Cálculo Numérico - Lista Exercícios 3

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Cálculo Numérico Lista 3 Prof. Alexandre 
Polinômio de Lagrange e Erro de Truncamento para Interpolação 
1)Dada a tabela abaixo , calcular a raiz aproximada de f(x)=0, utilizando o Polinômio de Lagrange. 
 (Usar 3 casas decimais) 
. R: P(x) = – 0,5x2 –1,5x + 6 e α =2,275 
 
2)Considere a função: f(x)= ex – sen x – 3x 
 a) Tabelar a função em três pontos em [0,1] . 
 b) Aproximar a função por um Polinômio de Lagrange . (Usar 3 casas decimais) R: P(x) = 1,078x2 –3,201x + 1 
 
3) Dada a tabela: 4) Dada a tabela 
x 2 5 8 x 1 2 6 
 f(x) 1 2 6 g(x) 2 5 8 
 
Qual o valor aproximado de x quando f(x) = 3 ? Qual o valor aproximado de x quando g(3)? 
(Usar 3 casas decimais) (Usar 3 casas decimais) 
R: O valor aproximado de x  6 para f(x) = 3 R: O valor de g(3)  7,1 
5) Dada a tabela : 
 a) Calcular o valor aproximado de f( 0,4 ) . R: 0,8696 
 b) Delimitar o erro de truncamento. R: |𝑬𝑻| ≤ 0,008 
 
6) Delimite o erro de truncamento ao se calcular f( 2,4 ), utilizando os três pontos da tabela a ser completada com três 
casas decimais . R: |𝑬𝑻| ≤ 4,2 • 10
–3 
 
 
 
7)Dada a tabela abaixo: 
 a)Determinar o Polinômio de Lagrange. 
 R: P(x) = 0,403x2 – 0,209x + 0,388 
 (Usar 3 casas decimais) b) Calcular f( 1,15 ) pelo polinômio. R: 1,161 
 c) Delimitar o erro, sabendo que |𝑓′′′(𝑥)| ≤ 
1
𝑥2
 . R: 4,4 • 10–4 
8) Um líquido, inicialmente na temperatura ambiente de 25°C, é colocado para aquecer. Depois de 6 minutos atingi a 
temperatura de 50°C e 4 minutos após entra em ebulição a 100°C. A contar do início, depois de quanto tempo o líquido 
atinge a temperatura de 70°C ? ( Cuidado: a variação não é linear). 
R: O líquido atinge a temperatura de 70°C no instante t=7,87minutos ou t=7m52s. (Obs: P2(t) = 0,833t2 – 0,833t + 25) 
 
9)São dados duas tabelas para f(x) = x · [ 1– ln(x) ], em intervalos diferentes. Se desejamos calcular f(0,22) através de 
uma interpolação quadrática, qual tabela devemos utilizar para obter a melhor aproximação? 
Justifique sua resposta, sem calcular o valor interpolador. 
Tabela 1 Tabela 2 
x 0,05 0,15 0,25 x 0,2 0,3 0,5 
f(x) 0,200 0,435 0,597 f(x) 0,567 0,661 0,847 
 
R: Os erros de truncamento para as Tabelas 1 e 2 são, respectivamente : 
 |𝑬𝑻| < 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟖 < 𝟎, 𝟎𝟑 𝒆 |𝑬𝑻| < 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟔𝟕 < 𝟎, 𝟎𝟎𝟐. 
 Portanto, a Tabela 2 é melhor. 
 
x 0 0,2 0,5 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 + 1
+ 𝑥2 1,000 0,873 0,917 
x 2 3 4 
𝑓(𝑥) = √𝑥 
x 1,0 1,2 1,5 
𝑓(𝑥) 1,000 1,219 1,608