8-MecanicaFluidosII-EscoamentoInternoLaminar

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1
ESCOAMENTOS INTERNOS
 Como já mencionado, o comportamento na região de entrada de uma 
tubulação apresenta o mesmo comportamento que o escoamento externo. 
Podemos então utilizar a teoria vista de camada limite para prever o 
escoamento nesta região. 
Observa-se, no entanto, que longe da região de entrada, o escoamento 
não apresenta variações na sua própria direção. O escoamento é 
considerado como hidrodinâmicamente desenvolvido.
O escoamento na região da entrada de um duto pode ser 
esquematizado de acordo com a figura abaixo
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2
ESCOAMENTOS INTERNOS HIDRODINÂMICAMENTE
DESENVOLVIDO. 
 A velocidade característica é a velocidade média um
 A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh
 dAuA
1
A
Q
u
TT
m
m
t
h
P
A4
D 

 hm DuRe
O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é
Re  2300  laminar 
Re > 2300  turbulento
O comprimento da região da entrada depende se o escoamento é laminar ou 
turbulento. No caso laminar, para um duto circular, pode-se estimar o 
comprimento da região da entrada como
Para o no. de Reynolds limite Re= 2300, temos que Le/D  140
Para o regime turbulento, como este está associado a uma maior transferência de 
quantidade de movimento, o desenvolvimento do escoamento ocorre para uma 
distância menor da entrada, tipicamente, tem-se Le/D  40 

 Due m06,0
D
L

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3
 a tensão na parede é
nos escoamentos hidrodinâmicamente desenvolvidos em tubos 
horizontais, tanto no regime laminar quanto turbulento, a queda de pressão 
é somente devido às tensões tangenciais nas paredes da tubulação.
 
  





 r
rrx
p 1
0
2
r
x
p



2
)(
R
x
p
Rrs


 
No entanto, o perfil de velocidade varia substancialmente para cada regime 
de escoamento e para cada tipo de geometria.
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4
O relação 
4
D
x
p
s


 também poderia ter sido obtida através de um balanço de 
forças no seguinte volume de controle 
 
 
  0xF  0







 dxmPsTAdx
x
p
pTAp  
 
4
hD
x
p
mP
TA
x
p
s





 
 
 Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e 
turbulento 
p+ dx
x
p


 R 
r 
x 
p s 
dx 
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definimos como escoamento hidrodinâmicamente desenvolvido, o 
escoamento interno que não apresenta variações de velocidade na 
direção principal do escoamento.
Uma outra característica dos escoamentos hidrodinâmicamente
desenvolvidos, consiste no fato de que a queda de pressão ao longo 
da tubulação, nesta região é constante.
5
A queda de pressão adimensional, nada mais é do que o 
fator de atrito
2
2
1
m
h
u
D
x
p
f











 A vazão adimensional pode ser interpretada para
um determinado fluido e tubulação como o número
de Reynolds.

 hm DuRe
2
1
2
m
h
u
D
f
x
p









Tensão cisalhante adimensional
2
2
1
m
s
u
f


  ff 4
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Perda de Carga
 A perda de carga de um escoamento em uma tubulação, está 
associada com a perda de energia do escoamento, isto é, a conversão 
irreversível de energia mecânica em energia térmica. Podemos utilizar 
a equação da energia para avaliar a perda de carga
gz
V
ie 
2
2
 





 



SCVC
outroste AdnV
p
ede
t
WWWQ
 


Hipóteses:
1. Propriedades constantes (cte, =cte)
2. Regime permanente   / t = 0
3. não existe outras formas de trabalho
4. o volume de controle é coincidente com 
fronteiras sólidas e perpendicular às fronteiras 
onde existe fluxo de massa, logo não existe 
contribuição do trabalho viscoso: 
5. pressão e energia interna uniformes na seção 
transversal
0outrosW

0W

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 Com essas hipóteses a equação da energia se reduz a
 Vimos que o perfil de velocidade não é uniforme na seção transversal, 
e que a forma do perfil depende do regime de escoamento, se é 
laminar ou turbulento. Podemos substituir o perfil de velocidade 
adequado e fazer a integral. O resultado pode ser representado por
 
11
2
1
22
2
2
12
12
12
12
22
dAV
V
dAV
V
zzgm
pp
miimWQ
AA
e










)(
2
2
2
23
0
V
mdrr
VR
  AVm
Vm
drrV
R


 



;
2
2
3
0
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8
 
  


12
12
2
1
2
2
12
12 1
22
Lh
e
dm
Q
ii
gg
V
g
V
αzz
pp
gm
W











 




















)(
Reescrevendo a equação da energia, temos
Na equação acima  é o peso específico,  g.
O último termo,
g
p
hL



12
é a perda de carga entre as seções (1) e (2) e possui unidade de 
comprimento.
2
2
1
m
h
u
D
L
fp Vimos 
g
u
D
L
fh m
h
L
2
2
logo
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Logo, o nosso principal objetivo é relacionar o fator de atrito com o 
número de Reynolds
Desejamos também conhecer o perfil de velocidade e de tensão 
cisalhante. Para isso precisamos resolver as equações de conservação 
de massa e quantidade de movimento.
Vamos introduzir as hipóteses acima nas equações de conservação 
para resolvermos alguns casos particulares.
Hipóteses
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime Permanente (/t=0)
4. Bi-dimensional (w=0, /z=0)
5. Hidrodinamicamente desenvolvido na direção x (/x=0)
Vpg
tD
VD 

2 0V

div
Continuidade Equação de Navier-Stokes
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 Exemplo 1: Qual a força necessário para deslocar um bloco com 
comprimento L= 5 cm e largura b = 10 cm, com velocidade 
U = 2 m/s, sobre uma mesa, sabendo que existe uma película de 
óleo ( =980 kg/m3;  = 0,01 Pa s) de espessura h = 1 mm
U
h
y x
L
shy
AF

 
hy
hy y
u

 

 
LbAs 
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente   / t = 0
4. 2-D (largura b >> h)   / z = 0
5. L >> h  esc. desenvolvido  / x = 0
6. Escoamento horizontal, gravidade 
vertical
7. p = patm = constante
jgg


Diâmetro hidráulico:
b
hb
P
A
D
m
t
h
2
44

hDh 2
Determinando o regime de escoamento
2300392
2


 hU
laminar

 hDURe
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Continuidade:
 
ctev
z
w
y
v
x
u









0
4050 )()(
00
2




VV
t
cte



)(
)(



0vCondição de contorno: y=0 ; v=0
iyuV

)(
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Vpg
tD
VD 

2 
Q. M. L - direção x
Q.M.L. (Navier-Stokes):
      
)()(
)()()(
)(
)()()()( 405070
60
40005030
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
p
gwvu

















 


21102
2
CyCuC
y
u
y
u





Condição de contorno: 
1) y=0 ; u=0  C2=0
2) y=h; u=U  C1=U/h
h
y
Uu 
h
U
y
u
 



bL
h
U
AF shy
 

F = 0,01 Nu
U

h
y x Escoamento de Couette
tensão constante
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 Exemplo 2: Considere um escoamento laminar entre duas placas 
paralelas estacionárias, afastadas de 2 a. Determine a perda de 
carga hL, sabendo que a vazão volumétrica é Q. O fluido possui 
propriedades constantes  e . Sabe-se que Dh = 4 a e que L >> Dh
e b >> Dh
2 ay x
L
Hipóteses:
1. Fluido Newtonianao
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente   / t = 0
4. 2-D (largura b >> Dh)   / z = 0
5. L >> Dh  esc. desenvolvido  / x = 0
6. Escoamento horizontal, gravidade 
vertical
7. p constante
8. Regime laminar
jgg


Já vimos que com essas hipóteses iyuV

)(
g
p
hL



Precisamos relacionar a queda de pressão com a vazão  dAuQ
Perda de carga:
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Vpg
tD
VD 

2
Q. M. L - direção x
Q.M.L. (Navier-Stokes):
      
)()(
)()(
)(
)()()()( 4050
60
40005030
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
p
gwvu

















 

x
p
y
u




 
2
2
Condição de contorno: 
1) y=0;  u /  y (simetria)  C1 = 0
2) y=a ; u=0  C2=1/ (-  p /  x ) a
2/2 













2
22
1
2 a
ya
u
x
p



21
2
1
2
11
CyC
y
uCy
x
p
x
p
y
u














x
pa
u


2
2
max
2 a
y
u
x
Velocidade 
máxima em 
y=0
Tensão 
cisalhante
y
x
p
y
u




 
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Vazão volumétrica:



















aa
a
dy
a
y
x
pa
bdybudAuQ
0
2
22
1
2
2



































2
32
0
2
32
332
2
a
a
a
x
pa
b
a
y
y
x
pa
bQ
a










x
pa
bQ

3
3
2
tm AudAuQ 
maxu
x
pa
um
3
2
3
1 2










baAt 2
L
p
x
p 



Perda de carga:
g
p
hL



bag
LQ
g
p
hL 32
3





hmm
m
m
m
h
Duau
au
au
u
D
x
p
f







9624
2
1
43
2
1 222










Fator de atrito:
Re
96
f
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Exercício 1: Um viscosímetro cilíndrico é usado para medir a viscosidade de 
fluidos. Supondo que: (1) o cilindro interno gira com velocidade angular 
constante w, suficientemente baixa para que o escoamento seja laminar. (b) o 
escoamento possui simetria angular e não varia na direção z. (c) a distância entre 
os cilindro (b-a) é muito pequena. Determine a expressão para a viscosidade do 
fluido em termos do torque T necessário para fazer o cilindro menor girar, da 
velocidade angula w e da geometria do cilindro
h
a
b
w
w
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Exercício 2: Vazamento em volta de um pistão
Um sistema hidráulico opera a uma pressão manométrica de 20 MPa e 55 C. O 
fluido hidráulico é óleo SAE 10 W. Uma válvula de controle consiste em um pistão 
com 25 mm de diâmetro, montado num cilindro com folga radial média de 0,005 
mm. Determine a vazão em volume de vazamento se a pressão manométrica do 
lado de baixa pressão do pistão for 1,0 MPa. O pistão tem 15 mm de comprimento.
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Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente   / t = 0
4. 2-D (largura b >> h)   / z = 0
5. L >> h  esc. desenvolvido  / x = 0
6. Escoamento inclinado de q com a 
horizontal, gravidade vertical
7. p  constante
8. laminar
g

U
q
y x
gy
gx
h=2 a
Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE:
(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido 
entre duas placas paralelas e infinita)
Continuidade:
 
ctev
z
w
y
v
x
u









0
4050 )()(
00
2




VV
t
cte



)(
)(



0vCondição de contorno: y=0 ; v=0
iyuV

)(
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Vpg
tD
VD 

2 
Q. M. L - direção z
Q.M.L. (Navier-Stokes):
 ),(
)(
)(
)(
)(
yxpp
z
p
w
z
p
g
tD
wD
wzero
z
wzero









0
4
0
2
0
4
0



Q. M. L - direção y

q
q
cos
)(
)(cos
)(
)(
g
y
p
v
y
p
g
tD
vD
decontinuida
vzerog
y
decontinuida
vzero










 0
2
0
)()(cos xfygp  q )(xf
x
p



logo
então
20
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Q. M. L - direção x
      
)()(
)()(
sin
)()()()( 405040005030
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
g
xz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
p
gwvu






q











 


x
p
y
u
g




q  sin
2
2
Note que a aceleração é nula, logo existe um equilíbrio de forças, a tensão 
cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão e gravitacional
Note agora que u só depende de y e que p/x só pode depender de x, então 
para que a igualdade anterior seja verdadeira, é necessário, que as duas 
parcelas seja iguais a uma constante, logo
Kg
x
p
y
u





q sin
2
2
x
p
y
g




q  sinou y
u

 pois
21
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Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade 
entre as duas placas

 K
y
u

2
2
Condições de contorno: 
1) y=a; u =U U=(K/ ) a2/2 + C1 a + C2
2) y=-a ; u=0  0=(K/ ) a2/2 - C1 a + C2
















a
yU
a
yaK
u 1
2
1
2 2
22

21
2
1
2
CyC
yK
uCy
K
y
u



As constante C1 e C2 podem ser 
facilmente determinadas
(I)+(II) 2
2
2
2
2 C
a
U 


22
2
2
aU
C


 
(I) - (II) aCU 12 a
U
C
2
1  
 Substituindo as constantes C1 e C2 na expressão para a velocidade, determinamos os perfil 
de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos 
22
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23
 Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão 
cisalhante 
 Vazão: 
TA
TTm AduAuQ  


a
a
ydbuQ
 
 
baU
a
Q










 2
3
2
 ; baAT 2 ; 







 U
a
um
2
1
3
1 2


 
 
 O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que 
yd
ud
  
 
a
U
y
2
  onde 
x
p
seng


q  )( 
 
Vamos agora analisar casos particulares do caso acima: 
 Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão 
cisalhante 
 Vazão: 
TA
TTm AduAuQ  


a
a
ydbuQ
 
 
baU
a
Q










 2
3
2
 ; baAT 2 ; 







 U
a
um
2
1
3
1 2


 
 
 O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que 
yd
ud
  
 
a
U
y
2
  onde 
x
p
seng


q  )( 
 
Vamos agora analisar casos particulares do caso acima: 
Angela Nieckele – PUC-Rio
24
Caso 1: q    U ≠   0
x
p


 (1º. exemplo): obs: y’=y+a → u=U y’/h = U y’/(2 a) 
 







a
yU
u 1
2
; 
a
U
2
  
 
 
Caso 2: q    U    
0
x
p



 (2º. exemplo): 

















22
1
2 a
yaK
u
 
 









2
22
1
2 a
ya
u


 y  
maxmax ;
)/(
uu
axp
u m
3
2
2
2













2
22
1
2 a
yaK
u

yK
a
b
ab
P
A
D
u
Ddxp
f
m
t
h
m
h 4
2
244
21 2



)(
;
)/(
)/(

















a
yU
a
yaK
u 1
2
1
2 2
22
 a
U
yK
2
 
U
2a
Caso 2: q=0 , U=0, p/x
2a
96Ref
Angela Nieckele – PUC-Rio
25
Caso 3: q    U    0
x
p


 
 
















a
yU
a
ya
u 1
2
1
2 2
22


; 
a
U
y
2
  
 
umax onde 00  yd
ud
 
 y 
U 
u 
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26
Caso 4: q    U    0
x
p


 ; 22
0
a
U
x
p 


 
 
 
y 
U u 
Caso 5: q    U    
22 a
U
x
p 
 


 
 
 
Neste caso, a tensão na parede inferior é nula 
u 
y 
U 
0
222 2
 



 então
a
U
Kse
a
U
Kaayem
a
U
Ky
Angela Nieckele – PUC-Rio
27
Caso 6: q    U    
22 a
U
x
p 
 


 
 
 
O fluido próximo a parede superior direita escoa para a direita e próximo a parede inferior 
escoa para a esquerda. 
 
A tensão para parede inferior é negativa, 0
2



 a
x
p
a
U
s

 
u 
y U 
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28
u 
U 
 Considerando agora q  0, temos 
 
Caso 7: q  0  U    0 q


 seng
x
p
 
q


seng
x
p
 


seng
x
p
 (
x
p


 pode ser positivo) 
( q sensen  ) 
 q  
 
 
Caso 8: q  0  U    0 q


 seng
x
p
 
q


sengx
p
 


seng
x
p
 
 
q  

 
 
 
 
 
x
p


 pode ser zero, K > 0 q 

 
u 
U 
U 
u 
U  
u 
Angela Nieckele – PUC-Rio
29
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente   / t = 0
4. 2-D (simetria angular)  vq   / q = 0
5. L >> D  esc. desenvolvido  / x = 0
6. Escoamento horizontal, gravidade 
vertical
7. p  constante
8. laminar
ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE:
(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido 
em um duto circular)
Continuidade:




00
2
VV
t
cte



)(
)(



0v
Então r v = constante. 
Condição de contorno: r=R ; v=0 iruV

)(
qq eveveuV rx

 
 
qq q cos; ggsenggr  
gq g

 
D=2 R 
r 
x 
r 
q 
gr 

0
54



)()(
zerozero
x
u
r
v
rr
vr 
q


 q

Angela Nieckele – PUC-Rio
Vpg
tD
VD 

2 
Q. M. L - direção r
Q.M.L. (Navier-Stokes):
























q








q
q


q

q


q

q



v
rr
v
r
v
r
rr
r
p
seng
r
v
uvv
r
v
r
v
x
v
r
v
r
v
t
v
22
2
21
2
2
22
2
A aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e vq =0, então a equação
acima se reduz para
),(1 xfsenrgpseng
r
p
qqq



q

q
q
 11
cos
1 f
r
g
p
r
logo (*)
30
Angela Nieckele – PUC-Rio
Q. M. L - direção q
Novamente a aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e vq =0, 
então a equação acima se reduz para
comparando esta equação com a equação (*)



















q






q

q


q
qq
q


q

q



qq
qqqq
v
rr
v
r
v
r
rr
r
p
g
r
vv
uvv
x
v
r
v
x
v
r
v
r
v
t
v
22
21
2
2
22
2
cos
q
q

cos
1
g
p
r

concluímos que
)(0
1
11
1
xff
f
r

q
 )(1 xfsenrgp  q
31
q

q
q
 11
cos
1 f
r
g
p
r

Angela Nieckele – PUC-Rio
Q. M. L - direção x
Novamente, verificamos que a aceleração é nula, e portanto existe um equilíbrio 
de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão
constante
Relembrando que a tensão cisalhante é 
  




































)()(
)()()()(
54
5403
2
2
22
21
zero
x
u
zero
r
u
zero
x
u
zero
r
u
vzero
r
u
zero
t
u
r
u
r
rr
x
p
uvv


q



q

q




















 





)()( '1
1
xfrg
x
p
r
u
r
rr
  
r
u


  



r
r
r
)(1
32
q senrgpp ref 
A variaçao da pressão é só
hidrostática
Angela Nieckele – PUC-Rio
Integrando esta equação, podemos determinar o 
campo de velocidade e tensão cisalhante
Relembrando que a 
tensão cisalhante é r
u


 




r
r
r
)(1
r
Cr
C
r
r 11
2
22
 
r
Cr
y
u

 1
2



2
1
2
4
Cr
Cr
u  ln


33
2) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + C2  C2 =-(K/ ) R
2/4
Condições de contorno: 
1) r= 0 ; u e  finitos (simetria;  / r =0)  C1 =0

















22
1
4 R
rRK
u

Angela Nieckele – PUC-Rio
34
 O perfil de velocidade é 
 









2
22
1
4 R
rR
u


ou 
















2
22
1
4 R
rR
x
p
u
 
 
 
 
 
note que como o perfil é simétrico, a velocidade máxima ocorre na linha de centro 
 
4
)0(
2
maxmax
R
x
p
uruu 







 








2
2
1
R
r
uu max 
u 
R 
r 
x 
u 
Angela Nieckele – PUC-Rio
35
 Vazão: 
TA
TTm AduAuQ  
R
rdruQ
0
2  
2max
2
42
max
242
2 R
u
R
RR
uQ  








 
 
2RAT 
2
maxuum 
 328
22 D
x
pR
x
p
um 















 
 O perfil de tensão cisalhante é : 
2
r
x
p


 
Se 0


x
p
então  < 0 
 
 
 
n 
 
u 
R 
r 
x 
u 
 Vazão: 
TA
TTm AduAuQ  
R
rdruQ
0
2  
2max
2
42
max
242
2 R
u
R
RR
uQ  








 
 
2RAT 
2
maxuum 
 328
22 D
x
pR
x
p
um 















 
Angela Nieckele – PUC-Rio
36
Na parede 
2
)(
R
x
p
Rr


  
 
tensão na parede 
42
)(
D
x
pR
x
p
Rrs





  
 
O fator de atrito pode agora ser obtido Du
Du
Du
u
D
x
p
f
m
m
m
m





64
2
1
32
2
1 222











 
 
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh  /4 
 
Re
64
f ; 

 DumRe 
 
Note que como 
4
D
x
p
s


 
o fator de atrito também pode ser escrito como 
22
2
1
4
2
1
m
s
m uu
D
x
p
f














 
Na parede 
2
)(
R
x
p
Rr


  
 
tensão na parede 
42
)(
D
x
pR
x
p
Rrs





  
 
O fator de atrito pode agora ser obtido Du
Du
Du
u
D
x
p
f
m
m
m
m





64
2
1
32
2
1 222











 
 
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh  /4 
 
Re
64
f ; 

 DumRe 
 
Note que como 
4
D
x
p
s


 
o fator de atrito também pode ser escrito como 
22
2
1
4
2
1
m
s
m uu
D
x
p
f














 
Na parede 
2
)(
R
x
p
Rr


  
 
tensão na parede 
42
)(
D
x
pR
x
p
Rrs





  
 
O fator de atrito pode agora ser obtido Du
Du
Du
u
D
x
p
f
m
m
m
m





64
2
1
32
2
1 222











 
 
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh  /4 
 
Re
64
f ; 

 DumRe 
 
Note que como 
4
D
x
p
s


 
o fator de atrito também pode ser escrito como 
22
2
1
4
2
1
m
s
m uu
D
x
p
f














 
Angela Nieckele – PUC-Rio
37
O relação 
4
D
x
p
s


 também poderia ter sido obtida através de um balanço de 
forças no seguinte volume de controle 
 
 
  0xF  0







 dxmPsTAdx
x
p
pTAp  
 
4
hD
x
p
mP
TA
x
p
s





 
 
 Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e 
turbulento 
p+ dx
x
p


 R 
r 
x 
p s 
dx 
Angela Nieckele – PUC-Rio
38
Exemplo 8.3: Determine o perfil de velocidade para uma película de água 
escoando ao longo de uma parede vertical, com espessura constante
Angela Nieckele – PUC-Rio
39
Exemplo 8.4: Um viscosímetro simples e preciso pode ser feito com
um tubo capilar. determine a viscosidade de um fluido newtoniano,
sabendo que os seguintes dados foram obtidos num viscosímetro
capilar.
•vazão em volume = 880 mm3/s
•queda de pressão = 1,0 MPa
•diâmetro do tubo: 0,50 mm
•distância entre tomadas de pressão: 1m
Angela Nieckele – PUC-Rio
40
Exemplo: Deseja-se bombear glicerina a 20 C [=1000 Kg/(m3),
=1,4 Kg/(ms)] em um tubo anular horizontal. O diâmetro interno é 1 in e o
externo de 2 in. A tubo possui 2 m de comprimento. Deseja-se uma vazão
de 0,15 m3/s. Qual a potência de bombeamento necessária?
QPuAPuFPot mtm  
Rin=k Rex  k=0,5

 hDu mRe
sm
kR
Q
A
Q
u
t
m
/,
)(
796
1 22




)(
)(
)(
kR
kR
kR
P
A
D
m
t
h 


 12
12
144 22


laminar1790 

 hDu m
Re
Precisamos encontra a relação entre vazão de queda de pressão
Uma vez que as hipótese são as mesmas que no caso de Hagen Pouisselle, 
a equação de quantidade de movimento axial simplificada é iguale o perfil
perfil de velocidade é
2
1
2
4
Cr
CrK
u  ln

Angela Nieckele – PUC-Rio
41
Condições de contorno: 
1) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + (C1 / ) lnR + C2  C2 =-(K/ ) R
2/4 - (C1 / ) lnR
R
rC
R
rRK
u ln

1
22
1
4


















2) r=k R ; u=0  0=(-K R2 /4 ) [1- k2] + (C1 / ) ln (k)  C1 / =(K R
2 /4 ) [1- k2] /ln (k) 







 







R
r
k
k
R
r
L
RP
u ln
ln
)(
222 1
1
4 

2
1
2
4
Cr
CrK
u  ln

A vazão volumétrica Q é 
R
kR
tm drruAuQ 2
kW
k
k
k
R
LQ
Pot 191
2501501
1
025402
2418150
1
1
1
8
2244
2
1
22
4
4
2











 


)ln(/),(),(),(
,,
)/ln(
)(
)(


L
P
x
P
K





QPuAPuFPot mtm  







 

)/ln(
)(
)(
k
k
k
L
RP
Q
1
1
1
8
22
4
4

 122
4
4 1
1
1
8








 

)/ln(
)(
)(
k
k
k
R
LQ
P


