Micro-Chap14

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Microeconomia: Princ´ıpios Ba´sicos
Cap´ıtulo 14. O excedente do consumidor
Escola de Po´s-Graduac¸a˜o em Economia 2009
Mestrado em Financ¸as e Economia Empresarial
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 1 / 38
To´picos cobertos
1 Demanda de um bem discreto
2 Construc¸a˜o da utilidade a partir da demanda
3 Outras interpretac¸o˜es do excedente do consumidor
4 A aproximac¸a˜o de uma demanda cont´ınua
5 Utilidade quase-linear
6 Como interpretar a variac¸a˜o do excedente do consumidor
7 Variac¸a˜o equivalente e variac¸a˜o compensadora
8 Excedente do produtor
9 Ana´lise custo-benef´ıcio
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Demanda de um bem discreto
Suponhamos que a func¸a˜o de utilidade tenha a forma
u(x, y) = v(x) + y e que o bem x somente esteja dispon´ıvel em
quantidades inteiras
Seja p o prec¸o do bem x e fixemos em 1 o prec¸o do bem y que e´
interpretado como o dinheiro a ser gasto em outros bens
Vimos que o comportamento do consumidor pode ser descrito em
termos dos prec¸os de reserva
r1 = v(1)− v(0), r2 = v(2)− v(1) . . .
Se n unidades do bem discreto fossem demandadas, enta˜o o prec¸o
do bem x tera´ de satisfazer
rn > p > rn+1
A lista dos prec¸os de reserva conte´m toda a informac¸a˜o necessa´ria
para descrever o comportamento da demanda
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Construc¸a˜o da utilidade a partir da demanda
Se tivermos uma curva de demanda, podemos elaborar (no caso
especial da utilidade quase-linear) uma func¸a˜o de utilidade
Lembra que temos
r1 = v(1)− v(0) r2 = v(2)− v(1) r3 = v(3)− v(2)
Par calcular v(3), por exemplo, basta somamos para encontrar
v(3)− v(0) = r1 + r2 + r3
Por convenieˆncia, podemos impor v(0) = 0 e enta˜o
∀n > 1, v(n) = r1 + r2 + . . . rn
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Construc¸a˜o da utilidade a partir da demanda
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Construc¸a˜o da utilidade a partir da demanda
A utilidade v(n) de consumir n unidades do bem discreta e´ a a´rea
das primeiras n barras que formam a func¸a˜o de demanda
Essa a´rea e´ chamada de benef´ıcio bruto ou excedente bruto
do consumo associado ao consumo do bem
A utilidade final do consumo (bem 1 e bem 2) e´
v(n) + m− pn
onde m e´ a riqueza inicial do consumidor
O termo v(n)− pn e´ chamado de excedente do consumidor ou
excedente l´ıquido do consumidor
Ele mede os benef´ıcios de consumir n unidades do bem discreto
menos a reduc¸a˜o no gasto de consumo no outro bem
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Construc¸a˜o da utilidade a partir da demanda
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Outras interpretac¸o˜es do excedente do consumidor
O valor que o consumidor da´ a` primeira unidade de consumo do
bem discreto e´ r1 (supondo v(0) = 0)
Mas se o prec¸o do bem discreto e´ p, ele so´ tem de pagar p por ela
Isso lhe proporciona um “excedente” de r1 − p na primeira
unidade de consumo
Ele da´ um valor adicional de r2 a` segunda unidade de consumo,
mas tem de pagar apenas p por ela
Isso lhe da´ um excedente de r2 − p
Se somarmos, o excedente total de todas n unidades e´
EC = (r1 − p) + (r2 − p) + . . . + (rn − p)
= (r1 + . . . + rn)− np
= v(n)− np
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Outras interpretac¸o˜es do excedente do consumidor
Suponhamos que um consumidor esteja consumindo n unidades do
bem discreto e pagando pn por elas
Quanto dinheiro seria necessa´rio para induzi-lo a reduzir a zero
seu consumo do bem?
Seja R a quantidade de dinheiro requerida
Enta˜o, R tem de satisfazer a equac¸a˜o
v(0) + m + R = v(n) + m− pn
Dado que suponhamos v(0) = 0, essa equac¸a˜o se reduz a
R = v(n)− pn
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Excedente dos consumidores
Se houver va´rios consumidores, podemos somar os excedentes de
todos eles para criar uma medida agregada do excedente dos
consumidores
O excedente dos consumidores serve como medida conveniente dos
ganhos agregados obtidos com as trocas
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Aproximac¸a˜o de uma demanda cont´ınua
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Utilidade quase-linear
Em geral, o prec¸o ao qual o consumidor esta´ disposto a comprar
determinada quantidade do bem 1 dependera´ de quanto dinheiro
ele dispuser para consumir outros bens
Em geral, os prec¸os de reserva do bem 1 dependera˜o do quanto do
bem 2 estiver sendo consumido
No caso especial da utilidade quase-linear, os prec¸os independem
da quantidade de dinheiro que o consumidor possua para gastar
nos outros bens
Os economistas dizem que com a utilidade quase-linear na˜o ha´
“efeito-renda”, uma vez que a variac¸a˜o da renda na˜o afetam a
demanda
O uso da a´rea abaixo da curva de demanda para medir utilidade
so´ sera´ completamente correto quando a func¸a˜o de utilidade for
quase-linear
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Utilidade quase-linear
Se a demanda de um bem na˜o se altera muito quando a renda
variar
Os efeitos renda na˜o sera˜o muito importantes
E a variac¸a˜o no excedente do consumidor sera´ uma aproximac¸a˜o
bastante razoa´vel da variac¸a˜o da utilidade do consumidor
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Como interpretar a variac¸a˜o do excedente do
consumidor
Estamos interessados pela variac¸a˜o do excedente do consumidor
em consequ¨eˆncia de alguma variac¸a˜o de pol´ıtica
Suponhamos que o prec¸o de um bem varie de p′ para p′′
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Como interpretar a variac¸a˜o do excedente do
consumidor
O retaˆngulo indicado por R mede a perda de excedente resultante
do fato de que o consumidor agora paga mais por todas as
unidades que continua a consumir
O consumidor continua a consumir x′′ unidades do bem, mas tem
de gastar (p′′ − p′)x′′ mais dinheiro de que pagava antes
O aumento do prec¸o do bem x faz com que o consumidor decida
consumir menos desse bem
O triaˆngulo T mede o valor do consumo perdido do bem x
A perda total corresponde a` soma desse dois efeitos
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Variac¸a˜o no excedente do consumidor: exemplo
Imagina a curva de demanda linear D(p) = 20− 2p
Quando o prec¸o varia de 2 para 3, qual a variac¸a˜o correspondente
no excedente do consumidor?
Quando p = 2 temos D(2) = 16, e quando p = 3, temos D(3) = 14
A a´rea do retaˆngulo R (1 de altura e 14 de base) e´ 14 e a a´rea do
triaˆngulo T (1 de altura e 2 de base) e´ 1
A a´rea total sera´ de 15
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Variac¸a˜o equivalente e variac¸a˜o compensada
Em geral, o excedente do consumidor pode ser uma medida
razoa´vel (mesmo se a utilidade na˜o for quase-linear) do bem-estar
do consumidor
Ja´ vimos que observando um certo nu´mero de escolhas de
consumidor (demandas), podemos estimar a func¸a˜o de utilidade
Isso e´ importante para avaliar o impacto de propostas de
mudanc¸as dos prec¸os e dos n´ıveis de consumo
Em algumas aplicac¸o˜es, pode ser conveniente usar certas medidas
moneta´rias da utilidade
Quanto dinheiro ter´ıamos de dar a um consumidor para
compensa´-lo por uma variac¸a˜o nos seus padro˜es de consumo?
De outra forma, essa medida avalia uma variac¸a˜o da utilidade mas
em unidades moneta´rias
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Variac¸a˜o equivalente e variac¸a˜o compensada
Suponhamos que estejamos examinando a situac¸a˜o seguinte
O consumidor defronta-se com alguns prec¸os (p?1, 1) e consome
uma determinada cesta (x?1, x
?
2)
Logo, o prec¸o do bem 1 aumenta de p?1 para p̂1, e o consumidor
passa a consumir (x̂1, x̂2)
Em que medida o consumidor e´ afetado por essa variac¸a˜o do prec¸o?
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Variac¸a˜o equivalente e variac¸a˜o compensadora
Um modo de responder e´ perguntar quanto dinheiro ter´ıamos de
dar ao consumidor depois da variac¸a˜o do prec¸o para deixa´-lo
exatamente (nem menos nem mais) ta˜o bem quanto estava antes
dessa variac¸a˜o
O que perguntamos e´ quanto ter´ıamos de deslocar para cima a
nova reta orc¸amenta´ria para fazeˆ-la tangenciar a curva de
indiferenc¸a que passa pela cesta x?
A variac¸a˜o de renda necessa´ria para levar o consumidor a sua
curva de indiferenc¸a original e´ chamada variac¸a˜o compensadora
da renda
E´ a variac¸a˜o na renda que compensa o consumidor pela variac¸a˜o
do prec¸o
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Variac¸a˜o equivalente e variac¸a˜o compensadora
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Variac¸a˜o equivalente e variac¸a˜o compensadora
Outra forma de medir o impacto de uma variac¸a˜o de prec¸o em
termos moneta´rios
Consiste em perguntar quanto dinheiro teria de se tirar do
consumidor antes da variac¸a˜o de prec¸o para deixa´-lo ta˜o bem
quanto (nem mais nem menos) estaria depois da variac¸a˜o de prec¸o
Isso e´ chamado de variac¸a˜o equivalente da renda
A variac¸a˜o equivalente mede a quantidade ma´xima de renda que o
consumidor estaria disposto a pagar para evitar a variac¸a˜o de
prec¸o
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Variac¸a˜o equivalente e variac¸a˜o compensadora
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Variac¸a˜o equivalente e variac¸a˜o compensadora
Em termos geome´tricos, as variac¸o˜es compensadora e equivalente
sa˜o duas formas distintas de medir o afastamento entre duas
curvas de indiferenc¸a pela observac¸a˜o da distaˆncia que separa suas
linhas tangentes
A variac¸a˜o equivalente e a variac¸a˜o compensadora sa˜o iguais no
caso da utilidade quase-linear
Nesse caso, as curvas de indiferenc¸a sa˜o paralelas, de modo que a
distaˆncia entre duas curvas de indiferenc¸a quaisquer e´ a mesma,
na˜o importando onde elas sejam medidas
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Variac¸a˜o equivalente e variac¸a˜o compensadora
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Variac¸o˜es equivalente e compensadora: exemplo
Suponhamos que o consumidor tenha uma func¸a˜o de utilidade
u(x1, x2) = x
1/2
1 x
1/2
2
Originalmente, o agente se defronta com prec¸os p? = (1, 1) e tem
uma renda de $100
Enta˜o o prec¸o do bem 1 aumenta para 2: quais sa˜o as variac¸o˜es
compensadora e equivalente?
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Variac¸o˜es equivalente e compensadora: exemplo
Sabemos que as func¸o˜es de demanda de Cobb–Douglas sa˜o dadas
por
x1(p1, p2,m) =
m
2p1
e x2(p1, p2,m) =
m
2p2
As demandas do consumidor mudam de x? = (50, 50) para
x̂ = (25, 50).
Variac¸a˜o compensadora: quanto dinheiro seria necessa´rio aos
prec¸os (2, 1) para deixar o consumidor ta˜o bem quanto estava ao
consumir a cesta (50, 50)
Temos que resolver a equac¸a˜o(m
4
) 1
2
(m
2
) 1
2 = (50)
1
2 (50)
1
2
Obtemos m = 100
√
2 ≈ 141 e a renda compensadora e´
141− 100 = 41
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Variac¸o˜es equivalente e compensadora: exemplo
Variac¸a˜o equivalente: quanto dinheiro m seria necessa´rio aos
prec¸os p? = (1, 1) para que o consumidor ficasse ta˜o bem quanto
estava ao consumir a cesta x̂ = (25, 50)
Temos que resolver a equac¸a˜o(m
2
) 1
2
(m
2
) 1
2 = (25)
1
2 (50)
1
2
Ao resolvermos, obtemos m = 50
√
2 ≈ 70
Se o consumidor tivesse uma renda de 70 aos prec¸os originais p?,
estaria ta˜o bem quanto ao defrontar-se com os novos prec¸os p̂ e ter
uma renda 100
A variac¸a˜o equivalente na renda e´ 100− 70 = 30
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Variac¸o˜es compensadora e equivalente das prefereˆncias
quase-lineares
Suponhamos que o consumidor tenha um func¸a˜o de utilidade
quase linear u(x1, x2) = v(x1) + x2
Sabemos que a demanda do bem 1 dependera´ somente do prec¸o
desse bem (o prec¸o do bem 2 esta´ fixado a 1): x1(p1)
Suponhamos que o prec¸o varie de p?1 para p̂1: quais sera˜o as
variac¸o˜es compensadora e equivalente?
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Variac¸o˜es compensadora e equivalente das prefereˆncias
quase-lineares
Ao prec¸o p?1, o consumidor escolhe x
?
1 = x1(p
?
1) e tem a utilidade
v(x?1) + m− p?1x?1
Ao prec¸o p̂1, o consumidor escolhe x̂1 = x1(p̂1) e tem a utilidade
v(x̂1) + m− p̂1x̂1
Seja C a variac¸a˜o compensadora: essa a quantia de dinheiro
adicional de que o consumidor necessitaria apo´s a variac¸a˜o do
prec¸o para ficar ta˜o bem quanto antes:
v(x̂1) + m + C − p̂1x̂1 = v(x?1) + m− p?1x?1
Obtemos
C = v(x̂1)− v(x?1) + p̂1x̂1 − p?1x?1
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Variac¸o˜es compensadora e equivalente das prefereˆncias
quase-lineares
Seja E a variac¸a˜o equivalente: e´ a quantia de dinheiro que voceˆ
poderia tirar do consumidor antes da variac¸a˜o do prec¸o para
deixa´-lo com a mesma utilidade que teria apo´s a variac¸a˜o de prec¸o
v(x?1) + m− E − p?1x?1 = v(x̂1) + m− p̂1x̂1
Obtemos
E = v(x̂1)− v(x?1) + p̂1x̂1 − p?1x?1
As variac¸o˜es compensadora e equivalente sa˜o iguais e tambe´m
correspondem a` variac¸a˜o do excedente (l´ıquido) do consumidor
∆Excedente = [v(x?1)− p?1x?1]− [v(x̂1)− p̂1x̂1]
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Excedente do produtor
A curva de oferta mede a quantidade que seria ofertada a cada
prec¸o
A a´rea acima da curva de oferta e´ chamada de excedente
(l´ıquido) do produtor
Dever´ıamos usar o termo “excedente do ofertante” (e excedente do
demandante) ja´ que um bem pode ser ofertado por uma pessoa
que o possui ou por uma empresa que o produza
Se o produtor puder vender num mercado x? unidades de seu
produto ao prec¸o p?, qual sera´ seu excedente?
Desenvolvemos a ana´lise em termos da curva de oferta inversa do
produtor: x 7→ ps(x) e´ a func¸a˜o que mede qual deveria ser o prec¸o
para que o produtor ofertasse x unidades do bem
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Excedente do produtor
Consideremos um bem discreto
O produtor quer vender a primeira unidade do bem ao prec¸o ps(1)
Mas ele obte´m o prec¸o do mercado p? por essa unidade
Do mesmo modo, ele quer vender a segunda unidade por ps(2) mas
obte´m p? por ela
A diferenc¸a entre a quantia mı´nima pela qual o produtor esta´
disposto a vender as x? unidades e a quantia pela qual realmente
as vende e´ o excedente l´ıquido do produtor
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Excedente do produtor
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Ana´lise custo-benef´ıcio
Examinemos por exemplo o efeito de um prec¸o ma´ximo pc
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Ana´lise custo-benef´ıcio
As autoridades acreditam que o prec¸o de equil´ıbrio sem
intervenc¸a˜o pe e´ demasiado alto e impo˜em um prec¸o ma´ximo pc
Isso reduz a quantidade que os fornecedores se dispo˜em a oferecer
para qc: isso diminui o excedente l´ıquido do produtor
Quem fica com a quantidade qc? Supomos que o produto va´ para
os consumidores que esta˜o dispostos a pagar mais
Digamos que pe, prec¸o efetivo, seja o prec¸o que induz os
consumidores a demandar qc
As perdas so´cias devidas ao prec¸o ma´ximo tambe´m pode ser
interpretadas como perdas so´cias devidas a um racionamento
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Apeˆndice
Utilizemos um pouco de ca´lculo para tratar de modo rigoroso o
excedente do consumidor
Comecemos com o problema de maximizac¸a˜o de uma utilidade
quase-linear
x(p,m) ≡ argmax{v(x) + y : px + y = m e (x, y) > 0}
Ao substituirmos a partir da restric¸a˜o orc¸amenta´ria, teremos
x(p,m) = argmax{v(x) + m− px : px 6 m e x > 0}
V. FilipeMartins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 36 / 38
Apeˆndice
Supomos que a soluc¸a˜o x(p) da condic¸a˜o de primeira ordem
v′(x) = p
satisfaz x(p) > 0 e px(p) < m
Isso acontece quando v′(0) > p (lembra que v e´ coˆncava)
Podemos provar que nesse caso teremos
x(p,m) = x(p)
a demanda na˜o depende da renda
A func¸a˜o de demanda inversa x 7→ x(p) e´ definida por
p(x) = v′(x)
Observe a analogia com o caso do bem discreto
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 37 / 38
Apeˆndice
Para achar a func¸a˜o de utilidade, podemos integrar a func¸a˜o de
demanda inversa
v(x) = v(x)− v(0) =
∫ x
0
v′(t)dt =
∫ x
0
p(t)dt
Portanto, a utilidade associada ao consumo do bem e´ justamente a
a´rea embaixo da curva de demanda
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 38 / 38
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