isee_14_-_faltas_assimetricas

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
07/10/2013 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
Prof. Dr. Roberto Cayetano Lotero 
E-mail: roberto.lotero@gmail.com 
Telefone: 35767147 
Centro de Engenharias e Ciências Exatas 
Foz do Iguaçu 
1 
mailto:roberto.lotero@gmail.com
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
07/10/2013 2 
FALTAS ASSIMÉTRICAS 
Circuitos de Seqüência positiva, negativa e zero 
Falta Simples de Linha a Terra 
Falta de Linha a Linha 
Falta de Dupla Linha a Terra 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
Ifa 
a 
Ifb 
b 
Ifc 
c 
k 
07/10/2013 3 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
+ 
- 
+ 
- 
+ 
- 
k 
)1(
faI
k 
)2(
faI
Vf 
+ 
- 
+ 
- 
k 
)1(
faI
Vf 
+ 
- 
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kkZ
)1(
kaV
k 
)2(
faI
+ 
- 
)2(
kkZ
)2(
kaV
07/10/2013 4 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
k 
)0(
faI k 
)0(
faI
+ 
- 
)0(
kkZ
)0(
kaV
07/10/2013 5 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 


























































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






















































































































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


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1
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2
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1
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2
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1
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2
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1
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)1()1()1(
2
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1
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2
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1
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2
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2
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22
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21
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1
)1(
1
)1(
12
)1(
11
)1(
)1(
)1(
2
)1(
1
0
0
0
faNkf
fakkf
fakf
fakf
Na
ka
a
a
f
f
f
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faNk
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IZV
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V
V
V
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V
V
V
V
V
V
V
V
IZ
IZ
IZ
IZ
I
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
V
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V
V
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

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
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











07/10/2013 6 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 


























































































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)0()0(
)0()0(
2
)0()0(
1
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)0(
)0(
2
)0(
1
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)2()2(
)2()2(
2
)2()2(
1
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)2(
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2
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1
 
faNk
fakk
fak
fak
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a
a
faNk
fakk
fak
fak
Na
ka
a
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IZ
IZ
IZ
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V
V
V
IZ
IZ
IZ
IZ
V
V
V
V








07/10/2013 7 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
Exemplo: duas máquinas síncronas se conectam através de 
transformadores trifásicos à linha de transmissão que é 
mostrada na figura. Os valores nominais e as reatâncias das 
máquinas e transformadores são: 
Máquinas 1 e 2: 100 MVA, 20 kV; Xd” = X1 = X2 = 20% 
 X0 = 4%, Xn = 5% 
Transformadores: 100 MVA, 20/345Y kV; X = 8% 
Na base de 100 MVA e 345 kV na linha de transmissão as 
reatâncias são: X1 = X2 = 15% e X0 = 50%. 
Desenhe as três redes de sequência e encontre a matriz 
impedância de barra de sequência zero através do algoritmo 
de construção direta. 
07/10/2013 8 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
1 2 4 3 T1 T2 
+ 
- 
+ 
- 
Vf 
j0,20 j0,20 
j0,08 j0,08 j0,15 
Vf 
j0,20 j0,20 
j0,08 j0,08 j0,15 
j0,15 
j0,04 j0,08 j0,08 j0,50 
j0,15 
j0,04 
1 2 3 4 1 2 3 4 
1 2 3 4 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
Construção da matriz impedância de barra de sequência zero 
 19,0j
• Acrescenta a barra 2: 






08,00
019,0
j
j
• Acrescenta a barra 3: 










58,008,00
08,008,00
0019,0
jj
jj
j
07/10/2013 10 
• Acrescenta a barra 1: 
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• Acrescenta a barra 4: 













19,0000
058,008,00
008,008,00
00019,0
)0(
j
jj
jj
j
ZBUS
(1) (2)
0,1437 0,1211 0,0789 0,0563
0,1211 0,1696 0,1104 0,0789
0,0789 0,1104 0,1696 0,1211
0,0563 0,0789 0,1211 0,1437
BUS BUS
j j j j
j j j j
Z Z
j j j j
j j j j
 
 
  
 
 
 
07/10/2013 11 
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Falhas monofásicas à terra 
 
Ifa 
a 
Ifb 
b 
Ifc 
c 
k 
3
 
0
0
1
1
111
3
1
 0 0
)2()1()0(
2
2
)2(
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fafafa
fa
fa
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I
III
I
aa
aa
I
I
I
IZVII




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



























07/10/2013 12 
fZ
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
+ 
- 
k 
)1(
faI
Vf 
+ 
- 
)1(
kkZ
)1(
kaV
k 
)2(
faI
+ 
- 
)2(
kkZ
)2(
kaV
k 
)0(
faI
+ 
- 
)0(
kkZ
)0(
kaV
)0()0()0(
fakkka IZV 
)1()1()1(
fakkfka IZVV 
)2()2()2(
fakkka IZV 
fkkkkkk
f
fafafa
faffakkkkkkfkakakaka
ZZZZ
V
III
IZIZZZVVVVV
3
3)(
)2()1()0(
)2()1()0(
)0()0()2()1()0()2()1()0(



07/10/2013 13 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
+ 
- 
k 
)1(
faI
Vf 
+ 
- 
)1(
kkZ
)1(
kaV
k 
)2(
faI
+ 
- 
)2(
kkZ
)2(
kaV
k 
)0(
faI
+ 
- 
)0(
kkZ
)0(
kaV
3Zf 
fkkkkkk
f
fafafa
ZZZZ
V
III
3)2()1()0(
)2()1()0(


07/10/2013 14 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
1 2 4 3 T1 T2 
Exemplo: Suponha uma falha monofásica à terra na barra 3 
do sistema a seguir, calcule a corrente na fase c dos dois 
geradores. 
07/10/2013 15 
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+ 
- 
+ 
- 
Vf 
j0,20 j0,20 
j0,08 j0,08 j0,15 
Vf 
j0,20 j0,20 
j0,08 j0,08 j0,15 
j0,15 
j0,04 j0,08 j0,08 j0,50 
j0,15 
j0,04 
1 2 3 4 
1 2 3 4 
1 2 
3 
4 
)0(
faI
07/10/2013 16 
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2637,33
0879,1
1696,01696,058,0
1
3
)0(
)0(
)2(
33
)1(
33
)0(
33
)2()1()0(
jII
j
jjj
I
ZZZZ
V
III
fAfA
fA
f
f
fAfAfA





































































8683,0
8155,0
8799,0
9142,0
0879,11211,01
0879,11696,01
0879,11104,01
0879,10789,01
)1()1(
43
)1()1(
33
)1()1(
23
)1()1(
13
)1(
4
)1(
3
)1(
2
)1(
1
jj
jj
jj
jj
IZV
IZV
IZV
IZV
V
V
V
V
fAf
fAf
fAf
fAf
A
A
A
A
07/10/2013 17 
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




























































0
6310,0
0870,0
0
0879,1
0
58,0
08,0
0
)0()0(
43
)0()0(
33
)0()0(
23
)0()0(
13
)0(
4
)0(
3
)0(
2
)0(
1
j
j
j
IZ
IZ
IZ
IZ
V
V
V
V
fA
fA
fA
fA
A
A
A
A































































1318,0
1845,0
1201,0
0858,0
0879,1
1211,0
1696,0
1104,0
0789,0
)2()2(
43
)2()2(
33
)2()2(
23
)2()2(
13
)2(
4
)2(
3
)2(
2
)2(
1
j
j
j
j
j
IZ
IZ
IZ
IZ
V
V
V
V
fA
fA
fA
fA
A
A
A
A
07/10/2013 18 
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Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica07/10/2013 19 
(0)
3 3
2 (1)
3 3
2 (2)
3 3
3
3
3
1 1 1
1
1
0
1,2829 137,54
1,2829 137,54
A A
B A
C A
A
B
C
V V
V a a V
V a a V
V
V
V
    
    
     
         

  
  
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
(0)
2 2
2 (1)
2 2
2 (2)
2 2
(0) (1) (2)
2 2 2 2
2
2
1 1 1
1
1
0,0870 0,8799 0,1201 0,6728
0,98387 118,33
0,98387 118,33
A A
B A
C A
A A A A
B
C
V V
V a a V
V a a V
V V V V
V
V
    
    
     
         
       
  
  
Para determinar a tensão em cada fase da barra 1 (baixa tensão) é 
necessário realizar as defasagens nas componentes de sequência 
(0) (0) (1) (1) (2) (2)
1 1 1 1 1 1
1
 30º 30º
0 (0,9142 30º ) (0,0858 30º ) 0,87446 34,87º
a A a A a A
a
V V V V V V
V
    
      
07/10/2013 20 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
(0) (0)
(0) 2 3
23 (0)
23
(1) (1)
(1) 2 3
23 (1)
23
(2) (2)
(2) 2 3
23 (2)
23
23
0,0870 0,6310
1,088
0,50
0,8799 0,8155
0,4293
0,15
0,1201 0,1845
0,4293
0,15
1,088 0,4293 0,4293
A A
fA
A A
fA
A A
fA
fA
V V
I j
Z j
V V
I j
Z j
V V
I j
Z j
I j j j
  
   
 
   
  
   
     
23
23
1,9466
0,6587
0,6587
fB
fC
j
I j
I j
 
 
07/10/2013 21 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
(0) (0)
(0) 4 3
43 (0)
43
(1) (1)
(1) 4 3
43 (1)
43
(2) (2)
(2) 4 3
43 (2)
43
43
43
43
0 0,6310
0
0,8683 0,8155
0,66
0,08
0,1318 0,1845
0,66
0,08
0 0,66 0,66 1,32
0,66
0,66
A A
fA
A A
fA
A A
fA
fA
fB
fC
V V
I
Z
V V
I j
Z j
V V
I j
Z j
I j j j
I j
I j
 
  

 
   
  
   
    


07/10/2013 22 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
(0)
12
(1) (1)
12 23
(2) (2)
12 23
12
12
12
0
30º 0,4293 ( 90º 30º )
30º 0,4293 ( 90º 30º )
0 (0,4293 120º ) (0,4293 60º ) 0,74357
0
0,74357
fa
fa fA
fa fA
fa
fb
fc
I
I I
I I
I j
I
I j

     
     
      


07/10/2013 23 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
07/10/2013 24 
• Para a mesma falta o que aconteceria se o transformador 
T2 estivesse aterrado? 
– Tensões 
– Correntes 
j0,15 
j0,04 j0,08 j0,08 j0,50 
j0,15 
j0,04 
1 2 3 4 
(0)
0,19 0 0 0
0 0,0703 0,0097 0
0 0,0097 0,0703 0
0 0 0 0,19
BUS
j
j j
Z
j j
j
 
 
 
 
 
 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
(1) (2)
0,1437 0,1211 0,0789 0,0563
0,1211 0,1696 0,1104 0,0789
0,0789 0,1104 0,1696 0,1211
0,0563 0,0789 0,1211 0,1437
BUS BUS
j j j j
j j j j
Z Z
j j j j
j j j j
 
 
  
 
 
 
07/10/2013 25 
(0) (1) (2)
(0) (1) (2)
33 33 33
(0)
(0)
1
2,442
0,0703 0,1696 0,1696
3 7,326
f
fA fA fA
fA
fA fA
V
I I I
Z Z Z
I j
j j j
I I j
  
 
  
 
  
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
07/10/2013 26 
(1)
1
(1)
2
(1)
3
(1)
4
0,80733
0,7304
0,58583
0,70427
A
A
A
A
V
V
V
V
   
   
   
   
   
    
(2)
1
(2)
2
(2)
3
(2)
4
0,19267
0,2696
0,41416
0,29573
A
A
A
A
V
V
V
V
   
   
   
   
   
    
(0)
1
(0)
2
(0)
3
(0)
4
0
0,02369
0,17167
0
A
A
A
A
V
V
V
V
   
   
   
   
   
    
3
3
3
0
0,90349 106,55
0,90349 106,55
A
B
C
V
V
V

  
  
3
3
3
0
1,2829 137,54
1,2829 137,54
A
B
C
V
V
V

  
  
Com aterramento 
Sem aterramento 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
Falhas bifásicas linha à linha 
 
Ifa 
a 
b 
c 
k 
)2()1()0(
2
2
)2(
)1(
)0(
 0 
0
1
1
111
3
1
 0
fafafa
fb
fb
fa
fa
fa
fbfkckbfcfbfa
III
I
I
aa
aa
I
I
I
IZVVIII

































Ifb 
Ifc 
Zf 
07/10/2013 27 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
ffakaka
ffakaka
ffafaffbfbfbf
kakakaka
kckbkckbkckckbkbkckb
ZIVV
ZIaaVVaa
ZaIIaZIIIZ
VVaaVaaVaa
VVVVVVVVVV
)1()2()1(
)1(2)2()1(2
)2()1(2)2()1(
)2()1(2)2(2)1(2
)2()2()1()1()2()1()2()1(
)(
)())((
)()(
))(()()( 
)()()()(





+ 
- 
k 
)1(
faI
Vf 
+ 
- 
)1(
kkZ
)1(
kaV
)2(
faIk 
+ 
- 
)2(
kkZ
)2(
kaV
Zf 
fkkkk
f
fafa
ZZZ
V
II


)2()1(
)2()1(
07/10/2013 28 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
Falhas bifásicas à terra 
 
Ifa 
a 
b 
c 
k 
)0(
)0(
3
)(
3
1
)(
3
1
)( 0
fafcfb
fcfbfcfbfafa
ffcfbkckbfa
III
IIIIII
ZIIVVI



Ifb 
Ifc 
Zf 
07/10/2013 29 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
(0)
(1) 2
(2) 2
(1) (2)
(0) (0) (1) (2) (0)
(0) (1) (0)
(1) (0) (0)
(0) (1)
1 1 1
1
1
3
1
3 2 ( ) 2(3 )
2 2 2(3 )
3
ka ka
ka kb
ka kb
ka ka
ka ka kb ka ka ka f fa
ka ka f fa
ka ka f fa
fa fa
V V
V a a V
V a a V
V V
V V V V V V Z I
V V Z I
V V Z I
I I
     
     
     
         

     
 
 
 (2) 0faI 
07/10/2013 30 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
+ 
- 
k 
)1(
faI
Vf 
+ 
- 
)1(
kkZ
)1(
kaV
k 
)2(
faI
+ 
- 
)2(
kkZ
)2(
kaV
k 
)0(
faI
+ 
- 
)0(
kkZ
)0(
kaV
3Zf 
)1()1()2(
)0(
)2(
)0(
)2(
)2(
)2(
)0()2(
)0()2(
)1()1(
 
3
 
3
)3(
 
fakkfka
fkk
ka
fa
kk
ka
fa
fkkkk
fkkkk
kkeq
eq
f
fa
IZVV
ZZ
V
I
Z
V
I
ZZZ
ZZZ
ZZ
Z
V
I














07/10/2013 31 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
1 2 4 3 T1 T2 
Exemplo: Suponha uma falha bifásica à terra na barra 3 do 
sistema a seguir, calcule a corrente na fase c dos dois 
geradores. Desenhe o circuito trifásico mostrando todas as 
correntes. 
07/10/2013 32 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
+ 
- 
+ 
- 
Vf 
j0,20 j0,20 
j0,08 j0,08 j0,15 
Vf 
j0,20 j0,20 
j0,08 j0,08 j0,15 
j0,15 
j0,04 j0,08 j0,08 j0,50 
j0,15 
j0,04 
1 2 
3 
4 
1 2 
3 
4 
1 2 
3 
4 
)0(
faI
)1(
faI
)2(
faI
07/10/2013 33 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica 
1 2 4 3 T1 T2 
Suponha que na barra 4 tenha uma carga que não contribui 
para a corrente de falha, como construir a matriz impedância 
de barra? 
+ 
- 
Vf 
j0,20 
j0,08 j0,08 j0,15 
1 2 3 4 
07/10/2013 34