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Aula 01- Múltiplas Vidas (Duas Vidas)

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Matemática Atuarial II – Período 2011/02 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
 
MÚLTIPLAS VIDAS (Duas Vidas) 
 
1- Vidas Conjuntas 
Um status que existe enquanto os dois membros estiverem vivos e acaba no momento 
em que ocorre a primeira morte é conhecido como status de vida conjunta. Este status é 
denotado por ���� onde � e � representam a idade do indivíduo do grupo 
Denote a distribuição da variável aleatória � como o “tempo até a falha do status”. Para 
o status de vida conjunta, � = ��	
����, ����� onde ��. � é o momento da morte do 
indivíduo. 
Definindo a função de distribuição de � para � > 0, 
����� = ��� ≤ �� 
= ����	
����, ������ 
= 1 − ������ > �	�	���� > �� 
Então, por independência, 
����� = 1 − ������ > �	������� > �� 
= 1 − ��� ��� 
Portanto, essa independência implica que a probabilidade do status de vida conjunta 
���� sobreviver ao tempo t, ���� , é 
�� �� = ��� ��� 
A função de densidade de probabilidade de � é obtida derivando ����� em relação a t, 
fazendo-se 
���� = ��� �1 − ��� ��� 
= − ��� �− ��!�"�� − ��� �− ��!�"�� 
= ��� ���!�"� + !�"� � 
A distribuição de � = ����� também pode ser especificada pelas forças de mortalidade 
das vidas associadas. Por analogia à força de uma vida, temos que 
!����� =
���������
1 − ��������� 
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Por independência de ���� e ���� temos 
!�"�:�"� = !�"� + !�"� 
Ou seja, a força de mortalidade para um status de vida conjunta é a soma das forças de 
mortalidade dos indivíduos, se seus períodos de vida futura são independentes. Assim, 
podemos caracterizar a distribuição de ����� pela função de densidade de 
probabilidade, função de distribuição ou força de mortalidade. 
A probabilidade do status de vida conjunta falhar entre o momento % e % + 1 é 
determinada usando a função de distribuição por 
��% < � ≤ % + 1� = ��� ≤ % + 1� − ��� ≤ %� 
= ���' − ���'"( 
= ���' )�"':�"' 
= )��'| 
Note que a probabilidade do status de vida conjunta �� + %: � + %� falhar dentro do 
próximo ano pode ser escrita em termos das probabilidades de falhas independentes 
dos indivíduos vivos como segue: 
)�"':�"' = 1 − ��"':�"' 
= 1 − ��"'��"' 
= 1 − �1 − )�"'��1 − )�"' 
= )�"'+)�"' − )�"')�"' 
2- Último Sobrevivente 
Além dos benefícios definidos em função do momento da primeira morte, existem 
aqueles que são definidos em função da última morte. Agora, vamos examinar a 
situação em que a variável aleatória é o momento da última morte. 
O status existe enquanto pelo menos um indivíduo está vivo e acaba na morte do 
segundo indivíduo e é chamado de status de último sobrevivente. Este status é 
denotado por ���+++�, onde � e � representa a idade do indivíduo. 
Para o status de último sobrevivente, � = �á�
����, ����� onde ��. � é o momento da 
morte do indivíduo. Assim como no desenvolvimento do status de vida conjunta, 
quando queremos expressar funções e características da distribuição de �′. em termos 
das vidas individualmente, assumimos que ����, ���� são mutuamente independentes. 
����� = ��� ≤ �� 
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= ���á�
����, ����� ≤ �� 
= ������ ≤ �	�	���� ≤ �� 
Então, por independência, 
����� = ������ ≤ �	������� ≤ �� 
〈0〉 					= �1 − ��� �1 − ��� 
= 1 − �� − ��� + ��� ���� 
Sendo assim, 
���++++� = ��� + ��� − ��� ��� 
Podemos diferenciar a equação 〈0〉 em relação à � para expressar a função de densidade 
de � = ����+++� em termos das funções de sobrevivência dos indivíduos sob a hipótese de 
independência 
���� = ��� 2�1 − ��� �1 − ��� 3 
= �1 − ��� � ��!�"�� + �1 − ��� � ��!�"�� 
= ��!�"�� + ��!�"�� − ��� ���!�"� + !�"� � 
Existe uma relação mais geral entre �����, ����+++�, ���� e ����. 
〈4〉					����� + ����+++� = ���� + ���� 
〈5〉					��������� + �����++++���� = �������� + �������� 
〈6〉					��������� + �����++++���� = �������� + �������� 
De 〈5〉 segue que 
〈7〉					 ���++++� = ��� + ��� − ���� 
e de 〈6〉 e 〈4〉 que 
〈8〉					�����++++���� = ��!�"�� + ��!�"�� − ���!�"�:�"�� 
Por analogia à força de uma vida, temos que 
!��++++��� =
�����++++����
1 − �����++++���� 
 
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E segue de 〈7〉 e 〈8〉 
!��++++��� =
��!�"�� + ��!�"�� − ���!�"�:�"��
��� + ��� − ����
 
3- Definições para Status de Duas Vidas 
3.1- Definições dos Status 
���� → é a notação para o grupo com 2 indivíduos que existe enquanto os dois estão 
vivos e se extingue quando o primeiro morre. 
���+++� → é a notação para o grupo com 2 indivíduos que existe enquanto pelo menos 1 
vida sobrevive e se extingue após a 2: morte 
3.2- Definições da Tábua Biométrica 
• Número de pares sobreviventes de idade � e �: 
Notação: ;�� 
• Número de pares de pessoas de idade � e � que morreram antes de alcançar as 
idades � + 1 e � + 1: 
Notação: ��� 
��� = ;�� − ;�"(:�"( 
3.2- Probabilidades de duas vidas 
• Probabilidade de � e � sobreviverem � anos: 
Notação: ���� 
���� = ��� ∗ ��� 
• Probabilidade de pelo menos um sobreviver � anos: 
Notação: ���++++� 
���++++� = ��� + ��� − ���� 
 
 
 
 
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• Probabilidade da 1: morte ocorrer em � anos: 
Notação: )��� 
)��� = )�� + )�� − )� ∗� )�� ∴ )��� = 1 − ���� 
• Probabilidade da 2: morte ocorrer em � anos: 
Notação: )��++++� 
)��++++� = )� ∗� )�� ∴ )��++++� = 1 − ���++++	� 
• Probabilidade de que a 1: morte ocorra entre � e � + 1 anos: 
Notação: )���| 
)���| = ���� − ����"( 
• Probabilidade da 2: morte ocorrer entre � e � + 1 anos: 
Notação: )��++++�| 
)��++++�| = )��| + )��| − )���| 
 
3.4- Rendas e Seguros sobre duas vidas 
• Dote pago por sobrevivência de � e �: 
Notação: >��� 
>��� = ���� ∗ ?� 
Seja @�� = ;�� ∗ ?�"� AB , então: 
>��� =
@�"�:�"�
@�� 
• Dote pago por sobrevivência de � ou �: 
Notação: >��++++� 
>��++++� = ���++++� ∗ ?� 
>��++++� = >�� + >�� − >��� 
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• Renda paga enquanto � e � sobreviverem: 
Notação: CD�� 
CD�� = E ����
F
�GH
∗ ?� 
CD�� = E >���
F
�GH
 
CD�� = E
@�"�:�"�
@��
F
�GH
 
CD�� =
I��
@�� 
Então: 
CD��'| = >��' ∗ CD�"':�"' =
I�"':�"'
@�� 
CD���J� = CD�� −
� − 1
2� 
• Renda paga enquanto pelo menos 1 sobreviver: 
Notação: CD��++++ 
CD��++++ = E ���++++�
F
�GH
∗ ?� 
CD��++++ = CD� + CD� − CD�� 
Então: 
CD��++++'| =E ���++++�
F
�G'
∗ ?� 
CD��++++'| = CD�'| + CD�'| − CD��'| ≠ >��' ∗ CD�"':�"'+++++++++++++ 
CD��++++�J� = CD��J� + CD��J� − CD���J� 
 
 
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• Renda vitalícia anual paga a � a partir do final do ano em que � morre (pensão): 
Notação: C�|� 
C�|� = C� − C�� 
• Pecúlio pago após a 1a morte: 
Notação: L�� 
L�� = E )���|
F
�GH
∗ ?�"( 
L�� =E
��"�:�"�
;��
F
�GH
∗ ?�"( 
Seja: M�� = ��� ∗ ?N
�"� AB O"( e 
P�� = EM�"�:�"�
F
�GH
 
Então, dividindo e multiplicando a equação por ?�"� AB 
L�� =
P��
@�� 
pois 
P�� = EM�"�:�"�
F
�GH
= E��� ∗ ?N
�"� AB O"�"(
F
�GH
 
e 
@�� = ;�� ∗ ?�"� AB 
• Pecúlio pago após a 2a morte: 
Notação: L��++++ 
L��++++ = E )��++++�|
F
�GH
∗ ?�"( 
L��++++ = L� + L� − L��

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