Exercicio 1 - MLC

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Exercício 1
Lógica e Matemática para a Computação
Prof. Edkallenn Lima
2021
1 Conjuntos, Funções e lógica proposicional
Resolva as seguintes questões:
1.1 Suponha o conjunto universo S = {p, q, r, s, t, u, v, w} bem
como os seguintes conjuntos:
• A = {p, q, r, s}
• B = {r, t, v}
• C = {p, s, t, u}
Então determine:
• B ∩ C
• A ∪ C
• ∼ C
• A ∩ B ∩ C
• B − C
• ∼ (A ∪ B)
• A × B
• (A ∪ B)∩ ∼ C
• A + B
• B + B
1.2 Dados A = {0, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4} e C = {3, 4, 5, 6},
determine:
• A − B
• A − C
• B − C
• (A ∩ B) − C
• (A − C) ∩ (B − C)
• A − ∅
1.3 Sejam A = {2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 10}. Para cada uma
das seguintes relações
(a) Explicite os elementos (pares ordenados) da relação;
(b) Faça a representação gráfica (no plano cartesiano)
(c) Determine o domínio de definição da relação
(d) Determine o conjunto imagem
• R1 = {⟨x, y⟩ ∈ A × B | x é divisível por y }
• R2 = {⟨x, y⟩ ∈ A × B | x ∗ y = 12}
• R3 = {⟨x, y⟩ ∈ A × B | x = y + 1}
• R4 = {⟨x, y⟩ ∈ A × B | x ≤ y}
1.4 Considere que p e q são proposições:
p: Eu comprei um bilhete de loteria esta semana.
q: Eu ganhei a bolada de um milhão de reais na sexta-feira.
Expresse cada uma dessas proposições em uma sentença em Português:
• ¬p
• p ∨ q
• p → q
• p ∧ q
• p ↔ q
• ¬p → ¬q
• ¬p ∧ ¬q
• ¬p ∨ (p ∧ ¬q)
• ¬q
1.5 Encontre as raízes (se existirem em R) e plote o gráfico das
funções/equações abaixo
(a) f(x) = x2 + 16
(b) y = 2x − 1
(c) f(x) = 2x+12
(d) x2 + 6 = 5x
(e) 3x − 2
1.6 Para cada item abaixo, faça o seguinte:
(a) Encontre as raízes, se existir em R
(b) Faça o gráfico de cada uma das funções
• f : R → R tal que f(x) = 3x − 5
• x2 : Z → Z tal que x2 = {⟨x, y⟩ ∈ Z2 | y = x2}
• g : N → N tal que g(x) = 2x − 1
• h : R → R tal que h(x) = 2x2
1.7 Considere p, q e r são as proposições:
• p: Você está com gripe.
• q: Você perde a prova final.
• r: Você foi aprovado no curso.
Expresse cada uma destas composições compostas em Português:
1. p → q
2. ¬q ↔ r
3. q → ¬r
4. p ∨ q ∨ r
5. (p → ¬r) ∨ (q → ¬r)
6. (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ r)
1.8 Usando a definição recursiva dos da função que gera os números
de Fibonacci mostre em uma tabela os 10 primeiros números
de Fibonacci
1.8.1 DESAFIO: Tente implementar o algoritmo acima em alguma linguagem
de programação!
1.9 Encontre f(1), f(2), f(3) e f(4) se f(n) for definido recursi-
vamente por f (0) = 1 e para n = 0, 1, 2 . . .
(a) f(n + 1) = f(n) + 2
(b) f(n + 1) = 3f(n)
(c) f(n + 1) = 2f(n)
(d) f(n + 1) = f(n)2 + f(n) + 1
1.10 Seja S = {2, 5, 17, 27}. Quais das seguintes afirmações são
verdadeiras?
(a) 5 ∈ S
(b) 2 + 5 ∈ S
(c) ∅ ∈ S
(d) S ∈ S
1.11 Quais das sentenças abaixo são proposições?
1. A lua é feita de queijo suíço.
2. Ele é certamente um homem careca.
3. Três é um número primo.
4. O jogo de basquete vai acabar logo?
5. x2 − 4 = 0.
6. 3 é raiz de x2 − 4x + 3.
1.12 Escreva as sentenças a seguir utilizando a linguagem da Lógica
proposicional. Utilize símbolos proposicionais para representar
sentenças atômicas
a. Se eu sou feliz, você é infeliz, e se você é infeliz, eu não sou feliz.
b. José virá à festa e Maria não gostará, ou José não irá à festa e Maria gostará da
festa.
c. A novela será exibida, a menos que seja exibido o programa político.
d. Se chover, irei para casa, caso contrário, ficarei no escritório.
e. Se Maria é bonita, inteligente e sensível e se Rodrigo ama Maria, então ele é feliz.
f. Se sr. Oscar é feliz, sra. Oscar é infeliz, e se a sra. Oscar é feliz, o sr. Oscar é infeliz.
g. Maurício virá à festa e Katia não virá ou Maurício não virá à festa e Katia ficará
infeliz.
h. Irei ao teatro somente se for uma peça de comédia.
i. Se minha namorada vier, irei ao teatro somente se for uma peça de comédia.
1.13 Determine o valor-verdade (V ou F) de cada uma das seguintes
proposições:
1. (∀x)(|x| = x)
2. (∃x)(x2 = x)
3. (∃x)(|x| = 0)
4. (∃x)(x + 2 = x)
5. (∀x)(x + 1 > x)
6. (∀x)(x2 = x)
7. (∃x)(2x = x)
8. (∃x)(x2 + 5 = 2x)
9. (∃x)(x2 + 5 = 2x)
10. (∀x)(2x + 3x = 5x)
1.14 Negue cada uma das proposições do exercício anterior
	Conjuntos, Funções e lógica proposicional
	Suponha o conjunto universo S = { p, q, r, s, t, u, v, w } bem como os seguintes conjuntos:
	Dados A = { 0,2,3,4 }, B = {2,3,4} e C = {3,4,5,6}, determine:
	Sejam A = { 2,3,4,5 }, B = {3,4,5,6,10}. Para cada uma das seguintes relações
	Considere que p e q são proposições:
	Encontre as raízes (se existirem em R) e plote o gráfico das funções/equações abaixo
	Para cada item abaixo, faça o seguinte:
	Considere p, q e r são as proposições:
	Usando a definição recursiva dos da função que gera os números de Fibonacci mostre em uma tabela os 10 primeiros números de Fibonacci
	DESAFIO: Tente implementar o algoritmo acima em alguma linguagem de programação!
	Encontre f(1), f(2), f(3) e f(4) se f(n) for definido recursivamente por f(0)=1 e para n = 0,1,2 …
	Seja S = { 2, 5,17,27 }. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
	Quais das sentenças abaixo são proposições?
	Escreva as sentenças a seguir utilizando a linguagem da Lógica proposicional. Utilize símbolos proposicionais para representar sentenças atômicas
	Determine o valor-verdade (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
	Negue cada uma das proposições do exercício anterior