3-MecanicaFluidosII-FluidoIdeal

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1
ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE 
FLUIDO NÃO VISCOSO
Em diversas situações, como nos escoamentos de fluidos de baixa viscosidade
longe de paredes, as forças de cisalhamento podem ser desprezadas e a
força de superfície por unidade de área agindo sobre cada face do volume de 
controle diferencial é igual a pressão com sinal negativo.
Equação de Euler:
Pgρ
tD
VD
ρ grad


PgρVV
t
V
ρ gradgrad 










 

ou
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22
Equação 
de Euler
z
P
gρuuuρ
θr
P
gρ
r
uu
uuuρ
r
P
gρ
r
u
uuuρ
zz
u
zθr
u
θr
u
rt
u
θ
θr
z
u
zθr
u
θr
u
rt
u
r
2
θ
z
u
zθr
u
θr
u
rt
u
zzzz
θθθθ
rrrr




















































Direção 
radial
Direção 
angular
Direção 
axial
z
P
ρg
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
ρ
y
P
ρg
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
ρ
x
P
ρg
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
ρ
z
y
x

























































coordenadas cartesianas
coordenadas cilíndricas
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3
- Componentes em coordenadas ao longo de uma linha de corrente:
ss evV


Na direção do escoamento - s:
s
P
ρg
s
v
v
t
v
ρ s
s
s
s













s
z
ggekgegg sss


 cos

se
k


dzds
ds
dz
 sencos











2
2V
ss
V
V
s
P
ρ
1
g
s
V
V
t
V
s








n
p
g
R
v
n
s


 
2
Na direção normal ao escoamento - n:
Vvs 
Na direção do escoamento - s:
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4
ds
s
z
gds
s
P
ρ
1
ds
2
V
s
ds
t
V 2




















constante


gz
ρ
dP
2
V
ds
t
V 2
Equação de Bernoulli
Integração da Equação de Euler ao Longo de Uma Linha de 
Corrente: Equação de Bernoulli
a constante de Bernoulli é única ao longo de uma mesma linha de corrente
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 Escoamento incompressível,  constante:
constante
2
2



zg
ρ
PV
ds
t
V
1
2
1V
2V
Casos particulares: 
 Regime permanente:
constante
2
2
 zg
ρ
PdV
 Regime permanente e incompressível: constante
2
2
 zg
ρ
PV
2
2
2
2
1
1
2
1
22
gz
PV
gz
PV





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6
Obs: Para escoamentos irrotacionais (  

V 0) pode-se demonstrar que a constante de 
Bernoulli tem um único valor em todo o campo de escoamento (ver seção 6.6.1) 
 
OBSERVAÇÃO: Um escoamento não viscoso sofre somente a ação de força de corpo (força 
volumétrica) e da força de superfície normal, devido a pressão. Portanto, é impossível induzir 
uma rotação em um escoamento não viscoso. Se o escoamento não viscoso for irrotacional, 
será sempre irrotacional, se for rotacional, será sempre rotacional. 
 
Por outro lado, TODO ESCOAMENTO VISCOSO É ROTACIONAL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IRROTACIONAL ROTACIONAL 
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Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
Aplicando a equação de Bernoulli na mesma cota 
de altura, temos
p
V
p
o
 
 2
2
 
 
p = pressão estática ou 
 termodinâmica 
po = pressão de estagnação 
V2
2
 = pressão dinâmica 
 
 
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8
Tubo de Pitot: 
Medidor de velocidade
HgρhgρPP*
HgρhgρPP*
m2
1


1
2
h
p* p*
H
 
hg
ρ
ρρ
ρ
PP m21 

ρ
hgρρ2
V m
)( 

2
2
2
2
1
1
2
1 gz
ρ
P
2
V
gz
ρ
P
2
V

ρ
P
2
V
ρ
P 21 
2
ρ
PP
V 21

 2
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Exemplo 6.1: Determine a vazão volumétrica de ar através do duto de seção 
transversal L = 0,1 m e altura H = 0,3 m. Tomadas de pressão são instaladas 
numa curva do duto, cujo raio interno é R = 0,25 m. A diferença medida de 
pressão entre as tomadas é de 40 mm de água [(P2-P1)=(H2O - ar ) g h]
Solução: As linhas de corrente acompanham a curva, sendo a direção normal às mesmas a 
direção radial. Aplicando a Eq. de Euler na direção normal (radial) temos 
r
p
r
V2


 
1
2
2
12
2 r
r
V
pp
r
rd
V
pd
ln




 
)/ln(
)()(
12ar
12
rr
pp
LHLHVQ


 
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10
Exercício 6.4: Determine: 
(i)a velocidade da água saindo como um jato livre. 
(ii) a pressão no ponto A
Exercício 6.5 e 4.6: Água escoa 
sob uma comporta. Determine a 
força na comporta da figura.
 
 
D1=1,5 m 
D2=0,0563 m 
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11
 
 
D1=1,5 m 
D2=0,0563 m 
012212211  AAVVAVAV /
 zDgPP atm1  1
 zDgPP atm  22 

2
22
0
12
0
VWDVVm
SC
AdnVu
VC
du
text
F 

 








   




)( 21
0
2
0
1
21
DDWPWdzPWdzPR
ext
F atm
DD
x   
2
2
2
2
1
1
2
1 gz
ρ
P
2
V
gz
ρ
P
2
V

0z
ρ
DgP
2
V
ρ
DgP atm
2
2atm 21  

)( 212 DDgV
2
2 
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12
 
 
D1=1,5 m 
D2=0,0563 m 
)( 21
2
2
2
2
1
1
22
DDWP
D
gWWDP
D
gWWDPR
ext
F atmatmatmx   






 
22
2
2
2
1 DDgWR
ext
F x 
)( 212
2
22 2 DDgWDVWD
SC
AdnVu   














22
2
2
2
2
1
212
DD
DDDWgRx )(

2
2
2
00
2
D
gWWDPzdzgWgDPDWWdzP atm
D
D
atm
D
  
/
)(
 zDgPP atm  
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Exemplo 6.9: (i) Determine a velocidade da 
água na saída da tubulação. Em uma 
primeira aproximação, despreze o atrito e 
considere regime permanente e D >> d
1
2
V2=?
h
D
d
L
b
Equação da continuidade: 


 
t
d V n d A
SCVC
   
 
0 
 
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável 
 
 
V n d A V A V A
SC
     0 1 1 2 2 0
D
d
VV
2
2
21 
 
 
mas 
td
hd
V1  , logo nível permanece constante, h  ho =cte 
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14
Equação de Bernoulli: 

 
V
t
ds
d p V V
g z z      
2
2
1
2
2 1
2 2
0( ) 

  
V
t
ds
p p V V
g z z       
2 1 2
2
1
2
2 1
2 2
0( ) , 
p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1  ho , V1  0 ; regime permanente 
  0hg
2
V
o
2
2  V g h o2 2 
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15
Exemplo 6.9: (ii) Determine a variação com 
o tempo da velocidade da água na saída da 
tubulação, considerando que inicialmente a 
tubulação encontra-se fechada. Novamente, 
despreze o atrito e considere D >> d
1
2
V2=?
h
D
d
L
b
Equação da continuidade: 


 
t
d V n d A
SCVC
   
 
0 
 
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável 
 
 
V n d A V A V A
SC
     0 1 1 2 2 0
D
d
VV
2
2
21 
; 
 
mas 
td
hd
V1  , logo nível permanece constante, h  ho =cte 
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Equação de Bernoulli: 

 
V
t
ds
d p V V
g z z      
2
2
1
2
2 1
2 2
0( ) 
0zzg
2
V
2
Vpp
ds
t
V
12
2
1
2
212
2
1







)( , 
p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1  ho , V1  0 ; regime transiente 
  0hg
2
V
ds
t
V
ds
t
V
o
2
2
ds
t
V
2
b
0
t
V
0V
b
1
2
b
211













0hg
2
V
L
td
Vd
o
2
22  
1
2
V2=?
h
D
d
L
b
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 
d V
g h V
d t
L
o
2
2
2
2 2
 integrando 0  V2  V2 e 0  t  t  
V
g h
t
L
g h
o
o
2
2 2
2





tanh 
 
 
Note que quando t→∞  
o2
hg2V  (caso anterior) 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4
t* sqrt(2 g ho) /(2L) 
V
2
/ 
s
q
rt
(2
 g
 h
o
)
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Exemplo 6.9: (iii) Determine a variação com 
o tempo da velocidade da água na saída da 
tubulação, considerandoque inicialmente a 
tubulação encontra-se fechada. Novamente, 
despreze o atrito e considere D ≈ d
1
2
V2=?
h
D
d
L
b
Equação da continuidade: 


 
t
d V n d A
SCVC
   
 
0 
 
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável 
 
 
V n d A V A V A
SC
     0 1 1 2 2 0
D
d
V
A
A
VV
2
2
2
1
2
21  ; 
 
mas 
td
hd
V1  , logo nível não permanece constante, h ≠ cte 
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Equação de Bernoulli: 

 
V
t
ds
d p V V
g z z      
2
2
1
2
2 1
2 2
0( ) 
0zzg
2
V
2
Vpp
ds
t
V
12
2
1
2
212
2
1







)( , 
p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1 = h ; regime transiente 
 




V
t
ds
V
t
ds
V V
g h
b
b1 2 2
0
2
2
2
1
2
       
d V
d t
ds
d V
d t
ds
V V
g h
d V
d t
h
d V
d t
L
V V
g h
b
b
1 2
2
2
2
1
2
1 2 2
2
1
2
1 2 2
0
2 2
0           
 
0hg
2
V
A
A
1L
td
Vd
h
A
A
td
Vd
2
2
2
1
22
1
22 
















  0hg
2
V
A
A
1Lh
A
A
td
Vd
2
2
2
1
2
1
22 






















 
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20





































1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
A
A
V
td
hd
Lh
A
A
2
V
A
A
1hg2
td
Vd
  

































Lh
A
A
A
A
2
td
hd
A
A
A
A
1hg2
td
hd
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
 
 
 
condição inicial: 1) t = 0 , h = ho , 2) t = 0 , V2 = 0 
 
Para resolver estas equações diferenciais ordinárias, o MatLab pode ser utilizado. As 
equações serão resolvidas pelo método de Runge-Kutta. 
 
Para utilizar o método de Runge-Kutta, deve-se resolver as duas equações de 1a. ordem para h 
e V2, em vez da eq. de 2a. ordem para h 
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21
Dois programas com a terminação *.m devem ser escritos. No primeiro, os
parâmetros do problema são especificados, assim como a condição
inicial. A preparação dos gráficos de saída também é feita neste
programa. Este primeiro programa, “chama” o segundo programa, no
qual as equações diferenciais a serem resolvidas são apresentadas.
Chamaremos, para este exemplo, o primeiro programa de “taque.m” e o
segundo programa será chamado de “bernoulli.m”.
As listagens dos programas são apresentadas a seguir.
Dados: d = 1 in = 0,0254 m ; D = 5 in = 0,127 m; L = 15 m ; ho = 5 m
ti = 0 s ; tf = 18 s ; g = 9,81 m/s
2
d h
d t
d
D
V 






2
2














































Lh
D
d
2
V1
D
d
hg2
td
Vd
2
2
2
4
2
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22
Arquivo: 
tanque.m
clc;
clear;
fim=0;
global L D1 d2 g ;
d2=0.0254;
D1=0.127;
L=15;
ho=5;
Vo=0;
g=9.81;
ti=0;
tf=18;
yo=[ho Vo];
periodo=[ti tf];
[t, y]=ode23('bernouli', periodo, yo);
figure(1)
plot(t,y(:,2));
title('Grafico de V2 x t');
xlabel('t (s)');
ylabel('Velocidade na Saida do Tubo 
(m/s)');
figure(2)
plot(t,y(:,1));
title('Grafico de h (V1) x t');
xlabel('tempo (s)');
ylabel('Altura (m)');
end
clear
Arquivo: 
bernouli.m
function ydot = bernouli(t,y)
global L D1 d2 g ;
dD = (d2 * d2 ) / (D1 * D1) ;
ydot(1) = - y(2) *dD;
ydot(2) = inv(2*(dD*y(1)+ L)) *(2*g*y(1)+(dD^2-1)*y(2)^2); 
ydot=[ydot(1) ydot(2)]';
d h
d t
d
D
V 






2
2














































Lh
D
d
2
V1
D
d
hg2
td
Vd
2
2
2
4
2
Angela Nieckele – PUC-Rio
23
Caso ii) D > > d 
d = 1 in = 0,0254 m ti = 0 s 
D = 100 in = 8,33 ft = 2,54 m tf = 18 s 
L = 15 m g = 9,81 m/s
2
 
ho = 5 m 
Note que ao atingir o regime permanente V g h m s
o2
2 9 90  , / 
Angela Nieckele – PUC-Rio
24
Caso iii) D  d  o tanque irá esvaziar 
 
d = 1 in = 0,0254 m ; ti = 0 s 
D = 5 in = 0,127 m ; tf = 18 s 
L = 15 m ; g = 9,81 m/s
2 
 
ho = 5 m 
 
Angela Nieckele – PUC-Rio
25
Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m
3
)é descrito pelo campo de velocidades 
  
V A x i A y j  , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s
-1
 , x e y são medidos em 
metros. Sabe-se que 
 
g g k  , onde g = 9,81 m/s
2
. 
 
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) . 
 


     
a
DV
Dt
a i a j a k
Du
Dt
i
Dv
Dt
j
Dw
Dt
kx y z       uV
t
u
tD
uD
a x 




 
 
 
a
u
t
u
u
x
v
u
y
w
u
z
Ax A A xx         








0 0 0 2 
 
 
a
v
t
u
v
x
v
v
y
w
v
z
A yy     








2
 e a
w
t
u
w
x
v
w
y
w
w
zz
    








0 
 
jyAixAa 22

 então 
  
a i j( , , )1 5 2 9 45  
Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m
3
)é descrito pelo campo de velocidades 
  
V A x i A y j  , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s
-1
 , x e y são medidos em 
metros. Sabe-se que 
 
g g k  , onde g = 9,81 m/s
2
. 
 
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) . 
 


     
a
DV
Dt
a i a j a k
Du
Dt
i
Dv
Dt
j
Dw
Dt
kx y z       uV
t
u
tD
uD
a x 




 
 
 
a
u
t
u
u
x
v
u
y
w
u
z
Ax A A xx         








0 0 0 2 
 
 
a
v
t
u
v
x
v
v
y
w
v
z
A yy     








2
 e a
w
t
u
w
x
v
w
y
w
w
zz
    








0 
 
jyAixAa 22

 então 
  
a i j( , , )1 5 2 9 45  
Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m
3
)é descrito pelo campo de velocidades 
  
V A x i A y j  , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s
-1
 , x e y são medidos em 
metros. Sabe-se que 
 
g g k  , onde g = 9,81 m/s
2
. 
 
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) . 
 


     
a
DV
Dt
a i a j a k
Du
Dt
i
Dv
Dt
j
Dw
Dt
kx y z       uV
t
u
tD
uD
a x 




 
 
 
a
u
t
u
u
x
v
u
y
w
u
z
Ax A A xx         








0 0 0 2 
 
 
a
v
t
u
v
x
v
v
y
w
v
z
A yy     








2
 e a
w
t
u
w
x
v
w
y
w
w
zz
    








0 
 
jyAixAa 22

 então 
  
a i j( , , )1 5 2 9 45  
Angela Nieckele – PUC-Rio
26
i) Avaliar o gradiente de pressão no mesmo ponto, sabendo que a viscosidade é desprezível 
 
Equação de Euler :  
D V
D t
g p


  grad  grad p g
D V
D t
  


 
 
grad p
p
x
i
p
y
j
p
z
k  






  
 gg;kgg zz 

 
 


 
p
x
a A xx   
2
 , 


 
p
y
a A yy   
2
 , g
z
p



 
 
kgjyAixApgrad 22

  
k9810jy9000ix9000pgrad

  )k81,9j45i9(10)2,5,1(pgrad 3

 
Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m
3
)é descrito pelo campo de velocidades 
  
V A x i A y j  , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s
-1
 , x e y são medidos em 
metros. Sabe-se que 
 
g g k  , onde g = 9,81 m/s
2
. 
 
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) . 
ii) Avaliar o gradiente de pressão no mesmo ponto, sabendo que a viscosidade é desprezível 
Angela Nieckele – PUC-Rio
27
i) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2) 
 

 
p
x
A x p A
x
f y z     2 2
2
12
( , ) 


 
p
y
A y p A
y
f x z     2 2
2
22
( , )  Czg
2
yx
Ap
22
2 







 
 
)y,x(fzgpg
z
p
3


 
 
 
   p p p p1 5 2 0 0 0 9 10
1 25
2
9810 2 0 1 37 101 0
3 5, , , , ,     





       Pa 
iii) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)
i) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2) 
 


 
p
x
A x p A
x
f y z     2 2
2
12
( , ) 


 
p
y
A y p A
y
f x z     2 2
2
22
( , )  Czg
2
yx
Ap
22
2 







 
 
)y,x(fzgpg
z
p
3


 
 
 
   p p p p1 5 2 0 0 0 9 10
1 25
2
9810 2 0 1 37 101 0
3 5, , , , ,     





       Pa 
i) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2) 
 


 
p
x
A x p A
x
f y z     2 2
2
12
( , ) 


 
p
y
A y p A
y
f x z     2 2
2
22
( , )  Czg
2
yx
Ap
22
2 







 
 
)y,x(fzgpg
z
p
3


 
 
 
   p p p p1 5 2 0 0 0 9 10
1 25
2
9810 2 0 1 37 101 0
3 5, , , , ,     





       Pa 
Angela Nieckele – PUC-Rio
28
i) Se este campo de velocidade for irrotacional a diferença de pressão poderia ter sido 
calculada com a aplicação da equação de Bernoulli 
 
u = Ax ; v = - Ay 
      
            rot V V i j kx y z0 , 
para escoamento plano 
 
  z k ; 



z
v
x
u
y
   0  é irrotacional 
 
Equação de Bernoulli (V = módulo do vetor velocidade) 
p V
g z
p V
g z
1
2
1
0 0
2
0
1
2 2 
       p p
V V
g z z1 0
2
0
2
1 0
1
2 2
   







  










 
Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0)  V0 = 0, z0 = 0 
 
Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2)  
 
   V V V V V A x A yx y1 1 12 12 12
2 2 2 23 15 234         

, , 
 
p1 - p0 = - 10
3 
 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 10
5
 Pa 
i) Se este campo de velocidade for irrotacional a diferença de pressão poderia ter sido 
calculada com a aplicação da equação de Bernoulli 
 
u = Ax ; v = - Ay 
      
            rot V V i j kx y z0 , 
para escoamento plano 
 
  z k ; 



z
v
x
u
y
   0  é irrotacional 
 
Equação de Bernoulli (V = módulo do vetor velocidade) 
p V
g z
p V
g z
1
2
1
0 0
2
0
1
2 2 
       p p
V V
g z z1 0
2
0
2
1 0
1
2 2
   







  










 
Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0)  V0 = 0, z0 = 0 
 
Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2)  
 
   V V V V V A x A yx y1 1 12 12 12
2 2 2 23 15 234         

, , 
 
p1 - p0 = - 10
3 
 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 10
5
 Pa 
i) Se este campo de velocidade for irrotacional a diferença de pressão poderia ter sido 
calculada com a aplicação da equação de Bernoulli 
 
u = Ax ; v = - Ay 
      
            rot V V i j kx y z0 , 
para escoamento plano 
 
  z k ; 



z
v
x
u
y
   0  é irrotacional 
 
Equação de Bernoulli (V = módulo do vetor velocidade) 
p V
g z
p V
g z
1
2
1
0 0
2
0
1
2 2 
       p p
V V
g z z1 0
2
0
2
1 0
1
2 2
   







  










 
Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0)  V0 = 0, z0 = 0 
 
Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2)  
 
   V V V V V A x A yx y1 1 12 12 12
2 2 2 23 15 234         

, , 
 
p1 - p0 = - 10
3 
 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 10
5
 Pa 
Angela Nieckele – PUC-Rio
29
Exercício: Um escoamento de um jato contra uma parede para ser 
representado por   10 x y
u
y
x v
x
y     
 

 

10 10, 0
y
u
x
v
00V k 







irrotacional
•
2
Up
2
Vp
22
 



então
2 L
p ; U
constantezg
2
Vp 2


Aplicando entre um ponto na parede e ao longe
   V u v x y2 2 2 2 210 10    
 V u v x2 2 2 210  
2
2
x50
2
U
pp  
ao longo da parede y = 0, logo 
onde
Angela Nieckele – PUC-Rio
30
A força é 
 
F p b dx p
U
x b dx
L
L
L
L
      




  ( ) 
2
2
2
50 
 
F p
U
b L b
x
p
U L
b L
L
L
  








    













   
2 3 2 2
2
2 50
3 2
50
3
2( ) ( ) 
Angela Nieckele – PUC-Rio
31
Exercício: Um vórtice é definido pelo seguinte campo de velocidade  euV

 , onde o 
componente angular é
r
K
u


2
 , sendo K a intensidade do vórtice constante (K=-10 m2/s). 
(i) Determine se o escoamento é irrotacional. 
(ii) Determine a função de corrente que representa o escoamento 
(iii) Determine a diferença de pressão entre os pontos (1) e (2) e entre (1) e (3), sabendo que o 
fluido é ar [=1,2 Kg/m
3
]. O ponto (1) possui coordenadas (ri = 2 ; 1 = 0
0
) , enquanto o 
ponto (2) e (3) possuem coordenadas (r2 = 2 ; 2 = 90
0
) e (r3 = 4 ; 3 = 90
0
) 
 euV


É irrotacional:  V

?  z= 
 
0
u
r
1
r
ur
r
1 r 




 
  é irrotacional. 
r
K
u


2

Angela Nieckele – PUC-Rio
32
É irrotacional:  V

?  z= 
 
0
u
r
1
r
ur
r
1 r 




 
  é irrotacional. 
 
A função de corrente é definida como u
r
u
rr
  
1  
 
 

, , logo 
)r(f0
r
1
u r 


 ; 
zero
Cter
2
K
r2
K
r
u 






 ln 
 
Os pontos (1) e (2) estão sob a mesma linha de corrente, a qual é igual a 1 = 2 = 1,103 
A função de corrente associada ao ponto (3) é3 = 2,206 
(ii) Determine a função de corrente que representa o escoamento
(r1 = 2 ; 1 = 0
0) ; (r2 = 2 ; 2 = 90
0) e (r3 = 4 ; 3 = 90
0)
Angela Nieckele – PUC-Rio
33
Como o escoamento é irrotacional, logo podemos encontrar a diferença de pressões entre 
quaisquer pontos utilizando a Equação de Bernoulli 
 
2
Vp
2
Vp
2
Vp
constantezg
2
V
p
2
33
2
22
2
11
2








 ; 
2
2
r2
K
V 






 


























2
1
2
2
22
1
2
2
21
r
1
r
1
2
K
22
V
2
V
pp = zero 


























2
1
2
3
22
1
2
3
31
r
1
r
1
2
K
22
V
2
V
pp = -0,285 Pa 
Angela Nieckele – PUC-Rio
34
1a Questão: Considere o escoamento de ar de baixa velocidade entre dois discos paralelos conforme 
mostrado. Admita que o escoamento é incompressível e não viscoso, e que a velocidade é 
puramente radial e uniforme em qualquer seção. A velocidade do escoamento é V = 15 m/s em R = 
75 mm. Estime a força líquida de pressão que atua na placa superior entre r = ri e r = R. Sabe-se 
que ri = R/3 
Angela Nieckele – PUC-Rio
35
2a Questão: A distribuição de velocidade num escoamento bi-dimensional, permanente, não viscoso, 
no plano x-y, é     jy34i6x3V

 , 
A aceleração da gravidade é kgg

 , e a massa específica é 825 kg/m3. 
(i) Isto representa um possível escoamento incompressível? 
(ii) Determine os pontos de estagnação do campo de escoamento. 
(iii) O escoamento é irrotacional? 
Avalie a diferença de pressão entre a origem e o ponto (x, y, z) =(2, 2, 2).