UNIDADE I - MATRIZES DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

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APOSTILA 
 
DE
ÁLGEBRA LINEAR
CURSO: ENGENHARIA DE PETRÓLEO
PROF.: MÁRIO S. TARANTO
CÓDIGO DA DISCIPLINA: FIM0431 
Carga Horária Teórica: 44 horas
Carga Horária Prática: 0 horas
Carga Horária Campo: 22 horas 
EMENTA:
Sistemas Lineares. Espaços vetoriais. Transformações lineares. Autovalores e autovetores.
OBJETIVO(S) GERAL (IS):
Adquirir e aplicar os conhecimentos de álgebra linear na resolução de problemas e situações concretas em Engenharia.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS :
1. Compreender o conceito de vetor.
2. Utilizar o cálculo com matrizes na resolução de sistemas lineares
3. Compreender o conceito de espaços vetoriais
4. Aplicar o conceito de Transformação Linear na resolução de problemas
5. Calcular autovalores e autovetores
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
Unidade I - SISTEMAS LINEARES
1.1 Matrizes e determinantes
1.2 Discussão e resolução de sistemas lineares
1.4 Método da Matriz inversa
Unidade II - ESPAÇOS VETORIAIS
2.1 Definição.
2.2 Subespaços vetoriais - definição; subespaços gerados
2.3 Dependência e independência linear; base e dimensão.
Unidade III - TRANSFORMAÇÕES LINEARES
3.1 Definição e propriedades; matriz de uma transformação
3.2 Operações com transformações lineares
3.3 Transformações lineares no plano e no espaço
Unidade IV - AUTOVALORES E AUTOVETORES
4.1 Definição; polinômio característico.
4.2 Determinação dos autovalores e autovetores de um operador
4.3 Diagonalização
PROCEDIMENTOS DE ENSINO:
Aulas Teóricas:
Aulas expositivas dialogadas com apresentação dos conteúdos relevantes e potencialmente significativos, exemplificações e discussão dos resultados. Resolução de exercícios, objetivando desenvolver habilidades. Uso de transparências e de outros recursos didáticos.
Atividades de Campo:
Serão desenvolvidas atividades de pesquisa e aplicação na prática (p. ex: lista de exercícios, simulações computacionais) dos conhecimentos estudados na disciplina pelos alunos, sob a orientação do professor.
AVALIAÇÃO:
Aulas Teóricas:
Consiste na avaliação continuada do desempenho dos alunos, sendo sistematizado em três momentos no calendário acadêmico: AV1, AV2 e AV3.
Atividades de Campo:
Apresentação de relatório das atividades de pesquisa e aplicações práticas.
1 MATRIZES
1.1 NOTAÇÃO GERAL
	Denomina-se matriz toda tabela disposta em linhas e colunas que encontram-se entre parênteses ou colchetes. 
	Normalmente, as matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas acompanhados do duplo índice ij que representam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento se encontra. 
EXERCÍCIO
1) Construa a matriz A =(aij)2x3 tal que aij = 
 e a matriz B =(bij)3x3 tal que bij = 
. 
1.2 DENOMINAÇÕES ESPECIAIS DAS MATRIZES
MATRIZ LINHA
	É toda matriz com uma única linha.
MATRIZ COLUNA
	É toda matriz com uma única coluna.
MATRIZ QUADRADA
	É toda matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e de colunas. Esse tipo de matriz possui duas diagonais: a diagonal principal e a diagonal secundária.
MATRIZ NULA
	É toda matriz que seus elementos são nulos.
MATRIZ DIAGONAL
	É toda matriz quadrada que os elementos que não se encontram na diagonal principal são nulos.
MATRIZ IDENTIDADE
	É toda matriz quadrada que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a zero.
MATRIZ TRANSPOSTA
	É toda matriz obtida pela troca ordenada de suas linhas por suas colunas. Denota-se a matriz transposta de A por At.
MATRIZ SIMÉTRICA
	É toda matriz quadrada de ordem n que A = At. 
MATRIZ OPOSTA	
	Chama-se matriz oposta de A a matriz obtida pela troca de todos os sinais de seus elementos.
EXERCÍCIOS
2) A matriz A =
 é do tipo: 
( a ) diagonal ( b ) 1x3 ( c ) nula ( d ) 1x1
3) Sendo a matriz A = 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 , a oposta de sua oposta é: 
( a ) 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 ( b ) 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 ( c )
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 ( d ) 
1.3 IGUALDADE DE MATRIZES
	Diz-se que duas matrizes A e B, do mesmo tipo, são iguais se, e somente se, todos os elemento que ocupam a mesma posição, são idênticos. 
4) A =
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 seja uma matriz simétrica, calcule x, y e z. 
1.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES
1.4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
	São operações que só podem ser efetuadas entre matrizes do mesmo tipo. A matriz resultante dessas operações é encontrada através da soma ou da subtração dos elementos que ocupam a mesma posição. 
1.4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ
	Dado um número real x e uma matriz A, o produto de x pela matriz A é a matriz obtida pela multiplicação de x por todos os elementos da matriz A.
	
1.4.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
	O produto de uma matriz A por uma matriz B, é a matriz C onde cada um de seus elementos é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
EXERCÍCIOS
5) Calcule a matriz X na equação 3X - A + 2B = 0, sabendo que A = 
e B = 
. 
6) Multiplicando a matrizes A = 
 por B = 
, obtemos: 
7) Dadas a matriz A =(aij)2x3 tal que aij = 
 e a matriz 
B = (bij)3x4 tal que bij = 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 de forma que do produto de A X B obtenha-se a matriz C. Determine o elemento c22. 
8) Dadas A = 
 e B = 
�� EMBED Microsoft Equation 2.0 , calcule A x Bt + At x B, se possível. 
1.5 MATRIZ INVERSA
	Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A’ ,de mesma ordem, tal que A x A’ = In = A’ x A, dizemos então que a matriz A’ é inversa de A e denotamos A -1. 
EXERCÍCIOS
9) Calcule a matriz inversa, se existir, de A =
. 
10) Calcule a matriz inversa, se existir, de A =
. 
11) Sendo A = 
, calcule A-1 caso exista. 
1.6 DETERMINANTES
	Chama-se determinante o número associado a uma matriz quadrada.
1.6.1 DETERMINANTE DE 1ª ORDEM
	Dado uma matriz A, de 1ª ordem, seu determinante é o próprio elemento de A. 
1.6.2 DETERMINANTE DE 2ª ORDEM
	Dado uma matriz A, de 2ª ordem, seu determinante é a diferença encontrada entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
 
1.6.3 DETERMINANTE DE 3ª ORDEM 
	O determinante de uma matriz A de 3ª ordem pode ser feito através de um dispositivo denominado regra de Sarrus, que consiste primeiramente na repetição das duas primeiras colunas ao lado da terceira, para então somarmos os produtos encontrados pelos elementos da diagonal principal e suas paralelas e os produtos encontrados pelos elementos da diagonal secundária e suas paralelas, e finalmente, nessa ordem, determinar essa diferença.
EXERCÍCIOS
12) Calcule o valor de x na equação 
 = 12. 
13) Resolva em R a inequação 
 
14) Calcule o(s) valor(es) de x Î R em 
.
1.7 MATRIZ ADJUNTA
1.7.1 MENOR COMPLEMENTAR
	Chamamos de menor complementar relativo ao elemento aij de uma matriz A, quadrada de n > 1, o determinante MCij, de ordem n -1, associado à matriz obtida de A quando excluímos a linha e a coluna de aij.
1.7.2 COFATOR
	Chamamos de cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij, tal que Aij = (-1)i + j x MCij. Denota-se a matriz dos cofatores de A por 
.
1.7.3 MATRIZ ADJUNTA
 
	Chamamos de matriz adjunta de A a matriz transposta da matriz dos cofatores de A. Denota-se adj A.
EXERCÍCIOS
15) Determine a matriz adjunta de A = 
. 
16) Calcule a matriz adjunta da matriz A = 
.
1.8 TEOREMA DE LAPLACE
	O determinante de uma matriz quadrada A, quando sua ordem for maior que 2, pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores.
EXERCÍCIOS
17) Calcule, utilizando o Teorema de Laplace, os determinantes das seguintes matrizes:
a) 
		b) 
		c) 
18) O determinantede 
 está representado pelo polinômio:
( a ) x2 + 1	( b ) –x2 – 1	( c ) 3x2 – 1	( d ) 3(x2 + 1)		( e ) 3(x + 1)(x – 1) 
19) O determinante da matriz 
, onde 2a = ex + e–x e 2b = ex – e–x é igual a:
( a ) 1		( b ) –1		( c ) ex		( d ) e–x			( e ) 0 
2 SISTEMAS LINEARES
2.1 EQUAÇÃO LINEAR
É toda equação na forma 
, onde os valores de 
 são os coeficientes reais de 
 e b é um número real chamado de termo independente. 
2.2 SISTEMA LINEAR
	É todo conjunto de equações lineares na forma:
, com m equações e n incógnitas.
	Chamamos de n-upla, de números reais, a solução simultânea de todas as equações do sistema.
2.3 ASSOCIAÇÃO DE UMA MATRIZ A UM SISTEMA LINEAR
2.3.1 MATRIZ INCOMPLETA
	É a matriz formada somente pelos coeficientes das incógnitas do sistema linear.
2.3.2 MATRIZ COMPLETA
É a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema linear, acrescida de uma última coluna com os termos independentes.
2.4 SISTEMA HOMOGÊNEO
	Um sistema é chamado de homogêneo quando todos os termos independentes de suas equações são nulos. A n-upla (0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema homogêneo e recebe o nome de solução trivial.
2.5 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
	Um sistema linear pode ser:
possível e determinado (possui apenas uma única solução)
possível e indeterminado (possui infinitas soluções)
impossível (não possui solução) 
2.5.1 SISTEMA NORMAL
	Um sistema é normal quando possui o mesmo número de equações e incógnitas e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. 
	Assim, se m = n e det A ¹ 0, o sistema é normal.
2.6 REGRA DE CRAMER
	Chama-se regra de Cramer a técnica usada para solucionar um sistema linear.
Fazendo 
, onde D é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e 
 é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
2.7 SISTEMAS EQUIVALENTES
	Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
2.7.1 PROPRIEDADES DOS SISTEMAS EQUIVALENTES
Trocando-se de posição as equações de um sistema linear, obtém-se um outro sistema equivalente.
Multiplicando-se uma equação do sistema linear por um número real diferente de zero, obtém-se um outro sistema equivalente.
Adicionando-se a uma das equações do sistema linear o produto de uma outra equação desse mesmo sistema por um número real diferente de zero, obtém-se um outro sistema equivalente.
2.8 SISTEMAS ESCALONADOS
	O procedimento para o escalonamento de um sistema é o seguinte:
1º - Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.
2º - Utilizando as propriedades dos sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
3º - Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.
4º - Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
 
EXERCÍCIOS
20) Resolva e classifique o sistema 
 
21) Calcule a n-upla que satisfaz o sistema 
. 
22) Resolva, utilizando a regra de Cramer, o sistema 
. 
23) Calcule a n-upla que satisfaz e classifique o sistema 
 aplicando a regra de Cramer. 
24) Resolva o sistema 
 aplicando a regra de Cramer. 
25) Resolva, por substituição e classifique o sistema 
. 
26) Resolva o sistema 
 utilizando o método de substituição.
27) Calcule a n-upla que satisfaz e classifique o sistema 
 aplicando o escalonamento.
28) Resolva por escalonamento o sistema 
 
29) Resolva, por escalonamento e classifique o sistema 
. 
30) Calcule a n-upla que satisfaz o sistema 
 e classifique-o. 
31) Calcule os valores de m e p de modo que o sistema 
tenha uma infinidade de soluções. 
32) Resolva o sistema linear 
.
RESPOSTAS
	1 – 
	2 –
	3 –
	4 –
	5 –
	6 –
	7 –
	8 –
	9 –
	10 –
	11 –
	12 –
	13 –
	14 –
	15 –
	16 –
	17 –
	18 –
	19 –
	20 –
	21 –
	22 –
	23 –
	24 –
	25 –
	26 –
	27 –
	28 –
	29 –
	30 –
	31 –
	32 –
	33 –
	34 –
	35 –
	36 – 
	37 –
	38 –
	39 –
	40 –
	41 –
	42 –
	43 –
	44 –
	45 –
	46 –
	47 –
	48 –
	49 –
	50 –
	51 –
	52 –
	53 –
	54 –
	55 –
	56 –
	57 –
	58 –
	59 –
	60 –
	61 –
	62 –
	63 –
	64 –
	65 –
	66 –
	67 –
	68 –
	69 –
	70 –
	71 –
	72 –
	73 –
	74 –
	75 –
	76 –
	77 –
	78 –
	79 –
	80 –
	81 –
	82 –
	83 –
	84 –
	85 –
	86 –
	87 –
	88 –
	89 –
	90 –
	91 – 
	92 –
	93 –
	94 –
	95 –
	96 –
	97 –
	98 –
	99 –
	100 –
	101 –
	102 –
	103 –
	104 –
	105 –
	106 –
	107 –
	108 –
	109 –
	110 –
	111 –
	112 –
	113 –
	114 –
	115 –
	116 –
	117 –
	118 –
	119 –
	120 –
	121 –
	122 –
	123 –
	124 –
	125 –
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Introdução à álgebra linear: com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, c2006.
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro, LTC; 2007.
LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra linear: teoria e problemas. 3. ed. rev. e ampl. São Paulo: Makron, 1994.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:	
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.
STEINBRUCH, Alfredo. Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares. São Paulo: McGraw-Hill, 1989.
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