Opcional-1o2011-Fila-A

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UFJF – ICE – Departamento de Matemática 
Cálculo I – Prova Opcional – 1º Semestre Letivo de 2011 – 15/07/2011 – FILA A 
Aluno (a):_________________________________________ Matrícula:__________ Turma: _____ 
 
Instruções Gerais: 
1- Preencher o quadro de respostas das questões de múltipla escolha com caneta azul ou preta. 
2- Não é permitido sair da sala durante a aplicação da prova. 
3- Não é permitido o uso de calculadora. 
4- Permanência mínima de 30 minutos na sala. 
5- A prova tem duração de duas horas e meia. 
 
Quadro de Respostas 
 
Valor: 100 pontos 
 
Alternativa/Questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
A 
B 
C 
D 
E 
 
 
As questões de números 1 a 9 referem-se à função 
xe
x
xf
2
)( 
. 
1- O domínio da função f é o conjunto: 
a) 
R
 b) 
 1R
 c) 
 1R
 d) 
 1 ,1R
 e) 
 0R
 
 
 
2- A derivada primeira da função f é: 
a) 
xe
xx
2
22 
 b) 
xe
xx 22 
 c) 
xe
x2
 d) 
3
2
x
exe xx 
 e) 
xe
xx 22 
 
 
 
3- A derivada segunda da função f é: 
a) 
xe
x 22 
 b) 
xe
x
2
22 
 c) 
xe
xx 242 
 d) 
xe
xx 242 
 e) 
xe
2
 
 
 
4- Os pontos críticos da função f são: 
a) 
2
1
 b) 0 c) 0 e 2 d) 
22 e 22 
 e) não existem pontos críticos 
 
 
5- Sobre o crescimento e decrescimento da função f , podemos afirmar que: 
a) 
f
é crescente nos intervalos 
 22 , 
 e 
  ,22
 e 
f
é decrescente no intervalo 
 22 ,22 
. 
b) 
f
é decrescente nos intervalos 
 22 , 
 e 
  ,22
 e 
f
é crescente no intervalo 
 22 ,22 
. 
c) 
f
é crescente nos intervalos 
 0 ,
 e 
  ,2
 e 
f
é decrescente no intervalo 
 2 ,0
. 
d) 
f
é decrescente nos intervalos 
 0 ,
 e 
  ,2
 e 
f
é crescente no intervalo 
 2 ,0
. 
e) f é crescente no intervalo 
  ,
. 
 
 
 
2 
 
6- Sobre a concavidade da função f , podemos afirmar que: 
a) 
f
é côncava para cima nos intervalos 
 22 , 
 e 
  ,22
 e 
f
é côncava para baixo no intervalo 
 22 ,22 
. 
 
b) 
f
é côncava para baixo nos intervalos 
 22 , 
 e 
  ,22
 e 
f
é côncava para cima no intervalo 
 22 ,22 
. 
 
c) 
f
é côncava para cima nos intervalos 
 0 ,
 e 
  ,2
 e 
f
é côncava para baixo no intervalo 
 2 ,0
. 
 
d) 
f
é côncava para baixo nos intervalos 
 0 ,
 e 
  ,2
 e 
f
é côncava para cima no intervalo 
 2 ,0
. 
 
e) f é côncava para cima no intervalo 
  ,
. 
 
 
7- Sobre máximos e mínimos relativos (locais) da função f e pontos de inflexão, podemos afirmar que: 
a) f possui máximo relativo em 
22x
, f possui mínimo relativo em 
22x
 e os pontos 
  0,0 f
 e 
  2,2 f
 são de inflexão. 
 
b) f possui mínimo relativo em 
22x
, f possui máximo relativo em 
22x
 e os pontos 
  0,0 f
 
e 
  2,2 f
 são de inflexão. 
 
c) f possui mínimo relativo em 
2x
, f possui máximo relativo em 
0x
 e os pontos 
  22,22  f
 e 
  22,22  f
 são de inflexão. 
 
d) f possui máximo relativo em 
2x
, f possui mínimo relativo em 
0x
 e os pontos 
  22,22  f
 e 
  22,22  f
 são de inflexão. 
 
e) Não existem máximos relativos, mínimos relativos e pontos de inflexão. 
 
 
8- Marque a alternativa INCORRETA: 
a) 
0)(lim 

xf
x
. 
b) 


)(lim
 
xf
x
. 
c) 
0)0( f
 
d) A reta 
0x
 é assíntota horizontal do gráfico de f. 
 
e) Não existem assíntotas verticais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
9- O gráfico que melhor representa a função f é: 
 
a) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10- Os valores de 
Rx
, para os quais a função real dada por 
 31 1 )(  xxf
está definida, formam 
o conjunto: 
a) 
 5 ,3
 b) 
 3 ,1
 c) 
   5 ,31 ,3 
 d) 
    ,31 ,3
 e) 
   5 ,31 , 
 
 
 
11- A inclinação da reta tangente à curva 
222  yxyx
 no ponto de abscissa 
0x
 e ordenada positiva é: 
a) 
2
1

 b) 
2
1
 c) 
4
1

 d) 
4
1
 e) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
12- Sejam f e g funções deriváveis em R e 
Ra
. Marque a alternativa CORRETA: 
a) Se 


)(lim e 0)(lim xgxf
axax
, então 
  0)().(lim 

xgxf
ax
. 
b) Se 
0)(lim e 0)(lim 

xgxf
axax
, então 
1
)(
)(
lim 
 xg
xf
ax
. 
c) Se 


)(lim e )(lim xgxf
axax
, então 
1
)(
)(
lim 
 xg
xf
ax
. 
d) Se 
0)(lim e )(lim 

xgxf
axax
, então 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax
. 
e) Se 


)(lim e )(lim xgxf
axax
, então 
  

)()(lim xgxf
ax
. 
 
 
13- A função contínua 
)(xfy 
 está definida no intervalo 
 8 ,4
, conforme indicado abaixo, sendo a e b 
números reais: 
 









 84 se ,102
40 se ,
04 se ,6
)(
xx
xbax
xx
xf
. 
Podemos afirmar que a soma 
ba 
 é: 
a) 
12
 b) 
2
 c) 0 d) 4 e) 6 
 
14- Observe o gráfico da função 
xkxf alog)( 
, sendo 
1 e 0 reais, números e  aaka
. 
 
 
 
15- A derivada da função 
 2ln)( xsenxf 
 em 
1x
 é: 
a) 
2
 b) 
1
 c) 
0
 d) 
1
 e) 
2
 
 
16- Considere a função 
Rf 






2
 ,
2
:
 definida por  









0 se ,
0 se ,
cosln
sec1
)(
xk
x
x
x
xf
. 
O valor de k para que a função f seja contínua é: 
a) 0 b) 1 c) – 1 d) ½ e) – ½ 
 
 
17- Uma escada de 10 cm de comprimento apóia-se no chão e na parede, formando o triângulo retângulo AOB. 
Utilizando-se um sistema de coordenadas cartesianas, a situação pode ser representada como na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Para que a área do triângulo AOB seja máxima, podemos afirmar que o 
produto x.y é: 
a) 25 cm
2
 b) 25
2
cm
2
 c) 25
3
cm
2
 d) 24 cm
2
 e) 50 cm
2
 
Sabendo que 
2)()(  xfxg
, podemos afirmar que 
)3(1 g
 é: 
a) 0,1 b) 0,01 c) 0,001 d) 0,02 e) 0,002 
 
 
 
 
 
5 
18- Todas as arestas de um cubo estão aumentando à taxa de 5 cm/s. Com que rapidez está aumentando o 
volume do cubo no instante em que o comprimento das arestas é 4 cm? 
a) 20 cm
3
/s b) 60 cm
3
/s c) 120 cm
3
/s d) 200 cm
3
/s e) 240 cm
3
/s 
 
 
19- Marque a alternativa CORRETA: 
a) A função 
910)(por definida : 24  xxxfRRf
 é ímpar. 
b) A função 
xxxxxfRRf 1074)(por definida : 234 
 é par. 
c) A função 
 
x
xfRRf
2
1
)(por definida 0: 
 é injetora. 
d) A função 
 
x
xfRRf
2
1
)(por definida 0: 
 é sobrejetora. 
e) O domínio e imagem da função 
1
)(


x
x
xf
 coincidem, sendo o conjunto 
 1R
. 
 
20- Calculando 
  3
2
1
.4
2
lim
2
2









x
senx
x
 obtemos: 
a) 
  34
2
sen
 b) 
  314
2
sen
 c) 
3
6 d) 
3
2 e) 