Aula 02 - Dinâmica dos Fluidos

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DESCRIÇÃO
Classificações de escoamentos, cálculo da vazão, energia e perda de carga.
PROPÓSITO
Apresentar as características que diferenciam os diversos tipos de escoamentos e os conceitos de vazão e conservação da
massa, além do efeito da perda de carga, bombas e turbinas no comportamento da energia ao longo de tubulações.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos: papel, caneta e uma calculadora, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Classificar os escoamentos
MÓDULO 2
Aplicar os conceitos de vazão
MÓDULO 3
Calcular a pressão ao longo de tubulações
DINÂMICA DOS FLUIDOS
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre a dinâmica dos fluidos.
MÓDULO 1
 Classificar os escoamentos
OS TIPOS DE ESCOAMENTO
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre os tipos de escoamento
INTRODUÇÃO
Quando precisamos resolver um problema de fluidodinâmica é fundamental classificar o escoamento corretamente para
selecionar a estratégia mais adequada para sua solução, buscando a metodologia mais simples que contemple os efeitos
relevantes.
Os escoamentos podem se diferenciar quanto a diversos aspectos, entre eles:
REGIME TEMPORAL
VARIAÇÃO NO ESPAÇO
INFLUÊNCIA DA VISCOSIDADE
TURBULÊNCIA
COMPRESSIBILIDADE
CONTORNOS
Neste módulo, veremos detalhes sobre cada uma das classificações mais relevantes.
CLASSIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS
REGIME TEMPORAL
Regime temporal é o escoamento de uma massa fluida que pode ser avaliado com base no campo de velocidade, definido por:
→
V =
→
V(X, Y, Z, T) = →U(X, Y, Z, T) Î + →V(X, Y, Z, T) Ĵ + →W(X, Y, Z, T) K̂
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
→u
,
→v
e
→w
são as componentes do vetor velocidade nas direções
x
,
y
e
z
, respectivamente.
Uma das avaliações que devemos fazer é se o escoamento varia ou não ao longo do tempo, ou seja, se as grandezas físicas
(ex.: velocidade, pressão e temperatura) dependem da variável tempo. Sendo assim, é possível classificá-lo em:
Permanente ou estacionário (steady)
Quando as grandezas não variam ao longo do tempo, ou seja, ∂η / ∂ t = 0 para qualquer grandeza
η(
→
V, p, T, ρ. . . )
Transiente ou transitório (transient)
Quando há variação de grandezas ao longo do tempo, ou seja, ∂η / ∂ t ≠ 0
 DICA
Apesar de ser necessário que todas as grandezas se mantenham constantes para determinar se o escoamento é permanente,
para maioria dos escoamentos, basta avaliar a velocidade.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Classifique os escoamentos definidos pelos campos abaixo entre permanente (estacionário) e transiente (transitório):
a)
→
V = (aye − bt) î
b)
→
V =
y2 + z2
2
a
î
c)
→
V = ax2 î + bxy ĵ + cyk̂
d)
→
V = (ae − by) î + bx2 ĵ
e)
→
V = (ax + t) î + bx2 ĵ
RESOLUÇÃO
Conforme vimos, a classificação quanto ao regime temporal é feita com base na influência do tempo nas grandezas físicas. Isso
significa que, se houver a variável tempo
(t)
na expressão que fornece o campo de velocidades, o escoamento é transiente, caso contrário, permanente. Sendo assim:
a) Transiente, pois há a variável tempo em
→
V = (aye − bt) î
( )
b) Permanente
c) Permanente
d) Permanente
e) Transiente, pois há a variável tempo em
→
V = (ax + t) î + bx2 ĵ
VARIAÇÃO NO ESPAÇO
Todos os escoamentos ocorrem nas três direções (x, y e z). No entanto, quando representamos matematicamente as grandezas
físicas, é possível que uma ou duas direções sejam desconsideradas. Essa simplificação facilita o modelo matemático e a sua
solução, além da visualização do escoamento através de gráficos, como as linhas de corrente.
 Linhas de corrente em um escoamento – simulação CFD
Para determinar qual a dimensionalidade do problema, basta avaliar quantas direções têm influência nas grandezas físicas (ex.:
→
V
,
p
e
T
):
UNIDIMENSIONAL (1D)
Há variação apenas ao longo de um eixo (ex.: x), então dois eixos podem ser desconsiderados (ex.: y e z).
BIDIMENSIONAL (2D)
Há variação apenas ao longo de dois eixos (ex.: x e y), então apenas um pode ser desconsiderado (ex.: z).
TRIDIMENSIONAL (3D)
Há variação ao longo de todos os eixos, então todos devem ser considerados.
Assim como no regime temporal, normalmente basta avaliar o campo de velocidades para definir a dimensionalidade do
problema.
 ATENÇÃO
A classificação da dimensionalidade é feita com base na quantidade de variáveis espaciais (x, y e z) de que
→
V
depende.
 EXEMPLO
O campo de velocidade definido por
→
V = (x + y)k̂
tem apenas uma componente (em z, conforme o vetor unitário
→
k
), porém ele varia ao longo de dois eixos (x e y). Portanto, trata-se de um escoamento bidimensional.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Classifique a dimensionalidade dos escoamentos definidos pelos campos do exemplo anterior:
a)
→
V = (aye − bt) î
b)
→
V =
y2 + z2
2
a
î
c)
( )
→
V = ax2 î + bxy ĵ + cyk̂
d)
→
V = (ae − by) î + bx2 ĵ
e)
→
V = (ax + t) î + bx2 ĵ
RESOLUÇÃO
Sendo a dimensionalidade avaliada com base na quantidade de variáveis dimensionais que influenciam na velocidade, então:
a) 
→
V = aye - bt î → 1D (y)
b) 
→
V =
y2 + z2
2
a î → 2D (y e z)
c) 
→
V = ax2 î + bxy ĵ + cyk̂ → 2D (x e y)
d) 
→
V = ae - by î + bx2 ĵ → 2D (x e y)
e) 
→
V = (ax + t) î + bx2 ĵ → 1D (x)
INFLUÊNCIA DA VISCOSIDADE
Um dos principais objetivos de se classificar os escoamentos é verificar quais aspectos não são relevantes e quais simplificações
são aceitáveis. Entre esses aspectos está a influência das tensões viscosas, o que classifica o escoamento em:
Viscoso
A viscosidade
μ
tem influência significativa, logo a tensão cisalhante
τ
deve ser considerada.
Não viscoso ou invíscido
A viscosidade é desprezível, assim a tensão cisalhante pode ser desconsiderada, ou seja,
τ = 0
. Nesse caso, o fluido é chamado de ideal.
TENSÃO CISALHANTE
É um tipo de tensão gerado por forças aplicadas em sentidos iguais ou opostos, em direções semelhantes, mas com
intensidades diferentes no material analisado.
( )
( )
( )
javascript:void(0)
O número de Reynolds é um adimensional que mede a razão entre forças inerciais, representadas pela quantidade de
movimento (produto de massa pela velocidade), e forças viscosas, representadas pela viscosidade:
RE =
ΡVL
Μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
ρ
: (kg/m³) massa específica
V
: (m/s) velocidade da corrente livre
L
: (m) comprimento (ou largura) de referência
μ
: (kg/m.s) viscosidade
Como a viscosidade
(μ)
está no denominador, quando a influência dela for significativa, o valor de
Re
será baixo. Em escoamento ao redor de esfera, por exemplo, isso ocorre para Re < 1. No entanto, um valor elevado de
Re
não necessariamente indicará escoamento invíscido
(τ = 0)
, pois mesmo sendo relativamente baixa, a tensão cisalhante pode ter uma influência importante.
O maior exemplo do efeito secundário da tensão cisalhante baixa é o desprendimento das linhas de corrente, o que é
caracterizado pela esteira formada atrás de um corpo no caminho do escoamento. Na figura seguinte, a esteira é evidenciada
pela ausência das linhas de corrente ao lado direito da esfera (após o vento passar por ela).
 Esteira do escoamento após passar por uma esfera
Em aerofólios (ex.: asa de avião), a geometria é propositalmente desenhada para reduzir ao máximo a esteira. Veja:
 Linhas de corrente ao redor de uma asa
Quando a esteira é desprezível, o escoamento pode ser calculado com
τ = 0
, o que simplifica a solução matemática do problema. Posteriormente, a tensão cisalhante junto à superfície sólida pode ser
adicionada para obter a força de arrasto causada pelo “atrito”.
 RESUMINDO
Se o número de Reynolds for baixo (ex.: para esfera, Re < 1), o escoamento é classificado como viscoso.
Se
Re
é elevado, a viscosidade pode ser desconsiderada para o cálculo do campo de velocidade apenas se não houver esteira. Porém,
a tensão cisalhante deverá seravaliada junto à superfície sólida.
TURBULÊNCIA
No número de Reynolds,
Re =
ρVL
μ
, a força inercial, proporcional a
ρVL
, representa a tendência que o fluido tem de manter sua velocidade, enquanto a força viscosa, proporcional a
μ
, representa o que procura resistir ao escoamento. Portanto, quanto menor o denominador (viscosidade), menos “controlado” é o
escoamento e maior é o valor de
Re
. Esse é o caso dos escoamentos turbulentos, ao contrário dos laminares.
Para que valor de
Re
, então, há uma mudança no comportamento do escoamento?
Depende do tipo de escoamento ao qual estamos nos referindo. A seguir, ilustraremos dois casos: escoamento no interior e no
exterior de tubulações.
O escoamento no interior de tubulações é um dos fenômenos de maior interesse na engenharia.
Re Classificação Imagem
Re < 2300 Laminar
2300 < Re < 4000 Transição
4000 < Re Turbulento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Classificação de escoamento no interior de tubulações
Fluidos passando ao redor de cilindro, por sua vez, podem ser exemplificados por correntes marinhas em dutos submarinos,
corrente de rios em pilares de pontes e vento em edifícios.
Re Classificação Imagem
Re < 40 Esteira laminar
e permanente
40 < Re < 150
Esteira laminar
e periódica
150 < Re < 300 Transição
300 < Re
Esteira
turbulenta
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Classificação de escoamento ao redor de cilindros
Mesmo para outros formatos de corpos, os valores indicados na tabela podem servir como referência para ordem de grandeza
que indica escoamentos laminares ou turbulentos.
 EXEMPLO
Se o escoamento ao redor de um duto submarino tem
Re ≅ 50.000
(muito maior que 40), você pode ter certeza de que o escoamento é turbulento.
 SAIBA MAIS
Normalmente, o engenheiro não tem dúvida se o escoamento é laminar ou turbulento, pois as condições mais comuns resultam
em
Re
muito elevados.
Faça um teste, calculando o valor de Reynolds para escoamentos que venham à sua mente.
Saiba que o cálculo de
Re
remete muito mais à ordem de grandeza do que a um valor exato. Assim, não se preocupe em fazer estimativas grosseiras para
os parâmetros necessários (velocidade e dimensão de referência).
COMPRESSIBILIDADE
A influência da compressibilidade no escoamento pode ser medida pelo número de Mach:
MA =
V
C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
V
é a velocidade de referência do escoamento e
c
é a velocidade do som no fluido.
Quanto maior o valor de
Ma
, maiores são os efeitos da compressibilidade. Quando o número de Mach é muito menor que 1
(Ma ≪ 1)
, o escoamento pode ser classificado como incompressível, ou seja, com massa específica
ρ
constante. Na prática, é comumente aceito considerar que Ma ≪ 1 ↔ Ma < 0, 3.
Ma Classificação
Ma < 0, 3 Incompressível
Ma > 0, 3 Compressível
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Classificação de escoamento no interior de tubulações
Avaliando-se a condição limite
(Ma = 0, 3 → V = 0, 3c)
, temos:
Para a água
V = 0, 3 · 1000 = 300m /s = 1. 080km /h.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o ar, nas CNTP
V = 0, 3 · 340 = 102m /s = 367km /h.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira geral, líquidos resultam em escoamentos incompressíveis; enquanto gases, compressíveis, o que ocorre para o
escoamento no interior de tubulações de abastecimento de água e do ar ao redor de aviões, respectivamente.
 Escoamento de água em tubulações (incompressível) e do ar ao redor de aviões (compressível)
Há exceções que valem ser citadas, como o corte de materiais com jatos de água a altíssima velocidade (cerca de 1400km/h) e a
refrigeração de ar por dutos (velocidade de 10 m/s). Veja:
 Corte de materiais com jatos d’água e dutos de ar-condicionado
LEIS BÁSICAS PARA SISTEMAS E VOLUMES DE
CONTROLE
Antes de iniciar o equacionamento dos problemas, é importante definir qual é o tipo de domínio de análise — sistema ou volume
de controle:
Sistema
É constituído por determinada quantidade de matéria (massa), assim deve acompanhá-la ao longo do tempo.
Volume de controle
Compreende determinada região do espaço, por onde o fluido pode entrar e sair em diferentes aberturas, sendo delimitado pela
superfície de controle.
 EXEMPLO
Qual é o melhor domínio para análise de um bloco em um plano inclinado? Em se tratando de sólido, a massa do bloco é bem
definida e se desloca como um todo. Portanto, o equacionamento com base no sistema é o mais adequado.
E para avaliar o escoamento em determinado trecho de tubulação?
Nesse caso, a massa (matéria) de interesse é um fluido cujas partículas entram e saem da região de interesse (trecho de
tubulação), o que inviabiliza o equacionamento do sistema. Então, o volume de controle passa a ser a melhor opção.
A seguir, listaremos as leis da Física que servem como base para o desenvolvimento das equações abordadas na mecânica dos
fluidos. Essas leis são definidas, inicialmente, com aplicação num sistema.
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
Também chamada de princípio da continuidade, estabelece que a massa do sistema se mantém constante, ou seja:
msistema = c
te → 
dm
dt sistema 
= 0 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PRINCÍPIO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR (MOMENTUM)
A partir da definição da quantidade de movimento linear
P
num sistema
→
Psistema = ∫
M
→
Vdm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O princípio correspondente se refere à 2º Lei de Newton:
→
F =
d
→
P
dt sistema
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PRINCÍPIO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR
Definindo a quantidade de movimento angular
H
no sistema por:
→
Hsistema = ∫
M
→r × 
→
Vdm 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira análoga ao princípio anterior, teremos:
→
M =
d
→
H
dt sistema
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PRINCÍPIO DA ENERGIA
Definindo-se a energia do sistema por:
( )
( )
( )
Esistema = ∫
M
e dm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse princípio se refere à 1ª e à 2ª Lei da Termodinâmica:
1ª Lei da Termodinâmica: Q̇ - Ẇ =
dE
dt sistema 
2ª Lei da Termodinâmica: δS ≥
δQ
T
Adicionalmente, vale citar as relações de estado, que complementam as leis básicas fornecendo a pressão e energia do fluido
em função da massa específica e temperatura, ou seja:
P = P(Ρ, T)
E = E(Ρ, T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um exemplo de relação de estado é a Lei dos Gases Ideais,
pV = mRT
, que pode ser reescrita como
p =
m
V RT = ρRT
, ou seja, uma expressão que fornece
p
em função de
ρ
e
T
.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Desde as primeiras civilizações, ficou evidente a necessidade do fornecimento de água para as aglomerações urbanas.
Exemplos antigos de construções de aquedutos são encontrados desde o século III a.C. em diversas cidades romanas, com
quilômetros de extensão e, em maior parte, subterrâneos.
( )
{
A prática comum da engenharia para o dimensionamento de dutovias é considerar uma única velocidade média ao longo da
seção transversal do duto e vazão constante, facilitando o cálculo das grandezas físicas ao longo da linha. Velocidades típicas
giram em torno de 1,5m/s, e os diâmetros usuais para abastecimento vão desde 2” e podem chegar até 2 metros.
Para que seja possível iniciar o equacionamento (que será feito nos próximos módulos), vejamos a classificação do referido
escoamento, de forma que seja considerado o mais simples possível.
RESOLUÇÃO
CLASSIFICAÇÃO DO ESCOAMENTO EM DUTOVIAS
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimentofala sobre classificação do escoamento em dutovias.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Aplicar os conceitos de vazão
ANÁLISE DE ESCOAMENTO COM VOLUME DE CONTROLE
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre análise de escoamento com volume de controle.
INTRODUÇÃO
Um dos métodos mais práticos para resolver problemas de fluidodinâmica, quando possível, é a solução em volume de controle
(VC). Para isso, primeiramente, são listados os princípios da mecânica dos fluidos, baseados em leis da Física e, posteriormente,
adaptadas para um VC. Com esse método, problemas como o cálculo da força resultante de um jato atingindo uma placa podem
ser resolvidos em poucas linhas.
VAZÃO VOLUMÉTRICA E VAZÃO MÁSSICA
Conforme aprendemos no módulo 1, o tipo de domínio de análise mais apropriado para o estudo de fluidos é o volume de
controle (VC). O VC é delimitado por uma superfície de controle (SC) ao longo da qual pode haver entrada ou saída de fluido.
Logo, é fundamental sabermos quantificar o fluido que passa por essas aberturas.
Essa quantificação é feita através da vazão definida pela quantidade de fluido que atravessa uma superfície S ao longo do
tempo.
 Vazão em uma superfície S
VAZÃO VOLUMÉTRICA,
Q
:
É a quantidade de volume por tempo que atravessa
S
, ou seja,
Q = dV /dt
, calculada pela integral
Q = ∫S
→
V. d
→
A
. Considerando-se uma velocidade média (único valor constante)
Vm
e perpendicular à superfície, essa integral é simplificada para
Q = VmA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No S.I. , a vazão volumétrica é medida em m³/s, porém o mais usual para tubulações é L/s ou m³/h.
VAZÃO MÁSSICA, Ṁ
É a quantidade de volume por tempo que atravessa
S
, ou seja,
Q = dm /dt
. Como
dm = ρ dV
, basta multiplicar a expressão anterior por
ρ
:
ṁ = ρVmA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No S.I., a unidade adotada para a vazão mássica é kg/s.
 SAIBA MAIS
Vazão volumétrica, ou simplesmente vazão, é a quantificação mais utilizada para fluidos incompressíveis, ou seja, líquidos. Em
se tratando de gases, como o volume sofre grande variação com as condições de pressão e temperatura, é mais comum medir o
escoamento pela vazão mássica.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
Qual é a velocidade média de escoamento numa tubulação de 4” onde escoam 12 L/s?
RESOLUÇÃO
A vazão pode ser volumétrica ou mássica. Pela unidade informada no enunciado (L/s), vemos que se trata de Q (vazão
volumétrica), calculada por:
Q = VmA → Vm =
Q
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área interna da tubulação (superfície por onde há o escoamento) será:
A =
πD2
4 =
π ( 4 ⋅ 0,0254 ) 2
4 = 0,0081 m²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vazão, no S.I. é:
Q = 12L /s =
12
1000 m
3 /s = 0,012 m3 /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Vm =
Q
A =
0,012
0,0081 = 1,5 m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONVERSÃO DAS LEIS BÁSICAS DE SISTEMA PARA
VOLUME DE CONTROLE
A seguir, faremos a conversão das leis básicas (Módulo 1), a partir de um sistema, para um volume de controle (VC).
Matematicamente, isso pode ser feito pelo Teorema do Transporte de Reynolds, que equaciona uma grandeza
N
qualquer (ex.: massa) por:
DN
DT SISTEMA
=
D
DT ∫VCΗ Ρ DV + ∫SCΗ Ρ 
→
V ⋅ D
→
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual
η
( )
é definido como a quantidade da grandeza
N
por unidade de massa, ou seja,
η = dN /dm
.
Apesar de parecer uma equação complexa, ela estabelece algo muito simples e intuitivo: a variação da grandeza N do sistema é
igual ao que varia internamente no VC somado ao que é trocado ao longo de SC (superfície de controle).
Uma primeira simplificação que adotaremos daqui em diante, é considerar apenas escoamento permanente. De acordo com o
que vimos (Classificação dos escoamentos) isso significa que as grandezas físicas não variam ao longo do tempo, ou seja, a
derivada temporal é igual a zero, o que ocorre na primeira parcela do lado direito da equação.
A outra simplificação é considerar aberturas (entrada ou saída de fluido) uniformes ou com valores médios, o que significa que
η
,
ρ
e
→
V
não variam ao longo de SC, consequentemente podem ser retiradas da integral.
A simplificação do lado direito da equação anterior se resumirá a
∑ (η ρ VA)i
, que é o somatório de cada abertura i. Observando a definição de vazão mássica
ṁ
, teremos:
DN
DT SISTEMA
= ∑ ±Η Ṁ I 
SAÍDA : +
ENTRADA : -
ṀI = ΡIVIAI
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vazão mássica vem do produto escalar entre a velocidade
→
V
e o vetor normal à área
( ) ( ) {
d
→
A
. Desse modo, se ambos tiverem o mesmo sentido (saída de fluido pela superfície), o produto será positivo, mas se tiverem
sentido contrário (entrada de fluido), será negativo. Veja:
 Vazão como produto escalar entre velocidade e área
 ATENÇÃO
Se VC está em movimento, a velocidade utilizada no cálculo de
ṁ
ou
Q
deve ser a relativa a SC, ou seja,
→
Vr =
→
V −
→
VSC
.
Isso se faz necessário para considerar a quantidade de fluido que, efetivamente, entra ou sai no VC.
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Substituindo a grandeza genérica
N
da Equação (1) pela massa, em que η = dN /dm = dm /dm = 1, teremos:
DM
DT SISTEMA
= ∑ ± ṀI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com o princípio da continuidade (módulo 1), a massa do sistema é constante, logo, (dm /dt)sistema = 0 e
∑ ± ṀI = 0 
SAÍDA : +
ENTRADA : -
ṀI = ΡIAIVI = ΡIQI
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a equação da continuidade, na versão válida para escoamento permanente em um VC com aberturas uniformes.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4
Numa mangueira de 20mm de diâmetro, onde escoa água a 1,0m/s, se sua saída é parcialmente bloqueada, reduzindo a área
interna pela metade, qual será a velocidade do jato?
RESOLUÇÃO
O primeiro passo é definir qual será o volume de controle (VC). Devemos optar por uma superfície de controle (SC) cujas
aberturas envolvem dados conhecidos ou que desejamos calcular. Então, é intuitivo optar pela região delimitada na figura a
seguir.
( )
{
 Figura 2: Formação de uma treliça simples a partir do elemento básico ABC / Fonte: Autor
Aplicando o Princípio da Continuidade, (equação 2), considerando a entrada 1 (negativo) e saída 2 (positivo):
- ṁ1 + ṁ2 = 0 → - ρ1V1A1 + ρ1V2A2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluido é incompressível (água), a massa específica é constante
(ρ1 = ρ2)
:
V2 =
A1
A2
V1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a abertura bloqueada (2) tem a metade da área, A1 /A2 = 2:
V2 = 2 · 1 = 2, 0m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse exemplo nos mostra que, se reduzirmos a área de saída (2), haverá um aumento da velocidade, o que nós já aplicamos,
intuitivamente, quando colocamos o dedo na saída da mangueira com o objetivo de obter um jato com maior alcance.
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
(MOMENTUM)
Seguindo para o próximo princípio ou lei básica da mecânica dos fluidos, vamos agora substituir a grandeza genérica
N
da Equação (1) pela quantidade de movimento linear (momentum)
P = ∫
→
Vdm
, sendo η = dN /dm = d
→
P /dm =
→
V:
D
→
P
DT SISTEMA
= ∑ ±
→
V Ṁ I( ) ( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que, de acordo com a 2ª Lei de Newton, 
d
→
P
dt sistema
=
→
F:
→
F = ∑ ±
→
V Ṁ I 
SAÍDA : +
ENTRADA : -
ṀI = ΡIVIAI = ΡIQI
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
Essa é a equação da quantidade de movimento linear que permite calcular a força atuando num VC.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 5
Calcule a força necessária para manter imóvel uma placa onde incide, perpendicularmente, um jato d’água com área transversal
de 2,0cm² a 10m/s.
RESOLUÇÃO
Primeiramente, devemos delimitar o VC escolhido para solucionar o problema. Devemos escolher uma SC que tenha aberturas
que envolvam dados conhecidos ou que desejamos calcular.
( )
( ) {
Em seguida, aplicaremos a equação que permite obter a força aplicada num VC (equação 3). Por se tratar de uma equação
vetorial, vamos separar a análise em eixos (x, y e z). Observa-se que o único eixo de interesse é aquele orientado com a direção
do jato. Nessa direção, há apenas uma abertura (entrada do jato). Portanto:
Fx = - Vj 
˙
mj = - Vj ρVjAj = - ρV
2
j Aj
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área do jato é:
Aj = 2 cm
2 = 2 ⋅ 10 - 2 2 m2 = 0,0002 m²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
F = - 1000 ⋅ (10)2 ⋅ (0,0002) = - 20 N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sinal negativo indica que a força é contrária ao sentido do jato. É importante ressaltar que a força calculada pela equação 3 é a
aplicada no VC, ou seja, no fluido. Por isso, a força que o fluido exerce na placa será a reação (sentido contrário) da calculada.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
As estações de tratamento de esgoto (ETEs) são de grande importância, principalmente em áreas urbanas, pois reduzem o
impacto ambiental causado pela concentração de habitantes. Nessas instalações, processos físicos, químicos e biológicos
removem a carga de poluentes do esgoto, reestabelecendo um nível adequado para ser devolvido ao ambiente (ex.: rios, lagoas
e mares). Em uma ETE, normalmente, há diversos tanques, utilizados em etapas como decantação, aeração e filtração. Para que
o tratamento seja adequado, é importante controlar o volume e, como resultado, a vazão de enchimento de cada tanque.
( )
( )
Suponha uma estação de tratamento de esgotos (ETE) que receba efluentes no momento de pico com a vazão total de 140L/s.
Após a chegada em um barrilete, essa vazão é distribuída, através de um barrilete, para quatro tanques.
Apenas o medidor do tanque 1 está funcionando, que marca uma vazão de 72m³/h.
No tanque 2, foi montado um dispositivo improvisado, com um tubo horizontal de
Di = 6 "
e uma régua abaixo de sua extremidade
h = 1m
(figura seguinte), que mede a distância alcançada pelo jato.
A velocidade pode ser obtida com um simples cálculo cinemático, considerando L = 90cm. 
No tanque 3, que tem uma área de 100m², um medidor do nível d’água mostra que houve um aumento de 30cm em 10min.
Assumindo regime permanente, calcule qual é a vazão que chega no tanque 4.
RESOLUÇÃO
O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA NA PRÁTICA
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre o princípio da conservação da massa na prática
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Calcular a pressão ao longo de tubulações
ENERGIA AO LONGO DE TUBULAÇÕES
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre energia ao longo de tubulações.
INTRODUÇÃO
A equação de Bernoulli é uma das mais conhecidas na mecânica dos fluidos. Com ela, é possível explicar e prever diversos
fenômenos de interesse para a Engenharia de maneira prática e intuitiva.
Adicionando-se o efeito da perda de energia, obtém-se uma equação de grande importância para o projeto de tubulações, pois
permite calcular a pressão em qualquer ponto de uma rede.
EQUAÇÃO DE BERNOULLI – INTERPRETAÇÃO MECÂNICA
Para a próxima dedução, vamos considerar escoamento com as seguintes simplificações:
PERMANENTE
(não varia no tempo)
INCOMPRESSÍVEL
(
ρ
constante)
INVÍSCIDO
(tensão cisalhante nula)
Seja o escoamento representado pelas linhas de corrente da figura (a), onde atua a gravidade
→g
e o sistema de coordenadas cartesiano tem o eixo
x
na direção horizontal e
z
na vertical.
 Partícula de um fluido ideal ao longo de uma linha de corrente
Analisando detalhadamente a partícula da figura (b), vamos definir um outro sistema de coordenadas, com a componente s na
direção do caminho percorrido pela partícula e n na direção normal.
Ampliando ainda mais a partícula (figura (c)), podemos representá-la no plano da imagem como um retângulo com dimensões
ds
e
dn
, cujo centro encontra-se na coordenada (s,n).
Definindo-se a pressão na linha de corrente analisada como função da posição s, as pressões nas faces perpendiculares à
direção do caminho são as apresentadas na figura (c). As forças decorrentes da pressão e do peso são as únicas atuantes,
tendo em vista que não há tensão viscosa (fluido ideal – escoamento invíscido). A resultante de pressão na direção s será obtida
pelo produto com as respectivas áreas:
∑ DFP = P S -
DS
2 DN DY - P S +
DS
2 DN DY = - P S +
DS
2 - P S -
DS
2 DN DY( ) ( ) [ ( ) ( )]
= -
P S +
DS
2 - P S -
DS
2
DS
DV
⏞
DS DN DY = - LIM
ΔS → 0
P S +
ΔS
2 - P S -
ΔS
2
ΔS DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que, de acordo com a definição de derivada é:
∑ DFP = -
∂ P
∂ S DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obter a soma de todas as forças, resta somar a projeção do peso dFgsenβ = dm gsenβ = dVρgsenβ = dVρg ∂z / ∂s:
∑ DF = -
∂ P
∂ S DV - DVΡ G
∂ Z
∂ S 
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com a 2ª Lei de Newton, essa soma deve ser igual a:
∑ DF = DM A = DVΡ
DV
DT 
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A velocidade é função também do espaço, ou seja,
V = V(s, t)
, assim, pela regra da cadeia, a derivada em relação ao tempo será
dV
dt
=
∂V
∂s
∂s
∂t
+
∂V
∂t
.
Como estamos assumindo escoamento permanente,
∂V
∂t
= 0
. Além disso, a derivada
[ ( ) ( ) ] { [ ( ) ( ) ]}
∂s
∂t
corresponde à velocidade
V
(variação da posição no tempo). Substituindo essas informações na equação 5:
∑ DF = DVΡ 
∂ V
∂ S V =
DVΡ
2
∂ V2
∂ S
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando as equações 4 e 6:
-
∂ P
∂ S DV - DVΡ G
∂ Z
∂ S =
DVΡ
2
∂ V2
∂ S
∂ P
∂ S + ΡG
∂ Z
∂ S +
Ρ
2
∂ V2
∂ S = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando-se essa expressão de um ponto 1 a um ponto 2 ao longo de s:
∫P2P1
∂ P
∂ S DS + ΡG∫
Z2
Z1
∂ Z
∂ S DS +
Ρ
2 ∫
V2
V1
∂ V2
∂ S DS = 0
P2 - P1 + ΡG Z2 - Z1 +
Ρ
2 V
2
2 - V
2
1 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo-se essa expressão por
ρg
e separando os pontos:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
P1
ΡG +
V21
2G + Z1 = 
P2
ΡG +
V22
2G + Z2 
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESSA É CONHECIDA COMO A EQUAÇÃO DE BERNOULLI, QUE
RELACIONA A ENERGIA (OU CARGA) DO FLUIDO
HI
EM DOIS PONTOS. ELA PODE SER INTERPRETADA COMO A SOMA DE
TRÊS ENERGIAS MECÂNICAS: CARGA DE PRESSÃO, CARGA CINÉTICA E
POTENCIAL GRAVITACIONAL.
Observações sobre a equação de Bernoulli:
É VÁLIDA APENAS PARA ESCOAMENTO PERMANENTE,
INCOMPRESSÍVEL E INVÍSCIDO.
COMO SE TRATA DE ESCOAMENTO INVÍSCIDO (FLUIDO IDEAL), NÃO HÁ
TENSÃO CISALHANTE (“ATRITO”), LOGO, NÃO SÃO CONSIDERADAS
PERDAS DE ENERGIA.
NÃO SÃO CONSIDERADOS EVENTUAIS GANHOS DE ENERGIA, COMO
OCORRE COM BOMBAS.
NO FORMATO APRESENTADO PELA EQUAÇÃO 7 (HÁ OUTROS NA
LITERATURA), TEM COMO DIMENSÃO O COMPRIMENTO (UNIDADE
METRO, NO S.I.).
FOI DEDUZIDA PARA DOIS PONTOS AO LONGO DE UMA LINHA DE
CORRENTE.
TAMBÉM PODE SER UTILIZADA NUM VOLUME DE CONTROLE COM
APENAS UMA ENTRADA (PONTO 1) E UMA SAÍDA (PONTO 2).
EXERCÍCIO RESOLVIDO 6
Considere o escoamento do ar ao redor de uma asa de avião:
Esse tipo de escoamento pode ser considerado invíscido, exceto na esteira formada apósa passagem pelo corpo. Desse modo,
assumindo regime permanente e escoamento incompressível, calcule a pressão no ponto 2, onde ocorre estagnação (velocidade
nula).
RESOLUÇÃO
O escoamento em questão reúne as condições necessárias para validade da equação de Bernoulli (permanente, incompressível
e invíscido).
p1
ρg +
V21
2g + z1 = 
p2
ρg +
V22
2g + z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
V1 = V
,
z1 = z2
e
V2 = 0
:
p1
ρg +
V2
2g =
p2
ρg → p2 = p1 +
ρV2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a pressão no ponto 2 será maior que em 1.
Com base no que vimos no exercício anterior, outra interpretação que pode ser dada aos termos da equação de Bernoulli num
ponto
i
é:
pi
ρg
, carga de pressão estática: é que está aplicada na partícula fluida.
pi +
ρV2i
2
, carga de pressão de estagnação: é a que ocorre num ponto mais adiante com estagnação (velocidade nula).
V2i
2g
, carga de pressão dinâmica: é a carga somada à estática para obtenção da carga de estagnação.
 SAIBA MAIS
O termo “caga de pressão estática” é questionável, pois ocorre num fluido com escoamento (não é estático!). No entanto, é
comumente utilizado na literatura.
ANÁLISE GEOMÉTRICA DA ENERGIA: LINHA DE ENERGIA,
PIEZOMÉTRICA E TOPOGRÁFICA
A análise geométrica da energia é um método que pode facilitar bastante a análise do escoamento ao longo de tubulações. Para
isso, são definidas:
LE – LINHA DE ENERGIA
Corresponde à altura obtida com a soma de todas as parcelas da equação de Bernoulli (equação 7), ou seja, num ponto
i
será:
LEI =
PI
ΡG +
V2I
2G + ZI 
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LP – LINHA PIEZOMÉTRICA
Corresponde à altura obtida com a soma da carga de pressão e potencial (cota topográfica):
LPI =
PI
ΡG + ZI 
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que a diferença entre as duas corresponde à carga cinética,
V2i /2g
.
Para aplicar a análise gráfica, vamos considerar o escoamento invíscido (sem “atrito”) que parte de um reservatório com nível
constante numa tubulação que tem seu diâmetro gradualmente reduzido da seção 2 para 3.
 Linha de energia e linha piezométrica em escoamento invíscido
Como o escoamento é invíscido, não há perda de carga, então a LE se mantém constante. No entanto, ao entrar na tubulação
(sair do reservatório), o fluido ganha velocidade
V2
, o que passa a distanciar LP de LE.
Quando um tubo vertical é colocado num furo junto à parede do tubo, ele medirá a carga de pressão, então o nível d’água se
elevará além de
zi
(cota no tubo do escoamento), à altura
pi /ρg
, totalizando LP (equação 9). Por isso, esse tubo é chamado de piezômetro.
Quando a extremidade inferior do tubo vertical é posicionada no centro do tubo onde há escoamento, ocorrerá a pressão de
estagnação
(
pi
ρg
+
V2i
2g
)
, que somada à cota
zi
, totalizará LE (equação 8).
Da seção 2 para 3, ocorre uma redução da área interna do duto. De acordo com a equação da continuidade, isso acarreta o
aumento da velocidade. Assim, LP se afastará ainda mais de LE.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 7
Antes e após um pequeno trecho com redução gradual de diâmetro, ilustrada na figura, foram instalados piezômetros que
marcaram uma diferença de altura
Δh = 10, 0cm
. Se foi medida uma vazão constante
Q = 0, 6L /s
de água e
D1 = 1
”, qual é o diâmetro
D2
?
RESOLUÇÃO
Por se tratar de uma redução gradual e um pequeno trecho de tubulação, podemos considerar escoamento invíscido (sem
“atrito”). Além disso, o fluido é incompressível (água) e escoamento permanente (vazão constante). Essas condições são
suficientes para validade da equação de Bernoulli.
p1
ρg +
V21
2g + z1 = 
p2
ρg +
V22
2g + z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma da carga de pressão com cota topográfica é definida como LP (Linha Piezométrica), cuja altura é medida pelos
piezômetros:
LP1 +
V21
2g = LP2 +
V22
2g → 
V22
2g =
V21
2g + LP1 - LP2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A velocidade
V1
é obtida através da definição da vazão:
Q = VA → V1 =
Q
A1
=
0,6 ⋅ 10 - 3
π ( 1 ⋅0,0254 ) 2
4
=
0,6 ⋅ 10 - 3
5,06 ⋅ 10 - 4
= 1,18 m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Continuando a equação anterior:
V2 = V
2
1 + 2g LP1 - LP2 = √(1,18)2 + 2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,1 = 1,83 m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando-se a equação da continuidade entre os pontos 1 e 2:
ṁ1 = ṁ2 → ρV1A1 = ρV2A2 → A2 =
V1
V2
A1
→ 
πD22
4 =
V1
V2
πD21
4
→ D2 =
V1
V2
D1 =
1,18
1,83 ⋅ 0,0254 ≅ 20mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
√ ( )
√ √
PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES
Consideramos até aqui apenas escoamentos invíscidos, ou seja, sem tensão cisalhante (“atrito”), consequentemente sem perda
de energia. Na análise de tubulações, essa simplificação só é válida para trechos muito curtos e transições (ex.: redução de
diâmetro) graduais. Porém, na maioria dos projetos de tubulações, essa simplificação não é válida e devemos considerar a perda
de energia (carga), que é dividida em dois tipos:
Perda distribuída
Ocorre pelo “atrito” com as paredes do duto ao longo do comprimento.
Perda localizada
Se deve às recirculações e intensificação da turbulência causada pela mudança da direção de fluxo em acessórios como curvas,
tês, válvulas e reduções.
Após o desenvolvimento feito para a equação de Bernoulli, observamos que a carga hidráulica em um ponto
i
do escoamento ao longo de uma linha de corrente é calculada por:
HI =
PI
ΓI
+ ΑI
V2I
2G + ZI
Α : FATOR DE CORREÇÃO 
ESCOAMENTO LAMINAR : Α = 2
ESCOAMENTOS TURBULENTOS : 1,04 < Α < 1,11
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para utilizar a mesma formulação em uma tubulação, é necessário considerar
Vi
como a velocidade média ao longo da seção
i
, ao invés da velocidade em determinado ponto. Por conta dessa aproximação, faz-se necessário a inclusão do fator de correção
α
. Para escoamentos turbulentos, comumente se considera
α = 1
.
Em relação ao que foi desenvolvido até o tópico anterior, agora precisamos incluir a perda de carga. Portanto, a carga no ponto 1
será igual à carga no ponto 2 mais a perda
hp
{
:
H1 = H2 + HP
P1
ΡG +
V21
2G + Z1 =
P2
ΡG +
V22
2G + Z2 + HP 
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nessa equação, observa-se a importância da perda de carga, pois seu valor é necessário para calcular a pressão no ponto 2. O
engenheiro deve ser capaz de calcular a pressão na tubulação para verificar se está acima do mínimo necessário para operação
e abaixo do máximo admissível pelo material.
A maneira mais conhecida de se calcular a perda distribuída é através da fórmula universal da perda de carga (ou de Darcy-
Weisbach):
HP = L
F
D
V2
2G
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
L(m)
: comprimento entre o ponto 1 e 2.
D(m)
: diâmetro interno da tubulação.
f
(adimensional): fator de atrito, função de
Re
e
ε /D
, sendo
ε
( ) ( )
(em metros) a rugosidade do material do tubo.
V(m /s)
: velocidade média do escoamento.
Em caso de escoamento laminar, Re < 2300, o fator de atrito é dado por:
f =
64
Re
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para escoamentos turbulentos, a equação teórica mais precisa para o cálculo do fator de atrito
f
é a equação de Colebrook-White:
1
√F
= - 2,0LOG
Ε / D
3,7 +
2,51
RE√F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, devido à dificuldade de se utilizá-la, pois
f
está implícito (dentro e fora do logaritmo), háformulações aproximadas, como a de Swamee-Jain:
F =
0,25
LOG
Ε / D
3,7 +
5,74
RE0,9
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O método mais prático de se obter
f
, sem fazer muita conta, é pelo diagrama de Moody:
 Diagrama de Moody
A perda de carga localizada, por sua vez, pode ser calculada por:
HPLOC = K
V2
2G
( )
[ ( ) ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
K
é uma constante adimensional que depende do tipo de acessório. Em caso de acessórios com redução ou alargamento de
diâmetro, o valor de
V
deve ser referente ao menor diâmetro (maior
V
).
Acessório K
Cotovelo de 90° raio curto (joelho) 0,9
Curva de 90° 0,4
Válvula de gaveta aberta 0,2
Entrada na tubulação (saída do reservatório) 0,8
Saída da tubulação (entrada no reservatório) 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Exemplos de valores de
K
para cálculo da perda localizada
EXERCÍCIO RESOLVIDO 8
No ponto A de uma tubulação horizontal de 50mm de diâmetro interno em PVC
(ε = 0, 04mm)
, um manômetro registra 5bar de pressão. Quando ocorre escoamento permanente de 4 L/s, qual será a pressão no ponto B,
situado a 122m após o ponto A?
RESOLUÇÃO
As condições de pressão em dois pontos de uma tubulação podem ser relacionadas pela equação 11, que requer a perda de
carga
hP
, calculada pela equação 12:
hP = L
f
D
V2
2g
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
f = f Re,
ε
D
é o fator de atrito. O número de Reynolds para esse escoamento será:
Re =
ρVD
μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A velocidade de escoamento é:
V =
Q
A =
4 ⋅ 10 - 3
π 50 ⋅10 - 3
4
= 2,0 m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Re =
1000 ⋅ 2,0 ⋅ 50 ⋅ 10 - 3
0,001 = 10
5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A rugosidade relativa é:
ε
D =
0,04
50 = 0,0008
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os valores de
Re
e
ε /D
calculados, podemos obter no diagrama de Moody ()
f ≅ 0,0215
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na Fórmula de Darcy-Weisbach (equação 12):
hP = 122
0,0215
50 ⋅ 10 - 3
⋅
22
2 ⋅ 9,8 = 11m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, a pressão no ponto B pode ser obtida pela equação da energia (equação 11):
pA
ρg +
V2A
2g + zA =
pB
ρg +
V2B
2g + zB + hp
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
( )
( )
( )
( ) ( )
zA = zB
(tubulação horizontal) e
VA = VB
(mesmo diâmetro):
pA
ρg =
pB
ρg + hp
→ pB = pA - ρghP = 5 ⋅ 100 ⋅ 10
3 - 1000 ⋅ 9,8 ⋅ 11 = 392 kPa ≅ 4bar
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ENERGIA FORNECIDA POR BOMBAS E RETIRADA POR
TURBINAS
Bombas fornecem energia para o fluido, enquanto turbinas fazem o contrário.
 Bomba d’água (esq.) e turbina hidráulica (dir.)
A energia provida por uma bomba
hB
e retirada por uma turbina
hT
, então podem ser adicionadas na equação 13:
P1
ΡG +
V21
2G + Z1 =
P2
ΡG +
V22
2G + Z2 + HP - HB + HT
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que
hB
é subtraído, pois os valores de h nessa equação se referem à energia perdida.
Os parâmetros
hB
e
( ) ( )
hT
são denominados carga da bomba e turbina, respectivamente. Porém, no dimensionamento desses equipamentos precisamos
especificar suas respectivas potências
˙
WB
e
ẆT,
o que é feito por:
ẆB =
Ρ QG HB
ΗB
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
para bombas e por:
ẆT = ΗT Ρ QG HT 
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
para turbinas. Devem ser levadas em conta as eficiências de ambas,
ηB
e
ηT
.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 9
Uma bomba deve ser dimensionada para recalcar água através de uma tubulação com diâmetro constante, partindo do
reservatório A, no nível do mar e sob pressão atmosférica, até o reservatório B, 25m acima e com pressão manométrica de
10m.c.a. Se a vazão é de 54m³/h, a perda de carga na tubulação é de 4m e a eficiência da bomba é de 70%, qual a potência
necessária em cv?
RESOLUÇÃO
A equação da energia mais completa que vimos aqui (equação 13) permite calcular a carga de bomba:
p1
ρg +
V21
2g + z1 =
p2
ρg +
V22
2g + z2 + hp - hB + hT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a tubulação tem diâmetro constante,
V1 = V2
. Além disso, não há turbinas, então:
hB =
p2
ρg -
p1
ρg + z2 - z1 + hp = (10 - 0) + (25) + 4 = 39m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência da bomba é obtida pela equação 14:
ẆB =
ρ Qg hB
ηB
=
1000 ⋅
54
3600 ⋅ 9,8 ⋅ 39
0,7 = 8190 W =
8190
735 cv ≅ 11 cv
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
O tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para medição da velocidade de um fluido. Ele é empregado em aviões, para medição da
velocidade do ar, e em embarcações, para velocidade da água.
( ) ( )
( ) ( )
( )
Apesar de ser relativamente simples e bastante eficiente, a utilização do tubo de Pitot não é totalmente à prova de falhas. Um
dos casos mais conhecidos de falha é o do voo 447 da Air France, que caiu no Oceano Atlântico na noite entre 31 de maio e 1º
de junho de 2009, com 228 pessoas a bordo.
Segundo o relatório do BEA (Bureau d’Enquêtes et d’Analyses), um dos medidores Pitot do avião registrou uma queda de
velocidade de 274 nós (507km/h) para 52 nós (96km/h) em apenas 2 segundos, o que seria fisicamente improvável. Essa
inconsistência, além de divergência entre a medição dos diferentes medidores instalados no avião, levou o piloto automático a se
desativar, retornando o controle para a tripulação. Isso é apontado como a causa do que desencadeou uma série de eventos e,
por fim, a queda do avião.
A hipótese mais provável levantada por todas as investigações, tendo em vista as condições atmosféricas, é que houve um
depósito de cristais de gelo no tubo de Pitot, causando sua obstrução, ocasionando erro de leitura.
Na figura, é feita uma representação simplificada do tubo de Pitot. A velocidade é medida, indiretamente, pela diferença de
pressão
p1 − p2
.
Baseando-se na equação de Bernoulli, explique por que a velocidade pode ser obtida através de 
p1 − p2
.
Calcule qual era a diferença de pressão correspondente à medição de velocidade de 274 nós e 52 nós, considerando que o
avião voava a uma altitude de 10600m.
RESOLUÇÃO
O TUBO DE PITOT
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre o tubo de Pitot
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Abordamos diversos aspectos sob os quais os escoamentos podem ser classificados. Saber classificar adequadamente o
problema é fundamental para escolher o melhor método de solução.
Vimos que quando passamos de um sistema, cujas formulações são vistas na Física, para um volume de controle, mais
adequado para fluidos, obtemos expressões simples que permitem a solução de diversos problemas em poucas linhas; por fim,
enfatizamos a utilidade da análise energética em tubulações e o efeito da perda de carga. 
Com este conteúdo, você tem agora o conhecimento necessário para a análise de escoamentos incompressíveis e permanentes,
que são os mais comuns na Engenharia.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEA. Final Report. Accident to the Airbus A330-203 registered F-GZCP. Air France flight AF 447 Rio de Janeiro – Paris. In:
BEA. Consultado em meio eletrônico em: 10 fev.2021.
BRAGA W. F. Fenômenos de Transporte para Engenharia, 2 ed. Grupo GEN, 2012.
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução àmecânica dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
LIVI, C. P. Fundamentos de Fenômenos de Transporte - Um Texto para Cursos Básicos, 2 ed. LTC, 2012.
WELTY, J. R.; RORRER, G. L.; FOSTER, D. Fundamentos de Transferência de Momento, de Calor e de Massa, 6 ed. LTC,
2017.
WHITE, F. M. Fluid Mechanics. 7 ed. New York: McGraw-Hill, 2010.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste conteúdo, pesquise: 
Abordando a dinâmica de fluidos por uma via intuitiva, embora de validade restrita: princípio da superposição, de Marcus V.
Ramalho e Marcus B. L Santos.
Dependence of flow classification on the Reynolds number for a two-cylinder wake, por W. Wong, Y. Zhou e M. M. Alam.
Journal of Fluids and Structures. Elsevier, 2014.
Fluid dynamic performance of a vertical axis turbine for tidal currents. Renewable Energy. Elsevier, 2011.
Hydraulic and rotor-dynamic interaction for performance evaluation on a Francis turbine. Garcia, M. et al. International
Journal on Interactive Design and Manufacturing. In: Springer, 2016.
CONTEUDISTA
Gabriel de Carvalho Nascimento
 CURRÍCULO LATTES
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