Aula_7_2021

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TM406-Cálculo Aplicado
Profa. Claudia Mazza - 2021 - Aula 7
Unidade IV- Séries e Sequências
Definição: Uma sequência é uma lista de números a1, a2. . . . .an, dots em determinada ordem. Cada
número é chamado de termo da sequência.
Definição: Uma sequência infinita de números é uma função cujo domı́nio é o conjunto dos inteiros
positivos.
Exemplos:
1) Seja a sequência 2, 4, 8, . . . , 2n, . . . , onde verificamos os termos a1 = 2, a2 = 4, . . . , an, . . . . É posśıvel
observar que a sequência descreve o comportamento da função an = 2n.
2) Considenrando agora que o domı́nio seja o conjunto dos inteiros maiores do que n0 como no exemplo:
12, 14, 16, 18, . . . descrita como an = 10 + 2n.
Podemos ainda escreve-la como bn = 2n, n > 6 ou ainda como {bn} = {2n}6n−1.
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Observe que a ordem é importante.
Exerćıcio IV.1: Escreva a listagem dos termos das sequências como no exemplo:
a) an =
√
n
b) bn =
1
n(−1)
n+1
c) cn =
n−1
n
d) dn = (−1)n+1
Representação gráfica
Considere a sequência {an} = {2n}∞n=1:
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Exerćıcio IV.2: Represente graficamente as funções:
i) an =
√
n
ii) an =
1
n
Teorema: Sejam an e bn sequências de números reais. E sejam A e B ∈ R. Então, se
lim
n→∞
an = A, lim
n→∞
bn = B
Temos:
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1. Regra da Soma:
{an}+ {bn} = {an + bn}, n ∈ R
lim
n→∞
{an + bn} = A+B
2. Regra da Diferença:
{an} − {bn} = {an − bn}, n ∈ R
lim
n→∞
{an − bn} = A−B
3. Regra do Produto:
{an} {bn} = {an bn}, n ∈ R
lim
n→∞
{an bn} = AB
4. Regra da Multiplicação por constante:
α{bn} = {αbn}, n ∈ R
lim
n→∞
{αbn} = αB
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5. Regra do Quociente:
{an}/{bn} = {an/bn}, n ∈ R
lim
n→∞
{an/bn} = A/B, B 6= 0
Exemplo: Sejam an =
1
n , bn = (−1)
n e α = 2.
a) {an}+ {bn} = 1n + (−1)
n = 1+n(−1)
n
n
b) α{an} = 2 1n =
2
n
c) {an} {bn} = 1n(−1)
n = (−1)
n
n
d) {an}/{bn} = 1n(−1)n
Convergência e Divergência
Observe que algumas sequências se aproximam de um valor único à medida que o ı́ndice n aumenta,
como em: {0, 12 ,
2
3 ,
3
4 , . . . , 1−
1
n , . . . } que se aproxima de 1.
E sequências como an = 2n, que tem termos cada vez maiores à medida que n aumenta.
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E ainda, sequências como: {1,−1, 1,−1, . . . , , (−1)3n+1, . . . } que oscila entre -1 e 1 e nunca se aproxi-
mam de um único valor.
Definições: A sequência an converge para o número L, se para todo número positivo �, existe um
inteiro N tal que para todo n,
n > N ⇒ |an − L| < �
Se esse número L não existe, dizemos que an diverge.
Se an converge para L, escrevemos:
lim
n→∞
an = L
ou an → L, e chamamos L de limite da sequência.
Teorema I: Se limn→∞ f(x) = L e f(n) = an uma sequência. Então, limn→∞ an = L.
Corolário: Se an e bn são convergentes, entãp:
lim
n→∞
{an + bn} = lim
n→∞
{an}+ lim
n→∞
{bn}
Obs.: Ver Regra da soma.
Exemplo: A sequência 1n é convergente para zero, ou seja: limn→∞
1
n = 0.
Observe que, dado � > 0, podemos considerar o número n0 ∈ R tal que n0 > 1� .
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Ou seja, | 1n0 − 0| < � ou
1
� < n0.
Então, para n ≥ n0, temos:
|an − L| = |
1
n
− 0| = 1
n
≤ 1
n0
< �.
Exerćıcio IV.3: Mostre que a sequência
(
2n
n+1
)
, n ∈ N é convergente para L = 2.
Teorema do Confronto: Se an ≤ bn ≤ cn para n ≥ n0, e limn→∞ an = limn→∞ cn = L, então
limn→∞ bn = L.
Corolário: Se limn→∞ |an| = 0, então limn→∞ an = 0.
Exemplo: Seja limn→∞
n
n+1 .
Escrevemos an = f(n) uma função dada por
x
x+1 . Então,
lim
n→∞
f(x) = lim
n→∞
x
x+ 1
= lim
n→∞
1 = 1
Assim, pelo Teorema I, podemos dizer que limn→∞
n
n+1 = 1. Ou seja, a sequência converge para 1.
Obs: Note o uso da regra de L’Hôpital.
Exerćıcio IV.4: Calcule limn→∞
lnn
n . Resposta: a sequência converge para zero.
Exerćıcio IV.5: Determine limn→∞
(−1)n
n . Resposta: a sequência converge para zero.
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Sequência Monótona
Definição: Podemos dizer que a sequência an é:
a) crescente, se an < an+1; n ≥ 1
b) decrescente, se an > an+1; n ≥ 1
c) monótona, se for crescente e decrescente.
Sequência Limitada
Definição: Podemos dizer que a sequência an é:
a) limitada superiormente, se existir um número M ⊥ an ≤M ; n ≥ 1
b) limitada inferiormente, se existir um número m ⊥ m ≤ an; n ≥ 1
c) limitada, se for limitada superiormente e inferiormente.
Teorema da Sequência Monótona: Toda sequência monótona é limitada e convergente.
Exemplos:
a) A sequência 1, 2, 3, . . . , n não tem limite superior.
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b) A sequência 12 ,
2
3 , . . . ,
n
n+1 é limitada superiormente por M = 1.
c) Considere a sequência definida como: an+1 =
1
2(an + 6), n = 1, 2, . . . , e a1 = 2.
Como a sequência é a média entre an e 6, podemos ver que ela é crescente e limitada superiormente por
M = 6.
Por outro lado, limn→∞
1
2(an + 6) =
1
2 limn→∞(an + 6) =
1
2(M + 6) = 6. Logo, a sequência converge para
6.
Séries
Definição: A soma dos n primeiros termos de uma sequência an é chamada de soma parcial:
sn = a1 + a2 + · · ·+ an =
n∑
i=1
ai
Definição: Uma série infinita é obtida somando-se todos os termos de uma sequência an,
a1 + a2 + · · ·+ an +· · ·
Ou,
∑∞
i=1 an ou
∑
an.
Definição: Dizemos que a série
∑
an converge se a sequência sn das somas parciais for convergente e
se o limn→∞ sn = s, onde s é a soma da série. Ou seja,
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∞∑
i=1
an = s.
Caso contrário, dizemos que a série diverge.
Exemplo: Considere a chamada série geométrica: a + ar + ar2 + · · · + arn−1 + · · · =
∑∞
i=1 ar
n−1, onde
a e r ∈ R e a 6= 0.
Se r = 1 a n-ézima soma parcial da série será: sn = a+ a.1 + a.1
2 + · · ·+ a(1)n−1 = a n
limn→∞ a n = ±∞ dependendo do sinal de a. Portanto, a série diverge.
Se r = −1 a série também diverge porque a n-ézima soma parcial da série oscila entre a e 0.
Se |r| 6= 1, temos:
sn = a+ ar + ar
2 + · · ·+ arn−1
r sn = ar + ar
2 + · · ·+ arn
Logo, sn − r sn = a− a rn. Então, sn = a (1−r
n)
1−r , r 6= 1.
Assim, se |r| < 1⇒ rn → 0 quando n→∞
sn → a1−r
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Se, |r| > 1⇒ rn →∞ quando n→∞, indicando que a série diverge.
Conclusão: a série geométrica converge para a1−r se |r| < 1
∞∑
n−1
arn−1 =
a
1− r
,
e se |r| ≥ 1, a série diverge.
Exerćıcio IV.6: Encontre a soma da série
∑∞
n=1
1
n(n+1) . Resposta: 1.
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Referências Bibliográficas
[1] Stewart, J. Cálculo Vol. II. Ed. Thompson.
[2] Thomas, G. B. Cálculo Vol 2. Ed. Pearson.
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