Espaço Amostral E Eventos

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19/03/2021 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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Teoria Elementar das Probabilidades
 
 
 
Objetivos do módulo
 
Em Estatística Indutiva quando nos referimos a uma previsão de comportamento
de uma população a partir do conhecimento de uma amostra, ou ao contrário, a
previsão do comportamento esperado de uma amostra retirada de uma população
conhecida, temos o cuidado de utilizar a palavra “provavelmente” antes de cada
informação.
 
Assim por exemplo, quando após uma pesquisa eleitoral o veículo de comunicação
informa que se a eleição fosse naquele momento o candidato X teria 35% dos
votos, ele quer dizer que provavelmente o candidato X teria essa quantidade de
votos. É uma afirmação provável de ocorrer, não quer dizer que certamente
ocorrerá. Uma tolerância nessa informação é esperada.
 
Neste módulo iremos ver o que significa e como são calculadas as probabilidades,
ramos de estudo da Matemática e não exatamente da Estatística. Inicialmente
iremos verificar casos absolutamente teóricos e posteriormente evoluiremos para
situações mais próximas da realidade.
 
Tentaremos utilizar o raciocínio lógico para resolver as questões e no final do
módulo faremos uma revisão teórica, apresentando os conceitos e fórmulas
utilizadas na Teoria Elementar das Probabilidades. O importante é você dominar o
mecanismo de cálculo da probabilidade.
 
1.1 - Definições de Probabilidades.
 
Caso você procure a definição de probabilidade em um dicionário, o Aurélio, por
exemplo, irá encontrar algo do tipo:
 
Probabilidade: 1. Qualidade do provável. 2. Motivo ou indício que deixa
presumir a verdade ou a possibilidade de um fato, verossimilhança.
 
Como é fácil de notar esta definição não acrescenta nada ao conceito intuitivo que
temos de probabilidade; isto porque o conceito de probabilidade é circular, ou
seja, define-se probabilidade utilizando-se seus próprios termos
 
Deste modo desenvolve-se atualmente uma abordagem axiomática na definição
de probabilidade, mantendo-se seu conceito indefinido, algo semelhante ao que
acontece em geometria com as definições de ponto e reta.
 
Estatisticamente, no entanto, adotam-se três abordagens diferentes na definição
de probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como freqüência relativa e
a abordagem subjetiva.
 
Antes de seguirmos, no entanto na definição de probabilidade é necessário definir
alguns termos que serão utilizados:
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· Experimento amostral: São aqueles que apesar de serem repetidos
exatamente da mesma maneira não apresentam resultados obrigatoriamente
iguais. Por exemplo: Você pode jogar um dado exatamente da mesma maneira
duas vezes e nada garantirá que irá obter o mesmo resultado.
· Espaço Amostral (ou conjunto universo ou espaço das probabilidades):
É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório. Por exemplo, o espaço amostral de um jogo de um dado honesto é
dado por:
 
 S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 )
 
ü Observe que o dado deve ser honesto, se não for, o
experimento não é aleatório.
· Evento: É um determinado subconjunto formado por um ou mais elementos
do espaço amostral. Por exemplo, num jogo de dados o evento número primo é
formado por:
 
 E = { 1, 2, 3, 5}
 
1.2 – Cálculos das Probabilidades Elementares.
Usando estes termos podemos definir estatisticamente o termo probabilidade:
 
· Abordagem clássica: É a razão (divisão) entre o número de elementos (ou
resultados) favoráveis a um determinado evento e o número total de
elementos (ou resultados) do espaço amostral, ou seja:
 
 
Sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A.
 n(A) o número de elementos favoráveis ao evento A.
 n(S) o número total de elementos do espaço amostral.
 
 
Por exemplo:
Qual é a probabilidade de ao se jogar um dado honesto, se obter um número
primo?
 
 
 
· Abordagem como freqüência relativa: É a razão entre o número de vezes
que determinado resultado ocorre, quando repetimos o experimento aleatório
um número elevado de vezes. Por exemplo: Jogamos uma moeda 1000 vezes e
em 512 destas vezes saiu cara. Podemos dizer por esta definição que a
probabilidade de sair cara nesta moeda é de 512/1000, ou seja, 51,2%. Esse
raciocínio seria simbolizado da seguinte forma:
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Note que o resultado acima não é o mesmo que o calculado pela definição
anterior (50%). Isso pode se dever ao fato da moeda usada não ser honesta
(portanto com resultados aleatórios) ou ao fato de o número de jogadas não
tenha sido suficientemente grande. Aumentando o número de jogadas a
probabilidade tenderá ao valor teórico de 50%, se a moeda for honesta.
 
· Abordagem subjetiva: Ao contrário das definições anteriores, nesta, a
probabilidade não é um valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do
analista naquela ocorrência. Evidentemente que esta probabilidade não é fruto
de um “palpite, um chute”, mas algo embasado em dados objetivos, mas
complementados por aspectos pessoais. É o caso, por exemplo, do
meteorologista que prevê 80% de chances de ocorrerem chuvas num
determinado período. Este capítulo da estatística é estudado em análise
bayesiana de decisão.
 
Durante nosso curso iremos utilizar as duas primeiras abordagens, de acordo com
o campo de estudo em que estivermos. Deve-se notar que a primeira abordagem
é eminentemente teórica e pressupõe experimentos aleatórios em que os
elementos são equiprováveis. Já na segunda abordagem podem ser introduzidos
fatores diversos, característicos de determinadas situações não totalmente
aleatórias.
Revisão teórica dos principais conceitos.
· Experimento: processo como ocorre uma determinada sucessão de
acontecimentos. Por exemplos: Realizar uma reação química; Investir em
ações; Jogar dados.
· Experimento Matemático ou determinístico: são aqueles em que os
resultados podem ser previstos de modo exato utilizando-se a ciência. Por
exemplo: Realizar uma reação química.
· Experimento aleatório: são aqueles cujos resultados não são sempre os
mesmos, apesar de se repetirem várias vezes em condições semelhantes.
Por exemplo, jogar dados.
· Experimentos aproximadamente aleatórios: são aqueles que apesar de
terem uma tendência de ocorrência não podem ter seus resultados definidos
de modo exato pela ciência. Por exemplo: Investir em ações.
· Espaço amostral ou conjunto universo: conjuntos formados por todos
os resultados possíveis de um experimento. Por exemplo, o conjunto
formado pelos números 1;2;3;4;5 e 6, resultados possíveis de um jogo de
dados.
· Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Por exemplo, os
números 2; 4 e 6, evento “números pares” de um jogo de dados.
· Evento simples: aquele formado por um único elemento do espaço
amostral. Por exemplo, o número 5 num jogo de dados.
· Evento composto: aquele formado por mais de um elemento do espaço
amostral. Por exemplo, os números 1; 3 e 5, evento “números ímpares” de
um jogo de dados.
· Evento complementar: de um evento A qualquer, é o evento B (chamado
complementar de A), tal que todos os elementos os elementos do espaço
amostral que não pertençam a A pertençam a B e vice versa. Observar que
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S = A+B. Por exemplo, o conjunto A={1,3,5} é complementar ao conjunto
B={2,4,6}, num jogo de dados, visto que ao serem somados dão origem ao
espaço amostral S={ 1,2,3,4,5,6}.Não falta nem sobrando elemento
algum.
· Eventos mutuamente Exclusivos: Suponha dois eventos A e B, no qual a
ocorrência de A impede a ocorrência de B e vice versa. Dizemos que eles
são mutuamente exclusivos. Por exemplo: Num jogo de dados a ocorrência
de um número par (1,2,3) impede a ocorrência de um número ímpar
(2,4,5), portanto são mutuamente exclusivos. Não confunda eventos
complementares com eventos mutuamente exclusivos. Todos os eventos
complementares são mutuamente exclusivos, mas o contrário não é
verdade.
· Eventos independentes: Dizemos que dois ou mais eventos são
independentes, quando eles não exercem ações recíprocas, comportando-se
cada um de maneira que lhe é própria, sem influenciar os demais. Por
exemplo, o lançamento de duas moedas, simultaneamente.
· Eventos Vinculados ou Condicionados: são eventos cujo aparecimento
de um dependa, ou seja, influenciado pelo aparecimento de outro, do
mesmo experimento. Por exemplo, retirada de duas cartas de um baralho.
Quando você retira a primeira carta existem 52 cartas no baralho, 26
vermelhas e 26 pretas. Quando você for retirar a segunda carta o baralho
terá apenas 51 cartas e poderão ser 25 vermelhas e 26 pretas ou 26
vermelhas e 25 pretas, dependendo da cor da primeira carta. Portanto, o
segundo evento está condicionado ou vinculado com o primeiro.
· Evento soma: Quando relacionamos dois eventos de um mesmo
experimento e a ocorrência de um ou de outro nos interessa, temos o
evento soma. Perceba a importância da palavra ou na formulação do
princípio e da idéia de alternativa. Por exemplo: Jogo um dado e quero que
saia um número par ou um número primo. Os números pares são: {2,4,6}
e os número primos são {1,2,3,5}. Como me interessa os números pares
ou primos, fico satisfeito com a ocorrência de qualquer um dos seguintes
números {1,2,3,4,5}. Note que esse conjunto é a soma dos dois anteriores,
descontadas as intersecções (no caso o número 2).
· Evento produto: Quando relacionamos dois eventos de um mesmo
experimento e a ocorrência de um e simultaneamente do outro nos
interessa, temos o evento produto. Perceba a importância da palavra e na
formulação do princípio, e da ideai de obrigação. Por exemplo: Jogo um
dado e quero que saia um número par e primo. Os números pares são:
{2,4,6} e os número primos são {1,2,3,5}. Como me interessa o número
seja par e simultaneamente primo, fico satisfeito somente com a ocorrência
de número: {2}. Note que esse conjunto é a intersecção dos dois
anteriores, ou seja, valores que pertencem simultaneamente aos dois
conjuntos,
· Definição de Probabilidades Matemática: é a razão (divisão) entre o
número de elementos do evento estudado pelo número de elementos do
espaço amostral, ou seja:
· Definição de Probabilidades Estatística: Presumindo que um
experimento é repetido uma quantidade considerável de vezes e seus
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resultados anotados, definimos probabilidade de ocorrência de eventos
daquele experimento como sendo a freqüência relativa do mesmo:
· Axiomas das probabilidades: são verdades a partir das quais se
estabelecem os conceitos de probabilidades:
1. Dado um evento A, dentro de um espaço amostral S, temos:
2. A probabilidade do espaço amostral, ou da soma de todos os eventos
possíveis é: 
 
3. Para dois eventos mutuamente exclusivos, temos:
4. Se o evento A é complementar de B, então:
· Teorema da Soma: Se A e B são dois eventos não mutuamente
exclusivos, a probabilidade da ocorrência de A ou B ou ambos é dada por:
Exemplo: Numa caixa existem oito bolinhas idênticas, numeradas de 1 a 8.
Qual a probabilidade de, ao se retirar uma bolinha, ela seja múltiplo de 2 ou
de 5?
Espaço Amostral: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -> n(S) = 10
Evento A - múltiplos de 2: A = {2,4,6,8,10) -> n(A) = 5
Evento B – múltiplos de 5: B= {5,10) -> n(B) = 2
Intersecção entre A e B: A∩B = {10} -> n(A∩B) = 1
 
· Teorema do Produto para Eventos Independentes: Caso tenhamos
dois eventos A e B, que não sejam mutuamente exclusivos, a probabilidade
de ocorrer um resultado que pertença simultaneamente aos dois eventos é
dada por:
Esse conceito pode ser estendido para mais de dois eventos.
Por exemplo: Temos duas caixas com bolinhas nas seguintes quantidades:
Caixa A: 10 bolinhas azuis, 15 bolinhas brancas e 30 bolinhas vermelhas.
Total 55: bolinhas.
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Caixa B: 20 bolinhas azuis, 18 bolinhas brancas e 22 bolinhas vermelhas.
Total 60: bolinhas.
Retiramos uma bolinha de cada urna. Qual é a probabilidade de que ambas
as bolinhas retiradas sejam azuis?
Caixa A: Probabilidade de uma bolinha retirada ser azul:
Caixa B: Probabilidade de uma bolinha retirada ser azul:
 
 
 
· Teorema do Produto para Eventos Vinculados: A probabilidade de
ocorrência simultânea de dois eventos A e B vinculados é dada pelo produto
da probabilidade de um dos eventos, pela probabilidade condicional do outro
evento:
 
O símbolo P(B/A) lê-se probabilidade de ocorrência do evento B tendo
ocorrido o evento A e é a chamada probabilidade condicional. Esse conceito
pode ser estendido para mais de dois eventos.
 
O exemplo a seguir deixa essa situação mais evidente:
Retiramos sem reposição três caras de um baralho de 52 cartas. Qual a
probabilidade que as três sejam vermelhas:
 
Probabilidade da 1ª carta ser vermelha: 
Probabilidade da 2ª carta ser vermelha: 
Probabilidade da 3ª carta ser vermelha: 
Probabilidade das três serem vermelhas:
 
 
O texto acima resume os principais pontos desse módulo, mas sugere-se que você
complemente os estudos e se aprofunde nos conceitos. Recomendamos os
seguintes textos:
· Capítulo 6 – Probabilidade do livro Estatística Aplicada à Gestão Empresarial
de Adriano Leal Bruni.
Probabilidade de ambas serem azuis:
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· Resumo nomeado MÓDULO 1 – REVISÃO DE PROBABILIDADES disponível
no site www.aulalivre.com . Pesquisar pelo nome do professor Mauricio do
Fanno, na disciplina ESTATÍSTICA APLICADA.
Exercício 1:
Uma caixa contém 20 canetas iguais, das quais 7 são defeituosas, e outra caixa
contém 12, das quais 4 são defeituosas. Uma caneta é retirada aleatoriamente de
cada caixa. As probabilidades de que ambas não sejam defeituosas e de que uma
seja perfeita e a outra não são respectivamente de:
A)
88,33% e 45,00%
B)
43,33% e 45,00%
C)
43,33% e 55,00%
D)
23,33% e 45,00%
E)
23,33% e 55,00%
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Exercício 2:
Certo tipo de motor pode apresentar dois tipos de falhas: mancais presos e
queima do induzido. Sabendo-se que as probabilidades de ocorrência dos defeitos
são 0,2 e 0,03, respectivamente, determinar a probabilidade de que num motor
daquele tipo, selecionado ao acaso, não ocorra, simultaneamente, as duas falhas.
A)
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6%
B)
19,4%
C)
99,4%
D)
21,8%
E)
77,6%
Comentários:
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Exercício 3:
Suponhamos que existam, num certo mercado, duas fábricas de lâmpadas. A
fábrica "A" produz 500 lâmpadas, das quais 25% apresentam defeitos e a fábrica
"B" produz 550 lâmpadas, das quais 26% são defeituosas; vamos supor também
que as 1050 lâmpadas são vendidas por um único vendedor. Por fim suponhamos
que um cliente vai comprar uma lâmpada sem especificar marca e que estas
foram dispostas ao acaso na prateleira. Calcular:
I - A probabilidadede se receber uma lâmpada defeituosa.
II - A probabilidade de, tendo se recebido uma lâmpada perfeita, ela ser da
marca "B".
A alternativa que apresenta as respostas corretas é a:
A)
I = 47,62% e II = 26,00%,
B)
I = 26,00% e II = 52,05%,
C)
I = 25,52% e II = 26,00%,
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D)
I = 25,50% e II = 50,00%,
E)
I = 25,52% e II = 52,05%,
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Exercício 4:
Visando determinar a probabilidade de se encontrar fumantes numa determinada
cidade fez-se uma pesquisa na qual se entrevistou 856 pessoas às quais se
perguntou sobre ser fumante ou não. 327 destas pessoas admitiram serem
fumantes. Podemos afirmar que, nesta cidade a probabilidade de se encontrar ao
acaso uma pessoa não fumante é de:
A)
61,8%
B)
162%
C)
32,7%
D)
50%
E)
38,2%
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Exercício 5:
Em determinada região do país o candidato a governador José Prego foi votado
por 46% dos eleitores e o candidato a senador Luiz Arruela por 26% dos mesmos
eleitores. Foi escolhido ao acaso um eleitor dessa região. Qual é a probabilidade
de que ele tenha votado num dos dois candidatos, mas não no outro.
A)
51,92%
B)
48,08%
C)
36,00%
D)
14,40%
E)
33,96%
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Exercício 6:
O produto XYZ é composto de dois componentes A e B. Sabe-se que o
componente A apresenta defeitos em 1,2% das unidades produzidas e o
componente B em 3,6% das unidades produzidas. Pegou-se ao acaso um produto
XYZ no estoque, o qual foi testado. Revelou-se que ele é defeituoso. Qual é
probabilidade que o componente B desta unidade em particular tenha
apresentado defeito?
A)
24,4%
B)
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74,8%
C)
75,6%
D)
2,4%
E)
3,6%
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Exercício 7:
Na aprazível cidade de Ribeirão das Neves 45% dos habitantes são homens. Entre
os homens 25% são divorciados. Já entre as mulheres 18% são divorciadas. Um
habitante é sorteado ao acaso por um programa de rádio. Qual é a probabilidade
dele ser homem e divorciado ou mulher e não divorciada?
A)
21,50%
B)
43,00%
C)
107,00%
D)
56,35%
E)
53,50%
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