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Fábio João Maposse 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução a teoria das probabilidades 
 (Licenciatura em Ensino de Química com Habilitações em Gestão Laboratorial) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Nampula 
2021 
1 
 
 
Fábio João Maposse 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução a teoria das probabilidades 
 
 
Trabalho de carácter avaliativo, da 
cadeira de Estatística Educacional, 
a ser entregue no departamento de 
Ciências Naturais e Matemática 
ministrada pelo: 
Doutor: Jorge Filipe Tagire 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Nampula 
2021 
2 
 
Índice 
Introdução ................................................................................................................................... 3 
Objectos ...................................................................................................................................... 3 
Geral ........................................................................................................................................... 3 
Específicos .................................................................................................................................. 3 
1. Teoria de probabilidades ........................................................................................................ 4 
1.1. Fenómenos aleatórios .......................................................................................................... 4 
1.2. Espaço amostral ................................................................................................................... 5 
1.3.1. Tipos de eventos ............................................................................................................... 6 
1.3.1.1. Evento certo ................................................................................................................... 6 
1.3.1.2. Evento elementar ........................................................................................................... 6 
1.3.1.3.Evento impossível .......................................................................................................... 7 
1.4. Definição Axiomática .......................................................................................................... 7 
1.5. Definição Clássica de Probabilidade e lei de Leplace ......................................................... 8 
1.5.1. Exemplos de alguns casos envolvendo a lei de Leplace .................................................. 8 
1.6. Probabilidade condicional ................................................................................................. 11 
Conclusão ................................................................................................................................. 12 
Referência bibliográfica ........................................................................................................... 13 
 
3 
 
Introdução 
No dia-a-dia nos deparamos com situações em que precisamos tomar decisões baseadas 
intuitivamente em probabilidades. Por exemplo, ao sair de casa é necessário avaliar se a 
probabilidade de chover é grande ou pequena para decidir-se quanto à roupa que será 
utilizada. Para o cidadão comum, apenas o conhecimento intuitivo das probabilidades é 
suficiente. 
O cálculo das probabilidades tem sua origem nos jogos de azar como, por exemplo, o 
lançamento de uma moeda. Um problema surge caso haja desconfiança de que a moeda não 
seja “honesta”, que é a forma de se determinar essas probabilidades, sendo este, então, o 
grande objectivo do estudo do Cálculo das Probabilidades. 
Embora o cálculo das probabilidades tenha surgido com o estudo dos jogos de azar, ele se 
aplica a várias situações do quotidiano que têm comportamentos análogos a diversos jogos. 
Por exemplo, o processo de fabricação de peças que pode gerar peças boas ou defeituosas. 
Assim, a fundamentação teórica que vale para o lançamento de uma moeda também é 
aplicável à fabricação de peças num processo produtivo. 
Objectos 
Geral 
O objectivo do presente trabalho é fornecer as informações básicas sobre a teoria de 
probabilidades, enfocando os conceitos fundamentais como fenómenos aleatórios, espaço 
amostral, eventos e acontecimentos, lei de Leplace etc. 
Específicos 
 Conceituar a teoria das probabilidades 
 Definir os fenómenos aleatórios 
 Definir os eventos e descrever os tipos de eventos ou acontecimentos 
 Definir de forma axiomática e de forma clássica a probabilidade, dando exemplos. 
 Descrever a probabilidade condicional 
Quanto a questões metodológicos o trabalho apresenta a seguinte estruturaꓼ introdução, 
desenvolvimento, conclusão e referências bibliográficasꓼ e no que concerne a metodologia 
para a elaboração deste trabalho usou-se método bibliográfico que consistiu na leitura de 
varias obras literárias, assim como leitura de vários artigos. 
 
4 
 
1. Teoria de probabilidades 
As questões mais importantes da vida são, em grande parte, nada mais do que problemas de 
probabilidade... A Teoria da Probabilidade nada mais é do que o cálculo do bom senso. 
O objectivo da Teoria da Probabilidade é modelar matematicamente conceitos como incerteza, 
risco, chance, possibilidade, verosimilhança, perspectivas e, até mesmo, sorte, por exemplo: 
• A probabilidade de uma moeda lançada “dar” coroa é de 50%; 
• A previsão do tempo é de 40% de probabilidade de chuva amanhã; 
1.1. Fenómenos aleatórios 
Fenómenos aleatórios ou probabilísticos são aqueles que, ao serem repetidos em condições 
semelhantes, podem apresentar resultados distintos. Esta característica é o que fundamenta o 
estudo da Probabilidade, na medida em que, ao não sabermos o que exactamente irá acontecer, 
mas sim o que poderá acontecer, há o interesse em se mensurar a possibilidade de se obter 
determinados resultados. 
São exemplos de experimentos aleatórios: 
Exemplo 1: Jogar um dado e anotar o número mostrado na face superior 
Exemplo 2: Jogar uma moeda até que apareça uma cara e anotar a sequência de caras (C) e 
coroas (K) que aparecem 
Exemplo 3: Testar uma lâmpada e anotar o tempo decorrido (em horas) até queimar 
Assim, a analise desses fenómenos revela que: 
E importante informar que quanto maior o numero de vezes em que o fenómeno ser repetido, 
surgira uma regularidade, isto é, haverá uma estabilidade da fracção f = 
 
 
(frequência relativa), 
onde n é o número de repetições e r é o número de sucessos de um particular resultado 
estabelecido antes da realização. 
Assim, tem-se: 
 
Fonte: Bastos, 2015, p.18.
5 
 
1.2. Espaço amostral 
O conjunto S de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de 
ESPAÇO AMOSTRAL. Para os experimentos dados acima, temos: 
E1: S1={1,2,3,4,5,6} 
E2: S2={C,KC,KKC,KKKC,...} 
E3: S3={tϵR | t≥0} 
Os espaços amostrais podem ser classificados como: 
 Discretos – Quando os resultados do experimento são pontuais: S1 e S2 
 Contínuos – Quando os resultados do experimento podem assumir quaisquer valores 
dentro de um intervalo ou união de intervalos reais: S3. 
Necessariamente, os espaços contínuos são infinitos, enquanto os discretos podem ser finitos 
ou infinitos enumeráveis. 
S1={1,2,3,4,5,6} FINITO DISCRETO 
S2={C,KC,KKC,KKKC...} FINITO ENUMERÁVEL 
S3={tϵR| t≥0} INFINITO CONTÍNUO 
1.3. Eventos 
Um evento é qualquer subconjunto de S. Na prática, um evento corresponde ao subconjunto 
formado pelos resultados do experimento que atendem a determinadas características de 
interesse. 
Por exemplo: 
No lançamento de um dado uma única vez, se o interesse é a obtenção de um número par, o 
evento correspondente será o subconjunto A ={2,4,6}. Quando lançamos uma moeda até 
aparecer uma cara, podemos estar interessados em saber qual a probabilidade de serem 
necessários no máximo 3 lançamentos para se obter cara, assim, B ={C,KC,KKC}. 
Ao se adquirir umdeterminado tipo de lâmpada, pode-se estar interessado em saber 
qual a probabilidade de que a mesma dure pelo menos 500 horas, neste caso o evento é o 
subconjunto C={tϵR | t≥500}. 
Se na realização de um experimento ocorrer um resultado x pertencente a um 
subconjunto A (evento), então diz-se que o evento A ocorreu, caso contrário, A não ocorreu. 
Por exemplo, se lançarmos um dado e o resultado obtido é o número 6, como 6 = {2,4,6} 
então A (nº par) ocorreu. 
 
 
6 
 
1.3.1. Tipos de eventos 
1.3.1.1. Evento certo 
Evento Certo – é aquele que ocorre em qualquer realização do experimento aleatório. 
Se E = S, E é chamado evento certo. 
Exemplo: A probabilidade de se obter cara ou coroa em uma moeda justa. 
A= {C, K} 
B={C,K} 
A ∩ B = {C, K} 
 
Fonte: Lopes, 2003, p. 53. 
1.3.1.2. Evento elementar 
Evento Elementar – é aquele formado por um único elemento do espaço amostral. 
Se E ⊂ S e E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar. 
Exemplo: Sejam os conjuntos A= { a, b, e} e B = {d, b, c} 
A ∩ B = {b} 
 
Fonte: Lopes, 2003, p. 53. 
 
 
7 
 
1.3.1.3.Evento impossível 
Evento Impossível - é aquele que não ocorre em nenhuma realização de um experimento 
aleatório. Se E = ∅, E é chamado evento impossível. 
Exemplo: Seja A= {1, 3, 5} e B= {2, 4, 6} 
O evento A∩B 
 U 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autor 
1.4. Definição Axiomática 
Seja (W) um experimento, seja (S) um espaço amostral associado a (W). A cada evento (E) 
associa-se um número real representado por P(E) e denominaremos de probabilidade de E, 
satisfazendo as seguintes propriedades: 
a) 0 ≤ P(E) ≤ 1 
b) P(S) = 1 
c) Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então: P(A U B) = P(A) + P(B). 
d) Se A1, A2, ..., An são eventos mutuamente excludentes dois a dois, então: 
P(A1 U A2 U ... U An ) = P(A1) + P(A2) + ... +P(An) 
Ou ⋃ ∑ 
 
 
As propriedades anteriores são conhecidas como axiomas da teoria da probabilidade. 
Os axiomas, muitas vezes, se inspiram em resultados experimentais e que, assim, definem a 
probabilidade de forma que possa ser confirmada experimentalmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 1 
 
3 
 
 5 
 2 
 
 6 
 
 
8 
 
1.5. Definição Clássica de Probabilidade e lei de Leplace 
A primeira definição que se conhece de probabilidade foi enunciada por Pierre Simon Laplace 
( 1749-1827). 
Historicamente a probabilidade P de um evento A era definida como se segue: 
Se n(A)= numero de casos favoráveis ao evento ou acontecimento A e n(S)= numero total dos 
casos possíveis (S), desde que igualmente provável (equiprovável), então, a probabilidade 
(sucesso) da ocorrência de um experimento A, é igual ao quociente entre o numero de casos 
favoráveis ao evento e o numero de casos possíveis (S). Ou seja: 
P(A)= 
 
 
 ou P(A) = 
 
 
 
Por vezes a fórmula citada a cima é multiplicada por 100% de modo que o resultado esteja 
representado em percentagem. 
1.5.1. Exemplos de alguns casos envolvendo a lei de Leplace 
Exemplo 1. 
Lancemos um dado honesto e observemos o nº em cima. 
a) Qual é a probabilidade de sair o nº 3? 
b) Qual é a probabilidade de sair um nº par? 
Resolução da alínea: 
a) Só há um caso favorável de sair o número 3 dos 6 possíveis, isto é: S`= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e 
A= {3} por isso a probabilidade de sair 3 é : 
P(A) = 
 
 
  P(A) = 
 
 
=16,7% 
Note que os restantes números têm a mesma chance de ocorrer, o que significa que têm a 
mesma probabilidade. 
b) Um número par pode ocorrer de 3 maneiras (casos favoráveis) de 6 maneiras igualmente 
prováveis. Assim: 
 P(A) = 
 
 
  P(A) = 
 
 
= 50% 
 
9 
 
Exemplo 2: 
Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Qual 
é a probabilidade dela ser vermelha? 
Resolução 
P(A) = 
 
 
  P(A) = 
 
 
= 
 
 
= 
 
 
 = 40% 
Exemplo 3: 
Uma bola é retirada de uma urna que contem bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade de 
ter sido uma bola vermelha é de 
 
 
. Calcule a probabilidade de ter sido uma bola que não seja 
vermelha. 
Resolução 
S ={17 bolas} 
A= Numero de bolas vermelhas – o numero total de bolas = 14 
Logo: 
P(A)= 
 
 
 = 
 
 
 = 82% 
Exemplo 4: 
Num determinado sorteio para se eleger o melhor jogador de Futebol foram seleccionados três 
jogadores (Messi, Ronaldo, e Neymar), supondo ambos têm chances iguais de serem eleitos. 
Qual será a probabilidade de ser eleito um deles? 
Resolução 
S={Messi, Ronaldo, Neymar} 
A= {1} 
P(A)= 
 
 
 = 
 
 
 = 33% 
Exemplo 5: 
Uma caixa contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando-se ao acaso uma delas, observa-se 
que ela tem um número par. Determine a probabilidade de esse número ser maior ou igual a 8. 
Resolução 
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
A= {8,10 } 
P(A)= 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
10 
 
Exemplo 6. 
Escolhido ao acaso um elemento que seja divisor de 30, determine a probabilidade de que ele 
seja primo. 
Resolução: 
S= {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 
A= {2,3,5} 
P(A)= 
 
 
 = 
 
 
 = 0,375 
Num cesto de frutas há 4 maçãs, 3 pêras e 1 laranja. Tira-se ao acaso uma peca de fruta do 
cesto. Calcula a probabilidade de ser: 
Resolução 
a) Uma maçã 
P (sair uma maçã) =
 
 
=
 
 
 ou 50% 
b) Uma pera 
P (sair uma pera) =
 
 
 ou 37,5% 
c) Uma laranja 
P (sair uma laranja) = 
 
 
 ou 12,5% 
 
11 
 
1.6. Probabilidade condicional 
Para entendermos o conceito de probabilidade condicional, vamos considerar a seguinte 
situação: Num jogo que consiste no lançamento de um dado uma única vez, um apostador 
ganha determinada quantia se o número obtido for par, A= {2,4,6}. Assim, independente de 
qualquer condição, a probabilidade do apostador ganhar é 
 
 
 Agora, se após o lançamento do 
dado for dada a informação de que o número obtido é maior do que 3, B ={4,5,6}, a 
probabilidade do apostador ganhar passa a ser 
 
 
 ou seja, a probabilidade de A condicionada a 
B é 
 
 
 Podemos, então, interpretar a probabilidade condicional da seguinte forma, 
considerando-se espaços amostrais finitos equiprováveis: 
Como se sabe que B ocorreu, o espaço amostral reduz-se a S’= B. Portanto n(S’) = n(B). Em 
S’, os casos favoráveis a A são os elementos de A'= A B , então n(A') = n(A B) , de tal 
forma que: 
P(A│ B)=P(A´) =
 
 
 = 
 
 
 -- 
 
 
 
 
 = 
 
 
 ou como mostra o diagrama a baixo: 
 
Fonte: Caminha 2008, p. 75. 
Exemplo: Um dado foi lançado e verificou-se que a face obtida apresenta um nº menor do que 4, 
qual a probabilidade desse número ser par? 
Resolução 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A={ 2, 4, 6} B= {1, 2, 3} A B= {2} 
P(B)= 
 
 
  P(A∩B) = 
 
 
  P(A│ B)= 
 
 
 
 
 = 
 
 
 Ou ainda: 
Fonte: Caminha 2008, p. 75. 
12 
 
Conclusão 
Como forma de finalizar o presente trabalho, é de suma importância inferir que a teoria de 
Probabilidade,antes conhecida simplesmente por probabilidade é uma área que proporciona 
uma base racional de como lidar com situações influenciadas por factores relacionados com o 
acaso, assim como estimar erros. Nos tempos passados probabilidade era aplicada em jogos de 
azar, onde os jogadores aplicavam o conhecimento das probabilidades para planejar 
estratégias de apostas. Actualmente para além de se aplicar em jogos de azar, tais como, 
lotarias, os casinos de jogos e os exportes organizados, muitas organizações públicas e 
privadas já usam os conhecimentos das probabilidades em seus processos diários de 
deliberações. As probabilidades são usadas para exprimir a chance de ocorrência de 
determinado evento. Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. 
A lei de Leplace que ganhou bastante destaque na área das probabilidades, ela afirma que num 
espaço amostral em que as chances de ocorrência de determinados eventos seja equiprovável 
para todos os acontecimentos, a probabilidade de ocorrência de um determinado evento é o 
quociente entre o numero de casos favoráveis e o numero de casos possíveis. 
 
13 
 
 
Referência bibliográfica 
BASTOS, F. A. A. Estatística e Probabilidades. Ed. Ceara: Eduece, 2015. 
CAMINHA, A. C. Estatística. Ed. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2008 
CORREA, S. M. Probabilidades e Estatística. 2ª Edição. Belo Horizonte: PUC Minas, 2003 
FILHO, B.B.; DA SILVA, C.X. Matemática Básica. Ed.São Paulo: Editora FTD, 2005. 
LOPES. Luis Felipe Dias. Apostila Estatística. 3ª Edição. DE – UFSM, Lisboa: 2003. 
MORRETIN, P.A.; DE BUSSAD, W. Estatística Básica. 5ª Edição. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2004.