Solucao-Cap2

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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÕES 
 
João Célio Brandão, Abraham Alcaim e Raimundo Sampaio Neto 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Estudos em Telecomunicações da PUC-Rio 
Rio de Janeiro – Março de 2010 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
2.1 Analise cada uma das funções da Fig. E2.1e verifique se podem ser transformadas 
de Fourier de uma função real. 
 
Fig. E2.1 
Solução 
 
 Apenas a função da Fig. E2.1 (c) pode ser transformada de Fourier de uma 
função real pois não viola a condição G(f) = G*(-f) 
 
2.2 Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções: 
 
(a) 5 | | 4( )
0
t
g t fora
≤
= 

; (b) 5 0 4( )
0
t
g t fora
≤ ≤
= 

 (c) 2
1( )
1
g t
t
=
+
 (d) 
2
22
1( )
2
t
g t e σ
piσ
−
= 
 
 
Utilize a tabela e as seguintes propriedades da transformada de Fourier 
 
(a) linearidade e mudança de escala 
(b) linearidade, mudança de escala e deslocamento no tempo 
(c) dualidade e mudança de escala 
(d) linearidade e mudança de escala 
(e) diferenciação e dualidade 
(f) linearidade e deslocamento 
(g) linearidade 
 
 
 
1 
 0 1 t 
(e) 
2 
3 
0 2 4 t 
(f) 
-1 
-1 
2 
-2 0 2 t 
(g) 
0 f 
-f0 0 f0 f 
-f0 0 f0 f 
(a) (b) 
(c) 
 
 
Solução 
 
(a) ( )8( ) 5 rect 40 sinc(8 )tg t f= × ↔ × 
 
(b) ( )24( ) 5 rect 20 sinc(4 )exp( 4 )tg t f j fpi−= × ↔ × − 
 
(c) 2 222
1 1 2 1( ) 2
1 2 2
1 2
2
f fg t e e
t t
pi pipi pi
pi
pi
− −
= = ↔ =
+  
+  
 
 
 
(d) ( ) ( )
2
2 2 22122 2
2 221 1( )
2 2
t
t
f fg t e e e eσ
pi pi piσ σ pipiσ
piσ piσ
 
−  
−
−
− 
= = ↔ = 
 
(e) ( )t2( ) rect 2 sinc(2 ) 2 ( )dg t f fG fdt pi= ↔ × = 
 
sinc(2 )( ) fG f fpi= 
(f) ( ) ( ) 4 2 42 t-24 2( ) 2 rect tri 8 sinc(4 ) 2sinc (2 )j f j ftg t f e f epi pi− −−= × + ↔ × + 
 
(g) ( ) ( ) 2t4 2( ) 2 rect 2 tri 8 sinc(4 ) 4 sinc (2 )tg t f f= × − × ↔ × − × 
 
2.3 Considere do sinal da Fig. E2.3 cuja transformada de Fourier foi calculada no 
Exemplo 2.6. Obtenha essa mesma transformada usando (a) a propriedade 9 
(diferenciação) e (b) a propriedade 10 (integração) 
 
 
Fig. E2.3 
 
Solução 
 
[ ]2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 cos(2 ) 1j fT j fTdg t A t T A t A t T Ae A Ae A Tf
dt
pi piδ δ δ pi−= + − + − ↔ − + = − 
[ ] [ ]2 cos(2 ) 1 1 cos(2 )( )
2
A Tf jA Tf
G f j f f
pi pi
pi pi
− −
= = 
 
( ) 2 2 ( )( ) tri sinc ( )
2
t
t
T
G fg d AT AT Tf j fτ τ pi−∞ = × ↔ × =∫ ; note que ( ) 0g dτ τ
∞
−∞
=∫ 
A 
-T 0 T t 
-A 
 
2 2 2
2
2
sen ( ) sen ( )( ) 2 sinc ( ) 2 2( )
AT Tf TfG f j f AT Tf j f j A
Tf f
pi pi
pi pi
pi pi
×
= × × = =
 
Notando que 
[ ]2 1sen 1 cos(2 )
2
θ θ= − 
verificamos que as duas soluções são iguais. Verificamos também que 
( )
2sen ( )2 2 sinc sen( )Tfj A j AT Tf Tff
pi
pi
pi
= 
confirmando o resultado em (2.46) 
 
2.4 Utilize a propriedade 8 para calcular a integral do item (a) e o teorema de Parseval 
dado por (2.69) para calcular a integral do item (b). 
 
(a) sinc( )Tf df
∞
−∞
∫ ; (b) 2sinc ( )Tf df
∞
−∞
∫ 
 
Solução 
 
(a) Lembrando que 
1
sinc( ) rect tTf
T T
 
↔  
 
 
pela propriedade (8) 
1 1
sinc( ) rect(0)Tf df
T T
∞
−∞
= =∫ 
 
(b) Pelo Teorema de Parseval, 
 
2 2
2 21 1 1sinc ( ) rect tTf df dt T
T T T T
∞ ∞
−∞ −∞
     
= = =     
     ∫ ∫ 
 
2.5 Usando as propriedades da função impulso calcule: 
 
(a) ( )2 3( 3) 2 tt e eδ − −− ∗ ; (b) ∫∞
∞−
−
−
+
+ dtte
t
t t )1(
1
12 )1(3 δ 
 
Solução 
 
(a) ( )2 3 2( 3) 3 2 3( 3) 2 2 2t t tt e e e e eδ − − − − − − −− ∗ = = 
 
(b) 3( 1) 3(1 1)2 1 2 1 1 3( 1)
1 1 1 2
tt e t dt e
t
δ
∞
− −
−∞
+ × +
− = =
+ +∫ 
 
 
 
 
 
 
 
2.6 Usando as propriedades da convolução e do deslocamento na frequência, calcule 
 
(a) ( ) 8sinc(3 ) sinc 4 j tt t e pi ∗   ; (b) ( ) 4sinc(4 ) sinc 4 j tt t e pi ∗   
 
Solução 
 
(a) ( ) 8 1 1 - 4sinc(3 ) sinc 4 rect rect
3 3 4 4
j t f ft t e pi     ∗ ↔ ×        
 
 
 Podemos verificar que o produto das duas funções rect ( ) é nulo pois o primeiro 
se anula para f/3 > 0,5, isto é, f>1,5 e o segundo se anula para (f-4)/4<0,5, isto é, f<2. 
Como a transformada é nula, a convolução será nula. 
 
(b) ( ) 4 1 1 - 2sinc(4 ) sinc 4 rect rect
4 4 4 4
j t f ft t e pi     ∗ ↔ ×        
 
 
Verificamos como o auxílio da figura que o produto das funções rect ( ) neste caso será 
 
1 1 - 2 1 -1
rect rect rect
4 4 4 4 16 2
f f f     
× =     
     
 
Fazendo a transformada inversa obtemos 
( ) 2 4 21sinc(4 ) sinc 4 sinc(2 )
8
j t j tt t e t epi pi ∗ =  
 
2.7 Usando a propriedade da modulação calcule a transformada de Fourier das funções 
abaixo e esboce o seu espectro de amplitude para f0 >> 1 
 
(a) 0( ) cos(2 ) ( )tg t e f t u tpi−= 
-2 0 2 f 
0 4 f 
 0 2 f 
1/4 
1/4 
1/16 
 
(b) 0( ) cos(2 )tg t e f tpi−= 
 
(c) 0( ) sen(2 )tg t e f tpi−= 
 
 
Solução 
 
(a) 0( ) cos(2 ) ( )tg t e f t u tpi−= 
Como 
1( )
1 2
te u t j fpi
− ↔
+
 
pela propriedade da modulação, 
0 0
1 1 1( )
2 1 2 ( ) 1 2 ( )G f j f f j f fpi pi
 
= + + − + + 
 
Tomando o módulo da expressão chegamos a 
2 2 2 2
0 0
1 1 1( )
2 1 4 ( ) 1 4 ( )
G f
f f f fpi pi
 
 = +
 + − + + 
 
 
(b) 0( ) cos(2 )tg t e f tpi−= 
Como 
| |
2
2
1 (2 )
te fpi
− ↔
+
 
pela propriedade da modulação, 
2 2
0 0
1 2 2( )
2 1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f f f f fpi pi
 
= + + − + + 
 
Tomando o módulo chegamos a 
2 2
0 0
1 1( )
1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f f f f fpi pi= ++ − + + 
 
(c) 0( ) sen(2 )tg t e f tpi−= 
Neste caso, 
2 2
0 0
1 2 2( )
2 1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f j f f f fpi pi
 
= − + − + + 
 
e 
2 2
0 0
1 1( )
1 [2 ( )] 1 [2 ( )]G f f f f fpi pi= −+ − + + 
 
Nos 3 casos, considerando f0 >> 1, o espectro de amplitude terá forma semelhante à da 
figura 
 
 
 
 
2.8 Utilize o resultado do exemplo 2.8 e as propriedades da integral de convolução para 
calcular a convolução entre as funções da Fig. E2.8. 
 
Fig. E2.8 
 
Solução 
 
 Sabemos de (2.65) que 
( ) ( ) ( )TtTtTt triTrectrect ⋅=∗ 
No caso, temos 
( ) ( )1 22 25 5t trect rect− −× ∗ × 
Aplicando (2.63) duas vezes, considerando um atraso igual a 1 na primeira função e 
igual a 2 na segunda, podemos escrever 
( ) ( )1 22 2 35 5 25 2 tri 2t t
t
rect rect− −
− 
× ∗ × = × ×  
 
 
 cujo gráfico está representado na figura. 
 
 
 
2.9 Calcule g1(t)*g2(t), representadas na Fig. E2.9, para t = 6. 
0 1 2 t 
5 
0 1 2 3 t 
5 
1 3 5 t 
50 
|G(f)| 
-f0 0 f0 f 
 
Fig. E2.9 
 
Solução 
 
 Para t = 6, mostra-se na figura que segue a posição relativa das 2 funções do 
integrando de 
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t g t g dα α α
∞
−∞
∗ = −∫ 
 
 
 
Por inspeção, podemos calcular a área do triângulo e a área do impulso, levando em 
conta os valores de g1( ) que multiplicam estas funções, e obtemos o valor 8. 
 
 
2.10 Utilizando a tabela de transformadas, a propriedade 13 – expressão (2.69), e outras 
propriedades, determine o valor das integrais 
(a) 2
1
cos(2 )
1 c
f t dt
t
pi
∞
−∞ +∫ ; (b) 
1
sinc( ) j BtBt e dt
t
pi
pi
∞
−∞
∫ 
 
Solução 
 
(a) Usando a tabela de transformadas e aplicando as propriedades da dualidade e da 
mudança de escala,temos 
|2 |
2
1
1
fe
t
pipi −↔
+
 
Aplicando (2.69) temos 
[ ] |2 ||2 |21 1cos(2 ) ( ) ( )1 2 c
ff
c c cf t dt e f f f f dt et
pipipi pi δ δ pi
∞ ∞
−−
−∞ −∞
= − + + =
+∫ ∫ 
(b) Usando a tabela de transformadas e aplicando as propriedades da dualidade temos 
g1(t) 
2 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 t 
g2(t) 3 
0 1 2 3 4 5 t 
(2) 
g1(6-α) 
2 
0 1 2 3 4 5 6 7 α 
3 
(2) 
g2(α) 
1 2 sgn(- )j f
tpi
↔ × . 
21sinc( ) rect
B
j Bt fBt e
B B
pi − ↔  
 
 
Aplicando (2.69) temos 
21 1sinc( )e [2j sgn( )] rect
B
j fB fBt dt f dt
t B B
pi
pi
∞ ∞
∗
−∞ −∞
− 
= × −  
 ∫ ∫ 
As duas funções do integrando e seu produto estão representadas na figura abaixo. 
Podemos então concluir que a integral será igual a 2j. 
 
2.11 Para cada um dos três pulsos definidos na Fig. E2.11, (a) determine sua amplitude 
para que eles tenham energia unitária; (b) determine a expressão da densidade espectral 
de energia definida em (2.125). 
 
Fig. E2.11 
 
Solução 
2 2 2
1 2 32 1TA T A A T= = = 
Logo, 
1 3
1A A
T
= =
 
2
2A
T
= 
-T/2 0 T/2 t 
A1 
-T/4 T/4 t 
- T/2 0 T/2 t 
g1(t) g2(t) 
g3(t) 
A3 
A2 
0 B f 
1/B 
2j 
2j/B 
0 B f 
1 1
1( ) ( ) sinc( )tg t rect G f T Tf
TT
 
= ⇔ = 
 
2 2
2 2( ) ( ) sinc
2 2
t T Tg t rect G f f
T T
   
= ⇔ =   
   
 
4 4
3
2 2
1 1( )
T T
T T
t t
g t rect rect
T T
   + −
= −      
   
 
/ 2 / 2
3
1( ) ( / 2)
2 2 2
j Tf j TfT TG f T sinc f e e T sinc f jsen Tfpi pi pi−    = − = ⋅       
 
 
Lembrando que o espectro de energia de g(t) é o módulo ao quadrado de G(f), temos, 
2 2
1| ( ) | sinc ( )G f T Tf= 
2 2
2( ) sinc2 2
T TG f f =  
 
 
2 2 2
3| ( ) | ( / 2)2
TG f Tsinc f sen Tfpi = ⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
2.12) Determine a função de transferência, a largura de faixa de 3 dB e a resposta ao 
impulso e do filtro RC cujo circuito está representado na Fig. E2.12. 
 
Fig. E2.12 
Solução 
 Analisando o circuito podemos escrever 
1
2( ) ( ) 1
2
j fCY f X f
R j fC
pi
pi
=
+
 
A função de transferência, será 
( ) 1( ) ( ) 1 2
Y fH f
X f j fRCpi= = + 
Para determinar a largura de faixa de 3 dB fazemos 
( )
2
2
1 1( )
21 2
H f
fRCpi
= =
+
 
C 
R 
X(f) Y(f) 
e obtemos 
3
1
2dB
f B
RCpi
= = 
Aplicando a transformada de Fourier obtemos 
( ) ( )ath t ae u t−= 
onde 
1
a
RC
= 
 
2.13 Um filtro RC tem resposta ao impulso dada por 100( ) 100 ( )th t e u t−= .Determine a 
saída deste filtro no domínio do tempo quando a entrada é ( ) 2cos(2 50 )x t tpi= × 
 
Solução 
 Usando a tabela de transformadas temos 
100( )
100 2
H f j fpi= + 
. Para fc = 50, temos 
100 1( )
100 2 50 1c
H f j jpi pi= =+ × + , 
2
1( )
1
cH f
pi
=
+
 
 
-1( ) tg ( )cfβ pi= 
Aplicando (2.117) chegamos a 
1
2
2( ) cos[2 50 ( )]
1
y t t tgpi pi
pi
−
= × +
+
 
 
2.14 Um pulso retangular de amplitude unitária e duração 0,01 ms passa pelo filtro 
passa-baixa H(f) representado na Fig. E2.14. Esboce a transformada de Fourier do sinal 
na saída deste filtro. 
 
Fig. E2.14 
Solução 
 O espectro de amplitude do sinal na saida do filtro é dado por 
 
( ) ( ) ( )Y f X f H f= 
onde 
( ) sinc( )X f T Tf= 
sendo T = 10-5 s. Esta função está representada na figura que segue. 
H(f) 
- 50 0 50 f (kHz) 
1 
 
 
Assim, chegamos na seguinte expressão e respectivo gráfico 
sinc( ) | | 200kHz( )
0 fora
T Tf f
Y f ≤= 

 
 
 
 
 
2.15 A relação entre a entrada x(t) e a saída y(t) de um sistema linear é dada por 
 
y(t) = 2x(t) + x(t-τ) + x(t+τ) 
 
Determine a função de transferência deste sistema. 
 
Solução 
 A resposta ao impulso é dada por 
 
h(t) = 2δ(t) + δ(t-τ) + δ(t+τ) 
 
e a função de transferência por 
 
2 2( ) 2 2 2cos(2 )j f j fH f e e fpiτ piτ piτ−= + + = + 
 
 
2.16 A função 
2( ) sinc tg t
T
 
=  
 
 
é amostrada por impulsos de área unitária em t = kT0, onde T0 = T/2, obtendo-se o sinal 
x(t). (a) Faça um gráfico de x(t) e de sua transformada de Fourier X(f). (b) Suponha que 
-200 -100 0 100 200 f(kHz) 
Y(f) 
-200 -100 0 100 200 300 f(kHz) 
X(f) 
o sinal x(t) passa pelo filtro H(f) mostrado na Fig. E2.16. Determine a expressão do 
sinal y(t) na saída do filtro. 
 
Fig. E2.16 
Solução 
 O sinal x(t) está mostrado na figura abaixo. 
 
 
Sabemos que 
( )2g( ) sinc ( ) tritt G f T Tf
T
 
= ↔ = × 
 
 
 
 
 
Como o espectro do sinal amostrado é a repetição do espectro G(f) multiplicado por 1/T
 
0, este espectro é dado por 
 
( )
0 0 0
1( ) tri 2 tri
n n
n nX f f T Tf T f
T T T
δ
∞ ∞
=−∞ =−∞
    
= − ∗ × = × −    
     
∑ ∑ 
 
e seu gráfico está mostrado abaixo, seguido do gráfico do sinal na saída do filtro. 
 
 
-1/T0 0 1/T0 f 
2/T 2/T 
H(f) 
1 
 -4T0 -2T0 0 T0 2T0 4T0 f 
x(t) 
 -1T0 -1/T 0 1/T 1/T0 3/T 2/T0 f 
 -1T0 -1/T 0 1/T 1/T0 3/T 2/T0 f 
2
 
2 
X(f) 
Y(f) 
Fazendo a transformada inversa obtemos 
 
2
0
4( ) sinc cos 2t ty t
T T T
pi
  
=   
   