82
3
2
24
3
2
242
3
42
33
2
2
3x
xV 
 
..
3
64
3
16
4
3
824
4
3
8
84
3
8
822 vuV =




=




 −=




 −=










 −= 
 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 16/02/2018 Integrais duplas e triplas 
 
 4
Calcular os volumes de corpos delimitados por superfícies, dos exercícios: 
 
Exercício: Pelas superfícies 1=++
c
z
b
y
a
x
, 0=x , 0=y e 0=z . 
Solução: A projeção da superfície 




 −−=
b
y
a
x
cz 1 sobre o plano 0=z é um domínio 
regular ""D limitado pelos planos 0=x , 0=y e 




 −=
a
x
by 1 , consequentemente: 
dxdydzdxdydzdAdz
a
a
x
b
b
y
a
x
ca
a
x
b
b
y
a
x
c
D
b
y
a
x
c
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫





 − 




 −−




 − 




 −−




 −−
=








=








0
1
0
1
00
1
0
1
0
1
0
 
 
( )[ ] dxdy
b
y
a
x
cdxdyzcV
a
a
x
ba
a
x
b
b
y
a
x
c
∫ ∫∫ ∫





 −




 − 




 −−











 −−==
0
1
00
1
0
1
0 1 
 













+




 −=










 −−= ∫ ∫∫ ∫∫ ∫





 −




 −




 −
dxdy
b
y
dxdy
a
x
cdxdy
b
y
a
x
cV
a
a
x
ba
a
x
ba
a
x
b
0
1
00
1
00
1
0
11 
 
 













 −+




 −




 −=
















+




 −= ∫∫∫∫





 −




 −
dx
a
x
b
b
dx
a
x
a
x
bcdx
b
y
dxy
a
x
cV
aaa
x
b
aa a
x
b
0
22
0
1
0
0
2
0
1
0
1
2
11
2
1 
 













 −=













 −+




 −=













 −+




 −= ∫∫∫∫ dxa
xbc
dx
a
x
a
x
bcdx
a
xb
dx
a
x
bcV
aaaa
0
2
0
22
0
2
0
2
1
2
1
2
1
11
2
1 
 






+−=








+−=


 +−= ∫∫∫ 2
32
0
2
3
0
2
00
2
200 3232
2
2
12
2 a
a
a
a
a
bc
a
x
a
x
x
bc
dxx
a
dxx
a
dx
bc
V
aa
aaaa
 
 
63232 2
32 baca
aa
bc
a
a
a
a
a
bc
V =


 +−=





+−= 
 
Resposta: ..
6
vu
abc
V = . 
 
 
Exercício: Pelas superfícies 0222 =−+ axyx , 0=z e 222 zyx =+ . 
 
Resposta: ..
9
32 3 vua . 
 
Exercício: Pelas superfícies zxy = , ( ) ( ) 111 22 =−+− yx e 0=z . 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo C 
 
 5
 
Resposta: ..vuπ . 
 
Exercício: Pelas superfícies 0=z , 122 =+ yx e 3=++ zyx . 
 
Resposta: ..3 vuπ . 
 
 
Exercício: Pelas superfícies dos planos coordenados, pelo plano 01232 =−+ yx e o cilindro 
2
2
1
yz = . 
 
Resposta: ..16 vu . 
 
 
Integrais Triplas 
 
As integrais triplas possuem três variáveis independentes, a serem 
integradas independentemente, e os limites de integração de uma variável 
independente pode depender das outras variáveis independentes. 
 
Assim, como foram definidas as somas de simples e duplas de Riemann, também são 
definidas as somas triplas de Riemann que podem ser colocadas na forma de Integrais 
Triplas para funções de três variáveis independentes. Quando, por exemplo, se tem uma 
função ( )zyxf ,, pode definir-se uma caixa retangular, em torno desta, como mostra a figura 
a seguir, onde a caixa será o domínio D considerado, isto é, 
 
( ){ }szrdycbxazyx ≤≤≤≤≤≤ℜ∈= ,,/,, 3D 
 
O domínio ""D será subdividido em subcaixas onde cada uma terá um volume infinitesimal, 
zyxV ∆∆∆=∆ , para 1−−=∆ ii xxx , 1−−=∆ jj yyy , 1−−=∆ kk zzz , formando-se assim a soma 
de Riemann como segue: 
 
( ) ( ) VzyxfzyxzyxfV l
i
m
j
n
k
ijkijkijk
l
i
m
j
n
k
ijkijkijk ∆=∆∆∆≅ ∑∑∑∑∑∑ ****** ,,,, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D 
Z
X
 
Y 
Z 
X 
Y 
( )zyxf ,,
X
Z 
X
YY 
V∆ 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski16/02/2018 Integrais duplas e triplas 
 
 6
 
 
 
 
 
A integral Tripla de ( )zyxf ,, sobre o domínio ""D considerado é 
 
( ) ( ) VzyxfimdVzyxf l
i
m
j
n
k
ijkijkijk
nml
D
∆= ∑∑∑∫∫∫
= = =∞→ 1 1 1
***
,,
,,,, λ . 
 
A integral tripla sempre existe se ( )z,y,xf for contínua, e escolhendo-se o ponto amostra 
( )kji zyx ,, para cada subcaixa, ao invés de um ponto qualquer( )ijkijkijk zyx ,, , a integral tripla 
pode ser escrita na forma mais simples 
 
( ) ( ) VzyxfimdVzyxf l
i
m
j
n
k
kji
nml
D
∆= ∑∑∑∫∫∫
= = −∞→ 1 1 1,,
,,,, λ . 
 
Assim, quando a função ( )zyxf ,, é contínua no domínio retangular 
( ){ }szrdycbxazyx ≤≤≤≤≤≤ℜ∈= ,,/,, 3D , segundo o teorema de Fubini pode ser 
colocada na forma 
 
( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫∫ =
s
r
d
c
b
a
D
dxdydzzyxfdVzyxf ,,,, , 
 
onde a integral iterada do lado direito desta última expressão indica que a primeira integração 
deve ser em x ( mantendo constantes y e z ), em seguida deverá ser integrado em y e 
finalmente em z . Embora existam cinco outras ordens possíveis, as quais deverão fornecer o 
mesmo resultado. 
 
Exemplo: Obter o volume da região R no espaço 3ℜ definido pela função 
( ) 222,, zyxzyxf ++= onde o domínio é dado por 
( ){ }10,0,1/,, 23 ≤≤≤≤≤≤ℜ∈= zxyzxzyxD . 
 
Solução: 
 
( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫∫ ++=++=
1
0 1 0
222222
2z x
D
dydxdzzyxdVzyxV 
Então, 
( ) ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 





++=





++=++=
1
0 1
22
6
41
0 1 0
2
3
21
0 1 0
222
33
22 zz xz x
dxdzxz
x
xdxdzyz
y
yxdydxdzzyxV 
 
∫∫∫ ∫ 





−−−++=





++=





++=
1
0
2575
1
0 1
3275
1
0 1
22
6
4
321
1
5
1
321532153
dz
zzzz
dz
xzxx
dxdzxz
x
xV
zz
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo C 
 
 7



 −−++=





−−++=





−−++= ∫ 105
26
9
1
18
1
168
1
30
1
105
26
91816830105
26
33215
3686
1
0
2575 zzzzz
dz
zzzz
V 
 
 
..26388,0
72
19
72
19
504
133
2520
665
2520
904239
2520
6242801401584
vuVV Κ≈⇒−=−=−=−=


 −=


 −−++=
 
Exercício: Obter o volume da região R no espaço 3ℜ definido pela função 
( ) 2,, xyzzyxf = , onde o domínio é dado por 
( ){ }30,21,10/,, 3 ≤≤≤≤−≤≤ℜ∈= zyxzyxD . 
 
Solução: 
 
∫ ∫ ∫∫∫∫ −==
3
0
2
1
1
0
22 dxdydzxyzdVxyzV
D
 
 
Então, 
 
( ) ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ −−− ===
3
0
2
1
23
0
2
1
1
0
223
0
2
1
1
0
2
2
1
2
1
dydzyzdydzyzxdxdydzxyzV 
 
 
( ) ( )



=



 −=


=



== ∫∫∫∫ ∫∫ ∫ −−−
3
0
23
0
23
0
22
1
23
0
2
1
23
0
2
1
2 3
4
1
14
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
dzzdzzdzzydydzyzdydzyzV
 
 
( ) ..75,6
4
27
9
4
3
3
27
4
3
34
3
4
3
3
0
3
3
0
2 vuV
z
dzzV =⇒==


=





== ∫ 
 
 
Exercício: Obter o volume da região R no espaço 3ℜ definido pela função ( ) xz6z,y,xf = , 
onde o domínio é dado por ( ){ }10,0,0/,, 3 ≤≤+≤≤≤≤ℜ∈= zzxyzxzyxD . 
 
Solução: 
 
∫ ∫ ∫∫∫∫
+
==
1
0 0 0
66
z zx
D
dydxdzxzdVxzV 
 
Então, 
 
( ) ( )[ ]∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ +===
++ 1
0 0
1
0 1 0
1
0 0 0
666
zz zxz zx
dxdzzxxzdxdzxzydydxdzxzV 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 16/02/2018 Integrais duplas e triplas 
 
 8
( ) ∫∫∫∫∫ ∫ =




 +=





+=





+=+=
1
0
41
0
44
1
0
44
1
0
0
2
23
1
0 0
22 5
6
6
6
32
6
23
6
23
66 dzzdz
zz
dz
zz
dzz
x
z
x
dxdzxzzxV
z
z
 
..11
5
5
5
5
1
0
5
vuV
z
V =⇒==





= 
 
 
Exercícios resolvidos sobre integrais múltiplas 
 
Exercício: Calcular a integral dupla ( )∫∫ +
D
ydAx 33 onde ( ){ }xyxyxD ≤≤≤≤ℜ∈ 0,21/,: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫ ∫∫∫ +−+=+=+=+=
2
1
23232
1 0
232
1 0
33 033
2
1
3
2
1
33 dxxyxdxyxydydxxydAxI
xx
D
 
 
( ) ( ) ( )
4
35
12
105
16121
12
1
411
12
1
12
1
6
1
6
1
3
2
1 2211
4
211
4
11
4 2
22
1
23 ==−=−====+= ∫∫∫ uduux
du
xudxyxI 
 
Resposta: 
4
35=I 
 
 
Exemplo: Encontrar o volume da região R limitado pelas superfícies 22 =++ zyx e 
422 =++ zyx no primeiro octante. 
 
Solução: 
 




−−=
−−=
⇒==⇒








−−=
−−=
⇒
=++
=++
2
2
224
0
224
2
2
422
22
yx
z
yxz
yxpara
yxz
yx
z
zyx
zyx
 
 



=
−=
⇒−=⇒=−−⇒=−−⇒=
0
2
20202240
y
xy
xyyxyxzpara 
 



=
=
⇒=⇒=−⇒=
0
2
2020
x
x
xxypara 
 
e ( ) ∫∫∫ ∫ ∫ ∫
−−=
−−=
−=
=
=
=
==⇒=
D
yxz
yx
z
xy
y
x
x
dxdydzdVVzyxf
224
2
2
2
0
2
0
1,, 
 
( )∫ ∫∫ ∫
−=
=
=
=
−=
=
=
=
−−=
−−
= 









 −−−−−==
xy
y
x
x
xy
y
x
x
yxz
yx
z
dxdy
yx
yxdxdyzV
2
0
2
0
2
0
2
0
224
2
2 2
2
224 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo C 
 
 9
( )[ ] ( )∫∫ ∫∫ ∫
=
=
−=
=
−=
=
=
=
−=
=
=
= 




−−=−−=




 ++−−−=
2
0
2
0
22
0
2
0
2
0
2
0 2
336
2
1
336
2
1
2
2448 x
x
xy
y
xy
y
x
x
xy
y
x
x
dx
y
yxdxdyyxdxdy
yxyx
V
 
 
( )( ) ( ) ∫∫
=
=
=
= 


 −+−+−=


 −=−−−=
2
0
222
0
2 22
2
3
12126
2
1
2
2
3
236
2
1 x
x
x
x
dxxxxxdxxyxxV 
 
2
0
232
0
2
0
22 10
2
10
32
9
2
1
1010
2
9
2
1
1010
2
3
6
2
1






+−=




 +−=




 +−




 −= ∫ ∫
=
=
=
=
x
xx
dxxxdxxxV
x
x
x
x
 
 
 
( ) ..6
2
12
202012
2
1
210252
2
3
2
1
105
2
3
2
1 23
2
0
23 vuxxxV ==+−=




 ⋅+⋅−=


 +−= 
 
Resposta: ..6 vuV = 
 
Exercício: Obter o volume da região R no espaço 3ℜ definido pela função 
( ) zyxzezyxf 12,, = onde o domínio é dado por 
( ){ }1,10,10/,, 23 ≤≤≤≤≤≤ℜ∈= zxyxzyxD . 
 
Solução: 
 
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫ 


===
A
zy
A
zy
D
zy dAdyexzdydAexzdVxzeV
1
0
1
0
121212 
onde 
( ) ( )( ) ( )111 01
1
0
1
0
−=−==∫
zzz
yz
zy e
z
ee
zz
e
dye 
 
( ) [ ]∫ ∫∫∫ −=


 −=
1
0
1
2
1121
1
12
x
z
A
z dxdzexdAe
z
xzV 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫ ∫ −−−=−=−= 10 21
1
0
11
0
1 2
22
11212112 dxxeexdxzexdxdzexV x
x
z
x
z 
 
( )[ ]∫ +−−= 10 22112 dxxeexV x 
 



=⇒=
=⇒=
⇒





=
=
=
⇒∫ 11
00
2/
2
2
1
0
2
tx
tx
xdtdx
xdxdt
xt
dxxex 
assim, 
( )[ ] ( )[ ] ( )
1
0
21
0
1
0
2
2
1616112
2






+−−=+−−=+−−= ∫∫
t
etedtteedxxeexV ttx 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 16/02/2018 Integrais duplas e triplas 
 
 10
( ) ( ) ( ) [ ]





 +−−


 +−−=









 +−⋅−−


 +−−= 010
2
1
16
2
0
01
2
1
16 01 eeeeeeV 
 
3
2
6
1
2
1
16 ==





 ++−=V 
 
Resposta: ..3 vuV = 
\ 
 
Exercício: Encontrar o volume da região R limitado pelas superfícies 22 3yxz += e 
228 yxz −−= 
 
Solução: 
 
O volume é dado por ( )∫∫∫
D
dVzyxf ,, , 
 
a integral de ( ) 1,, =zyxf sobre D . 
 
Limites de integração em z : 22 3yxz += e 228 yxz −−= . 
 
As superfícies apresentam a interseção 4283 222222 =+⇒−−=+ yxyxyx , assim: 
 
a projeção sobre o plano XY é uma elipse com a equação 42 22 =+ yx , donde: 
 
limites de integração em y : 
2
4
2
4 22 x
y
x
y
−−=⇒−±= e 
2
4 2x
y
−+= . 
 
Quando na mesma equação 42 22 =+ yx y for nulo, isto é, 0y = tem-se: 
 
limites de integração em x : 224 −=⇒±=±= xx e 2+=x . 
 
Assim, 
 
( )
( )
∫ ∫ ∫∫∫∫ −
−+
−−
−−
+
==
2
2
24
24
8
3
2
2
22
22
x
x
yx
yx
D
dzdydxdVV 
 
Então, 
 
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ −
−+
−−−
−+
−−
−−
+−
−+
−−
−−
+
−−===
2
2
24
24
222
2
24
24
8
3
2
2
24
24
8
3
2
2
2
2
22
22
2
2
22
22
428
x
x
x
x
yx
yx
x
x
yx
yx
dydxyxdydxzdzdydxV 
 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]∫∫ −−
−+
−−






−−−−=




 −−=
2
2
2
3
222
2
2
2x4
2x4
32 dx2x4
3
8
2x4x282dxy
3
4
yx28V
2
2
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aulaCálculo C 
 
 11
 
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∫∫ −− −=




−−−=
2
2
2
3
2
2
2
2
3
22
3
2 dx2x4
3
16
dx2x4
3
8
2x48V 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]∫∫∫∫ −−−− −⋅=−=−=−=
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2 dxx4
23
28
dxx4
23
8
dx
22
1
x4
3
16
dx
8
1
x4
3
16
V 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2
2
1
22
3
22
2
2
3
2
4
x
arcsen16
8
3
8
x4x43
4
x4x
3
24
dxx4
3
24
V
+
−
−















+
−
+
−
=−= ∫ 
( ) ( )[ ] .v.u28
4
12
3
24
1arcsen6001arcsen600
3
24
V π=




 π=+−−++= 
 
 
ou 
 
( ) ( )
( )
( )




π==⇒=
π−=−=⇒−=
=⇒=
2
1arcsenu2x
2
1arcsenu2x
eduucos2dxusen2x 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ucos2ucos4usen14usen44usen4xusen2x 22222 ==−=−⇒=⇒= 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ucos2ucos4usen14usen44usen4xusen2x 22222 ==−=−⇒=⇒= 
 
( ) ( )( ) ( )duucos2ucos2
3
24
dxx4
3
24
dxx4
3
24
V
2
2
32
2
3
2
2
2
2
3
2
∫∫∫
π
π−−−
=



 −=−= 
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
4
2
2
3
32
u4sen
4
u2sen
8
u3
3
264
duucos
3
264
duucos2ucos8
3
24
V
π
π−
π
π−
π
π− 



 ++=== ∫∫ 
 
[ ] v.u28
2
2
28
22
28u2800
8
u3
3
264
V 22
2
2
π=




 π=




 π+π==




 ++= ππ−
π
π−
 
 
Exercício: Determine os limites de integração e a ordem de integração para o volume 
∫∫∫=
D
dVV , delimitado pelas superfícies 2yx1z −−= , 2yz = e 0x = . 
 
Solução: 
 
a) Cálculo dos limites de integração de z : 
 



=
−−=
⇒
2
2
yz
yx1z
 
 
b) Cálculo dos limites de integração de y igualando as duas funções z : 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 16/02/2018 Integrais duplas e triplas 
 
 12
 
2
x1
y
2
x1
yyyx1 222
−±=⇒−=⇒=−− 
 






−−=
−+=
⇒
2
1
2
1
x
y
x
y
 
 
 
c) Cálculo dos limites de integração de x fazendo 0y = , isto é, projetando sobre o eixo X : 
 
 



=
=
⇒=−⇒=−⇒−=
0x
1x
0x10
2
x1
2
x1
y2 
 
Resposta: ∫ ∫ ∫
−
−−
−−
=
1
0
2
1
2
1
1 2
2
x
x
yx
y
dzdydxV 
 
 
Exercício: Encontrar o volume da região R limitado pelo cilindro 2yz = e o plano xy que é 
limitada pelos planos 0x = , 1x = , 1y −= e 1y = . 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume é dado por ( )∫∫∫
D
dVzyxf ,, , 
 
a integral de ( ) 1,, =zyxf sobre D . 
 
Limites de integração em z : 0z = e 2yz = . 
 
Limites de integração em y : 1y −= e 1y = . 
 
Limites de integração em x : 0x = e 1x = . 
X 
Y 
Z
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo C 
 
 13
 
Assim, 
 
∫ ∫ ∫∫∫∫ −==
1
0
1
1
y
0
D
2
dzdydxdVV 
 
Então, 
 
∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ −−− ===
1
0
1
1
2
1
0
1
1
y
0
1
0
1
1
y
0
dydxydydxzdzdydxV
22
 
 
 
( ) ( ) ∫∫∫∫ ∫ =+=== −−
1
0
1
0
1
0
1
1
3
1
0
1
1
2 dx
3
2
dx11
3
1
dxy
3
1
dydxyV 
 
 
( ) .v.u
3
2
x
3
2
dx
3
2
V
1
0
1
0
=== ∫ 
 
 
Exercício: Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado 
pelo cilindro parabólico 2yx = e os planos zx = , 0=z e 1=x . 
 
 
Solução: A figura relativa ao sólido S: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As superfícies inferior e superior de S são os planos 0=z e 1=x , Assim o sólido S como 
uma região dada por: 
 
( ) ( ){ }xzxyyzyxS ≤≤≤≤≤≤−= 0,1,11/,, 2 
 
O volume é dado por ( )∫∫∫
D
dVzyxf ,, , 
a integral de ( ) 1,, =zyxf sobre D . 
 
Limites de integração em z : 0z = e 2z = . 
 
Limites de integração em y : 0y = e 2y = . 
Z
X 
Y 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 16/02/2018 Integrais duplas e triplas 
 
 14
 
Limites de integração em x : 0x = e 2y4x −= . 
 
Assim, 
 
∫ ∫ ∫∫∫∫
−
==
2
0
2
0
y4
0
D
2
dxdydzdVV 
 
Então, 
 
( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ −=== −
− 2
0
2
0
2
2
0
2
0
y4
0
2
0
2
0
y4
0
dydzy4dydzxdxdydzV
22
 
 
 
( ) ∫∫∫∫∫ ∫ =



 −=




 −=






−=−=
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
32
0
2
0
2 dz
3
16
dz
3
824
dz
3
8
8dz
3
y
y4dydzy4V 
 
 
( ) ( ) .v.u
3
32
2
3
16
z
3
16
dz
3
16
V
2
0
2
0
==== ∫ 
 
Exercício: Encontrar o volume no primeiro octante da região R limitada pelos planos 
coordenados, pelo plano 2zy =+ e pelo cilindro 2y4x −= . 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume é dado por ( )∫∫∫
D
dVzyxf ,, , 
 
a integral de ( ) 1,, =zyxf sobre D . 
 
Limites de integração em z : 0z = e 2z = . 
 
Limites de integração em y : 0y = e 2y = . 
 
Limites de integração em x : 0x = e 2y4x −= . 
Y 
Z
X 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo C 
 
 15
 
Assim, 
 
∫ ∫ ∫∫∫∫
−
==
2
0
2
0
y4
0
D
2
dxdydzdVV 
 
Então, 
 
( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ −=== −
− 2
0
2
0
2
2
0
2
0
y4
0
2
0
2
0
y4
0
dydzy4dydzxdxdydzV
22
 
 
 
( ) ∫∫∫∫∫ ∫ =



 −=




 −=






−=−=
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
32
0
2
0
2 dz
3
16
dz
3
824
dz
3
8
8dz
3
y
y4dydzy4V 
 
 
( ) ( ) .v.u
3
32
2
3
16
z
3
16
dz
3
16
V
2
0
2
0
==== ∫ 
 
 
Exercícios: 
 
Calcular as seguintes Integrais Triplas 
 
Exercício: ∫ ∫ ∫
+
=
1
0
3
0
2
0
x yx
ydzdydxI Resposta: 
2
9
 
 
Exercício: ∫ ∫ ∫
− −
=
1
0
1
0
1
0
2 2z z
xyzdydxdzI Resposta: 
8
4 2ππ −
 
 
Exercício: ∫ ∫ ∫=
1
0 0 0
5
x z
xdydzdxI Resposta: 
( )
3
3264 −π
 
 
Exercício: ∫ ∫ ∫−
−
−−
−−
+
=
3
3
39
39
18
5
2
2
22
22
y
y
yx
yx
dzdxdyV Resposta: ..327 vuπ