Aula 02- Múltiplas Vidas (Mais de Duas Vidas)

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Matemática Atuarial II – Período 2011/02 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
 
MÚLTIPLAS VIDAS (Mais de Duas Vidas) 
 
1- Vidas Conjuntas 
Um status que existe enquanto todos os membros estiverem vivos e acaba no momento em 
que ocorre a primeira morte é conhecido como status de vida conjunta. Este status é 
denotado por �����…��� onde �� representa a idade do indivíduo 	 do grupo e 
 representa o 
número de membros. 
Denote a distribuição da variável aleatória � como o “tempo até a falha do status”. Para o 
status de vida conjunta, � = 
��������, �����, … , ������ onde ��. � é o momento da morte do 
indivíduo. 
Definindo a função de distribuição de � para � > 0, 
����� = ��� ≤ �� 
= ��
��������, �����,… , ������ ≤ �� 
= 1 − ������� > �	�	����� > �	� … �	����� > �� 
Então, por independência, 
����� = 1 − ������� > �	� ∗ ������� > �� ∗ … ∗ ������� > �� 
= 1 − !"# ∗ !$# ∗ … ∗ !%# 
Portanto, essa independência implica que a probabilidade do status de vida conjunta �����…��� sobreviver ao tempo �, !&# , é 
 # !"!$…!% = !"# ∗ !$# ∗ … ∗ !%# 
A função de densidade de probabilidade de � é obtida derivando ����� em relação a t, fazendo-
se 
'��� = ((� )1 − !"# ∗ !$# ∗ …∗ !%# * 
= − !$# ∗ !+# ∗ …∗ !%# )− !",!"-## * − !"# ∗ !+# ∗ …∗ !%# )− !$,!$-## * − !"# ∗ !$# ∗ …∗ !%# )− !+,!+-## * − ⋯− !"# ∗ !$# ∗ … ∗ !%/"# )− !%,!%-## * 
= !"# ∗ !$# ∗ … ∗ !%# ∗ ),!"-# + ,!$-# +⋯,!%-#* 
A distribuição de � = ������…��� também pode ser especificada pelas forças de mortalidade 
das vidas associadas. Por analogia à força de uma vida, temos que 
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,!"!$…!%��� = '��!"!$…!%����1 − ���!"!$…!%���� 
Por independência de ���� e ��1� temos 
,!"-#:!$-#:…:!%-# = ,!"-# + ,!$-# +⋯,!%-# 
Ou seja, a força de mortalidade para um status de vida conjunta é a soma das forças de 
mortalidade dos indivíduos, se seus períodos de vida futura são independentes. Assim, 
podemos caracterizar a distribuição de ������…��� pela função de densidade de 
probabilidade, função de distribuição ou força de mortalidade. 
A probabilidade do status de vida conjunta falhar entre o momento 3 e 3 + 1 é determinada 
usando a função de distribuição por 
��3 < � ≤ 3 + 1� = ��� ≤ 3 + 1� − ��� ≤ 3� 
= !"!$…!%5 − !"!$…!%5-� 
= !"!$…!%5 6!"-5:!$-5:…:!%-5 
= 6!"!$…!%5| 
Note que a probabilidade do status de vida conjunta ��� + 3: �� + 3:… : �� + 3� falhar dentro do 
próximo ano pode ser escrita em termos das probabilidades de falhas independentes dos 
indivíduos vivos como segue: 
6!"-5:!$-5:…:!%-5 = 1 − !"-5:!$-5:…:!%-5 
= 1 − !"-5 ∗ !$-5 ∗ …∗ !%-5 
= 1 − )1 − 6!"-5* ∗ )1 − 6!$-5* ∗ … ∗ )1 − 6!%-5* 
=86!9-5
�
�:�
−86!9-5 ∗ 6!;<=
�
�:�>:��?>
+ 8 6!9-5 ∗ 6!;-5 ∗ 6!@-5
�
�:�>:�A:��?>?A
+⋯+⋯+ �−1��-� ∗ 6!9-5 ∗ 6!;-5 ∗ …∗ 6!%-5 
2- Último Sobrevivente 
Além dos benefícios definidos em função do momento da primeira morte, existem aqueles que 
são definidos em função da última morte. Agora, vamos examinar a situação em que a 
variável aleatória é o momento da última morte. 
O status existe enquanto pelo menos um indivíduo está vivo e acaba na morte do último 
indivíduo e é chamado de status de último sobrevivente. Este status é denotado por �����…��BBBBBBBBBBBBB�, onde �� representa a idade do indivíduo 	 e 
 representa o número indivíduos. 
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Para o status de último sobrevivente, � = 
á�������, �����, … , ������ onde ��. � é o momento da 
morte do indivíduo. Assim como no desenvolvimento do status de vida conjunta, quando 
queremos expressar funções e características da distribuição de �′E em termos das vidas 
individualmente, assumimos que�����, �����, … , ����� são mutuamente independentes. 
����� = ��� ≤ �� 
= ��
á�������, �����, … , ������ ≤ �� 
= ������� ≤ �	�	����� ≤ �	� … �	����� ≤ �	� 
Então, por independência, 
����� = ������� ≤ �	� ∗ ������� ≤ �� ∗ … ∗ ������� ≤ �� 
〈G〉 					= )1 − !"# * ∗ )1 − !$# * ∗ … ∗ )1 − !%# * 
= 1 −
I
JJ
JK8 !9#
�
�:�
−8 !9!;#
�
�:�>:��?>
+ 8 !9!;!=#
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯�−1��-� ∗ !"!$…!%#
L
MM
MN
 
Sendo assim, 
 !"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# =8 !9#
�
�:�
−8 !9!;#
�
�:�>:��?>
+ 8 !9!;!=#
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯�−1��-� ∗ !"!$…!%# 
Podemos diferenciar a equação 〈G〉 em relação à � para expressar a função de densidade de � = ������ …��BBBBBBBBBBBBB� em termos das funções de sobrevivência dos indivíduos sob a hipótese de 
independência 
'��� = ((� O)1 − !"# * ∗ )1 − !$# * ∗ … ∗ )1 − !%# *P 
= )1 − !$# ∗ !+# ∗ …∗ !%# *) !",!"-## * + )1 − !"# ∗ !+# ∗ …∗ !%# *) !$,!$-## * + ⋯+ )1 − !$# ∗ !+# ∗ … ∗ !%# *) !%,!%-## * 
=8 !9# ,!9-#
�
�:�
−8 !9!;# Q,!9-# + ,!;-#R
�
�:�>:��?>
+ 8 !9!;!=# Q,!9-# + ,!;-# + ,!=-#R
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯
+ 	�−1��-� ∗ !"!$…!%# Q,!9-# + ,!;-# +⋯+ ,!%-#R 
Existe uma relação mais geral entre ������…���, ������…��BBBBBBBBBBBBB�, ���� e ��1�. 
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r 
[r] 
〈S〉					������…��� + ������ …��BBBBBBBBBBBBB� = ����� + ����� + ⋯+ ����� 
〈T〉					���!"!$…!%���� + ���!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB���� = ���!"���� + ���!$���� + ⋯+ ���!%���� 
〈U〉					'��!"!$…!%���� + '��!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB���� = '��!"���� + '��!$���� + ⋯+ '��!%���� 
Por analogia à força de uma vida, temos que 
,!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB��� = '��!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB����1 − ���!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB���� 
E segue de 〈V〉 e 〈W〉 
,!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB��� = 
∑ !9# ,!9-#��:� − ∑ !9!;# Q,!9-# + ,!;-#R��:�>:��?>
+⋯+ 	�−1��-� ∗ !"!$…!%# Q,!9-# + ,!;-# +⋯+ ,!%-#R
= ∑ !9#��:� − ∑ !9!;#��:�>:��?>
+ ∑ !9!;!=#��:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯+ 	�−1��-� ∗ !"!$…!%# 
3- Definições para Status de Múltiplas Vidas 
3.1 – Definições dos Status 
�����…��� → é a notação para o grupo de 
 indivíduos que existe enquanto todos os 
indivíduos estão vivos e se extingue quando o primeiro morre. 
�����…��BBBBBBBBBBBBB� → é a notação para o grupo de 
 indivíduos que existe enquanto pelo menos 1 
indivíduo sobrevive e se extingue após a última morte. 
�����…��BBBBBBBBBBBBB� → é a notação para o grupo de 
 indivíduos que existe enquanto pelo menos Y 
indivíduos sobrevivem e se extingue após a � − Y + 1 – ésima morte. 
�����…��BBBBBBBBBBBBB� → é a notação para o grupo de 
 indivíduos que existe quando exatamente r 
indivíduos sobrevivem e se extingue caso contrário. 
3.2 – Definições da Tábua Biométrica 
 
• Número de sobreviventes de idade ��, ��, … e �� 
Notação: Z!"!$…!% 
• Número de sobreviventes de idade ��, ��, … e �� que morreram antes de alcançar as 
idade �� + 1, �� + 1,… e �� + 1 
Notação: (!"!$…!% 
(!"!$…!% = Z!"!$…!% − Z!"-�:!$-�:…:!%-� 
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3.3 – Probabilidades de Múltiplas Vidas 
 
• Probabilidade de ��, ��, … e �� sobreviverem � anos: 
Notação: !"!$…!%# 
 # !"!$…!% = !"# ∗ !$# ∗ … ∗ !%# 
 
• Probabilidade de pelo menos 1 entre ��, ��, … e �� sobreviver � anos: 
Notação: !"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB 
 # !"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB =8 !9#
�
�:�
−8 !9!;#
�
�:�>:��?>
+ 8 !9!;!=#
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯�−1��-� ∗ !"!$…!%# 
• Probabilidade da primeira morte entre ��, ��, … e �� ocorrer em � anos: 
Notação: 6!"!$…!%# 
6!"!$…!%# =8 6!9#
�
�:�
−8 6!9# ∗ 6!;#
�
�:�>:��?>
+ 8 6!9# ∗ 6!;# ∗ 6!=#
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯�−1��-� ∗ 6!"# ∗ …∗ 6!%# 
• Probabilidade da última morte entre ��, ��, … e �� ocorrer em � anos: 
Notação: 6!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# 
6!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# = 6!"# ∗ 6!$# ∗ … ∗ 6!%# 
 
• Probabilidade de que a primeira morte entre ��, ��, … e �� ocorrer entre � e � + 1 anos: 
Notação: 6!"!$…!%#| 
6!"!$…!%#| = # !"!$…!% − #-� !"!$…!% 
• Probabilidade de que a última morte entre ��, ��, … e �� ocorrer entre � e � + 1 anos: 
Notação: 6!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB#| 
6!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB#| = # !"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB − #-� !"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB 
6!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB#| =8 6!9#|
�
�:�
−8 6!9!;#|
�
�:�>:��?>
+ 8 6!9!;!=#|�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯(−1)�-� ∗ 6!"!$…!%#| 
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2 
2 
2 
2 
[2] 
[2] 
• Probabilidade de �� e pelo menos �� ou �[ sobreviverem � anos: 
Notação: !":!$!+BBBBBBB# 
 !":!$!+BBBBBBB# = !"!$# + !"!+# − !"!$!+# 
• Probabilidade de pelo menos 2 vidas entre ��, �� e �[ sobreviverem � anos: 
Notação: !"!$!+BBBBBBBBBB# 
 !"!$!+BBBBBBBBBB# = !"!$# + !"!+# + !$!+# − 2 ∗ !"!$!+# 
• Probabilidade de que a 2ª morte entre ��, �� e �[ ocorra em � anos: 
Notação: 6!"!$!+BBBBBBBBBB# 
6!"!$!+BBBBBBBBBB# = 6!"# ∗ 6!$# + 6!$# ∗ 6!+# + 6!"# ∗ 6!+# − 2 ∗ 6!"# ∗ 6!$# ∗ 6!+# 
• Probabilidade de exatamente duas vidas entre ��, �� e �[ sobreviverem � anos: 
Notação: !"!$!+BBBBBBBBBB# 
 !"!$!+BBBBBBBBBB# = !"!$# + !"!+# + !$!+# − 3 ∗ !"!$!+# 
 
3.4 – Rendas e Seguros para Múltiplas Vidas 
 
• Dote pago por sobrevivência de ��, ��, … e ��: 
Notação: _!"!$…!%# 
_!"!$…!%# = !"!$…!%# ∗ `# 
Seja a!"!$…!% = Z!"!$…!% ∗ `(!"-!$-⋯-!%) �b , então: 
_!"!$…!%# = a!"-#:!$-#:…:!%-#a!"!$…!% 
• Dote pago por sobrevivência de �� ou �� ou...ou ��: 
Notação: _!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# 
_!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# = !"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# ∗ `# 
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_!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# =
I
JJ
JK8 !9#
�
�:�
−8 !9!;#
�
�:�>:��?>
+ 8 !9!;!=#
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯(−1)�-� ∗ !"!$…!%#
L
MM
MN ∗ `# 
_!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# =8 _!9#
�
�:�
−8 _!9!;#
�
�:�>:��?>
+ 8 _!9!;!=#
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯(−1)�-� ∗ _!"!$…!%# 
• Renda paga enquanto ��, ��, … e �� sobrevivem: 
Notação: cd!"!$…!% 
cd!"!$…!% =8 !"!$…!%# ∗ `#
e
#:f
 
cd!"!$…!% =8 _!"!$…!%#
e
#:f
 
cd!"!$…!% =8a!"-#:!$-#:…:!%-#a!"!$…!%
e
#:f
 
cd!"!$…!% = g!"-#:!$-#:…:!%-#a!"!$…!% 
Então: 
cd!"!$…!%5| = _!"!$…!%5 ∗ cd!"!$…!% = g!"-5:!$-5:…:!%-5a!"!$…!% 
cd!"!$…!%(�)5| = cd!"!$…!%(�) −
 − 12
 
• Renda paga enquanto pelo menos 1 indivíduo entre ��, ��, … e �� sobreviver: 
Notação: cd!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB 
cd!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB =8 !"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# ∗ `#
e
#:f
 
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cd!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB =8
I
JJ
JK8 !9#
�
�:�
−8 !9!;#
�
�:�>:��?>
+ 8 !9!;!=#
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯(−1)�-� ∗ !"!$…!%#
L
MM
MN ∗ `#e
#:f
 
cd!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB =8cd!9
�
�:�
−8cd!9!;
�
�:�>:��?>
+ 8 cd!9!;!=
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯(−1)�-� ∗ cd!"!$…!% 
Então: 
cd!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB5| =8 !"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB# ∗ `#
e
#:5
=8 cd!95|
�
�:�
−8 cd!9!;5|
�
�:�>:��?>
+ 8 cd!9!;!=5|
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯(−1)�-� ∗ cd!"!$…!%5| 
cd!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB(�) =8cd!9(�)
�
�:�
−8cd!9!;(�)
�
�:�>:��?>
+ 8 cd!9!;!=(�)
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯(−1)�-� ∗ cd!"!$…!%(�) 
• Pecúlio pago após a 1a morte: 
Notação: h!"!$…!% 
h!"!$…!% =8 6!"!$…!%#|
e
#:f
∗ `#-� 
h!"!$…!% =8(!"-#:!$-#:…:!%-#Z!"!$…!%
e
#:f
∗ `#-� 
Seja: i!"!$…!% = (!"!$…!% ∗ `Q(!"-!$-⋯-!%) �b R-� e 
j!"!$…!% =8i!"-#:!$-#:…:!%-#
e
#:f
 
Então, dividindo e multiplicando a equação por `Q(!"-!$-⋯-!%) �b R 
h!"!$…!% = j!"!$…!%a!"!$…!% 
pois 
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j!"!$…!% =8i!"-#:!$-#:…:!%-#
e
#:f
=8(!"!$…!% ∗ `Q(!"-!$-⋯-!%) �b R-#-�
e
#:f
 
e 
a!"!$…!% = Z!"!$…!% ∗ `(!"-!$-⋯-!%) �b 
• Pecúlio pago após a última morte: 
Notação: h!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB 
h!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB =8 6!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB#|
e
#:f
∗ `#-� 
h!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB =8
I
JJ
JK8 6!9#|
�
�:�
−8 6!9!;#|
�
�:�>:��?>
+ 8 6!9!;!=#|
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯(−1)�-� ∗ 6!"!$…!%#|
L
MM
MNe
#:f
∗ `#-� 
h!"!$…!%BBBBBBBBBBBBBB =8h!9
�
�:�
−8h!9!;
�
�:�>:��?>
+ 8 h!9!;!=
�
�:�>:�5:��?>?5
+⋯+⋯(−1)�-� ∗ h!"!$…!%