Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Matemática Atuarial II – Período 2011/02 1 Professora: Tayana Rigueira MÚLTIPLAS VIDAS (Duas Vidas) 1- Vidas Conjuntas Um status que existe enquanto os dois membros estiverem vivos e acaba no momento em que ocorre a primeira morte é conhecido como status de vida conjunta. Este status é denotado por ���� onde � e � representam a idade do indivíduo do grupo Denote a distribuição da variável aleatória � como o “tempo até a falha do status”. Para o status de vida conjunta, � = �� ����, ����� onde ��. � é o momento da morte do indivíduo. Definindo a função de distribuição de � para � > 0, ����� = ��� ≤ �� = ���� ����, ������ = 1 − ������ > � � ���� > �� Então, por independência, ����� = 1 − ������ > � ������� > �� = 1 − ��� ��� Portanto, essa independência implica que a probabilidade do status de vida conjunta ���� sobreviver ao tempo t, ���� , é �� �� = ��� ��� A função de densidade de probabilidade de � é obtida derivando ����� em relação a t, fazendo-se ���� = ��� �1 − ��� ��� = − ��� �− ��!�"�� − ��� �− ��!�"�� = ��� ���!�"� + !�"� � A distribuição de � = ����� também pode ser especificada pelas forças de mortalidade das vidas associadas. Por analogia à força de uma vida, temos que !����� = ��������� 1 − ��������� Matemática Atuarial II – Período 2011/02 2 Professora: Tayana Rigueira Por independência de ���� e ���� temos !�"�:�"� = !�"� + !�"� Ou seja, a força de mortalidade para um status de vida conjunta é a soma das forças de mortalidade dos indivíduos, se seus períodos de vida futura são independentes. Assim, podemos caracterizar a distribuição de ����� pela função de densidade de probabilidade, função de distribuição ou força de mortalidade. A probabilidade do status de vida conjunta falhar entre o momento % e % + 1 é determinada usando a função de distribuição por ��% < � ≤ % + 1� = ��� ≤ % + 1� − ��� ≤ %� = ���' − ���'"( = ���' )�"':�"' = )��'| Note que a probabilidade do status de vida conjunta �� + %: � + %� falhar dentro do próximo ano pode ser escrita em termos das probabilidades de falhas independentes dos indivíduos vivos como segue: )�"':�"' = 1 − ��"':�"' = 1 − ��"'��"' = 1 − �1 − )�"'��1 − )�"' = )�"'+)�"' − )�"')�"' 2- Último Sobrevivente Além dos benefícios definidos em função do momento da primeira morte, existem aqueles que são definidos em função da última morte. Agora, vamos examinar a situação em que a variável aleatória é o momento da última morte. O status existe enquanto pelo menos um indivíduo está vivo e acaba na morte do segundo indivíduo e é chamado de status de último sobrevivente. Este status é denotado por ���+++�, onde � e � representa a idade do indivíduo. Para o status de último sobrevivente, � = �á� ����, ����� onde ��. � é o momento da morte do indivíduo. Assim como no desenvolvimento do status de vida conjunta, quando queremos expressar funções e características da distribuição de �′. em termos das vidas individualmente, assumimos que ����, ���� são mutuamente independentes. ����� = ��� ≤ �� Matemática Atuarial II – Período 2011/02 3 Professora: Tayana Rigueira = ���á� ����, ����� ≤ �� = ������ ≤ � � ���� ≤ �� Então, por independência, ����� = ������ ≤ � ������� ≤ �� 〈0〉 = �1 − ��� �1 − ��� = 1 − �� − ��� + ��� ���� Sendo assim, ���++++� = ��� + ��� − ��� ��� Podemos diferenciar a equação 〈0〉 em relação à � para expressar a função de densidade de � = ����+++� em termos das funções de sobrevivência dos indivíduos sob a hipótese de independência ���� = ��� 2�1 − ��� �1 − ��� 3 = �1 − ��� � ��!�"�� + �1 − ��� � ��!�"�� = ��!�"�� + ��!�"�� − ��� ���!�"� + !�"� � Existe uma relação mais geral entre �����, ����+++�, ���� e ����. 〈4〉 ����� + ����+++� = ���� + ���� 〈5〉 ��������� + �����++++���� = �������� + �������� 〈6〉 ��������� + �����++++���� = �������� + �������� De 〈5〉 segue que 〈7〉 ���++++� = ��� + ��� − ���� e de 〈6〉 e 〈4〉 que 〈8〉 �����++++���� = ��!�"�� + ��!�"�� − ���!�"�:�"�� Por analogia à força de uma vida, temos que !��++++��� = �����++++���� 1 − �����++++���� Matemática Atuarial II – Período 2011/02 4 Professora: Tayana Rigueira E segue de 〈7〉 e 〈8〉 !��++++��� = ��!�"�� + ��!�"�� − ���!�"�:�"�� ��� + ��� − ���� 3- Definições para Status de Duas Vidas 3.1- Definições dos Status ���� → é a notação para o grupo com 2 indivíduos que existe enquanto os dois estão vivos e se extingue quando o primeiro morre. ���+++� → é a notação para o grupo com 2 indivíduos que existe enquanto pelo menos 1 vida sobrevive e se extingue após a 2: morte 3.2- Definições da Tábua Biométrica • Número de pares sobreviventes de idade � e �: Notação: ;�� • Número de pares de pessoas de idade � e � que morreram antes de alcançar as idades � + 1 e � + 1: Notação: ��� ��� = ;�� − ;�"(:�"( 3.2- Probabilidades de duas vidas • Probabilidade de � e � sobreviverem � anos: Notação: ���� ���� = ��� ∗ ��� • Probabilidade de pelo menos um sobreviver � anos: Notação: ���++++� ���++++� = ��� + ��� − ���� Matemática Atuarial II – Período 2011/02 5 Professora: Tayana Rigueira • Probabilidade da 1: morte ocorrer em � anos: Notação: )��� )��� = )�� + )�� − )� ∗� )�� ∴ )��� = 1 − ���� • Probabilidade da 2: morte ocorrer em � anos: Notação: )��++++� )��++++� = )� ∗� )�� ∴ )��++++� = 1 − ���++++ � • Probabilidade de que a 1: morte ocorra entre � e � + 1 anos: Notação: )���| )���| = ���� − ����"( • Probabilidade da 2: morte ocorrer entre � e � + 1 anos: Notação: )��++++�| )��++++�| = )��| + )��| − )���| 3.4- Rendas e Seguros sobre duas vidas • Dote pago por sobrevivência de � e �: Notação: >��� >��� = ���� ∗ ?� Seja @�� = ;�� ∗ ?�"� AB , então: >��� = @�"�:�"� @�� • Dote pago por sobrevivência de � ou �: Notação: >��++++� >��++++� = ���++++� ∗ ?� >��++++� = >�� + >�� − >��� Matemática Atuarial II – Período 2011/02 6 Professora: Tayana Rigueira • Renda paga enquanto � e � sobreviverem: Notação: CD�� CD�� = E ���� F �GH ∗ ?� CD�� = E >��� F �GH CD�� = E @�"�:�"� @�� F �GH CD�� = I�� @�� Então: CD��'| = >��' ∗ CD�"':�"' = I�"':�"' @�� CD���J� = CD�� − � − 1 2� • Renda paga enquanto pelo menos 1 sobreviver: Notação: CD��++++ CD��++++ = E ���++++� F �GH ∗ ?� CD��++++ = CD� + CD� − CD�� Então: CD��++++'| =E ���++++� F �G' ∗ ?� CD��++++'| = CD�'| + CD�'| − CD��'| ≠ >��' ∗ CD�"':�"'+++++++++++++ CD��++++�J� = CD��J� + CD��J� − CD���J� Matemática Atuarial II – Período 2011/02 7 Professora: Tayana Rigueira • Renda vitalícia anual paga a � a partir do final do ano em que � morre (pensão): Notação: C�|� C�|� = C� − C�� • Pecúlio pago após a 1a morte: Notação: L�� L�� = E )���| F �GH ∗ ?�"( L�� =E ��"�:�"� ;�� F �GH ∗ ?�"( Seja: M�� = ��� ∗ ?N �"� AB O"( e P�� = EM�"�:�"� F �GH Então, dividindo e multiplicando a equação por ?�"� AB L�� = P�� @�� pois P�� = EM�"�:�"� F �GH = E��� ∗ ?N �"� AB O"�"( F �GH e @�� = ;�� ∗ ?�"� AB • Pecúlio pago após a 2a morte: Notação: L��++++ L��++++ = E )��++++�| F �GH ∗ ?�"( L��++++ = L� + L� − L��
Compartilhar