Física IV - AULAS - MODULO 2

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Paulo Waki Página 1 27/02/2017 
 
 
 
 
 OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOOSSS::: 
Ao final desta unidade espera-se que os alunos sejam capazes de: 
(a) analisar e calcular a energia associada a um corpo que executa MHS; 
 
 
 LLLEEEIIITTTUUURRRAAA RRREEECCCOOOMMMEEENNNDDDAAADDDAAA::: 
Para uma melhor compreensão deste assunto, o aluno deverá ler o(s) seguinte(s) livro(s): 
(a) Física II Sears e Zemansky; Young, H.D. & Freedman, R.A.; Vol. 2 - Capítulo 13; Editora 
Pearson – Addison Wesley; 12 Edição (2008). 
(b) Fundamentos de Física 2; Halliday, D., Resnick, R. e Walker, J.; Vol. 2 - Capítulo 15; LTC 
– Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.; 9a Edição (2012). 
(c) Física - R.Resnick & D.Halliday - Vol.2 - Cap.15 - pág. 01 a 22; 4a Edição. 
 
 
 BBBRRREEEVVVEEE RRREEESSSUUUMMMOOO DDDAAA TTTEEEOOORRRIIIAAA::: 
1. ENERGIA DO MHS 
As forças do tipo 

F t kx t x( ) ( )   são conservativas, isto é, são forças cujos trabalhos por 
elas realizados não dependem da trajetória seguida pelo corpo. 
Um sistema mecânico onde a força resultante é conservativa é chamado SISTEMA 
CONSERVATIVO. Em sistemas conservativos a Energia Mecânica (soma das energias 
cinética e potencial) é conservada. 
1.a) Energia Potencial 
Energia potencial é a energia armazenada no sistema quando um agente externo realiza 
trabalho contra a força conservativa, tirando o corpo do ponto de equilíbrio e levando até uma 
posição qualquer (de desequilíbrio). 
  ldxFE x ExtPot

 0 
Onde foi adotada a coordenada x = 0 para o ponto de equilíbrio. 
)(xFExt

 é a força exercida por um agente externo para levar o corpo do ponto de equilíbrio 
situado em 0 até um ponto x qualquer. Como essa )(xFExt

 é exercida contra a força 
elástica de restituição, no limite podemos considerar   xkxxFxF ElastExt ˆ)( 

. 
ld

 é um elemento da trajetória seguida pelo corpo para ir de 0 até x. Sendo a força 
conservativa, o trabalho não depende da trajetória, de modo que podemos definir 
xdxld ˆ

. 
 
x
Pot xdxxkxE 0
ˆˆ  
x
Pot kxdxE 0  
2
2
1
kxEPot  
1.b) Energia Mecânica 
A energia mecânica do sistema é a soma da energia cinética com a energia potencial. 
)()( tEtEE PotCinMec   
22
2
1
2
1
kxmvEMec  
Lembrando que:  0)(   tAsentx e  0cos)(   tAtvv 
   0220222 2
1
cos
2
1   tsenkAtAmEMec 
 
UUUNNNIIIVVVEEERRRSSSIIIDDDAAADDDEEE FFFEEEDDDEEERRRAAALLL DDDEEE IIITTTAAAJJJUUUBBBÁÁÁ 
Aula 02: Energia do MHS 
FIS503 – FÍSICA GERAL IV Prof. Paulo Waki 
Paulo Waki Página 2 27/02/2017 
Lembrando que: 2mk  
    02022 cos2
1   tsentkAEMec  
2
2
1
kAEMec  
Como a amplitude de oscilação A de um MHS é constante, a energia mecânica é constante 
também. 
2. SUPERPOSIÇÃO DE DOIS MHS DE MESMA DIREÇÃO 
Quando duas molas atuam simultaneamente sobre um corpo, teremos a superposição dos 
efeitos causados por cada um deles separadamente. Podemos destacar três casos mais 
interessantes: 
(a) Superposição de dois MHS de mesma direção, freqüências iguais, mas com amplitudes e 
fases diferentes. 
 r t A t x1 1 1( ) sen    
 r t A t x2 2 2( ) sen    
 
 O movimento resultante será também um MHS: 
   r t r t r t A t x( ) ( ) ( ) sen    1 2   
 sendo:  A A A A A   12 22 1 2 2 12 cos   
 
 
 







arctg
A A
A A
1 1 2 2
1 1 2 2
sen sen
cos cos
 
 
(b) Superposição de dois MHS de mesma direção, fases iguais, mas de frequências e 
amplitudes diferentes. 
 Fazendo  1 2 0  para facilitar os cálculos, teremos: 
 r t A t x1 1 1( ) sen   
 r t A t x2 2 1( ) sen   
O movimento resultante será ainda oscilatório, mas não um MHS, pois a amplitude irá variar 
com o tempo: 
 A A A A A t   12 22 1 2 1 22 cos   
Dizemos neste caso qua as amplitudes são moduladas. Se A A1 2 , teremos: 
 x t A t t( ) ( ) sen






 1 2
2
 
 onde: A t A t( ) cos





2
21
1 2  
 
(c) Superposição de dois MHS que ocorrem em direções perpendiculares (x e y) 
 r t A t x1 1 1 1( ) sen    
 r t A t y2 2 2 2( ) sen    
A trajetória resultante estará contida no plano xy e a sua forma dependerá da razão  
2
1
 e 
da diferença de fases   2 1 , formando as conhecidas figuras de Lissajous. 
 
 
 
Paulo Waki Página 3 27/02/2017 
 
 
EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOO RRREEESSSOOOLLLVVVIIIDDDOOO::: 
 
 
Um corpo de massa M = 800 g está suspenso por uma mola de 
comprimento relaxado L0 = 1,5 m e massa desprezível (ver figura ao 
lado). No instante inicial o corpo está em repouso, preso à mola, na 
posição L = 1,6 m e é atingido por uma bala de massa m = 16 g que 
viaja com velocidade v = 18 m/s, que fica encravada nele. Tomando o 
eixo Oz orientado verticalmente para baixo, com origem no teto, 
calcule a posição z do corpo em função do tempo. 
Obs.: Como a massa da bala é muito menor que a massa do corpo, 
pode-se desprezar a variação da posição de equilíbrio após a bala ficar 
encravada no corpo. 
DADOS: 
M = 0,80 kg; L0 = 1,5 m; L = 1,6 m; m = 1,6.10-2 kg e v = 18 m/s 
SOLUÇÃO: 
A posição z da partícula (equação horária do movimento) será: 
   00 .sin   tAZtz 
Onde Z0 = L é a coordenada do ponto de equilíbrio, dada no problema. 
A freqüência angular será:  Mm
k

 , mas a constante elástica da mola não foi dada. 
Cálculo de k: Na posição de equilíbrio a força resultante sobre o corpo deve ser nula, ou seja: 
MgzkPFmola  .  mNz
Mg
k /4,78

 
Portanto:     zMm
Mg
Mm
k



  srad /9,9 
Cálculo de A: A amplitude de oscilação pode ser calculada a partir da colisão, que é 
completamente inelástica. Por conservação do momento no choque: 
  v
Mm
m
VVMmmvpp apósantes 
 
A energia da oscilação, logo após o choque, será: 
  22
2
2
0 2
1
2
1
2
1
kAv
Mm
m
VMmE 

  2
2
2 1 v
Mm
m
k
A

 
 Mmk
mv
A

  mA
210.6,3  
Obtemos:    02 .9,9sin10.6,36,1   ttz 
Falta calcular a fase inicial 0 . Para isso usamos a condição inicial do problema. Como o corpo 
estava em repouso na posição de equilíbrio, quando é atingido pela bala: 
   02 09,9sin10.6,36,16,10  tz  0sin 0   00  ou  0 
Como logo após o instante inicial o corpo vai para posições acima de L, isso significa que a 
função seno será negativa. Portanto,  0 . 
Finalmente:      ttz .9,9sin10.6,36,1 2 (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
L0 
L 
z 
M 
m 
v 
Paulo Waki Página 4 27/02/2017 
 
 
EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS PPPRRROOOPPPOOOSSSTTTOOOSSS::: 
1) (a) Quando o deslocamento de uma partícula em MHS for igual à metade da amplitude A, 
que fração da energia total será cinética e que fração será potencial? (b) Para que valor de 
deslocamento as energias cinética e potencial serão iguais? 
Respostas: (a) TP EE 4
1
 e TP EE 4
3
 ; (b) 
2
A
x  
2) Um bloco de 6,0 kg está suspenso em uma mola de constante elástica k = 16 N/m. Uma 
bala de massa igual a 50 g atinge o bloco verticalmente, de baixo para cima, com velocidade 
de 150 m/s, ficando retida no bloco. (a) Determine a amplitude do movimento harmônico 
simples resultante. (b) Calcule a fração da energia cinética original da bala armazenada no 
oscilador harmônico. Há perda de energia neste processo? Explique! 
Respostas: (a) A = 0,76 m; (b) fração = 0,8% (perda de energia, pois o choque é inelástico) 
3) Uma bola de goma de mascar, de massa m, cai de uma altura h sobre o prato de uma 
balança de mola e fica grudada nele. A constante da mola é k, e as massas da mola e do 
prato são desprezíveis. (a) Qual é a amplitude de oscilação do prato? (b) Qual é a energia 
total de oscilação? 
Respostas: (a)
k
mgh
A
2
 ; (b) mghET 