Exercícios Resolvidos - Integrais Iteradas

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
CAPÍTULO 15.2 - INTEGRAIS ITERADAS 
 
03. Calcule a integral iterada. 
∫ ∫ (1 + 4𝑥𝑦)𝑑𝑥
1
0
𝑑𝑦
3
1
 
 
Temos que: 
 
∫ ∫ (1 + 4𝑥𝑦)𝑑𝑥
1
0
𝑑𝑦
3
1
= ∫ [𝑥 = 2𝑥2𝑦]
𝑥 = 1
𝑥 = 0
3
1
𝑑𝑦 = ∫ (1 + 2𝑦)𝑑𝑦
3
1
 
 
= [𝑦 + 𝑦²]
3
1
= (3 + 9) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10 
 
25. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12 
e acima do retângulo 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 − 2 ≤ 𝑦 ≤ 3} 
 
Podemos interpretar a integral como o volume do sólido, logo: 
 
𝑉 = ∬(12 − 3𝑥 − 2𝑦)𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ (12 − 3𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥
1
0
𝑑𝑦
3
−2
 
 
= ∫ [12𝑥 −
3
2
𝑥2 − 2𝑥𝑦]
𝑥 = 1
𝑥 = 0
3
−2
𝑑𝑦 = ∫ (
21
2
− 2𝑦) 𝑑𝑦
3
−2
= [
21
2
𝑦 − 𝑦²]
3
−2
=
95
2
 
 
Logo, o volume desse sólido é 47,5. 
 
 
 STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010