ListaExercicios_PE1_TeoriaFilas

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios de Processos Estocásticos I – Teoria das Filas Prof. André Diniz 1
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Processos Estocásticos I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – TEORIA DAS FILAS 
 PROF: André Diniz 
(Extraídos e adaptados do livro: M.C.Fogliatti, N.M.C.Mattos, “Teoria das Filas”, Ed. Interciência) 
 
Exercício 1 
Está sendo planejada a saída do estacionamento de um shopping center onde é pago, num único 
guichê, o ticket pela estadia dos carros. Os carros chegam ao guichê segundo um processo de 
Poisson com uma taxa de 120 veículos por hora e o tempo necessário para processar a cobrança e 
permitir a saída do veículo está exponencialmente distribuído com média de 20 segundos. 
Pergunta-se: 
(a) A taxa de utilização do sistema 
(b) O número de carros mais provável no sistema. 
(c) o espaço necessário (em número de carros) no estacionamento para que, com pelo menos 95% 
de certeza, os veículos aguardando liberação não interfiram no resto das operações 
(d) o tempo médio de espera na fila de um cliente qualquer 
Exercício 2 
Determine a taxa de chamadas que pode ser suportada por uma central telefônica com as seguintes 
características: 
- duração média das chamadas de 3 minutos; 
- tolerância máxima de 3 minutos para o tempo médio de espera na fila (para iniciar o atendimento 
telefônico); 
- o sistema pode ser representado pelo modelo M/M/1/∞/FIFO 
Exercício 3 
Um centro computacional recebe trabalhos de um conjunto de terminais e processa em média dez 
trabalhos por hora, segundo uma distribuição de Poisson. Os terminais encaminham trabalhos ao 
centro em tempos com distribuição exponencial de média igual a 10 minutos. Pede-se: 
(a) A probabilidade de o centro computacional estar ocioso 
(b) A probabilidade de, em um instante qualquer, o centro computacional estar com 5 ou mais 
trabalhos em andamento e/ou em processo de espera para ser processado. 
Exercício 4 
Um posto para lavar carros está sendo planejado, para o que se faz necessário dimensionar o local 
onde os carros aguardarão pelo serviço. Imagina-se que a demanda por esse serviço seguirá uma 
distribuição de Poisson com taxa de um carro a cada 5 minutos. Existirá uma única máquina para 
lavar os carros, cujo tempo de serviço segue uma distribuição exponencial com média de 4 minutos. 
Faça uma curva do percentual médio de carros perdidos devido à falta de espaço, para capacidades 
de espera variando de nenhum até 5 carros. 
 
 
Lista de Exercícios de Processos Estocásticos I – Teoria das Filas Prof. André Diniz 2
Exercício 5 
Clientes de uma padaria são atendidos por quatro balconistas, cada um deles capaz de atender em 
média 100 fregueses por hora. Os tempos de atendimento dos balconistas são idêntica e 
exponencialmente distribuídos. Os fregueses chegam à padaria de acordo com um processo de 
Poisson com taxa de 3 clientes por minuto. 
(a) Calcule o percentual de tempo em que um atendente qualquer fica ocioso 
(b) O gerente da padaria pensa em reduzir o número de atendentes. Calcule o tempo de espera 
médio na fila, nas situações em que nenhum, 1 ou 2 atendentes sejam demitidos. 
Exercício 6 
Em uma estação de trem há cinco telefones públicos. Pessoas chegam para telefonar segundo um 
processo Markoviano com taxa de 8 usuários por minuto. O tempo médio de uma chamada é de 36 
segundos, sendo a duração das mesmas idêntica e exponencialmente distribuída. Determine: 
(a) O valor esperado do tempo que uma pessoa deve aguardar por um telefone 
(b) A probabilidade de que essa espera exceda 1 minuto 
(c) O número esperado de pessoas usando ou esperando um telefone 
Exercício 7 
Navios chegam a um porto com taxa de 6 navios por dia, estando os tempos entre chegadas 
sucessivas distribuídas exponencialmente. O tempo de permanência de um navio qualquer em um 
berço do porto (carregando e/ou descarregando) está exponencialmente distribuído, com média de 
12 horas. 
Quantos berços o porto deve ter para que o tempo médio de espera não exceda 6 horas? 
Exercício 8 
Clientes chegam a um banco segundo um processo de Poisson de parâmetro 3 clientes por minuto. 
O tempo de atendimento de um caixa qualquer segue uma distribuição exponencial com média 0,5 
minuto. 
Qual o menor número de caixas para atendimento simultâneo que deve ser mantido, de forma que 
sejam satisfeitas as duas condições a seguir: 
- a probabilidade de um cliente qualquer não aguardar por atendimento ser maior ou igual a 0,9 
- o tempo médio de espera na fila de um cliente qualquer ser menor do que a metade do tempo 
médio de atendimento? 
Exercício 9 
Considere um sistema com uma configuração A, do tipo M/M/2, com taxa de chegada λ e taxa de 
atendimento µ para cada atendente. Uma alternativa a esse sistema seria uma outra configuração B, 
constituída de dois subsistemas de fila, cada um do tipo M/M/1, com taxa de chegada λ/2 e taxa de 
atendimento µ. 
Em qual das duas configurações, A ou B, o número médio de usuários no sistema é menor? 
Interprete este resultado. 
 
 
 
Lista de Exercícios de Processos Estocásticos I – Teoria das Filas Prof. André Diniz 3
Exercício 10 
Considere os dois sistemas a seguir: 
- sistema I: do tipo M/M/1, com parâmetros ρ e µ; 
- sistema II: do tipo M/M/2, com parâmetros ρ e 2µ; 
Em qual dos dois sistemas o tempo médio de permanência dos clientes no sistema é maior? 
Interprete este resultado. 
Exercício 11 
Carros chegam a um drive thru segundo um processo de Poisson com parâmetro dez carros por 
hora. O tempo de permanência em serviço está exponencialmente distribuído com média de 3 
minutos. 
Quantas vagas deve ter a fila do drive thru (contando o carro que está sendo atendido) para que a 
probabilidade de se rejeitar um cliente por falta de espaço seja menor do que 0,1? 
Exercício 12 
Pacientes chegam a uma maternidade segundo um processo de Poisson com taxa de 12 por dia e são 
encaminhadas a uma das cinco salas de parto, se houver disponibilidade, caso contrário são 
transferidas para outra maternidade. Uma paciente ocupa a sala de parto por 6 horas em média, 
estando esse tempo de permanência exponencialmente distribuído. 
Determine a percentagem de transferências e a probabilidade de haver uma sala disponível na 
maternidade, a qualquer momento. 
 
Lista de Exercícios de Processos Estocásticos I – Teoria das Filas Prof. André Diniz 4
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
LISTA DE EXERCÍCIOS: Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
 
GABARITO 
Exercício 1 
(a) 2/3 
(b) zero 
(c) sete vagas 
(d) 40 segundos 
 
Exercício 2 
10 ligações / hora 
 
Exercício 3 
(a) 2/5 
(b) 0,0778 
 
 
Exercício 4 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios de Processos Estocásticos I – Teoria das Filas Prof. André Diniz 5
Exercício 5 
(a) 55,0% (probabilidade = ) 
(b) demitindo nenhum: 2,1 seg 
 Demitindo 1 empregado: 10,6 seg 
 Demitindo 2 empregados: 2min e 33,5 seg 
 Demitindo 3 empregados: não é possível (cµ < λ) 
Exercício 6 
(a) 2min e 42,3 segundos 
(b) 0,646 
(c) 26,44 
 
 
Exercício 7 
5 berços 
 
Exercício 8 
Para a 1ª condição ser satisfeita: no mínimo 4 caixas 
Para a 2ª condição ser satisfeita: no mínimo 3 caixas 
 
Condição final: deve haver pelo menos 4 caixas 
 
Exercício 9 
Na configuração B 
 
Exercício 10 
No sistema II 
 
Exercício 11 
3 vagas 
 
Exercício 12 
11% de transferências / 0,054