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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Trabalho e Energia
Potenciais
10/09/2014
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 1 / 57
Effete
2/ 57
Outline
1 Trabalho de uma Força Constante
2 Trabalho de uma Força Variável
3 Teorema do Trabalho-Energia
4 Energia Potencial
5 Conservação da Energia Mecânica
6 Forças Conservativas e Não Conservativas
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Multiplicação de vetores
Produto de um escalar por um vetor. vetor
Produto escalar entre dois vetores. escalar
Produto vetorial. vetor (veremos mais tarde)
Produto de um escalar por um vetor
se A Ax Ay A Ax Ay
Ex:
r 3 4 2r 6 8
(Vetores) Física 1 13/03/2019 27 / 37
30/ 39
Produto Escalar de Vetores
Produto Escalar
A B A B cos com 0
(Vetores) Física 1 13/03/2019 28 / 37
31/ 39
Produto Escalar de Vetores
Algumas propriedades:
Comutatividade: A B B A
Módulo de um vetor: A A A2 cos 0 A2 A 2
ortogonalidade: A B A B 0
Ax A Ay A e Az k A
1 0 k 0
0 1 k 0
k 0 k 0 k k 1 (1)
Sendo A Ax Ay Azk e B Bx By Bzk temos
A B AxBx AyBy AzBz (2)
(Vetores) Física 1 13/03/2019 29 / 37
35/ 73
(Vetores) Física 1 26 / 63
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Introdução
Estudamos a Mecânica Newtoniana utilizando o conceito de
Força ‹ aceleração ‹ velocidade ‹ posição , resolvendo um
grande número de situações.
Porém em situações que temos forças que variam com a
posição (molas, superfícies inclinadas não planas...), a
resolução através da aceleração pode se tornar mais
complexa. ‹ Podemos resolver com mais simplicidade
através do conceito Trabalho - Energia
Energia é um dos tópicos mais importantes em ciência pois é
uma grandeza que se conserva, pode ser convertida de uma
forma a outra, mas não criada nem destruída.
Aqui trataremos de Energia mecânica, cinética, potencial,
começando com a definição de Trabalho
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Trabalho de uma Força Constante
Vamos começar definindo o Trabalho (W ) de uma força
constante em movimento unidimensional.
O Trabalho realizado pela Força constante F
para deslocar o objeto de uma distância d é
W F d cos F d
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W F d cos F d
Se temos várias forças atuando sobre o corpo, consideramos o
trabalho de cada uma delas.
Note que W pode ser 0 0 ou 0
O Trabalho estará ligado à transferência de energia:
Se energia é transferida para o corpo (cedida) ‹ W 0
Se energia é transferida do corpo (gasta) ‹ W 0
Trabalho é uma quantidade escalar.
Sua unidade no SI é N.m ‹ Joule
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±¥¥¥¥¥¥⇒⇐€¥€£#E¥¥¥¥£¥€E¥¥€€£¥E€€£€€-
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Qual o trabalho realizado por cada força para deslocar o objeto
de 3m?
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Um objeto de massa 15kg é arrastado com velocidade constante
por uma distância L 5 7 m sobre uma rampa sem atrito até
atingir uma altura h 2 5 m acima do ponto de partida.
a) Qual a força que a pessoa deve exercer?
b) Qual o trabalho executado pela pessoa sobre o objeto para
executar este deslocamento?
c) A pessoa diz que se usasse uma rampa mais longa (outra
inclinação) para levantar até a mesma altura, ela realizaria menos
trabalho. V ou F?
e) Qual o trabalho realizado pela força Peso?
d) Qual o trabalho da pessoa para levantar verticalmente da
mesma altura h?
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m
L
hseaBafta
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F m ; L , he he = Lsu oh{⇒fa) F = mg sue
b) We = F . L
O W e
'
o memo
,
e) F = in g new o te mania e
'
a forge a aW = F [ = m of hero ± = - fh - ~ took th
reno
foe e- emntaao
d) Wp = F
'
.
'd
'
=
- mg see I = - mash
sue
e) mg h .
9/ 57
Trabalho de uma Força Variável
Se a força é constante : W Fx x
Se a força varia com a posição:
W F x
W lim
x 0
F x x
W
xf
xi
F x dx
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Trabalhogagged
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Trabalho Realizado por uma Mola
Qual o Trabalho realizado pela mola
para levar o bloco de xi até xf ?
F kx
W
xf
xi
k x dx
W k
x 2f
2
x 2i
2
W
1
2
k x 2f x
2
i
Em particular, se xi 0 ‹
W
1
2
k x 2
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Trabalho de uma Força Qualquer em 3 Dimensões
W F dl Fxdx Fydy Fzdz
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Teorema do Trabalho-Energia
É uma consequência da Segunda Lei de Newton:
Se uma partícula se move ao longo de um eixo, sob a ação de
uma força resultante Fres nessa mesma direção:
Wres
xf
xi
F x dx ma x dx
ma x dx m
dv
dt
dx mvdv
Wres
vf
vi
mvdv
mv 2f
2
mv 2i
2
Chamamos a quantidade mv 2 2 de Energia Cinética da partícula:
Wres Kf Ki
A variação da Energia cinética de uma partícula é igual ao
Trabalho da resultante das forças que atuam sobre essa
partícula
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Wres Kf Ki
Note que se W 0 a velocidade do objeto aumentará
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f90km/h )
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Movimento de Queda Livre
Na descida: v aumenta ‹ K aumenta.
Peso no mesmo sentido do deslocamento ‹
Wres 0
Na subida: v diminui ‹ K diminui.
Peso no sentido contrário ao deslocamento ‹
Wres 0
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Movimento Circular Uniforme
Se v é constante ‹ K não varia.
K 0
Força resultante ao deslocamento ‹
Wres 0
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Força de atrito Cinético
A força resultante é a força de atrito cinético, que é sempre
contrária ao deslocamento:
Wres Wfc fc d fcd
O Trabalho da Força de atrito Cinético é sempre 0, energia
cinética diminui.
E o Trabalho da Força de atrito Estático??
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Depende...
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Um bloco de 250g é deixado cair sobre uma mola vertical de
k 250N m . A compressão máxima da mola produzida pelo
bloco é de 12 cm.
a) Qual o trabalho executado pelo peso e pela força da mola
enquanto ela está sendo comprimida?
b) Qual era a velocidade do bloco no momento em que se chocou
com a mola?
c) Se a velocidade no momento do impacto dobrar, qual será a
compressão máxima da mola?
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aoudad
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in = 250 g k = 250
 w/ - se = 12 -
Wp = F . I
'
= mg se = 250×153 × 9.8×0.12=0.2995
WEE = - 21 ksi = . { 250×0 . ii
= - I. OJ
Dk = Wvs
- I my =
 mgn
- atk:V ' = - Zgu + kin
v = 3.5 nls
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Uma força resultante age sobre uma partícula de 3kg de tal
forma que sua posição em função do tempo é dada por
x t 3 t 4 t2 t3 (x em metros, t em segundos). Determine
o trabalho executado pela força entre t 0 e t 4s.
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20/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 20 / 57
Was = DK
a= 3£ - 4+2++3
2
v= D= = 3 - 8£ +
3t
at
2 ( t=oj= 3 - Is
v ( t=4 ) = 3 - ] 2+48=19
W = ± m ( gaz -
9) = 528J .
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Energia Potencial
Esses são exemplos em que temos um sistema de dois corpos
(elástico+pedra, Terra+pedra, carro+Terra) que interagem
através de uma força. O sistema se encontra em uma certa
configuração (de repouso) e que ao ser liberado, muda a
configuração e surge um estado de movimento.
Dizemos que no sistema com os dois corpos havia uma forma de
Energia armazenada ‹ Energia Potencial, que se transforma
em energia de movimento (Energia Cinética).
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A toda força podemos associar uma energia potencial?
Não! Apenas às forças Conservativas!!
Vamos examinar 3 exemplos: Força Elástica, Força Gravitacional,
Força de atrito Cinético
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Força Elástica
Um bloco com velocidade constante v se
aproxima de uma mola em sua posição
natural.
A mola é comprimida, a velocidade diminui
até chegar a zero.
O bloco retorna passando pelo ponto A com a
mesma velocidade (em módulo).
Se o corpo recupera toda a sua energia
cinética, podemos associar a esta força uma
energia potencial.
Toda mudança na energia cinéticafoi
acompanhada da mesma mudança (mas de
sinal oposto) na energia potencial
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Força Gravitacional
O módulo da Velocidade é recuperado, podemos associar uma
energia Potencial
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Conservação da Energia Mecânica
A relação “variação na energia cinética acompanhada de uma
variação oposta na energia potencial” pode ser escrita
matematicamente:
U K
U K 0
Uf Ui Kf Ki 0
Lei da Conservação da Energia Mecânica
Ki Ui Kf Uf E constante
onde E é chamada de Energia Mecânica do sistema
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Força de Atrito
O módulo da Velocidade NÃO é recuperado, NÃO podemos
associar uma energia Potencial à força de atrito.
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VMagaha
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Definição de Energia Potencial
Considerando o Teorema do Trabalho - Energia Cinética
Wres K
e que uma variação na energia potencial corresponde a uma
variação de sinal contrário na Energia cinética:
K U
temos que:
U Wres
Para uma dimensão:
U
x
x0
F x dx
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U
x
x0
F x dx
Se a configuração de um sistema é alterada pela ação de uma
força, a mudança na energia potencial será o negativo do
trabalho realizado por essa força.
Note que só faz sentido calcular variação de energia potencial.
Devemos sempre escolher arbitrariamente um “zero” de energia
potencial:
U x U x0
x
x0
F x dx
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Energia Potencial Elástica
F x kx . Escolhemos U x0 0 onde x0 0 ( posição de
relaxamento da mola)
Uel 0
xf
0
k x dx
k x 2
2
xf
0
k x 2f
2
Substituindo na equação de conservação de energia mecânica:
1
2
k x 21
1
2
m v 21
1
2
k x 22
1
2
m v 22
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go *
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Energia Potencial Gravitacional
F y mg . Escolhemos U y0 0 onde y0 0 (ponto mais
baixo, eixo y orientado para cima)
Ug 0
yf
0
m g dy m g yf
Substituindo na equação de conservação de energia mecânica:
m g y1
1
2
m v 21 m g y2
1
2
m v 22
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Um bloco de massa m 5 7kg desliza sem atrito num plano
horizontal com velocidade constante v 1 2m/s. Ele se choca
com uma mola, de constante elástica k 1500N.m, e sua
velocidade se reduza a zero no momento em que o comprimento
da mola diminui de d em relação ao seu comprimento natural.
Qual o valor de d?
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1
•
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(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 32 / 57
÷ koi = { no
'
A = V ⇐ ' = 7,4 -
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Uma bungee jumper de m 61kg está em uma ponte 45m acima
de um rio. No estado relaxado a corda elástica tem comprimento
25m. Suponha que a corda obedeça à Lei de Hooke com
k 160N/m.
a) A que distância h0 os pés da moça estão da água no ponto
mais baixo da queda?
b) Qual a resultante das forças e a aceleração no ponto mais
baixo?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 33 / 57
L
d
ios
.
34/ 57
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NO pontoon alto : mg ( ho +
Ltd )
No pronto mains baia : mgho + lz kdt
mg ( hot L + d) = mg lo + lz
kd2
lzkds - mgd - mg L = 0
d = 17.9 m ( e run hahn < o des carton
do
L t d = 17.9 + 25 = 42.9 h=
H - ( Ltd ) = 2 . In
Rehltonte no forth iv's boiseo
T k " kze - mg = 160 × 17.9
- 61 × 9 . • = 2270N
to
my [ I = - I a = 22¥ E38 m1s2
6 1
35/ 57
Exemplo 7-6 Tipler
Um bloco de 2kg comprime de 20cm uma mola de k 500N/m
em uma superfície horizontal e lisa. O bloco é liberado,
deslizando sobre a superfície, subindo por uma rampa que faz 45
com a horizontal. Qual a distância que ele precorre na rampa até
parar?
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36/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 36 / 57
Eavuuti.Ik.ie?sus=
. gen
I 2 - ±-
Kf soKito Udt=o
tgksi = ugh
l= Ikjdg = 0.51W h=Innod = he = 0.72in
sine
37/ 57
Exemplo 7-5 Tipler
O pêndulo de comprimento L é solto do repouso quando faz um
ângulo com a vertical.
Qual a velocidade e a Tensão na corda ao passar pelo ponto mais
baixo?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 37 / 57
0
teepee
Fossa m
37/ 57
Exemplo 7-5 Tipler
O pêndulo de comprimento L é solto do repouso quando faz um
ângulo com a vertical.
Qual a velocidade e a Tensão na corda ao passar pelo ponto mais
baixo?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 37 / 57
0
38/ 57
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Um bloao e
'
molto do nefomso mnma
MARGE
Superfine cnnva Como we figure
Hoste que a wee - attend pond
fire o blow execute
une volta
complete er hmin = 2,5 R
,moo
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Um esquiador parte do repouso do topo de um semi-hemisfério
de raio R. Em que altura ele perde contato com a superfície?
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-086hm
he
)
40/ 57
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cons . engine i
mg R = nz m v2 + mg
H
force anti puts :
m grew = YI ⇒ v2= rg soo
g R =I R g true + q H
R - st R ± =
H ⇒ 4 = 25 R
R
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Um bloco de massa m é liberado a partir do repouso de uma
altura h do alto de um plano inclinado de um ângulo sem
atrito. O bloco comprime uma mola de constante elástica k .
a) Qual a velocidade do bloco ao se chocar com a mola? b) Qual
a distância total percorrida pelo bloco até parar?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 41 / 57
saaremaa
42/ 57
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€1 m of h = st m it l = d soo
vi. & g h
€ € ÷ ki = ÷ mi + mg h : ' = used
then - - g u - - t m 2 gh = °
k = mg we ± #ot÷
k
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Forças Conservativas e Não Conservativas
Se uma energia potencial puder ser associada à uma força,
dizemos que essa força é conservativa. Senão é dissipativa.
As forças conservativas têm duas propriedades importantes:
O Trabalho realizado pela força em um circuito fechado é
nulo
O Trabalho de uma força para levar um corpo de um ponto a
outro é independente do caminho
W12 A W21 B 0 W12 A W21 B
se for de 1 a 2 por B:
W12 B W21 B W12 A W12 B
Se só atuam forças conservativas, a Energia mecânica se conserva
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 43 / 57
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Força Conservativa
Força elástica e gravitacional ‹ força conservativa
Jogar uma bola para cima por h: WP mgh , ao descer:
WP mgh
Ao alongar uma mola de x : Wel x0 kx k x
2
2
ao retornar: Wel 0x kx k x
2
2
Força não conservativa
Força de atrito ‹ força dissipativa
tanto na ida quanto na volta Wfc fcd
Independência dos caminhos:
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W = - mg ret d
Wp = . mgh Takin ⇐no !
-
a . - .
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Forças Dissipativas
Vamos considerar uma partícula sujeita a várias forças
conservativas e apenas uma dissipativa.
Wres K
Vamos separar o Wres em Wcon Wfc K
Cada força conservativa pode ser associada a uma energia
potencial:
Wcon U
Wfc K U E
Sempre que atuam forças dissipativas a Energia mecânica não se
conserva. Ela é transformada em Energia térmica ou Energia
interna do sistema.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 45 / 57
.
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Um bloco de 2,5kg colide com uma mola horizontal cuja
constante k é 320 N/m. O bloco comprime a mola até que seu
comprimento diminua de 7,5 cm em relação ao comprimento
inicial. O coeficiente de atrito cinético vale 0,25.
a) Qual o trabalho realizado pela mola até parar?R: Wel 0 9J
b) Qual a Energia mecânica dissipada pela força de atrito
enquanto o bloco está sendo levado ao repouso pela mola?R:
Wf 0 46J
c) Qual a velocidade da mola no momento da colisão? R:
v 1 04 m/s
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o blow
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(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 47 / 57
a ) Wee = - izkrt = - 0.95
b) Wf = - f . se = - μ mg u =o . 25×2.5×9.8×0.075
=
= - o . 46J
e) Dk + Duel = Wf
- tzmi + zksi = ✓+
v2= kih -W+×I = 1.08 v= 1.04 mls= -
48/ 57
Dois blocos são ligados por uma corda e liberados a partir do
repouso. Mostre que a velocidade deles após percorrerem uma
distância L é
v
2 m2 m1 g L
m1 m2
ondeé o coeficiente de atrito cinético. Despreze a massa e o
atrito da roldana.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 48 / 57
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(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 49 / 57
DK + DU = Ng
DK = tz ( m , + mz )
vt
DO = 0 - us g L
Wf = - mm , g
L
Itn, +m<ju
-
- mug L =
 them .gl
Us
= 2- gl ( ms - Mm , )
mi T MZ
50/ 57
Dois blocos são conectados por um fio que passa por uma
roldana. O bloco de massa m1 está sobre uma superfície
horizontal preso a uma mola de constante elástica k . O sistema é
liberado do repouso com a mola relaxada. Se o bloco m2 desce
uma distância h antes de parar, calcule o coeficiente de atrito
estático entre a superfície e m1.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 50 / 57
=' uiti co
/
51/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 51 / 57
No imio : ms of L
ewbairco iz kwh + g- @, tmz )
f a =L
÷ kL2+ { ( in , + ms ) v
}
- msgh = - μ mig L
Sendo h a distanced que 0 blow olesce
ate pavan , V = 0 e L =L
g- k
h2
- my gh = - µm , gh
n= ¥ - they
52/ 57
O cabo de um elevador de 2 toneladas arrebenta e ele cai.
Quando sua velocidade é 4m/s ele atinge a mola amortecedora
que deve ser capaz de pará-lo após ser comprimida de uma
distância de 2m. Durante a compressão da mola, o freio de
segurança aplica uma força de atrito constante de 17000N. Qual
deve ser a constante elástica da mola para que essa situação
aconteça?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 52 / 57
53/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 53 / 57
DK t a Ug + DUI = Wf
- £ mv
'
t(. mg n ) +
 lzksi = - f se
lzksi = Imi + mgx - fm
k = mad +2mg- 2f=
k = mad+ 2=( mg - f ) = i . oaxid %
54/ 57
Uma pequena partícula escorrega por uma pista com
extremidades elevadas e uma parte plana central de comprimento
L. O atrito com as partes elevadas da pista é desprezível, mas na
parte plana c vale 0,2. A partícula começa a descer a partir do
repouso no ponto A, que se encontra a uma altura h L 2
acima da parte plana da pista. Determine a posição da partícula
quando ela atinge o repouso.
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 54 / 57
55/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 55 / 57
56/ 57
Um objeto de massa m é amarrado num suporte no teto
usando-se uma corda fina e flexível de comprimento l . Ele é
deslocado até que a corda esteja esticada horizontalmente, como
mostra a figura, e depois é deixado livre.
a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela está
diretamente abaixo do ponto de suspensão, na base de sua
oscilação.
b) Ache a tensão na corda neste ponto, imediatamente antes da
corda tocar no pino.
c) A corda é interceptada por um pino, como mostra a figura.
Qual a distância b mínima para que a massa realize um giro
completo em torno do pino?
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 56 / 57
57/ 57
(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 57 / 57
1) Pêndulo de Galileu - Um objeto de massa m é amarrado num suporte no teto usando-se uma corda fina e flexível de com-
primento l. Ele é deslocado até que a corda esteja esticada horizontalmente, como mostra a figura, e depois é deixado livre.
a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela está diretamente abaixo do ponto
de suspensão, na base de sua oscilação.
b) Ache a tensão na corda neste ponto, imediatamente antes da corda tocar no pino.
c) A corda é interceptada por um pino, como mostra a figura. Qual a distância b
mínima para que a massa realize um giro completo em torno do pino?
2) Um bloco de massa m encontra-se sobre um plano horizontal. Ele comprime uma mola de constante elástica k no ponto
A de uma distância d em relação à posição O; conforme mostra a figura. Liberado neste ponto a partir do repouso ele
percorre o trajeto A-O-B perdendo contato com a mola no ponto O, onde a mola está relaxada. Somente entre os pontos
O e B, separados de uma distância desconhecida há atrito. O coeficiente de atrito cinético entre as superfícies do bloco e
do plano é µc na região O-B. Após o ponto B há uma rampa sem atrito. A partir ponto C, final da rampa, a superfície é
horizontal e tem uma altura H em relação à horizontal do trecho A-O-B; vide a figura.
a) Determine a velocidade do bloco no ponto O;
b) Determine a distância D entre os pontos O e B, supondo que a velocidade do bloco em B é nula;
c) Determine a compressão necessária da mola para o bloco atingir o ponto C no topo da rampa.
3) A figura mostra o perfil suave de uma calha com um trecho inclinado AB, seguido de um trecho horizontal BC, que
é seguido de um outro trecho inclinado CD; as alturas do ponto A e do ponto D acima do solo são iguais a h0 e o
comprimento do trecho horizontal BC é igual a 2h0. Um bloco de massa m e dimensões desprezíveis desce a partir do
ponto A, onde o módulo da sua velocidade é vA e percorre os trechos AB, BC e CD. O coeficiente de atrito cinético entre
o bloco e a calha no trecho BC é µ, e entre o bloco e a calha nos trechos AB e CD é zero. Considerando como dados m,
vA, h0 e o módulo g da aceleração da gravidade, calcule:
a) os trabalhos das forças peso e normal nos trechos AB, BC e CD;
b) o trabalho da força de atrito no trecho BC;
c) a variação da energia cinética do ponto A ao ponto D e o módulo da velocidade do bloco em D;
4) Um conhecido brinquedo consiste em uma pista contendo um “loop” circular de raio R e um trecho horizontal OA.
No ponto O, localiza-se um lançador, constituido de uma mola ideal relaxada, de constante elástica k. Um carrinho
(representado por um pequeno bloco na figura abaixo) de massa m é colocado inicialmente em O. Empurra-se o carrinho,
comprimindo-se a mola de �x até o ponto C. Neste ponto o carrinho é liberado a partir do repouso perfazendo o percurso
C � O � A � B � A � D, perdendo contato com a mola no ponto O e percorrendo todo o "‘loop"sem perder contato com
a sua superfície. Desprezando-se o atrito em todo o percurso e considerando como dados do problema: R, k, �x, m e g,
calcule:
a) o módulo da velocidade do carrinho ao passar por A;
b) o módulo da velocidade do carrinho ao passar por B;
c) represente em um diagrama as forças que atuam sobre o carrinho ao passar por B e determine o módulo da força de
contato, |~N |, neste ponto;
d) a compressão mínima da mola �Xmin para que, ao passar por B, o carrinho esteja na iminência de perder contato com
o “loop”.
5)Dois barcos projetados para deslizar no gelo estão inicialmente em repouso sobre um lago congelado (que pode ser
considerado uma superfície lisa sem atrito). Os barcos pretendem apostar uma corrida até um ponto que se encontra a
uma distância d de onde eles estão inicialmente. As velas dos barcos são idênticas de maneira que o vento exerce sobre
os barcos a mesma força de módulo F. Um dos barcos possui massa total M e o outro 2M (já consideradas as massas
do tripulante de cada barco). Qual dos barcos cruza a linha de chegada primeiro? Qual possui maior energia cinética ao
cruzar a linha de chegada?
(a) Os barcos chegam ao mesmo tempo e cruzam a linha de chegada com mesma energia cinética.
(b) O barco de massa M chega primeiro mas os dois barcos cruzam a linha de chegada com mesma energia cinética.
(c) O barco de massa M chega primeiro mas o de massa 2M chega com maior energia cinética.
(d) Os barcos chegam ao mesmo tempo mas o de massa 2M chega com maior energia cinética.
(e) O barco de massa M chega primeiro e cruza a linha de chegada com maior energia cinética.
(f) Os barcos chegam ao mesmo tempo mas o de massa M chega com maior energia cinética.
6)Considere dois satélites idênticos, denotados por 1 e 2, de massa m, que estão orbitando o planeta Terra, descrevendo
órbitas circulares de raios r1 e r2 (r2 > r1). Considerando apenas a interação gravitacional entre a Terra e cada satélite, e
que os satélites podem ser considerados esféricos, qual a única verdadeira das afirmativas a seguir?
(a) A energia cinética do satélite na órbita de raio r2 é maior do que a do de raio r1.
(b) O trabalho realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite 2 em uma volta completa da órbita émaior do que aquele realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite 1 em uma volta completa
da órbita.
(c) A energia potencial do sistema Terra-satélite 2 é maior do que a energia potencial do sistema Terra-satélite 1.
(d) O trabalho realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite 2 em uma volta completa da órbita é
menor do que aquele realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite 1 em uma volta completa
da órbita.
(e) O período da órbita dos dois satélites é igual.
7)Afirma-se sobre forças conservativas: I) O trabalho realizado por forças conservativas sobre uma partícula ao deslocá-la
de uma posição inicial a uma posição final é independente da trajetória seguida. II) Uma força é conservativa se o trabalho
desta força ao longo de uma trajetória fechada qualquer é nulo. III) A energia potencial associada a uma força constante
e diferente de zero também é uma constante. São corretas as afirmativas
2
(a) I), II) e III);
(b) I) e III);
(c) I) e II) ;
(d) II) e III);
(e) Nenhuma das afirmativas está correta.
9)Um pêndulo simples é formado por uma massa m, presa a um fio ideal de comprimento `, que tem uma de suas extre-
midades presa a um suporte no teto. O pêndulo é abandonado, em repouso, na posição horizontal. As forças que atuam
no pêndulo são o peso, a tração e a resistência do ar. O pêndulo realiza seu movimento conforme a trajetória pontilhada
até inverter o seu movimento, quando faz um ângulo � com a vertical, conforme a figura.
8)Qual o trabalho realizado pela força de resistência do ar no deslocamento entre os instantes em que o pêndulo é aban-
donado e aquele no qual ele faz o ângulo � com a vertical, indicado na figura?
(a) War = mg` cos �
(b) War = 0
(c) War = (cos � � sen�)mg`
⇣
⇡
2
+ �
⌘
(d) War = (1 + cos �)mg`
⇣
⇡
2
+ �
⌘
(e) War = (1 � cos �)mg`
⇣
⇡
2
+ �
⌘
(f) War = �mg` cos �
(g) War = (sen� � cos �)mg`
⇣
⇡
2
+ �
⌘
10)Um objeto de 4 kg se desprende de um avião que voa horizontalmente a uma altura de 1 km com uma velocidade
de 100 m/s. Esse objeto chega ao solo com uma velocidade de 130 m/s. O trabalho realizado pela força de atrito do ar
durante a queda será dado por (considere g = 10 m/s2):
(a) 13800 J
(b) -13800 J
(c) 26200 J
(d) -26200 J
3
bcbfd
of
a) As forces gene atom me massa m seas o peso ( conservative )
e a tread que neo realize The balho . Por tonto , antes
do
fio to can o pin a energia need
nice se conserve .
mg
l = ± -
F ⇒ v2= 2 lg
b ) T - mg = med t.mg
+ g-2lg= 3mg
e) No alto + ffmg
energia no ponto
wais alto : ztwv
'2+ mg 2 a
ignaean
do as energies
lzmv
'2
+ mgIn= mgl7 ° 2#+mg=mv÷2
v
'
=
mg
1-
Kraft
24
g/a=
Xygl:
zx=
e = ,
n=
§ l
b = l - a = >
b =L - age = }l
0.1 P1-2012-1
[P1-2012-1] Um bloco de massa m encontra-se sobre um plano horizontal. Ele comprime uma mola de constante elástica k no ponto
A de uma distância d em relação à posição O; conforme mostra a figura. Liberado neste ponto a partir do repouso ele percorre o
trajeto A-O-B perdendo contato com a mola no ponto O, onde a mola está relaxada. Somente entre os pontos O e B, separados de
uma distância desconhecida há atrito. O coeficiente de atrito cinético entre as superfícies do bloco e do plano é µc na região O-B.
Após o ponto B há uma rampa sem atrito. A partir ponto C, final da rampa, a superfície é horizontal e tem uma altura H em relação
à horizontal do trecho A-O-B; vide a figura.
a) (valor = 1.0 pontos) Determine a velocidade do bloco no ponto O;
A energia mecânica conserva-se no trecho A-O pois não há atrito, a força de reação normal não realiza trabalho e o peso e a força
da mola são conservativas. Escolhendo o trecho A-O-B como o “zero"da energia potencial gravitacional, temos que a energia
mecânica no ponto A é dada unicamente pela energia potencial elástica, pois é solto do repouso, assim: EA = kd2/2, no ponto
O, a energia mecânica é dada unicamente pela energia cinética, pois a mola encontra-se relaxada, logo EO = mv20/2. Pela
conservação da energia mecânica encontramos a velocidade no ponto O
EA = EO )
kd2
2
=
mv2O
2
! vO =
r
k
m
d.
b) (valor = 1.0 pontos) Determine a distância D entre os pontos O e B, supondo que a velocidade do bloco em B é nula;
Temos duas maneiras de resolver o problema, e em ambas, é necessário calcular o trabalho da força de atrito no trecho O-B:
W~Fat =
~Fat · ~OB = |~Fat|| ~OB| cos⇡ = �|~Fat|| ~OB| = �µcND = �µcmgD.
Maneira 1: Usemos que a variação da energia mecânica é igual ao trabalho das forças não-conservativas, então
�K =
=0z}|{
KB � KO|{z}
mv2
O
2
=
�µcmgDz }| {
W~Fat
) �mv
2
O
2
= �µcmgD ) D =
v2O
2µcg
! D = kd
2
2µcmg
,
onde usamos o resultado da alínea (a) na última passagem.
Maneira 2: Neste caso utilizemos diretamente o teorema do trabalho energia cinética
�K =
=0z}|{
KB � KO|{z}
mv2
O
2
=
�µcmgDz }| {
W~Fat ) �
mv2O
2
= �µcmgD
) D = v
2
O
2µcg
! D = kd
2
2µcmg
,
aqui, o resultado da alínea (a) na última passagem também foi usado.
2
c) (valor=0.5 pontos) Determine a compressão necessária da mola para o bloco atingir o ponto C no topo da rampa.
A compressão mínima da mola, xmin é tal que o bloco atinge o ponto C com velocidade nula. Usando que a variação da energia
mecânica é igual ao trabalho das forças não-conservativas temos:
�E = EC|{z}
mgH
�
kx
2
min
2z}|{
EA =
�µcmgDz }| {
W~Fat
) mgH � kx
2
min
2
= �µcmgD
kx2min
2
= mgH + µcmg
✓
kd2
2µcmg
◆
xmin =
r
2mgH
k
+ d2.
A BO
C
H
3
0.6 PF-2014-1
[SC-2013-2] Um bloco de massa m comprime, em repouso, uma mola de constante elástica k na base de um plano inclinado do
ângulo ✓ em relação à horizontal; a compressão é suficiente para fazer o bloco se movimentar. A partir da posição inicial A, a mola
é liberada empurrando o bloco para cima ao longo do plano inclinado. Verifica-se que na posição B, distanciada de D em relação à
posição A, o bloco está subindo o plano inclinado com uma velocidade de módulo vB , e livre de contato com a mola. Há atrito entre
o bloco e o plano inclinado, cujo coeficiente atrito cinético é µc. Determine:
a) (valor = 1,0 ponto) O trabalho realizado pela força de atrito entre as posições A e B;
O trabalho da força de atrito é dado por Wfat = ~fat · �~rA�B , onde �~rA�B é o vetor deslocamento de A ! B. Como
|~fat| = µc| ~N | = µcmgcos ✓ e que |�~rA�B | = D , obtemos
Wfat = �µcmgDcos ✓
b) (valor = 1,5 pontos) A energia potencial elástica da mola armazenada na posiçõa A.
Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica para o Sistema bloco-mola, �E = Wfat .
Como E = 12mv
2 + Uel + Ugrav , aplicando-o nas posições A e B,
EB � EA = [
1
2
mv2B + 0 +mgDsen ✓]� [0 + Uel(A) + 0] = �µcmgDcos ✓
Onde vA = 0, e considerando Ugrav(A) = 0
) UA = mgD(sen ✓ + µccos ✓) +
1
2
mv2B
9
0.2 P1-2012-2 e P1-2012-2-EQN
[P1-2012-2] Um conhecido brinquedo consiste em uma pista contendo um “loop” circular de raio R e um trecho horizontal OA. No
ponto O, localiza-se um lançador, constituido de uma mola ideal relaxada, de constante elástica k. Um carrinho (representado por
um pequeno bloco na figura abaixo) de massa m é colocado inicialmente em O. Empurra-se o carrinho, comprimindo-se a mola de
�x até o ponto C. Neste ponto o carrinho é liberado a partir do repouso perfazendo o percurso C �O�A�B �A�D, perdendo
contato com a mola no ponto O e percorrendo todo o "‘loop"sem perder contato com a sua superfície. Desprezando-se o atrito em
todo o percurso e considerando como dados do problema: R, k, �x, m e g, calcule:
a) (valor= 0.5 ponto) O módulo da velocidade do carrinho ao passar por A;
Escolhendo o zero do potencial gravitacional no solo, a energia mecânica do ponto C será:
EC = KC + UgC + UelC =
k (�x)2
2
. (1)
Já a energia mecânica no ponto A será:
EA = KA + UgA =
mv2A
2
. (2)
A energia mecânica conserva-se, pois não há forças dissipativas atuando no sistema, então:
EA = EC =)
mv2A
2
=
k (�x)2
2
) vA =
r
k
m
�x. (3)
b) (valor = 0.5 ponto) O módulo da velocidade do carrinho ao passar por B;A energia mecânica no ponto B será:
EB = KB + UgB =
mv2B
2
+ 2mgR. (4)
A energia mecânica conserva-se, então:
EB = EC =)
mv2B
2
+ 2mgR =
k (�x)2
2
=) vB =
r
k
m
(�x)2 � 4gR. (5)
c) (valor=1.0 ponto) Represente em um diagrama as forças que atuam sobre o carrinho ao passar por B e determine o módulo da
força de contato, | ~N |, neste ponto;
O diagrama de forças no ponto B é dado pela figura abaixo onde ûr = r̂.
As forças presentes no ponto B, são a normal, ~N = �| ~N |r̂ e o peso, ~P = �mgr̂.
Na direção radial, a força resultante é a força radial dirigida para o centro (força “centrípeta"), ~Fc = �
�
mv2B/R
�
r̂.
4
Assim na direção radial:
| ~N |+mg = mv
2
B
R
=) | ~N | = mv
2
B
R
�mg. (6)
O resultado final de | ~N | em função dos dados do problema é obtido, substituindo a Eq. (5) na Eq. (6), encontra-se assim:
| ~N | = k
R
(�x)2 � 5mg. (7)
d) (valor=0,5 ponto) A compressão mínima da mola �Xmin para que, ao passar por B, o carrinho esteja na iminência de perder
contato com o “loop”.
O carrinho completa o “loop” quando não perde o contato com o mesmo (| ~N | 6= 0). O caso limite ocorre quando o carrinho está
na iminência de perder o contato no ponto B, ou seja, | ~NB | = 0.
Maneira 1:
Nesta situação a vB é mínima (pois acima do valor mínimo de vb, o carrinho consegue completar o “loop") e o lançador deve ser
comprimido de �Xmin. Usando que no ponto B, | ~N | = 0 na Eq. (7), temos
0 =
k
R
(�Xmin)
2 � 5mg =) �Xmin =
r
5mgR
k
. (8)
Maneira 2:
Nesta situação a vB é mínima (pois acima disto, o carrinho consegue completar o “loop"), cujo valor pode ser encontrado através
da Eq. (6), na condição crítica, | ~N | = 0:
0 =
mv2B min
R
�mg =) vB min =
p
gR. (9)
Substituindo a Eq. (9) na Eq. (5), onde a compressão �x é mínima:
p
gR =
r
k
m
(�Xmin)
2 � 4gR =) �Xmin =
r
5mgR
k
. (10)
5