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Aula 04 - Seguros em Caso de Morte (Constantes)

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Matemática Atuarial I – Período 2011/01 
 
28 
Professora: Tayana Rigueira 
1 
1 
1 
 
SEGUROS EM CASO DE MORTE 
 
As funções descritas nas aulas anteriores se relacionavam a pagamentos que eram 
relativos à contingencia de sobrevivência de uma vida. As funções que consideraremos 
agora se relacionam com pagamentos a contingencia de morte, cujos pagamentos são 
cobertos por seguros. 
Um seguro provê um pagamento de uma dada quantia em decorrência da morte de uma 
determinada vida, conhecida como vida segurada. Valores dos seguros têm sido 
tradicionalmente calculados com base na hipótese de que o pagamento é feito no fim do 
ano da morte, embora a prática dos segurados é o de fazer o pagamento tão logo quanto 
possível, após a ocorrência da morte. Esta hipótese é bastante conveniente visto que as 
probabilidades de morte e de sobrevivência ao final do ano podem ser calculadas 
exatamente, a partir da tábua de mortalidade. Mais tarde veremos como considerar os 
pagamentos imediatamente após o falecimento. 
1 – Seguros Pagáveis no Final do ano da Morte 
Um seguro que provê o pagamento somente se a morte ocorrer dentro de um 
determinado limite de tempo é conhecido como um seguro temporário. O valor atual ou 
o prêmio único puro da idade � para um Seguro Temporário por � anos de um capital 
segurado igual a 1 u.m. é denotado por ��:�	|��� e podemos escrever: 
��:�	|��� = 
 ∗ �� + 
� ∗ ����| + 
� ∗ ����| + ⋯ + 
	 ∗ ���	��| 
Cada termo dessa expressão representa a probabilidade de que a morte ocorrerá num 
ano particular multiplicada pelo valor atual de um pagamento de 1 u.m. a ser feito no 
fim do ano da morte. A expressão pode ser escrita como 
��:�	|��� = � 
��� ∗ ����|
	��
���
= 1�� � 
��� ∗ ����
	��
���
 
Se o período de temporariedade do seguro é estendido até o final da tábua de 
mortalidade, então o seguro será pago não importa quando a morte venha a ocorrer, o 
valor de � torna-se � − �, e temos assim o Seguro de Vida Inteira denotado por ��, 
sendo 
�� = � 
��� ∗ ����|
 ����
���
= � 
��� ∗ ����|
!
���
= 1�� � 
��� ∗ ����
!
���
 
Se o pagamento é feito somente se a morte ocorrer depois de expirado o período de � 
anos, também conhecido como período de carência, temos o Seguro Diferido cujo valor 
atual é 
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Professora: Tayana Rigueira 
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1 1 
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1 
���	| = � 
��� ∗ ����|
!
��	
= 1�� � 
��� ∗ ����
!
��	
 
Ou seja, 
���	| = �� − ��:�	|��� 
Um seguro é determinado interceptado quando ele é ao mesmo tempo diferido por � 
anos e temporário por " anos. Temos duas formas de calcular este seguro: 
• retirando do seguro diferido por � anos o correspondente a um seguro diferido 
por � + " anos 
���	|# = ���	| − ���	�#| 
• retirando do seguro temporário por � + " anos o valor atual de um seguro 
temporário por � anos 
���	|# = ��:�	�#|�������� − ��:�	|��� 
As expressões anteriores são simplificadas pela introdução das seguintes funções de 
comutação 
$� = 
��� ∗ �� %� = � $���
!
���
Então: 
��:�	|��� =
1
�� � 
��� ∗ ����
	��
���
= 1
� ∗ �� � 
����� ∗ ����
	��
���
= 1&� � $���
	��
���
= %� − %��	&� 
�� =
1
�� � 
��� ∗ ����
!
���
= %�&� 
���	| =
1
�� � 
��� ∗ ����
!
��	
= %��	&� 
��:�#|�����	| =
%��	 − %��	�#
&� 
Outros seguros conhecidos são os seguros dotais. O Seguro Dotal Puro corresponde 
exatamente a um capital diferido que tem seu valor atual 
��:�	|��� = '�	 =
&��	
&� 
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Professora: Tayana Rigueira 
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O Seguro Dotal Misto corresponde a um seguro temporário por � anos agregado a um 
capital diferido por � anos tem seu valor atual 
��:�	|��� = ��:�	|��� + ��:�	|��� =
%� − %��	 + &��	
&� 
2 – Seguros em Caso de Morte em Função das Rendas por Sobrevivência 
Como 
$� = 
��� ∗ �� = 
��� ∗ (�� − ����) = 
 ∗ &� − &��� 
segue que 
%� = 
 ∗ *� − *��� 
E dividindo-se por &� temos 
�� = 
 ∗ +,� − +� 
Para o seguro temporário por � anos, a relaçao correspondente é 
��:�	|��� = 
 ∗ +,�:�	|��� − +�:�	|��� 
No caso do seguro dotal misto a relação é dada por 
��:�	|��� = ��:�	|��� + '�	 = 
 ∗ +,�:�	|��� − +�:�	|��� + '�	 
Onde '�	 = +�:�	|��� − +�:�	��|�������, e portanto 
��:�	|��� = 
 ∗ +,�:�	|��� − +�:�	��|������� 
Outra forma de escrever o seguro de vida inteira em função de rendas por sobrevivência 
é 
�� = 
 ∗ +,� − +� = 
 ∗ +,� − (+,� − 1) = 1 − (1 − 
) ∗ +,� ∴ �� = 1 − � ∗ +,� 
Analogamente, podemos desenvolver que o seguro dotal misto é 
��:�	|��� = 1 − � ∗ +,�:�	|��� 
3 – Seguros Pagáveis no Momento da Morte 
Os seguros em caso de morte normalmente não são pagos no final do ano do 
falecimento, e sim imediatamente após o acontecimento. Nesse caso, é usual admitir 
que as mortes ocorrem segundo uma distribuição uniforme, o que é equivalente a 
admitir que as mortes ocorrem em média no meio do ano. Como, exceto nos primeiros 
instantes de vida, as probabilidades de morte são uma função crescente da idade, esta 
hipótese é conservadora, podendo ser adotada com segurança. 
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Professora: Tayana Rigueira 
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1 
1 
1 
1 
1 
1 
Assim teremos: 
�.�:�	|��� =
1
�� � 
��� �/ ∗ ����
	��
���
= 1
� ∗ �� � 
����� �/ ∗ ����
	��
���
= 1&� � $
.���
	��
���
∴ �.�:�	|��� =
%0� − %0��	
&� 
Fazendo 
$.���
$��� =

����� �/ ∗ ����

����� ∗ ���� =

� �/

 = 
�� �/ 
temos que 
$.��� = 
�� �/ ∗ $��� → %0� = 
�� �/ ∗ %� = (1 + 2)� �/ ∗ %� 
Portanto, 
�.�:�	|��� = 
�� �/ ∗ ��:�	|��� = (1 + 2)� �/ ∗ ��:�	|��� 
�.� = 
�� �/ ∗ �� = (1 + 2)� �/ ∗ �� 
�.��	| = 
�� �/ ∗ ���	| = (1 + 2)� �/ ∗ ���	| 
�.��:#|������	| = 
�� �/ ∗ ���:#|������	| = (1 + 2)� �/ ∗ ���:#|������	| 
Quanto ao seguro dotal misto, segue que 
�.�:�	|��� = (1 + 2)� �/ ∗ ��:�	|��� + ��:�	|��� =
(1 + 2)� �/ ∗ (%� − %��	)
&� +
&��	
&� 
ou 
�.�:�	|��� = �.�:�	|��� + ��:�	|��� =
%0� − %0��	 + &��	
&�

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