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Matemática Atuarial I – Período 2011/01 28 Professora: Tayana Rigueira 1 1 1 SEGUROS EM CASO DE MORTE As funções descritas nas aulas anteriores se relacionavam a pagamentos que eram relativos à contingencia de sobrevivência de uma vida. As funções que consideraremos agora se relacionam com pagamentos a contingencia de morte, cujos pagamentos são cobertos por seguros. Um seguro provê um pagamento de uma dada quantia em decorrência da morte de uma determinada vida, conhecida como vida segurada. Valores dos seguros têm sido tradicionalmente calculados com base na hipótese de que o pagamento é feito no fim do ano da morte, embora a prática dos segurados é o de fazer o pagamento tão logo quanto possível, após a ocorrência da morte. Esta hipótese é bastante conveniente visto que as probabilidades de morte e de sobrevivência ao final do ano podem ser calculadas exatamente, a partir da tábua de mortalidade. Mais tarde veremos como considerar os pagamentos imediatamente após o falecimento. 1 – Seguros Pagáveis no Final do ano da Morte Um seguro que provê o pagamento somente se a morte ocorrer dentro de um determinado limite de tempo é conhecido como um seguro temporário. O valor atual ou o prêmio único puro da idade � para um Seguro Temporário por � anos de um capital segurado igual a 1 u.m. é denotado por ��:� |��� e podemos escrever: ��:� |��� = ∗ �� + � ∗ ����| + � ∗ ����| + ⋯ + ∗ ��� ��| Cada termo dessa expressão representa a probabilidade de que a morte ocorrerá num ano particular multiplicada pelo valor atual de um pagamento de 1 u.m. a ser feito no fim do ano da morte. A expressão pode ser escrita como ��:� |��� = � ��� ∗ ����| �� ��� = 1�� � ��� ∗ ���� �� ��� Se o período de temporariedade do seguro é estendido até o final da tábua de mortalidade, então o seguro será pago não importa quando a morte venha a ocorrer, o valor de � torna-se � − �, e temos assim o Seguro de Vida Inteira denotado por ��, sendo �� = � ��� ∗ ����| ���� ��� = � ��� ∗ ����| ! ��� = 1�� � ��� ∗ ���� ! ��� Se o pagamento é feito somente se a morte ocorrer depois de expirado o período de � anos, também conhecido como período de carência, temos o Seguro Diferido cujo valor atual é Matemática Atuarial I – Período 2011/01 29 Professora: Tayana Rigueira 1 1 1 1 1 ��� | = � ��� ∗ ����| ! �� = 1�� � ��� ∗ ���� ! �� Ou seja, ��� | = �� − ��:� |��� Um seguro é determinado interceptado quando ele é ao mesmo tempo diferido por � anos e temporário por " anos. Temos duas formas de calcular este seguro: • retirando do seguro diferido por � anos o correspondente a um seguro diferido por � + " anos ��� |# = ��� | − ��� �#| • retirando do seguro temporário por � + " anos o valor atual de um seguro temporário por � anos ��� |# = ��:� �#|�������� − ��:� |��� As expressões anteriores são simplificadas pela introdução das seguintes funções de comutação $� = ��� ∗ �� %� = � $��� ! ��� Então: ��:� |��� = 1 �� � ��� ∗ ���� �� ��� = 1 � ∗ �� � ����� ∗ ���� �� ��� = 1&� � $��� �� ��� = %� − %�� &� �� = 1 �� � ��� ∗ ���� ! ��� = %�&� ��� | = 1 �� � ��� ∗ ���� ! �� = %�� &� ��:�#|����� | = %�� − %�� �# &� Outros seguros conhecidos são os seguros dotais. O Seguro Dotal Puro corresponde exatamente a um capital diferido que tem seu valor atual ��:� |��� = '� = &�� &� Matemática Atuarial I – Período 2011/01 30 Professora: Tayana Rigueira 1 1 1 1 O Seguro Dotal Misto corresponde a um seguro temporário por � anos agregado a um capital diferido por � anos tem seu valor atual ��:� |��� = ��:� |��� + ��:� |��� = %� − %�� + &�� &� 2 – Seguros em Caso de Morte em Função das Rendas por Sobrevivência Como $� = ��� ∗ �� = ��� ∗ (�� − ����) = ∗ &� − &��� segue que %� = ∗ *� − *��� E dividindo-se por &� temos �� = ∗ +,� − +� Para o seguro temporário por � anos, a relaçao correspondente é ��:� |��� = ∗ +,�:� |��� − +�:� |��� No caso do seguro dotal misto a relação é dada por ��:� |��� = ��:� |��� + '� = ∗ +,�:� |��� − +�:� |��� + '� Onde '� = +�:� |��� − +�:� ��|�������, e portanto ��:� |��� = ∗ +,�:� |��� − +�:� ��|������� Outra forma de escrever o seguro de vida inteira em função de rendas por sobrevivência é �� = ∗ +,� − +� = ∗ +,� − (+,� − 1) = 1 − (1 − ) ∗ +,� ∴ �� = 1 − � ∗ +,� Analogamente, podemos desenvolver que o seguro dotal misto é ��:� |��� = 1 − � ∗ +,�:� |��� 3 – Seguros Pagáveis no Momento da Morte Os seguros em caso de morte normalmente não são pagos no final do ano do falecimento, e sim imediatamente após o acontecimento. Nesse caso, é usual admitir que as mortes ocorrem segundo uma distribuição uniforme, o que é equivalente a admitir que as mortes ocorrem em média no meio do ano. Como, exceto nos primeiros instantes de vida, as probabilidades de morte são uma função crescente da idade, esta hipótese é conservadora, podendo ser adotada com segurança. Matemática Atuarial I – Período 2011/01 31 Professora: Tayana Rigueira 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Assim teremos: �.�:� |��� = 1 �� � ��� �/ ∗ ���� �� ��� = 1 � ∗ �� � ����� �/ ∗ ���� �� ��� = 1&� � $ .��� �� ��� ∴ �.�:� |��� = %0� − %0�� &� Fazendo $.��� $��� = ����� �/ ∗ ���� ����� ∗ ���� = � �/ = �� �/ temos que $.��� = �� �/ ∗ $��� → %0� = �� �/ ∗ %� = (1 + 2)� �/ ∗ %� Portanto, �.�:� |��� = �� �/ ∗ ��:� |��� = (1 + 2)� �/ ∗ ��:� |��� �.� = �� �/ ∗ �� = (1 + 2)� �/ ∗ �� �.�� | = �� �/ ∗ ��� | = (1 + 2)� �/ ∗ ��� | �.��:#|������ | = �� �/ ∗ ���:#|������ | = (1 + 2)� �/ ∗ ���:#|������ | Quanto ao seguro dotal misto, segue que �.�:� |��� = (1 + 2)� �/ ∗ ��:� |��� + ��:� |��� = (1 + 2)� �/ ∗ (%� − %�� ) &� + &�� &� ou �.�:� |��� = �.�:� |��� + ��:� |��� = %0� − %0�� + &�� &�
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