Relatório 3 - RLC

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – CAMPUS SOBRAL 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: CIRCUITOS 1 
PROFESSOR: SAMELIUS SILVA 
 
 
 
PRÁTICA Nº 03 
CIRCUITOS DE 2ª ORDEM (RLC) 
 
 
 
ALUNOS 
 
MATRÍCULA 
 
Valleska Gonçalves de Almeida 379111 
Yuri Beserra Mesquita 389264 
 
 
 
 
 
Sobral – CE 
2021 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 3 
2. OBJETIVOS ......................................................................................................................... 5 
3. MATERIAIS ......................................................................................................................... 5 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ............................................................................ 6 
4.1. Simulação 1 ........................................................................................................................ 6 
4.2. Simulação 2 ...................................................................................................................... 15 
4.3. Simulação 3 ...................................................................................................................... 25 
5. CONCLUSÃO .................................................................................................................... 36 
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 37 
3 
 
1. INTRODUÇÃO 
Um circuito RLC é um circuito elétrico consistindo de um resistor (R), um indutor 
(L), e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo. São usados, por exemplo, como 
filtros em sistemas de comunicação, sistemas de ignição em automóveis e em circuitos de 
desfibriladores em aplicações biomédicas. Como qualquer tensão ou corrente no circuito é 
descrita por uma equação diferencial de segunda ordem, o circuito é chamado de circuito de 
segunda ordem. Também é conhecido como circuito ressonante, por possuir uma frequência 
de oscilação própria do circuito. 
Quando qualquer sistema (mecânico, elétrico, acústico, nuclear, etc) capaz de 
oscilar, for excitado (retirado de sua condição de equilíbrio) esse sistema vai oscilar sozinho 
em uma frequência particular que se chama frequência natural do sistema. Ao se introduzir 
uma resistência elétrica, no circuito RLC o resistor oferece essa resistência, a cada oscilação, 
parte da energia é perdida na resistência, de tal forma, que o sistema (carga, corrente e 
tensões) continua oscilando, mas as amplitudes, ou valores de pico, tanto da carga, quanto da 
corrente, ou tensões, vão diminuindo, até se anularem. Tal sistema é dito amortecido. 
Quando existe um amortecimento a frequência com que o sistema vai oscilar até 
parar, é menor que sua frequência natural de oscilação. Quão menor vai depender 
basicamente da intensidade do amortecimento. Uma maneira de se manter as oscilações num 
sistema amortecido é fornecer energia periodicamente através de um gerador. A aplicação de 
uma tensão externa alternada vai produzir nesse sistema uma oscilação forçada. O importante 
é que o sistema vai oscilar (carga, corrente e tensões) na mesma frequência com que o 
gerador fornece energia. 
Quando a frequência do gerador for idêntica à frequência natural do circuito, a 
amplitude de oscilação atinge o valor máximo e essa condição é conhecida como ressonância. 
E a frequência natural do sistema é também conhecida como frequência de ressonância. A 
condição de ressonância é a condição em que a energia é mais eficientemente transferida do 
gerador para o circuito RLC. 
Na ressonância, a maior parte da energia disponível em cada ciclo vai ser 
armazenada ora no campo elétrico do capacitor (como carga), ora no campo magnético do 
indutor (como corrente), pouca ou nenhuma energia será devolvida ao gerador, embora uma 
parte seja sempre perdida na resistência. 
4 
 
Há dois tipos de circuitos RLC. O RLC em paralelo, representado na figura1 e o 
RLC em série, que pode ser visto na figura 2. 
Figura 1 - Circuito RLC em paralelo 
 
Fonte: Nilsson & Riedel, 2016. 
 
Figura 2 - Circuito RLC em série 
 
Fonte: Nilsson & Riedel, 2016. 
 
 
 
5 
 
2. OBJETIVOS 
• Compreender as diferenças e semelhanças entre os circuitos RLC em série e em 
paralelo. 
• Entender quais os tipos de resposta de um circuito RLC e como encontrá-los. 
• Aplicar conhecimentos básicos de circuitos e cálculo para desenvolver as atividades. 
3. MATERIAIS 
• Fonte de tensão independente 
• Fonte de corrente independente 
• Fonte de tensão senoidal 
• Capacitores 
• Indutores 
• Resistores 
 
 
 
 
 
 
6 
 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
4.1. Simulação 1 
Na simulação 1 é solicitada a montagem de um circuito RLC em série com fonte de 
tensão em um simulador, no caso foi escolhido o PSIM. O circuito modelo é mostrado na 
figura 3. Os dados são: C = 1 µF; L = 1,4 mH; Vg = 10 V; V(0) = 0; I(0) = 0. 
Figura 3 – Circuito RLC em série com fonte de tensão 
 
Fonte: Roteiro. 
O circuito montado no simulador é mostrado na figura 4. 
Figura 4 – Circuito montado no PSIM 
 
Fonte: Autor. 
Inicialmente, são demandadas as curvas dos gráficos da tensão no capacitor e da 
corrente no indutor para as resistências de 15 Ω, 30 Ω, 45 Ω, 60 Ω, 75 Ω e 90 Ω. As curvas 
7 
 
dos gráficos de VC e IL são mostradas da figura 5 à figura 10, com as respectivas alterações 
na resistência. 
Figura 5 - Gráficos de VC E IL para R = 15 Ω 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 6 - Gráficos de VC E IL para R = 30 Ω 
 
Fonte: Autor. 
 
 
8 
 
Figura 7 - Gráficos de VC E IL para R = 45 Ω 
 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 8 - Gráficos de VC E IL para R = 60 Ω 
 
Fonte: Autor. 
 
 
9 
 
Figura 9 - Gráficos de VC E IL para R = 75 Ω 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 10 - Gráficos de VC E IL para R = 90 Ω 
 
Fonte: Autor. 
Analisando as figuras anteriores é possível determinar o tipo de resposta através das 
curvas dos gráficos de cada uma. Da figura 5 à figura 7, referentes aos resistores de 15 Ω, 30 
Ω, e 45 Ω, a resposta é subamortecida. As figuras 8 e 9 se aproximam do criticamente 
amortecido, um bom palpite seria que a resistência necessária para o amortecimento crítico 
estaria entre 60 Ω e 75 Ω ou bem próximo disso. A última parece apresentar comportamento 
superamortecido. 
10 
 
Prosseguindo com a simulação, é solicitado o valor de R para que o gráfico 
apresente comportamento criticamente amortecido. Para que isso ocorra, a frequência de 
Nepper (α) deve ser igual a frequência angular de ressonância (ω0), ou seja: 
 𝛼 = 𝜔0 (1) 
Onde, para circuitos RLC em série, a frequência de Nepper é dada por: 
 𝛼 =
𝑅
2𝐿
 (2) 
E a frequência angular de ressonância é: 
 𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
 (3) 
Substituindo as equações (2) e (3) na equação (1), obtêm-se: 
 
𝑅
2𝐿
=
1
√𝐿𝐶
 (4) 
Isolando-se o R na equação (4): 
 𝑅 =
2𝐿
√𝐿𝐶
 (5) 
Substituindo os valores da indutância e capacitância do circuito na equação (5), 
chega-se ao valor de R. 
 𝑅 =
2 ∙ 1,4 ∙ 10−3
√1,4 ∙ 10−3 ∙ 1 ∙ 10−6
 (6) 
 𝑅 = 74,83 Ω (7) 
Nota-se que com uma resistência de 74,83 Ω, a resposta é criticamente amortecida. 
Logo, a suposição feita antes está correta, a resistência realmente está entre 60 Ω e 75 Ω. 
Porém, ela está bem mais próxima do 75 Ω, logo, o gráfico de 60 Ω é subamortecido. 
Prosseguindo com o procedimento, é solicitada a frequência de oscilação ωd do 
circuito através do gráfico. Ela pode ser obtida dividindo-se um ciclo pelo período. Cada 
ciclo equivale a 2π e o período pode ser encontrado no tempo entre dois picos do gráfico. 
11 
 
Com o auxílio de ferramentas do PSIM, é possível obter esses picos, como mostram as 
figuras 11 e 12. 
Figura 11 – Tempo do primeiro pico 
 
Fonte: Autor. 
Figura 12 – Tempo do segundo pico 
 
Fonte: Autor. 
De acordo comas figuras anteriores, o tempo do primeiro pico é em 5,23×10-5 
segundos e do segundo em 2,922×10-4 segundos. Subtraindo o último pelo primeiro obtêm-
se: 
 
 𝑇 = (2,922 × 10−4) − (5,23 × 10−5) (8) 
 𝑇 = 2,399 × 10−4 (9) 
 
Logo, a frequência de oscilação pode ser obtida por: 
 𝜔𝑑 =
2𝜋
2,399 × 10−4
 (10) 
12 
 
 𝜔𝑑 = 26190,85 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (11) 
Por fim, a frequência de oscilação encontrada foi 26190,85 radianos por segundo. O 
próximo item demanda a função da tensão nos terminais do capacitor e o seu valor em t = 0,2 
ms para comparação com o gráfico. O valor da resistência deve ser 15 Ω. Como eles estão em 
série, a corrente é única e a tensão se divide. Aplicando-se a Lei de Kirchhoff para tensões: 
 𝑉𝐿(𝑡) + 𝑉𝑅(𝑡) + 𝑉𝐶(𝑡) = 10 (12) 
A tensão no indutor é dada por: 
 𝑉𝐿(𝑡) = 𝐿
𝑑𝐼𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
 (13) 
E a tensão no resistor é dada por: 
 𝑉𝑅(𝑡) = 𝐼𝑅(𝑡) ∙ 𝑅 (14) 
Sabe-se que a corrente que atravessa todos os componentes é a mesma, portanto: 
 𝐼(𝑡) = 𝐼𝑅(𝑡) = 𝐼𝐿(𝑡) = 𝐼𝐶(𝑡) (15) 
Como a resposta é subamortecida, o formato da equação da corrente é dado por: 
 𝐼(𝑡) = 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡 cos 𝜔𝑑𝑡 + 𝐵2𝑒
−𝛼𝑡 sin 𝜔𝑑𝑡 (16) 
Onde a frequência de Nepper pode ser encontrada a partir da equação (2): 
 𝛼 =
15
2 ∙ 1,4 ∙ 10−3
 (17) 
 𝛼 = 5357,14 rad/s (18) 
Já a frequência de oscilação ωd é dada por: 
 𝜔𝑑 = √𝜔0
2 − 𝛼2 (19) 
 𝜔𝑑 = √26726,12
2 − 5357,14 2 (20) 
 𝜔𝑑 = 26183,7 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (21) 
13 
 
A constante B1 é: 
 𝐵1 = 𝐼(0) = 0 (22) 
Já B2 pode ser encontrado por: 
 
𝑑𝐼(0)
𝑑𝑡
=
𝑉𝐿(0)
𝐿
= −𝛼𝐵1 + 𝜔𝑑𝐵2 (23) 
Nota-se que é necessário descobrir o valor da tensão inicial no indutor para dar 
continuidade. Portanto será feita uma análise por meio da Lei de Kirchhoff das tensões. 
Primeiramente, devido as propriedades do capacitor, a tensão não pode variar bruscamente, 
portanto, a tensão no capacitor em t=0 é nula. A tensão no resistor pode ser encontrada pela 
Lei de Ohm: 
 𝑉𝑅(0) = 𝑅 ∙ 𝐼(0) (24) 
Como I(0) = 0, a tensão inicial no resistor é 0 também. Logo a tensão de 10 V da 
fonte é absorvida pelo indutor em t=0. A partir da equação (23), pode-se obter B2: 
 26183,7 ∙ 𝐵2 =
10
1,4 ∙ 10−3
 (25) 
 𝐵2 = 0,2728 (26) 
Com os valores das constantes obtidos, é possível encontrar a função da corrente da 
equação (16): 
 𝐼(𝑡) = 0,2728𝑒−5357,14𝑡 sin(26183,7𝑡) (27) 
Substituindo a equação (27) na equação (13) a função da tensão no capacitor pode 
ser encontrada: 
 
 𝑉𝐿(𝑡) = 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
(0,2728𝑒−5357,14𝑡 sin(26183,7𝑡)) (28) 
Resolvendo a derivada e simplificando obtêm-se: 
 𝑉𝐿(𝑡) = 𝑒
−5357,14𝑡[−2,046 sin(26183,7𝑡) + 10cos(26183,7𝑡)] (29) 
14 
 
Já a tensão no resistor pode ser encontrada substituindo a equação (27) na equação 
(14): 
 𝑉𝑅(𝑡) = 0,2728𝑒
−5357,14𝑡 sin(26183,7𝑡) ∙ 15 (30) 
 𝑉𝑅(𝑡) = 4,092𝑒
−5357,14𝑡 sin(26183,7𝑡) (31) 
Com as funções das tensões no resistor e no indutor, pode-se encontrar a tensão no 
capacitor substituindo as equações (31) e (29) na equação (12) e fazendo simplificações, 
obtêm-se: 
 𝑉𝐶(𝑡) = 10 − 𝑒
−5357,14𝑡[2,046 sin(26183,7𝑡) + 10cos(26183,7𝑡)] (32) 
Por fim, a tensão no capacitor foi encontrada. Para fins comparativos, é solicitado o 
valor dessa tensão quando t = 0,0002 s. Substituindo esse valor na equação (32), chega-se à: 
 𝑉𝐶(𝑡) = 10 − 𝑒
−5357,14∙0,0002[2,046 sin(26183,7 ∙ 0,0002) + 10cos(26183,7 ∙ 0,0002)] (33) 
 𝑉𝐶(𝑡) = 8,89181 (34) 
A figura 13 mostra a curva da tensão novamente e o seu valor quando t = 0,0002 s. 
Figura 13 – Corrente no tempo 0,2 milissegundos 
 
Fonte: Autor. 
Nota-se que a corrente obtida na simulação certifica os cálculos e o resultado obtido 
na equação (34). 
Percebeu-se que durante os cálculos algumas particularidades devem ser levadas 
como prioridades para entender o que ocorre dentro de um circuito como esse. Por exemplo 
quanto à corrente, que depende do domínio indutivo. Porém a tensão capacitiva também 
15 
 
interfere. Como os elementos do circuito estão ligados em série e a corrente é única, o indutor 
interfere nas funções de todos os outros componentes. 
4.2. Simulação 2 
A simulação 2 é pedido para montar o esquemático da figura 14. Trata-se de um 
circuito RLC em paralelo com uma fonte de corrente. A corrente da fonte é 2 A, o indutor 
tem 1,4 mH e o capacitor possui 1µF. O resistor não possui valor fixo, no decorrer da 
simulação ele será alterado. 
Figura 14 – Circuito RLC em paralelo 
 
Fonte: Roteiro. 
O primeiro item solicita os gráficos da corrente no indutor e da tensão no capacitor 
de acordo com diferentes valores da resistência. Os gráficos de VC e IL devem mudar de 
acordo com os valores de R alterando entre 10 Ω, 20 Ω, 30 Ω, 40 Ω, 50 Ω e 60 Ω. O circuito 
foi montado no simulador PSIM, como mostra a figura 15. As curvas dos gráficos de VC e IL 
são mostradas da figura 16 à figura 21, com as respectivas alterações na resistência. 
 
16 
 
Figura 15 – Circuito RLC paralelo montado no simulador PSIM 
 
Fonte: Autor. 
Figura 16 – Gráficos de VC e IL para R = 10 Ω 
 
Fonte: Autor. 
 
 
17 
 
Figura 17 – Gráficos de VC e IL para R = 20 Ω 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 18 – Gráficos de VC e IL para R = 30 Ω 
 
 
Fonte: Autor. 
 
 
18 
 
Figura 19 – Gráficos de VC e IL para R = 40 Ω 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 20 – Gráficos de VC e IL para R = 50 Ω 
 
 
Fonte: Autor. 
 
 
19 
 
Figura 21 – Gráficos de VC e IL para R = 60 Ω 
 
Fonte: Autor. 
É perceptível a mudança em cada gráfico devido às alterações no resistor. O 
primeiro, referente à resistência de 10 Ω possui uma curva padrão do superamortecido. O 
segundo, com resistência de 20 Ω tem certa semelhança com o criticamente amortecido. Já os 
demais, de 30 Ω à 60 Ω apresentam características do tipo de resposta subamortecido. 
Prosseguindo com a simulação, é solicitado o valor de R para que o gráfico 
apresente comportamento criticamente amortecido. Para que isso ocorra, a frequência de 
Nepper (α) deve ser igual a frequência angular de ressonância (ω0), ou seja: 
 𝛼 = 𝜔0 (35) 
Onde, para circuitos RLC em paralelo, a frequência de Nepper é dada por: 
 𝛼 =
1
2𝑅𝐶
 (36) 
E a frequência angular de ressonância é: 
 𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
 (37) 
Substituindo as equações (36) e (37) na equação (35), obtêm-se: 
 
1
2𝑅𝐶
=
1
√𝐿𝐶
 (38) 
 
20 
 
Isolando-se o R na equação (38): 
 𝑅 =
√𝐿𝐶
2𝐶
 (39) 
Substituindo os valores da indutância e capacitância do circuito na equação (39), 
chega-se ao valor de R. 
 𝑅 =
√1,4 ∙ 10−3 ∙ 1 ∙ 10−6
2 ∙ 1 ∙ 10−6
 (40) 
 𝑅 = 18,7 Ω (41) 
Logo para a resistência de 18,7 Ω a curva dos gráficos de tensão e corrente 
apresentam resposta criticamente amortecida. Percebe-se que o gráfico da figura 17, referente 
ao resistor de 20 Ω portanto não é a curva de uma resposta criticamente amortecida. O que 
ocorre é que pela proximidade com o valor da resistência de 18,7 Ω, a curva é bem parecida, 
porém se trata de um caso subamortecido. 
Em seguida é solicitada uma análise do gráfico do circuito com resistência de 60 Ω, 
de modo a determinar a frequência de oscilação. Como já foi visto, esse circuito se trata de 
uma resposta subamortecida. A frequência de oscilação pode ser encontrada a partir da curva 
dividindo um ciclo pelo período. Para radianos, um ciclo equivale a 2π. E o período pode ser 
encontrado medindo o intervalo entre 2 picos. 
Utilizando ferramentas disponíveis no PSIM, é possível encontrar o tempo exato dos 
2 primeiros picos, como mostram as figuras 22 e 23. 
Figura 22 – Tempo do primeiro pico do gráfico 
 
Fonte: Autor 
 
21 
 
Figura 23 – Tempo do segundo pico do gráfico 
 
Fonte: Autor 
Como mostram as figuras anteriores, os picos estão em 4,9×10-5 segundos e 
2,97×10-4 segundos. Logo, é possível encontrar o período T subtraindo o tempo do segundo 
pelo tempo do primeiro. 
 𝑇 = (2,97 × 10−4) − (4,9 × 10−5) (42) 
 𝑇 = 2,48 × 10−4 s (43)A frequência de oscilação ωd é dada por: 
 𝜔𝑑 =
2𝜋
𝑇
 (44) 
 
Substituindo a equação (43) na equação (44) obtêm-se: 
 𝜔𝑑 =
2𝜋
2,48 × 10−4 
 (45) 
 𝜔𝑑 = 25335,42 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (46) 
Nessa condição, a frequência de oscilação é aproximadamente 25335 radianos por 
segundos. O próximo item demanda a resposta da corrente IL(t) do indutor e o seu valor no 
tempo 0,3 milissegundos, ainda com o resistor de 60 Ω. Primeiramente, será determinada a 
função dessa corrente, que pode ser encontrada analisando as correntes pela lei de Kirchhoff, 
Portanto: 
 𝐼𝐿(𝑡) + 𝐼𝑅(𝑡) + 𝐼𝐶(𝑡) = 2 (47) 
 
22 
 
A corrente no capacitor é dada por: 
 𝐼𝐶(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑉𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
 (48) 
E a corrente no resistor é dada por: 
 𝐼𝑅(𝑡) =
𝑉𝑅(𝑡)
𝑅
 (49) 
Sabe-se que as tensões nos terminais de todos os componentes são iguais, portanto: 
 𝑉(𝑡) = 𝑉𝑅(𝑡) = 𝑉𝐿(𝑡) = 𝑉𝐶(𝑡) (50) 
Como a resposta é subamortecida, o formato da equação da tensão no capacitor é 
dado por: 
 𝑉(𝑡) = 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡 cos 𝜔𝑑𝑡 + 𝐵2𝑒
−𝛼𝑡 sin 𝜔𝑑𝑡 (51) 
Substituindo os valores na equação (2), obtêm-se a frequência de Nepper: 
 𝛼 =
1
2 ∙ 60 ∙ 1 ∙ 10−6
 (52) 
 𝛼 =
25000
3
≈ 8333,33 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (53) 
A frequência de oscilação ωd é dada por: 
 𝜔𝑑 = √𝜔0
2 − 𝛼2 (54) 
Onde ω0 pode ser encontrado substituindo os valores da indutância e capacitância na 
equação (3): 
 𝜔0 =
1
√1,4 ∙ 10−3 ∙ 10−6
 (55) 
 𝜔0 = 26726,12 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (56) 
Substituindo as equações (56) e (53) na equação (54): 
 𝜔𝑑 = √26726,12
2 − 8333,332 (57) 
23 
 
 𝜔𝑑 = 25393,725 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (58) 
Nota-se que o valor encontrado na equação (58) é bem próximo do encontrado na equação 
(46). Para as constantes B1 e B2 que aparecem no caso de resposta subamortecida, as equações 
simultâneas são: 
 𝑉(0+) = 𝑉0 = 𝐵1 (59) 
e 
 
𝑑𝑉(0+)
𝑑𝑡
=
𝐼𝑐(0
+)
𝐶
= −𝛼𝐵1 + 𝜔𝑑𝐵2 (60) 
Para o caso de B1, a tensão inicial é nula, dadas as informações do roteiro. Para calcular B2 a 
partir da equação (60), é necessário encontrar o valor da corrente no capacitor no instante t = 0, logo 
será feita uma análise. Como inicialmente V0 = 0, a corrente no resistor é zero. Como o indutor não 
permite variação brusca de corrente, o ramo capacitivo adquire a corrente da fonte, ou seja: 
 𝐼𝑐(0
+) = 2 𝐴 (61) 
A partir disso, obtêm-se as informações necessárias para calcular-se o valor de B2, que são a 
frequência de Nepper da equação (53), a frequência de oscilação da equação (58) e a corrente no 
capacitor em t = 0, obtida anteriormente na equação (61). Logo, substituindo tudo na equação (60), 
chega-se à: 
 
 2
1 ∙ 10−6
= −(8333,33 ∙ 0) + 25393,73 ∙ 𝐵2 (62) 
 
𝐵2 =
2
1 ∙ 10−6 ∙ 25393,73
 (63) 
 𝐵2 = 78,76 (64) 
Obtidos todos os valores necessários, agora possível encontrar a equação da tensão. 
Substituindo as equações (53), (61), (64) na equação (51), considerando B1 igual à zero, 
obtêm-se: 
 𝑉(𝑡) = 0 ∙ 𝑒−
25000𝑡
3 cos(25393,73𝑡) + 78,76 ∙ 𝑒−
25000𝑡
3 sin(25393,73𝑡) (65) 
24 
 
 𝑉(𝑡) = 78,76 ∙ 𝑒−
25000𝑡
3 sin(25393,73𝑡) (66) 
Encontrada a função da tensão no capacitor, é possível encontrar as funções das 
correntes no capacitor e no resistor. Substituindo a equação (66) na equação (48) juntamente 
com o valor da capacitância: 
 𝐼𝐶(𝑡) = 1 ∙ 10
−6 ∙
𝑑
𝑑𝑡
(78,76 ∙ 𝑒−
25000𝑡
3 sin(25393,73𝑡)) (67) 
Resolvendo a derivada e simplificando, chega-se à: 
 𝐼𝐶(𝑡) = 𝑒
−
25000𝑡
3 [−0,6563 sin(25393,73𝑡) + 2 cos(25393,73𝑡)] (68) 
E para o resistor, substitui-se a equação (66) na equação (49), e com o valor de R: 
 𝐼𝑅(𝑡) =
78,76 ∙ 𝑒−
25000𝑡
3 sin(25393,73𝑡)
60
 (69) 
 
 𝐼𝑅(𝑡) = 1,3127𝑒
−
25000𝑡
3 sin(25393,73𝑡) (70) 
Logo, retornando à equação (47) e isolando a corrente do indutor, obtêm-se: 
 
𝐼𝐿(𝑡) = 2 − 1,3127𝑒
−
25000𝑡
3 sin(25393,73𝑡) − ⋯ 
… − 𝑒−
25000𝑡
3 [−0,6563 sin(25393,73𝑡) + 2 cos(25393,73𝑡)] 
(71) 
 𝐼𝐿(𝑡) = 2 − 𝑒
−
25000𝑡
3 [0,6564 sin(25393,73𝑡) + 2 cos(25393,73𝑡)] (72) 
A equação (72) representa a função da corrente que atravessa o indutor. Para fins de 
comparação, calcula-se IL para t = 0,0003 s. Logo, substituindo o valor de t e com auxílio de 
uma calculadora, chega-se à: 
 𝐼𝐿(𝑡) = 2 − 𝑒
−
25000∙0,0003
3 [0,6564 sin(25393,73 ∙ 0,0003) + 2 cos(25393,73 ∙ 0,0003)] (73) 
 
 
𝐼𝐿(𝑡) = 1,909 A 
(74) 
25 
 
A figura 24 mostra a curva da corrente obtida na simulação com a medida da 
corrente no tempo t = 0,0003 s.. 
Figura 24 – Gráfico da corrente no indutor em função do tempo 
 
Fonte: Autor. 
Nota-se que no período destacado de acordo com a figura, a corrente do indutor é 
1,9091745 A, ou seja, bem próximo do que foi encontrado na equação (74). Nota-se que a 
simulação 2 apresentou muitas semelhanças com a simulação 1. Alguns passos foram 
bastante parecidos, porem com algumas mudanças de prioridades. 
Nesse caso, como o circuito está em paralelo, o ramo capacitivo exerceu domínio 
sobre todos os outros componentes, diferente do circuito em série do primeiro experimento, 
onde o indutor dominava. Os resistores nos dois casos servem como “amortecedores”, 
dependendo do valor. 
4.3. Simulação 3 
A simulação 3 demanda que o circuito da figura 25 seja montado para que possam 
ser feitas algumas análises. 
Figura 25 – Circuito RLC em série excitado por fonte senoidal 
 
Fonte: Roteiro. 
26 
 
Inicialmente, será calculada a resposta natural de V0. Para facilitar a visualização, 
substitui-se a fonte senoidal por uma fonte constante momentaneamente, cujo valor é o 
mesmo do pico da fonte senoidal, 5 V. A curva de V0 é mostrada na figura 26. 
Figura 26 – Curva de V0 em função do tempo 
 
Fonte: Autor. 
De acordo com a figura anterior, a resposta de V0 é subamortecida, porém, verifica-
se que está bem próxima do comportamento criticamente amortecido. 
Em Seguida, serão calculadas a frequência de Nepper e a frequência angular de 
ressonância. Nota-se que o circuito é um RLC em série, logo a frequência de Nepper pode ser 
encontrada a partir da equação (2): 
 𝛼 =
2
2 ∙ 1,4 ∙ 10−3
 (75) 
 𝛼 = 714,29 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (76) 
E a frequência angular de ressonância é dada pela equação (3): 
 𝜔0 =
1
√1,4 ∙ 10−3 ∙ 0,8 ∙ 10−3
 (77) 
 𝜔0 = 944,91 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (78) 
Verifica-se que ω0>α, portanto a resposta é subamortecida. Dessa forma o circuito 
possui uma frequência de oscilação ωd. Este último pode ser encontrado pela equação (19): 
 𝜔𝑑 = √944,91
2 − 714,292 (79) 
27 
 
 𝜔𝑑 = 618,58 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (80) 
A seguir é demandada as formas de onda de VS e V0 com diferentes frequências. O 
tempo de simulação foi o mesmo para todos (0,01 segundos), para melhorar a visualização do 
que acontece ao decorrer das alterações de frequência. As figuras 27 a 38 mostram as curvas 
com as respectivas frequências. 
Figura 27 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 10 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
Figura 28 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 40 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 29 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 70 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
28 
 
 
Figura 30 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 100 Hertz 
 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 31 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 150 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 32 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 200 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
 
29 
 
Figura 33 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 250 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 34 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 500 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 35 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 750 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
 
 
30 
 
Figura 36 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 1000 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 37 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 1500 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
 
Figura 38 – Tensões VS e V0 para a frequência da fonte de 2000 Hertz 
 
Fonte: Autor. 
A tabela 1 foi preenchida com valores dos picos de VS e V0 paracada frequência. 
 
31 
 
Tabela 1 – Relação entre os picos de tensão do resistor e da fonte com a frequência com 
resistência de 2 Ω 
Frequência (Hz) 𝑉0 |
𝑉0
𝑉𝑠
| 
10 0,5 0,1 
40 1,99 0,398 
70 3,34 0,67 
100 4,37 0,874 
150 5 1 
200 4,67 0,934 
250 4,09 0,818 
500 2,24 0,448 
750 1,5 0,3 
1000 1,13 0,226 
1500 0,76 0,15 
2000 0,57 0,11 
Fonte: Autor. 
Com as informações da tabela 1, pode-se plotar uma curva, como pode-se observar 
no gráfico 1 a seguir. 
 
32 
 
Gráfico 1 – Frequência versus a razão entre as tensões no resistor e na fonte 
 
Fonte: Autor. 
Nenhuma linha de tendência chega próximo do que o gráfico representa, 
provavelmente devido à complexidade da equação. Percebe-se que em torno de 150 Hertz, o 
gráfico atinge o pico, ou seja, V0=VS. 
Próximo item, demanda os passos anteriores, porém, com a resistência de 1 Ω ao 
invés de 2 Ω. Analogamente, a frequência de Nepper e a frequência angular de ressonância 
podem ser calculadas pelas equações (2) e (3). Para a primeira frequência: 
 𝛼 =
1
2 ∙ 1,4 ∙ 10−3
 (81) 
 𝛼 = 357,14 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (82) 
A frequência angular de ressonância não se altera pois não depende da resistência. 
Logo ela continua 944,91 rad/s. Da mesma forma do experimento com o resistor de 2 Ω, 
observa-se que ω0>α, portanto para a resistência de 1 Ω a resposta também é subamortecida. 
Portanto, a sua frequência de oscilação ωd é dada também pela equação (19): 
 𝜔𝑑 = √944,91
2 − 357,14 2 (83) 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 500 1000 1500 2000 2500
|V
0/
V
S|
Frequência (Hz)
Frequência x |𝑉0/𝑉𝑠 |
33 
 
 𝜔𝑑 = 874,82 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (84) 
Com a mudança na resistência agora faz-se outra tabela parecida com a tabela 1. 
Tabela 2 – Relação entre os picos de tensão do resistor e da fonte com a frequência com 
resistência de 1 Ω 
Frequência (Hz) 𝑉0 |
𝑉0
𝑉𝑠
| 
10 0,25 0,05 
40 1,06 0,212 
70 2,05 0,41 
100 3,35 0,67 
150 5 1 
200 3,97 0,794 
250 2,9 0,58 
500 1,21 0,242 
750 0,78 0,156 
1000 0,18 0,036 
1500 0,13 0,026 
2000 0,06 0,012 
Fonte: Autor. 
Com os dados da tabela 2, faz-se outro gráfico. 
 
34 
 
Gráfico 2 – Frequência versus a razão entre as tensões no resistor e na fonte 
 
Fonte: Autor. 
Percebe-se nos dois gráficos que após o valor chegar ao máximo, que é 1, ele decai 
tendendo a 0, enquanto a frequência aumenta. Porém, no segundo gráfico o decaimento e 
mais rápido. 
Nos dois casos a frequência de 150 hertz foi o ápice no gráfico, ou seja, o valor de 
V0 foi igual ou bem próximo do valor do pico da fonte, 5V. A frequência da fonte está em 
Hertz. Para convertê-la para termos em radianos basta multiplicar por 2π, que é o valor de um 
ciclo. Portanto: 
 𝑓 = 2𝜋 ∙ 150 (85) 
 𝑓 = 942,47 𝑅𝑎𝑑/𝑠 (86) 
Nota-se a semelhança da frequência obtida com a frequência angular de ressonância 
calculada anteriormente na equação (78). De fato, quando os dois têm essa mesma frequência 
eles entram em ressonância, ou seja, as curvas dos gráficos da tensão de sobrepõem, como 
mostra a figura 5 por exemplo. No início há um pequeno ruído, mas depois elas “se juntam”. 
A condição de ressonância é a condição onde a energia gerada é transmitida ao 
circuito com maior eficiência, ou seja, em um momento ela é armazenada no indutor em 
forma de energia magnética, e em outro momento é armazenada no capacitor em forma de 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 500 1000 1500 2000 2500
|V
0/
V
S|
Frequência (Hz)
Frequência x |𝑉0/𝑉𝑠 |
35 
 
energia elétrica. Os circuitos ressonantes são muito utilizados em sistemas receptores 
eletrônicos, como Televisores, celulares, rádios e outros sinais eletromagnéticos. 
 
 
 
 
 
 
36 
 
5. CONCLUSÃO 
Ao desenvolver o procedimento experimental foi possível analisar detalhes e 
compreender melhor o funcionamento dos circuitos RLC. Observou-se como o circuito RLC 
serie e paralelo, com suas três formas de resposta, se comportam com as alterações 
solicitadas. 
Conforme as modificações foram realizadas o tipo de resposta ao circuito mudava. 
Contudo, ao realizar os cálculos do circuito os resultados condizem 
com a simulação apresentada ao longo do percurso. Dessa forma, foi possível perceber o 
comportamento da tensão de um circuito RLC e a forma de onda dessa grandeza ao longo do 
tempo. Além disso, analisar analiticamente o comportamento da tensão de um resistor. 
 Foi interessante ver o funcionamento de um circuito ressonante utilizando 
juntamente uma fonte senoidal. Finalizando, podem-se notar as peculiaridades do circuito 
RLC em cada formato, e distinguir as semelhanças e diferenças nos comportamentos dos 
determinados circuitos. 
 
37 
 
REFERÊNCIAS 
0214, Fap -. Circuito RLC série. 2006. Disponível em: 
<https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/239561/mod_resource/content/1/RLC_caos.pdf >. 
Acesso em: 24 ago. 2021. 
 
NILSSON, James, W., Susan A. Riedel. Circuitos Elétricos. 10ª edição. Editora Pearson, 
2016. 
 
 
 
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