Matemática Discreta - Ciclo Trigonométrico

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Matemática Discreta – AD1 – 2011/1
Resoluções
1. Considere o seguinte texto sobre o ciclo trigonométrico, no qual 5 frases foram
sublinhadas:
Considere uma circunferência C sobre a qual tomamos os pontos A
e B.
No caso em que A é distinto de B, se A e B são simétricos em rela-
ção ao centro de C, então o segmento AB é um diâmetro e cada
um dos arcos iguais é uma semicircunferência, ou um arco de meia
volta.
No caso em que A não é distinto de B —isto é, A é o próprio B—
o arco determinado é a circunferência ou arco de uma volta.
Para cada frase sublinhada, faça o que se pede:
(a) Determinar se ela é ou não uma proposição;
(b) Se ela for uma proposição, classificá-la como atômica ou molecular;
(c) Se ela for atômica, determinar se ela é da forma sujeito e propriedade
ou relação entre vários sujeitos, especificando os sujeitos, propriedades
e relações;
(d) Se ela for molecular, classificá-la como negação, conjunção, disjunção,
implicação ou biimplicação, especificando as proposições a partir das
quais ela foi formada.
Resolução da Questão 1:
(i) A frase
uma circunferência C
não é uma proposição, pois não possui ocorrências de verbos.
(ii) A frase
A e B são simétricos em relação ao centro de C
é uma proposição atômica da forma dois sujeitos e uma relação.
Os sujeitos são A e B e a relação é serem simétricos em relação ao
centro de C.
(iii) A frase
o segmento AB
não é uma proposição, pois não possui ocorrências de verbos.
(iv) A frase
A não é distinto de B.
é uma proposição molecular, que é uma negação.
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Ela é obtida da proposição
A é distinto de B.
por aplicação do conectivo não é o caso que.
(v) A frase
o arco determinado é a circunferência ou arco de uma volta.
é uma proposição molecular, que é uma disjunção.
Ela é obtida das proposições
O arco determinado é a circunferência.
e
O arco determinado é o arco de uma volta.
por aplicação do conectivo ou.
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2. De acordo com o texto dado na Questão 1, avaliar as seguintes proposições
como V ou F :
(a) Os pontos A e B estão sobre a circunferência C.
(b) A e B são simétricos em relação ao centro de C.
(c) Se A é distinto de B, então A e B são simétricos em relação ao centro
de C.
(d) A não é distinto de B se, e somente se A é o próprio B.
Resolução da Questão 2:
(a) A proposição é V , o texto afirma que os pontos estão sobre a circun-
ferência.
(b) A proposição é F , o texto não afirma que os pontos estão sobre a circun-
ferência. Este é apenas um dos dois casos que ele trata.
(c) A proposição é F , o texto não afirma que quando A é distinto de B, eles
são simétricos. Serem simétricos é uma condição adicional sobre A e B, neste
caso.
(d) A proposição é V , o texto afirma esta equivalência.
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3. Para cada questão abaixo, dê um esquema de simbolização. Faça uma sim-
bolização de acordo com o esquema dado e escreva a sua negação utilizando
a metodologia empregada na Aula 3 do Módulo 0 de MD.
(a) A e B não estão sobre C ou A e B não são simétricos em relação ao centro
de C.
(b) Se A não é distinto de B, então: A e B são simétricos em relação ao
centro de C ou o segmento AB é um diâmetro.
Resolução da Questão 3:
(a) Temos o seguinte esquema de simbolização:
p : A e B estão sobre C.
q : A e B são simétricos em relação ao centro de C.
Assim, a proposição pode ser simbolizada como:
(∼ p) ∨ (∼ q)
A negação da proposição simbolizada é dada por:
∼ ((∼ p) ∨ (∼ q))
que é equivalente a
(∼ (∼ p)) ∧ (∼ (∼ q))
que é equivalente a
p ∧ q
Assim, a negação da proposição é
A e B estão sobre C, e A e B são simétricos em relação ao centro de C.
(b) Temos o seguinte esquema de simbolização:
p : A é distinto de B.
q : A e B são simétricos em relação ao centro de C.
r : O segmento AB é um diâmetro.
Assim, a proposição pode ser simbolizada como:
(∼ p)→ (q ∨ r)
A negação da proposição simbolizada é dada por:
∼ ((∼ p)→ (q ∨ r))
que é equivalente a
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(∼ p) ∧ (∼ (q ∨ r))
que é equivalente a
(∼ p) ∧ ((∼ q) ∧ (∼ r))
Assim, a negação da proposição é
A não é distinto de B, e A e B não são simétricos em relação ao
centro de C e o segmento AB não é um diâmetro.
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4. Simbolize cada uma das proposições abaixo, usando o seguinte esquema de
simbolização:
p : 1 é par.
q : 2 é par.
e conectivos dentre ∼, ∧, ∨ e →.
(a) Ao menos um dos números 1 ou 2 é par.
(b) No máximo um dos números 1 ou 2 é par.
(c) Exatamente um dos números 1 ou 2 é par.
Na resolução desta questão, atente para o fato que dizer “no máximo um
objeto satisfaz a propriedade P” não significa dizer que “algum objeto satisfaz
a propriedade P”.
Resolução da Questão 4:
(a) A proposição afirma que
1 é par ou 2 é par.
Assim, pode ser simbolizada como:
p ∨ q
(b) A proposição afirma que
Se 1 é par, então 2 não é par; e se 2 é par, então 1 não é par.
Assim, pode ser simbolizada como:
(p→ (∼ q)) ∧ (q → (∼ p))
(c) Quando ao menos um elemento satisfaz a propriedade P e também no
máximo um elemento satisfaz a mesma propriedade, então temos exatamente
um elemento satisfazendo a P , e vice-versa. Assim, a proposição pode ser
simbolizada como:
(p ∨ q) ∧ (p→ (∼ q)) ∧ (q → (∼ p))
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5. Verifique a validade dos seguintes argumentos, usando as simbolizações apre-
sentadas na Questão 4:
(a) No máximo um dos números 1 ou 2 é par. Logo, Exatamente um dos
números 1 ou 2 é par.
(b) Ao menos um dos números 1 ou 2 é par. No máximo um dos números 1
ou 2 é par. Logo, Exatamente um dos números 1 ou 2 é par.
Resolução da Questão 5:
(a) De acordo com o esquema de simbolização da Questão 4, temos a seguinte
estrutura para o argumento:
Premissa: (p→ (∼ q)) ∧ (q → (∼ p))
Conclusão: (p ∨ q) ∧ (p→ (∼ q)) ∧ (q → (∼ p))
Logo, a implicação associada ao argumento é
ϕ : [(p→ (∼ q)) ∧ (q → (∼ p))]→ [(p ∨ q) ∧ (p→ (∼ q)) ∧ (q → (∼ p))]
Observe que esta implicação é da forma ψ1 ∧ ψ2 → ψ1 ∧ ψ2 ∧ ψ3. E que
quando temos ψ1 : V , ψ2 : V e ψ3 : F , temos ψ1 ∧ ψ2 : V e ψ1 ∧ ψ2 ∧ ψ3 : F ,
o que mostra que ϕ não é uma tautologia. Logo, o argumento é inválido.
Isto pode ser visto, mais claramente, se constrúımos a tabela verdade de ϕ:
p q ∼ p ∼ q
ψ1z }| {
p→ (∼ q)
ψ2z }| {
q → (∼ p) ψ1 ∧ ψ2
ψ3z }| {
p ∨ q ψ1 ∧ ψ2 ψ1 ∧ ψ2 ∧ ψ3 ϕ
V V F F F F F V F F V
V F F V V V V V V V V
F V V F V V V V V V V
F F V V V V V F V F F
Como na última coluna da tabela verdade de ϕ ocorre o valor F , temos que
ϕ não é uma tautologia. Logo, o argumento é inválido.
(b) De acordo com o esquema de simbolização da Questão 4, temos a seguinte
estrutura para o argumento:
Premissas: p ∨ q
(p→ (∼ q)) ∧ (q → (∼ p))
Conclusão: (p ∨ q) ∧ (p→ (∼ q)) ∧ (q → (∼ p))
Logo, a implicação associada ao argumento é
ϕ : [((p∨q)∧(p→ (∼ q))∧(q → (∼ p))]→ [(p∨q)∧(p→ (∼ q))∧(q → (∼ p))]
Observe que esta implicação é da forma ψ → ψ. Como mostra a tabela
ψ ψ → ψ
V V
F V
toda proposição desta forma é uma tautolgia. Assim, ϕ é uma tautologia.
Logo, o argumento é válido.
c© 2011 Márcia Cerioli e Petrucio Viana
Coordenação da Disciplina MD/CEDERJ
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