Matemática Volume 01

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CH
HISTÓRIA
11
M
MATEMÁTICA
T
U.T.I.
Unidade Técnica de Imersão
© Hexag Sistema de Ensino, 2018
Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino. São Paulo, 2018
Todos os direitos reservados.
Autores
Herlan Fellini 
Pedro Tadeu Batista
Vitor Okuhara
Diretor geral
Herlan Fellini
Coordenador geral
Raphael de Souza Motta
Responsabilidade editorial
Hexag Sistema de Ensino
Diretor editorial
Pedro Tadeu Batista
Revisor
Rodrigo Luis Martins da Silva
Pesquisa iconográfica
Eder Carlos Bastos de Lima
Programação visual
Hexag Sistema de Ensino
Editoração eletrônica
Claudio Guilherme da Silva
Eder Carlos Bastos de Lima
Fernando Cruz Botelho de Souza 
Matheus Franco da Silveira
Raphael de Souza Motta
Raphael Campos Silva
Projeto gráfico e capa
Raphael Campos Silva
Foto da capa
pixabay (http://pixabay.com)
Impressão e acabamento
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Você está recebendo o primeiro caderno da U.T.I. (Unidade Técnica de Imersão) do Hexag Vestibulares. Este ma-
terial tem o objetivo de verificar se você aprendeu os conteúdos estudados nos livros 1 e 2, oferecendo-lhe uma 
seleção de questões dissertativas ideais para exercitar suas memória e escrita, já que é fundamental estar sempre 
pronto a realizar as provas de 2ª fase dos vestibulares.
Além disso, este material também traz sínteses do que você observou em sala de aula, ajudando-lhe ainda 
mais a compreender os itens que, eventualmente, não tenham ficado claros e a relembrar os pontos que foram 
esquecidos. 
Aproveite para aprimorar seus conhecimentos.
Bons estudos!
Herlan Fellini
CARO ALUNO
Matemática 1
U.T.I. 1
 
 
MATEMÁTICA
Matemática 1 5
Matemática 2 29
Matemática 3 49
Matemática 1
U.T.I. 1
 
 
MATEMÁTICA
Matemática 1 5
Matemática 2 29
Matemática 3 57
7
Potenciação
Resumo das pRopRiedades de potências
Sendo a e b números reais e m e n números inteiros, temos:
 § P1: am ∙ an = am+n
 § P2: 
am __ an = a
m – n, se a ≠ 0 e m ≥ n
 § P3: (a ∙ b)m = am ∙ bm
 § P4: ( a __ b ) 
m
 = a
m
 __ 
bm
 , se b ≠ 0
 § P5: (am)n = am ∙ n
Radiciação
pRopRiedades
1ª propriedade
 § Se o índice for ímpar (n é ímpar), o radicando poderá ser qualquer número real: n √
__
 xn = x, x ∈ R.
 § Se o índice for par (n é par), o radicando deverá ser um número real não negativo: n √
__
 xn = x, x ≥ 0 (condição
de existência).
Observe que, dessa definição, segue que 24 : 2 = 23, e não 22.
2ª propriedade
 n √
___
 am = 
n : p
 √
___
 am:p , para todo a [ R+ e n, m e p [ N, com n ≥ 2, sendo p um número diferente de zero e divisor 
comum de m e n.
3ª propriedade
 n √
____
 a ∙ b = n √
__
 a · n √
__
 b , para todo a [ R+, b [ R+ e n [ N, com n ≥ 2.
4ª propriedade
 n √
__
 a __ 
b
 = 
n
 √
__
 a ___ 
 n √
__
 b 
 , para todo a [ R+, b [ R + * e n ∈ N, com n ≥ 2.
potenciação e Radiciação com Radicais
 ( m √
__
 a ) n = m √
__
 an , em que a ≥ 0, m é um número natural maior que 1 e n é um número inteiro.
 m √
___
 n √
__
 a = m · n √
__
 a , em que a ≥ 0 e m e n são números naturais maiores que 1.
8
Racionalização de denominadoRes
Situação 1
 § Vamos racionalizar o denominador de 2 ____ 
3 √
__
 8 
 .
 2 ____ 
3 dXX 8 
 = 2 ____ 
3 dXX 8 
 · 
dXX 8 ___ 
 dXX 8 
 = 2 √
__
 8 ____ 
3 ∙ 8
 = √
__
 8 ___ 
12
 
Situação 2
 § Vamos racionalizar o denominador de 2 _______ 
 dXX 2 + dXX 5 
 .
Nesse denominador, há uma adição de dois números irracionais. Para racionalizá-lo, vamos multiplicar a 
fração por: 
dXX 2 – dXX 5 _______ 
 dXX 2 – dXX 5 
 .
 2 _______ 
 dXX 2 + dXX 5 
 · 
dXX 2 – dXX 5 _______ 
 dXX 2 – dXX 5 
 = 2 · 
( dXX 2 – dXX 5 ) __________ 
 ( dXX 2 ) 2 – ( dXX 5 ) 2
 = 2 
dXX 2 – 2 dXX 5 _________ 
2 – 5
 = 2 √
__
 5 – 2 √
__
 2 ________ 
3
 
potência com expoente fRacionáRio
am/n = n √
__
 am para todo a [ R+, m [ Z e n [ N, com n ≥ 2.
equações
É expressa na forma ax + b = 0, com a i 0.
Toda equação possui um conjunto solução. Conjunto solução é o nome que se dá ao conjunto dos valores 
que tornam uma equação verdadeira.
PRoblemas clássicos PaRa o vestibulaR
o pRoblema das toRneiRas
Uma torneira enche um tanque em 16 horas e outra, em 12 horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultanea-
mente as duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque?
9
Comentários
Nessa situação-problema, não devemos aplicar a regra de três, uma vez que as capacidades de trabalho das tornei-
ras são diferentes. A saída, aqui, é identificar as frações do trabalho que as respectivas torneiras realizam em uma 
unidade de tempo. No caso, ver a parte do tanque que cada torneira enche em 1 hora.
Veja:
 § Se a primeira torneira enche o tanque todo em 16 horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
16
 do tanque.
 § Se a segunda torneira enche o tanque todo em 12 horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
12
 do tanque.
Solução
Sendo x horas o tempo que as duas torneira gastarão, juntas, para encher o tanque, em uma hora elas encherão:
 1 __ x = 
1 ___ 
16
 + 1 ___ 
12
 do tanque.
Daí, 48 ___ 
48x
 = 3x + 4x ______ 
48x
 ⇒ x = 48 ___ 
7
 = 6 6 __ 
7
 .
Note:
 6 __ 
7
 h = 6 __ 
7
 · 60 min = 360 ___ 
7
 min = 51 3 __ 
7
 min
Resposta: 6 6 __ 
7
 horas ou 6 horas e 51 3 __ 
7
 minutos.
o pRoblema das lojas
Deborah foi ao shopping-center e entrou em 5 lojas. Em cada uma gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do 
que tinha ao entrar. Ao sair do shopping-center, pagou R$ 3,00 de estacionamento e ficou com R$ 2,00. Quanto 
Deborah tinha, inicialmente, antes de entrar na primeira loja?
Solução algébrica
Sendo x reais a quantia inicial de Deborah, têm-se:
Loja Entrou com... Gastou Saiu com...
1 x x __ 2 + 1 
x __ 
2
 – 1
2 x – 2 ____ 2 
x – 2 ____ 
4
 + 1 x – 2 ____ 
4
 – 1
3 x – 6 ____ 4 
x – 6 ____ 
8
 + 1 x – 6 ____ 
8
 – 1
4 x – 14 _____ 8 
x – 14 _____ 
16
 + 1 x – 14 _____ 
16
 – 1
5 x – 30 _____ 16 
x – 30 _____ 
32
 + 1 x – 30 _____ 
32
 – 1
Então, após pagar R$ 3,00 de estacionamento, temos que:
 x – 30 _____ 
32
 – 1 – 3 = 2 ⇒ x – 30 _____ 
32
 = 6 ⇒ x = 222
10
Solução aritmética
Vendo a situação-problema do fim ao começo, tem-se:
54
Resposta: Deborah tinha, inicialmente, R$ 222,00.
o pRoblema das idades
Matheus diz a Gabriel: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando 
tu tiveres a idade que eutenho, a soma das nossas idades será 90 anos”. Determine a idade atual de cada um.
Comentários
Uma boa saída para os problemas de idade é a construção de uma tabela contendo as idades dos personagens 
envolvidos, no presente e/ou no passado e/ou no futuro e, depois, montar equações tendo em vista que a diferença 
das idades não muda: “se quando Gabriel nasceu, Matheus tinha x anos, Matheus sempre será x anos mais velho 
que Gabriel, no presente, no passado ou no futuro, não importa o tempo”.
Solução
Considerando os dados do problema, temos a seguinte tabela:
Passado Presente Futuro
Matheus y 2x 90 – 2x
Gabriel x y 2x
Se você não entendeu a construção da tabela anterior, veja a sua construção passo a passo:
1. Matheus disse: "Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas". Daí, Matheus, no presente, tem 2x anos e 
Gabriel, x anos, no passado.
2. Matheus disse: "... quando eu tinha a idade que tu tens".Daí, Matheus tinha y anos no passado (quando o 
Gabriel tinha x anos), sendo y anos também a idade de Gabriel hoje, no presente.
3. Matheus disse: "... quanto tu tiveres a idade que eu tenho". Daí, no futuro, a idade de Gabriel será 2x (a 
mesma de Matheus hoje, no presente).
11
4. Matheus disse: “... a soma das nossas idades será 90 anos“. Daí, como no futuro a idade de Gabriel será 2x, a de 
Matheus será o que está faltando para completar os 90 anos, ou seja, a idade de Matheus será (90 – 2x) anos.
Observando que, em qualquer tempo, a diferença das respectivas idades será sempre a mesma, da tabela tem-se:
I. y – x = 2x – y ⇒ 2y = 3x
Lembra do artifício do problema da perseguição para evitar as frações?
2y = 3x = 6k ⇔ 
x = 2k
y = 3k
II. y – x = (90 – 2x) – 2x ⇒ y + 3x = 90 ⇒ 3k + 6k = 90 ⇒ k = 10 
⇒ 
x = 20
y = 30
Logo, hoje Matheus tem 2x = 40 anos e Gabriel, y = 30 anos.
o pRoblema dos tRatoRes
Para arar certo campo, um primeiro trator gasta 2 horas a menos que o terceiro e uma hora a mais que o segundo. 
Se o primeiro e o segundo tratores trabalharem juntos, a operação pode ser feita em 1 hora e 12 minutos. Quanto 
tempo gastam os 3 tratores, juntos, para arar um outro campo idêntico, nas mesmas condições?
Comentários
Se, para efetuar um trabalho, gastam-se 3 horas, em uma hora faz-se 1 __ 
3
 desse trabalho. Em geral, para efetuar um 
trabalho, gastam-se x horas, em uma hora, portanto, faz-se 1 __ x desse trabalho.
Solução
Sendo x horas o tempo que o terceiro trator gasta sozinho, temos:
1. Tempo gasto pelo primeiro trator = (x – 2) horas.
2. Tempo gasto pelo segundo trator = tempo gasto pelo primeiro trator, menos 1 hora = (x – 3) horas.
Note: se o primeiro trator gasta uma hora a mais que o segundo, então o segundo gasta uma hora a menos 
que o primeiro.
3. 1 h e 20 minutos = ( 1 + 12 ___ 60 ) h = 6 __ 5 h.
4. Em uma hora de trabalho, o primeiro trator faz 1 ____ 
x – 2
 do serviço, o segundo faz 1 ____ 
x – 3
 e os dois, juntos, fazem 
 1 __ 
 6 __ 
5
 
 = 5 __ 
6
 . Daí:
 1 ____ 
x – 2
 + 1 ____ 
x – 3
 = 5 __ 
6
 ⇒ 6(x – 3) + 6(x – 2) ______________ 
6(x – 2)(x – 3)
 = 5(x – 2)(x – 3) ___________ 
6(x – 2)(x – 3)
 ⇒
⇒ 5x2 – 37x + 60 = 0 ⇒ x = 5 ou x = 2,4 (não convém)
Assim, o primeiro, o segundo e o terceiro tratores gastam, respectivamente, x – 2 = 3h, x – 3 = 2h e x = 5h. 
Então, se os três, juntos, gastarem y horas para fazer o serviço, em uma hora eles farão:
 1 __ y = 
1 __ 
2
 + 1 __ 
3
 + 1 __ 
5
 = 31 ___ 
30
 
Resposta: 30 ___ 
31
 horas.
12
o pRoblema da água e do vinho
Um barril contém 30 litros de água e outro, 20 litros de vinho. Tomam-se, simultaneamente, x litros de cada barril e 
permutam-se. Repetindo a operação várias vezes pode-se comprovar que a quantidade de vinho em cada barril se 
manteve constante, após a primeira troca. Determinar quantos litros (x) são trocados em cada operação.
Solução
1. De início, temos:
No 1º barril: 
água = 30 L
vinho = 0
No 2º barril: 
água = 0
vinho = 20 L
2. Após a primeira troca, ficamos com:
No 1º barril: 
água = (30 – x) L
vinho = x L
fração de vinho = x ___ 
30
 
No 2º barril: 
água = x L
vinho = (20 – x) L
fração de vinho = 20 – x _____ 
20
 
 ( lembre-se: fração = parte ____ todo ) 
A partir da primeira troca, as quantidades de vinho, em cada barril, permanecem inalteradas. Então, as quantidades 
de vinho trocadas são iguais:
Vinho que sai do 1º barril = vinho que sai do 2º barril. Daí, obtemos:
 x ___ 
30
 · x = ( 20 – x _____ 20 ) · x
Uma vez que x é diferente de zero, ficamos com:
 x __ 
3
 = 20 – x _____ 
2
 ⇒ x = 12
Resposta: 12 litros
equações do 2º gRau
É escrita na forma ax² + bx + c = 0, sendo a i 0.
As soluções podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara:
x = 
 – b ± 
dXXXXXXX b2 – 4ac ___________ 
2a
 
13
O termo b2 – 4ac, denominado discriminante, é representado pela letra grega delta maiúscula (D). O 
valor numérico do discriminante indica a quantidade de raízes reais distintas da equação:
 § Se D > 0 (discriminante positivo), a equação possui duas raízes reais distintas.
 § Se D = 0 (discriminante nulo), a equação possui apenas uma raiz real.
 § Se D < 0 (discriminante negativo), a equação não possui raízes reais.
soma e pRoduto das Raízes de uma equação do 2º gRau
x² – Sx + P = 0, sendo que
S = – b __ a e P = 
c __ a .
equações biquadRadas
É expressa na forma: ax4 + bx² + c = 0 (sendo a i 0).
Substituindo x² por y, temos:
x4 = (x²)² = (y)² = y²
Logo, a equação na variável y é:
ay² + by + c = 0 , com raízes y1 e y2
Porém, como x² = y, temos que x = ± √
_
 y , logo:
x1 = √
__
 y1 
x2 = – √
__
 y1 
x3 = √
__
 y2 
x4 = – √
__
 y2 
teoRia dos conjuntos
Intuitivamente, conjunto é um agrupamento de elementos.
Formas de representação:
 § Por extensão: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
 § Por diagramas de Euler Venn.
 § Por compreensão: A = {x | x é um número par menor que 9}.
14
Relações de pertinência
 § x § A , lê-se o elemento x pertence ao conjunto A.
 § x ∉A , lê-se o elemento x não pertence ao conjunto A.
As relações de inclusão , e ÷ relacionam dois conjuntos.
Considerando os conjuntos A e B representados pelo diagrama de Venn, temos:
Igualdade de conjuntos
Indicamos por A = B, quando os conjuntos A e B possuem os mesmos elementos.
Conjunto universo
É o conjunto que considera todos os elementos de um determinado tópico.
Exemplo: o conjunto dos números reais  é um conjunto universo.
Conjunto unitário
É aquele que possui um único elemento.
Exemplo: S = {2}
Conjunto vazio
É aquele que não possui elemento. Há duas formas de representação: { } ou Ø.
Subconjuntos
A = {1, 3, 7} 
B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}
A , B (A está contido em B)
B . A (B contém A)
15
opeRações
União de conjuntos
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
Seja A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}.
Intersecção de conjuntos
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B.
Seja A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então A ∩ B = {0, 2, 4}.
Diferença de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}.
A diferença de conjuntos é definida por:
A – B = {x | x [ A e x Ó B}
Sendo assim:
A – B = {1, 3, 5}
Se B , A, a diferença A – B denomina-se complementar de B em relação a A, e indica-se C B A .
C B A = A – B
Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então C B A = A – B = {0, 1, 4}.
16
Números de elementos em conjuntoa: n(A)
A = {x | x representa os dias de uma semana}, n(A) = 7
conjuntos disjuntos
Dois conjuntos A e B, não vazios, são disjuntos, se não possuem elementos comuns.
A > B = Ø
númeRo de subconjuntos (conjuntos das paRtes)
1. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é, Ø ⊂ A, ∀ A.
2. Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é A ⊂ A, ∀ A.
3. Chama-se subconjunto próprio de um conjunto A qualquer subconjunto de A que seja diferente de A.
Simbolicamente, B é subconjunto próprio de A, se B ⊂ A e B ≠ A.
Se um conjunto A possui n elementos, então A possui 2n subconjuntos, que podemos representar por:
n(P(A)) = 2n(A) 
númeRo de elementos da união
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
oPeRações com inteRvalos
 § Intervalo fechado
[a, b] = {x [ R | a ≤ x ≤ b}
 § Intervalo aberto
]a, b[ = {x [ R | a < x < b}
 § Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita)
[a, b[ = {x [ R | a ≤ x < b}
 § Intervalos “infinitos”
[a, +Ü[ = {x [ R | x ≥ a}
]–Ü, a] = {x [ R | x ≤ a}
17
RepResentação geométRica de inteRvalos na Reta Real
[1, 4[
inequações do 1º e 2º gRaus
inequações
 § P1: dada a inequação a > b, com a [ R e b [ R, podemos somar um valor c [ R em ambos os lados da 
inequação e obter uma inequação equivalente.
a > b e a + c > b + c possuem o mesmo conjunto solução.
 § P2: dada a inequação a > b, com a [ R e b [ R e um valor c [ R, temos que:
i) se c > 0, a > b e a · c > b · c, são equivalentes;
ii) se c <0, a > b e a · c < b · c, são equivalentes.
Ou seja, podemos multiplicar ambos os lados de uma inequação e obter uma inequação equivalente, porém, 
se o valor multiplicado for negativo, o sinal da desigualdade inverte. 
Veja a desigualdade a seguir:
 1 __ x < 
1 __ 
2
 
 1 __ x ≤ 
1 __ 
2
 ⇒ 1 ≤ x __ 
2
 
Para resolver esta e outras inequações, devemos utilizar apenas as propriedades apresentadas, ou seja:
 1 __ x < 
1 __ 
2
 
 1 __ x – 
1 __ 
2
 < 0
 2 – x ____ 
2x
 < 0
inequações do 1º gRau
Denomina-se inequação do 1º grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:
ax + b > 0
ax + b > 0
ax + b < 0
ax + b < 0
(com a, b [ R e a Þ 0)
18
Sistemas de inequações do 1º grau
O conjunto solução de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada 
inequação do sistema.
inequações do 2º gRau
Denomina-se inequação do 2º grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c < 0
inequações-pRoduto e inequações-quociente
Inequações-produto
Dadas duas funções f(x) e g(x), uma inequação-produto é uma inequação da seguinte forma:
f(x) × g(x) > 0
f(x) × g(x) > 0
f(x) × g(x) < 0
f(x) × g(x) < 0
Para resolver inequações desse tipo, procedemos da seguinte maneira:
1o Fazemos o estudo dos sinais de cada função, separadamente.
2o Colocamos os resultados em um quadro de sinais.
3o Analisamos o sinal do produto das funções, levando em conta as regras dos sinais da multiplicação de 
números reais.
Exemplo:
1. Resolva a inequação (x – 3)(1 – x) > 0.
Analisaremos o sinal de cada função, separadamente:
f(x) = x – 3
g(x) = 1 – x
f(x) g(x)
3 1
Logo:
Para x > 3, f(x) é positiva e para x < 3, f(x) é negativa.
Para x > 1, g(x) é negativa e para x < 1, g(x) é positiva.
(com a, b e c [ R e a Þ 0)
19
Construímos, agora, o quadro de sinais:
f(x)
g(x)
f(x)g(x)
31
A terceira linha do quadro representa o sinal da função f(x)g(x).
 § Se x < 1, a função f(x) é negativa e g(x), positiva, portanto, o produto entre elas é negativo.
 § Se 1 < x < 3, ambas as funções f(x) e g(x) são negativas, portanto, seu produto é positivo.
 § Se x > 3, a função f(x) é positiva e g(x), negativa, portanto, o produto entre elas é negativo.
Como queremos (x – 3)(1 – x) > 0, ou seja, não procuramos os valores de x que anulam o produto (x – 3)
(1 – x), não incluímos as raízes 1 e 3 no conjunto solução:
S = {x [ R | 1 < x < 3}
Observe que, ao procurar o conjunto solução de (x – 3)(1 – x) > 0, poderíamos, também, realizar o produ-
to do primeiro membro e obter –x² + 4x – 3 > 0, de modo a resolver a inequação do 2º grau, obtendo o 
mesmo conjunto solução.
Inequações-quociente
Dadas duas funções f(x) e g(x), uma inequação-quociente é uma inequação da seguinte forma:
 f(x) ___ 
g(x)
 > 0
 f(x) ___ 
g(x)
 > 0
 f(x) ___ 
g(x)
 < 0
 f(x) ___ 
g(x)
 < 0
A resolução de inequações-quociente é similar à resolução de inequações-produto.
A principal diferença na resolução de uma inequação-quociente em relação à inequação-produto é que temos 
agora uma condição de existência, pois no quociente f(x) ___ 
g(x)
 temos que g(x) Þ 0.
20
Relações, funções e definições
domínio, contRadomínio e imagem de uma função
f : A é B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B)
x é y = f(x) (a cada elemento x [ A corresponde um único y [ B)
 § Domínio da função: A é conjunto com os valores possíveis para a variável x. Representado por D.
 § Contradomínio da função: no conjunto B estão os elementos que podem corresponder aos elementos 
do domínio. Representado por CD.
 § Imagem da função: cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor 
de y damos o nome de imagem de x pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são imagens de 
valores de x forma o conjunto imagem da função. Representado por Im.
 § Conjunto imagem da função: representado por Im.
funções injetoRas
 § Definição: uma função f de A em B é injetora, se a todo x1 ≠ x2 do domínio (D) tivermos f(x1) ≠ f(x2) no 
contradomínio (CD).
 § Resumindo: não pode haver duas flechas convergindo para uma mesma imagem (cada x do domínio tem 
seu y no contradomínio).
função sobRejetoRa
 § Definição: Uma função f de A em B é sobrejetora, se o contradomínio (CD) for igual ao conjunto imagem (Im).
 § Resumindo: não podem “sobrar” elementos no contradomínio (CD).
função bijetoRa
 § Definição: Uma função f de A em B é bijetora, se for injetora e sobrejetora simultaneamente.
 § Resumindo:
1. cada x do domínio tem seu y no contradomínio.
2. não “sobra” ninguém no contradomínio (CD = Im).
21
funções do 1º gRau
Chama-se função do 1º grau toda função definida de R em R por f(x) = ax + b, em que a e b [ R e a ≠ 0.
a é denominado de coeficiente angular.
b é denominado de coeficiente linear.
Proporção na função do 1º grau
- -
-
-
tga = 
y2 – y1 _____ x2 – x1
 = 
y3 – y2 _____ x3 – x2
 
Proporção (igualdade de frações)
Observação:
a = tga (coeficiente angular)
b = coeficiente linear
Estudo do sinal da função polinomial do 1º grau
Estudar o sinal de uma função y = f(x) significa analisar para quais valores de x do domínio função a imagem será 
positiva, negativa ou nula.
Faça o estudo de sinal da função f(x) = 10 – 5x.
Construindo o gráfico da função, temos:
22
Do gráfico, temos que:
 § Para todo x > 2, a função possui valores de f(x) negativos.
 § Para todo x < 2, a função possui valores de f(x) positivos.
 § Para x = 2, a função f(x) é nula, sendo x = 2, portanto, uma raiz da função.
funções do 2º gRau
Definição: A função f: R é R dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0,
concavidade
zeRos de uma função quadRática
Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são as raízes da equação do 2° grau 
ax2 + bx + c = 0.
Estudo do discriminante (D)
 § Se D > 0 a equação de segundo grau possui duas raízes reais distintas;
 § Se D < 0 a equação de segundo grau não possui raízes reais;
 § Se D = 0 a equação de segundo grau possui uma raiz real distinta.
Sendo D = b² – 4ac, em que a,b e c são os coeficientes de uma função de segundo grau f(x) = ax² + bx + c.
Se D > 0, a função possui duas raízes distintas x1 e x2, portanto, intercepta o eixo x em dois pontos distintos:
23
Se D < 0, a função não possui raízes reais, portanto, não intercepta o eixo x:
Se D = 0, a função possui apenas uma raíz real distinta x1 = x2, portanto, intercepta o eixo x em apenas um 
ponto, tangenciando o eixo:
véRtice da paRábola
xv = – 
b __ 
2a
 e yv = – 
D __ 
4a
 
Valor mínimo ou valor máximo da função quadrática
 § se a > 0, y = – D __ 
4a
 é o valor mínimo da função.
 § se a < 0, y = – D __ 
4a
 é o valor máximo da função.
Crescimento e decrescimento de uma função quadrática
a > 0 a < 0
f(x) é crescente para { x [ R | x > – b __ 2a } f(x) é crescente para { x [ R | x < – b __ 2a } 
f(x) é decrescente para { x [ R | x < – b __ 2a } f(x) é decrescente para { x [ R | x > – b __ 2a } 
Forma fatorada de uma função quadrática
Uma função de segundo grau f(x) = ax² + bx + c pode ser escrita em função de suas raízes x1 e x2 da seguinte 
forma:
f(x) = ax² + bx + x = a(x – x1)(x – x2)
24
u.t.i. - sala
 1. (Fuvest – Adaptado) Calcule o valor da expressão 1 ___________ 
1 + √2 – √3
 .
 2. Resolva em :
a) 6x – 3 (x – 3) + 2 = 2(3x + 1)
b) 4x + 2(x – 6) = 6 (x – 2)
c) x __ 3 + 
x __ 5 = 
8x + 7 ______ 15 
 3. (Fuvest) Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando 
R$ 96,00, e unidades do produto B, pagando R$ 84,00. Sabendo que o total de unidades compradas 
foi de 26 e que o preço unitário do produto A excede em R$ 2,00 o preço unitário do produto B, 
determine o número de unidades de A compradas.
 4. (FEI) Uma escola de línguas oferece somente dois cursos: Inglês e Francês. Sabe-se que ela conta 
com 500 estudantes e que nenhum deles faz os dois cursos simultaneamente. Destes estudantes, 
60% são mulheres e, destas, 10% cursam Francês. Sabe-se que 30% dos estudantes homens tam-
bém cursam Francês. Qual é o número de estudantes homens que cursam Inglês?
 5. (Udesc) Se f(x) = x – 2 e g(x) = x + 1 são funções reais, então o conjunto solução da inequa-
ção 
f(x) ∙ g(x) – 3g(x) + 6
 _____________________ 
(f ° g)(x)
 ≤ f–1(x) é: 
a) S = { x ∈  | x ≤ 3 __ 5 ou x ≥ 1 } . 
b) S = { x ∈  | x ≤ 3 __ 5 ou x > 1 } . 
c) S = { x ∈  | 3 __ 5 ≤ x < 1 } . 
d) S = { x ∈  | x ≤ 3 __ 5 } . 
e) S = { x ∈  | x > 1 } . 
Obs.: (f ° g)(x) = x – 1
 f-1(x) = x + 2
 6. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = –x² + 30x – 5, onde x é a quantidade 
mensal vendida.
a) Qual o lucro mensal máximo possível?
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?
25
u.t.i. - e.o. 
 1. (Ufrgs) Qual o valor da expressão
 
(–5)2 – 42 + ( 1 __ 5 ) 
0
 _______________ 
3(–2) + 1
 ?
 2. Sejam a, b e c números reais, tais que a = 240, 
b = 320 e c = 710, então coloque-os em ordem 
crescente. (Exemplo: x < y < z).
 3. (ESPM) Qual o valor da expressão 
 √
__
 2 – 1 ______ 
 √
__
 2 + 1 
 – √
__
 2 + 1 ______ 
 √
__
 2 – 1
 ?
 4. (ESPM – Adaptado) Dê a solução real da 
equação x – 2 _____ 3 = 
4x – 3 ______ 7 + 7.
 5. (UERJ) Em uma escola circulam dois jornais: 
Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação 
à leitura desses jornais, por parte dos 840 
alunos da escola, sabe-se que:
– 10% não leem esses jornais;
– 520 leem o jornal O Estudante;
– 440 leem o jornal Correio do Grêmio.
Calcule o número total de alunos do colégio 
que leem os dois jornais. 
 6. (UFMA) As figuras abaixo ilustram os grá-
ficos das funções g1: R → R, g2: R → R, 
g3: R → R, respectivamente:
I.
II.
III.
A partir dos gráficos acima, são feitas as se-
guintes afirmações:
I. g1 é sobrejetora. 
II. g2 é crescente. 
III.g3 é bijetora. 
Então: 
a) II e III são falsas e I é verdadeira. 
b) todas são falsas.
c) I e II são verdadeiras e III é falsa. 
d) todas são verdadeiras. 
e) I e III são verdadeiras e II é falsa.
 7. (Unesp) Duas pequenas fábricas de calçados, 
A e B, têm fabricado respectivamente 3000 e 
1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir 
de janeiro a fábrica A aumentar sucessiva-
mente a produção em 70 pares por mês e a 
fábrica B aumentar sucessivamente a produ-
ção em 290 pares por mês, a produção da 
fábrica B superará a produção de A a partir 
de qual mês?
 8. (FGV) Você usa a internet? Observe os resul-
tados de uma pesquisa sobre esse tema.
A pesquisa de 2009 foi feita em 500 domi-
cílios e com 2000 pessoas com 10 anos ou 
mais de idade. 
a) Quantos domicílios pesquisados tinham 
acesso à internet em 2009? 
b) Em 2009, quantas pessoas disseram que usa-
vam a internet? 
c) Considere que o gráfico das porcentagens de 
domicílios com acesso à internet, nos anos 
2008, 2009 e 2010, seja formado por pontos 
aproximadamente alinhados. Faça uma esti-
mativa da porcentagem de domicílios com 
acesso à internet em 2010.
26
 9. (Unesp) Uma companhia telefônica ofere-
ce aos seus clientes 2 planos diferentes de 
tarifas. No plano básico, a assinatura inclui 
200 minutos mensais de ligações telefôni-
cas. Acima desse tempo, cobra-se uma tarifa 
de R$ 0,10 por minuto. No plano alternati-
vo, a assinatura inclui 400 minutos mensais, 
mas o tempo de cada chamada desse plano é 
acrescido de 4 minutos, a título de taxa de 
conexão. Minutos adicionais no plano alter-
nativo custam R$ 0,04. Os custos de assina-
tura dos dois planos são iguais e não existe 
taxa de conexão no plano básico. Supondo 
que todas as ligações durem 3 minutos, qual 
o número máximo de chamadas para que o 
plano básico tenha um custo menor ou igual 
ao do plano alternativo?
 10. (Unicamp) Duas locadoras de automóveis 
oferecem planos diferentes para a diária de 
um veículo econômico. A locadora Saturno 
cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, além de 
R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora 
Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela 
cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma 
franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode 
percorrer 200 km sem custos adicionais. 
Entretanto, para cada km rodado além dos 
200 km incluídos na franquia, o cliente deve 
pagar R$ 0,60. 
a) Para cada locadora, represente no gráfico 
abaixo a função que descreve o custo diário 
de locação em termos da distância percorri-
da no dia. 
b) Determine para quais intervalos cada loca-
dora tem o plano mais barato. Supondo que 
a locadora Saturno vá manter inalterada a 
sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo 
custo por km rodado para que ela, lucran-
do o máximo possível, tenha o plano mais 
vantajoso para clientes que rodam quaisquer 
distâncias.
 11. (Unicamp) Um restaurante a quilo vende 
100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o 
quilograma. Uma pesquisa de opinião re-
velou que, a cada real de aumento no pre-
ço do quilo, o restaurante deixa de vender 
o equivalente a 5 kg de comida. Responda 
às perguntas abaixo, supondo corretas as in-
formações da pesquisa e definindo a receita 
do restaurante como o valor total pago pelos 
clientes. 
a) Em que caso a receita do restaurante será 
maior: se o preço subir para R$ 18,00/kg ou 
para R$ 20,00/kg? 
b) Formule matematicamente a função f(x), 
que fornece a receita do restaurante como 
função da quantia x, em reais, a ser acres-
cida ao valor atualmente cobrado pelo quilo 
da refeição. 
c) Qual deve ser o preço do quilo da comida 
para que o restaurante tenha a maior receita 
possível?
 12. (PUC-SP) Um veículo foi submetido a um 
teste para a verificação do consumo de com-
bustível. O teste consistia em fazer o veículo 
percorrer, várias vezes, em velocidade cons-
tante,uma distância de 100 km em estrada 
plana, cada vez a uma velocidade diferente. 
Observou-se então que, para velocidades en-
tre 20 km/h e 120 km/h, o consumo de ga-
solina, em litros, era função da velocidade, 
conforme mostra o gráfico seguinte.
Se esse gráfico é parte de uma parábola, 
quantos litros de combustível esse veículo 
deve ter consumido no teste feito à veloci-
dade de 120 km/h?
 13. (UFES) Um restaurante de comida a quilo, 
que normalmente cobra R$ 25,00 pelo quilo 
de comida, está fazendo uma promoção:
“Quem consome x gramas de comida ganha 
um desconto de x ___ 10 por cento.”
Este desconto vale para quem consumir até 
600 gramas de comida. Consumo superior a 
600 gramas dá direito a um desconto fixo 
de 60%.
a) Determine o valor a ser pago por quem con-
some 400 gramas de comida e por quem con-
some 750 gramas.
b) André, que ganhou o desconto máximo de 
60%, consumiu 56 gramas a mais que Taís. 
No entanto, ambos pagaram a mesma quan-
tia. Determine a quantidade de gramas que 
cada um deles consumiu.
c) Trace o gráfico que representa o valor a pa-
gar (em reais) em função do peso de comida 
(em gramas). Marque no gráfico os pontos 
que representam a situação do item anterior.
27
 14. (Unicamp) Três candidatos A, B e C concor-
rem à presidência de um clube. Uma pesqui-
sa apontou que, dos sócios entrevistados, 
150 não pretendem votar. Dentre os entre-
vistados que estão dispostos a participar da 
eleição, 40 sócios votariam apenas no candi-
dato A, 70 votariam apenas em B e 100 vota-
riam apenas no candidato C. Além disso, 190 
disseram que não votariam em A, 110 disse-
ram que não votariam em C e 10 sócios estão 
na dúvida e podem votar tanto em A como 
em C, mas não em B. Finalmente, a pesquisa 
revelou que 10 entrevistados votariam em 
qualquer candidato. Com base nesses dados, 
pergunta-se: 
a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvi-
da entre votar em B ou em C, mas não vota-
riam em A?
b) Dentre os sócios consultados que pretendem 
participar da eleição, quantos não votariam 
em B?
 15. Sejam os intervalos reais A = {x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 6}, 
B = {x ∈ ; –2 < x < 4} e C = {x ∈ ; –1 ≤ x ≤ 6}.
É correto afirmar que:
a) (A ∩ C) – B = A ∩ B.
b) (A ∩ C) – B = C – B.
c) (A ∩ B) ∩ C = B.
d) (A ∩ B) ∩ C = A.
e) A ∪ B ∪ C = A ∩ C.
 16. (FGV-RJ) O idioma da Álgebra é a equação. 
Para resolver um problema que envolva nú-
meros ou relações entre quantidades, é con-
veniente traduzir o problema da sua lingua-
gem para a linguagem da Álgebra. Resolva 
estes dois antigos problemas.
a) Quatro irmãos têm 45 moedas de ouro. Se a 
quantia do primeiro aumenta em duas mo-
edas, a quantia do segundo diminui duas 
moedas, a do terceiro dobra e a do quarto se 
reduz à metade, todos ficam com a mesma 
quantia de dinheiro. Quantas moedas tem 
cada um?
b) Dois amigos decidem, caminhando em linha 
reta, encontrar-se em algum ponto do cami-
nho entre as suas casas. Um dos amigos diz 
ao outro: “Como sou mais velho, caminho a 
cerca de 3 km por hora; você é muito mais 
novo e, provavelmente, deve caminhar a cer-
ca de 4 km por hora. Então, saia de casa 
6 minutos depois que eu sair e nos encon-
traremos bem na metade da distância entre 
nossas casas”. Qual a distância entre as duas 
casas?
 17. (Insper – Adaptado) Em uma escola que fun-
ciona em três períodos, 60% dos professores 
lecionam de manhã, 35% lecionam à tarde 
e 25% lecionam à noite. Nenhum professor 
da escola leciona tanto no período da manhã 
quanto no período da noite, mas todo pro-
fessor leciona em pelo menos um período. 
Considerando-se apenas essas informações, 
responda, em porcentagem, a quantidade:
a) exatamente de professores da escola que le-
cionam somente no período da tarde, em 
relação ao total.
b) máxima de professores da escola que lecio-
nam nos períodos da tarde e da noite, em 
relação ao total.
c) mínima de professores da escola que lecio-
nam somente no período da noite, em re-
lação ao total.
 18. (UFMT) Sejam x e y dois conjuntos com, res-
pectivamente, 5 e 6 elementos. Qual é quan-
tidade de funções injetoras com domínio 
igual ao conjunto x e contradomínio igual ao 
conjunto y?
 19. (Udesc 2016) Considere a função f cujo grá-
fico está representado na figura abaixo.
 
É correto afirmar que: 
a) f:[–1, 4] → [–2, 2] é injetora, mas não é 
sobrejetora. 
b) f:[–1, 4] → [–2, 2] é bijetora. 
c) f:[–1, 1] → [–2, 1] é injetora, mas não é 
sobrejetora. 
d) f:[–1, 1] → [–2, 1] é bijetora. 
e) f:[–1, 1] → [–2, 2] é sobrejetora, mas não é 
injetora. 
 20. (Unifesp) A figura mostra um arco parabóli-
co ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base 
AB de 40 cm. M é o ponto médio de AB.
Qual é a altura do arco em centímetros, em 
um ponto da base que dista 5 cm de M?
Matemática 2
U.T.I. 1
31
Razões tRigonométRicas no 
tRiângulo Retângulo
sen θ = b __ a e cossec θ = 
a __ 
b
 
cos θ = c __ a e sec θ = 
a __ c 
tg θ = b __ c e cotg θ = 
c __ 
b
 
0 < sen θ < 1 e 0 < cos θ < 1
cossec θ > 1 e sec θ > 1
tg θ > 0 e cotg θ > 0
Razões trigonométricas (valores notáveis)
θ (graus) sen θ cos θ tg θ cossec θ sec θ cotg θ 
30º 1 __ 
2
 
dXX 3 ___ 
2
 
dXX 3 ___ 
3
 2 2 
dXX 3 ____ 
3
 dXX 3 
45º 
dXX 2 ___ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 1 dXX 2 dXX 2 1
60º 
dXX 3 ___ 
2
 1 __ 2
 dXX 3 2 
dXX 3 ___ 
3
 2 
 
 √
__
 3 ___ 
3
 
Ciclo trigonométrico
Observe como localizar o ângulo de 30º no círculo trigonométrico:
Repare que o ângulo de 30º determina um ponto P na circunferência, determinando, assim, o triângulo 
retângulo OBP.
32
Cada ângulo diferente determina um ponto P distinto na circunferência, sendo, assim, o seno e o cosseno 
de um ângulo definido por:
sen θ = ordenada de P
cos θ = abscissa de P
tg θ = senθ _____ 
cosθ com cos θ ≠ 0
No sistema cartesiano, se a ordenada de P (coordenada em y) se encontra “acima” da origem, o 
seno do ângulo será positivo, enquanto que se o ordenada de P se encontra “abaixo” da origem, 
o seno do ângulo será negativo. Analogamente, se a abscissa de P (coordenada em x) se encon-
tra à direita da origem, o cosseno do ângulo será positivo, enquanto que se a abscissa de P se encontra 
à esquerda da origem o cosseno do ângulo será negativo.
PRodutos notáveis
No cálculo algébrico, alguns produtos são frequentes, como:
(x + y) (x – y) Produto da soma pela diferença de dois termos
(x + y) (x + y) = (x + y)2 Quadrado da soma de dois termos
(x – y) (x – y) = (x – y)2 Quadrado da diferença de dois termos
Quadrado da soma de dois termos
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x – y)² = x² – 2xy + y²
Produto da soma pela diferença de dois termos
(x + y)(x – y) = x² – y²
Fatoração
a(x + y) = ax + ay
33
PRodutos notáveis
a(x + y) = ax + ay
Agrupamento
1. x2 + ax + bx + ab
Temos:
x2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a)
x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b)
Diferença de dois quadrados
x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Trinômio quadrado perfeito
a2 + 2ab + b2 ou a
2 – 2ab + b2 = (a + b)2 ou (a – b)
2
Trinômio do 2º grau
ax2 + bx + c = a(x – x1) ∙ (x – x2), sendo que x1 e x2 são raízes.
Cubo da soma e cubo da diferença
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
e
a3 – 3a2b + 3 ab2 – b3 = (a – b)3
Soma e diferença de dois cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
e
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Novo fator comum
1º grupo 2º grupo
34
conjuntos numéRicos
Conjunto dos números naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N* = {1, 2, 3, ...} indica-se por asterisco o conjunto dos números naturais não nulos.
Conjunto dos números inteiros (Z)
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos inteiros não nulos:Z* = {x [ Z | x i 0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos inteiros positivos não nulos:
Z+* = N* = {x [ Z | x > 0} = {1, 2, 3, ...}
Conjunto dos inteiros não negativos:
Z+ = N = {x [ Z | x ù 0} = {0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos inteiros negativos não nulos:
Z*– = {x [ Z | x < 0} = {–1, –2, –3, ...}
Conjunto dos inteiros não positivos:
Z– = {x [ Z | x ø 0} = {0, –1, –2, –3, ...}
Divisor de um número inteiro
Dados a, b e c números inteiros, dizemos que a é divisor de b, se existe c de forma que:
ac = b
Exemplo: 5 é divisor de 10, pois 5 · 2 = 10
Números primos
Um número natural p é considerado primo, se:
D(p) = {–1, 1, –p, p}.
Isto é, possui apenas como divisores o número 1, o número –1, ele próprio e o seu oposto.
35
números raCionais
Os números que podem ser expressos na forma a __ 
b
 , onde a e b são inteiros e b i 0, são chamados de números 
racionais e seu conjunto pode ser representado por:
Q = { x = a __ b | a [ Z e b [ Z* }.
dízima periódiCa
Uma fração irredutível corresponderá a uma dízima periódica quando o denominador apresentar, em sua decom-
posição em fatores primos distintos, pelo menos um fator primo diferente de 2 e 5, pois, assim, o denominador não 
será divisor de uma potência de base 10.
 § 7 __ 
3
 = 2,333 = 2, 

 3 (período = 3)
 § 56 ___ 
11
 = 5,090909... = 5, 

 09 (período = 09)
Método para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica:
Seja a dízima 0,3333... ou 0, 

 3 .
Fazendo x = 0,3333..., temos:
Subtraindo x de 10x, temos:
10x – x = 3,33333 ... – 0,33333...
9x = 3, x = 3 __ 
9
 
Então: 0, 

 3 = 3 __ 
9
 [ Q.
propriedades dos números raCionais
No conjunto dos números racionais, valem as seguintes propriedades:
P1. A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional.
P2. A diferença entre dois números racionais quaisquer é um número racional.
P3. O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.
P4. O quociente de dois números racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.
números irraCionais (R – Q)
Números como √
__
 2 = 1,4142135..., cuja representação decimal é infinita e não periódica, são chamados de nú-
meros irracionais.
36
Conjunto dos números reais (R)
É a reunião dos números racionais com os números irracionais.
 
Propriedades dos números reais
P1. Se o número n √
__
 a , com n [ N* e a [ N não é inteiro, então n √
__
 a é irracional.
P2. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
P3. A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é um número irracional.
P4. O produto de um número racional, não nulo, por um número irracional é um número irracional.
P5. O quociente de um número racional, não nulo, por um número irracional é um número irracional.
Razão e PRoPoRção
razão
Razão entre a e b = a __ 
b
 .
proporção
 a __ 
b
 = c __ 
d
 ou a × d = c × b (lê-se: a está para b, assim como c está para d).
 a __ 
b
 = c __ 
d
 = k, em que k é chamada de constante de proporcionalidade.
37
gRandezas PRoPoRcionais
Grandezas diretamente proporCionais
A ∝ B à A __ 
B
 = k,
em que k é a constante de proporcionalidade.
Grandezas inversamente proporCionais
A ∝ 1 ____ 
B
 à A · B = K
Grandezas proporCionais a duas ou mais outras Grandezas
Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C, então A é proporcional ao produto B · C, isto é:
 A ____ 
B · C
 = k
em que k é constante.
Essa propriedade se estende para mais de duas outras grandezas. Por exemplo:
a. A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. Então:
 X _______ 
Y · Z · W
 = constante.
b. A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas A e B e inversamente proporcional à grandeza C. 
Então:
 M · C _____ 
A · B
 = constante.
c. A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas P, Q e R e diretamente proporcional à grandeza S. 
Então:
 X · P · Q · R _________ 
S
 = constante.
38
teoRema fundamental da aRitmética
números primos
Definição
Um número natural é definido como primo se ele possui apenas dois divisores positivos: 1 e ele próprio. 
teorema fundamental da aritmétiCa
Todo inteiro positivo maior que 1 pode ser expresso como um produto de potências de números primos, desconsi-
derando a ordem dos fatores de maneira única.
Divisibilidade
Ao utilizar os números em sua forma fatorada em função de seus fatores primos, podemos verificar se um número 
a é divisível por outro número b.
Número de divisores de um número natural
Sejam dois números a, b inteiros. Dizemos que b é divisor de a se existe k também inteiro, tal que:
b · k = a.
Ou seja, k = a __ 
b
 , onde k deve ser inteiro. 
Critérios de divisibilidade
 § Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando este é par.
 § Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.
 § Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando seus últimos 2 algarismos formam um número 
divisível por 4.
 § Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 quando o último algarismo (das unidades) é 0 ou 5.
 § Divisibilidade por 6: um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
 § Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o 
número formado pelos algarismos restantes for divisível por 7.
 § Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 quando os dois últimos algarismos formarem um número 
múltiplo de 8 e o antepenúltimo for par.
 § Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos formarem um número 
divisível por 9.
 § Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 quando seu último algarismo for 0.
39
m.m.c. e m.d.c.
máximo divisor Comum (m.d.C.)
Dados dois números inteiros positivos A = d · k e B = d · q, em que k e q são números inteiros, dizemos que o 
inteiro d é um divisor (fator) comum de A e B.
Exemplos:
1. 
12 = 6 · 2
18 = 6 · 3
 ⇒ 6 é divisor comum de 12 e 18
2. 
42 = 7 · 6
70 = 7 · 10
 ⇒ 7 é divisor comum de 42 e 70
mínimo múltiplo Comum (mmC)
Dados dois inteiros a e b, não nulos, seu mínimo múltiplo comum, que se indica por M.M.C. (a, b), é o menor ele-
mento positivo do conjunto M(a) > M(b).
Exemplo:
Para os inteiros 10 e 12, temos:
M(10) = {..., –30, –20, –10, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...}
M(12) = {..., –24, –12, 0, 12, 24, 36, 48, 60, ...}
M(10) > M(12) = {..., –60, 0, 60, ...} é conjunto dos múltiplos comuns de 10 e 12. O menor elemento 
positivo de M(10) > M(12) é 60.
Então: mmc (10, 12) = 60
téCniCas para o CálCulo do mdC e do mmC
Uma outra maneira de se obter o M.D.C. e o M.M.C. é fatorando, simultaneamente, esses números. Nesse caso, o 
mdc é o produto apenas dos fatores comuns, enquanto o mmc é o produto de todos os fatores obtidos. Veja:
4200 720 600 2
2100 360 300 2
1050 180 150 2
525 90 75 2
525 45 75 3 mdc = 23 · 3 · 5 = 120
175 15 25 3
175 5 25 5
35 1 5 5
7 1 1 7
1 1 1 24 · 32 · 52 · 7 = 25.200 = mmc
40
MMC e MDC de expressões algébricas
MMC
Escolhemos os fatores comuns e não comuns de maior expoente:
x²y³ (z + 1) e x(z + 1)³
x²y³ (z + 1)³
Portanto, o M.M.C. entre x²y³(z + 1) e x (z + 1)³ é x²y³ (z + 1)³
MDC
Tomamos os fatores comuns e de menor expoente:
x²y³ (z + 1) e x(z + 1)³
x(z + 1)
Portanto, o M.D.C. entre x²y³(z – 1) e x (z + 1)³ é x(z + 1).
PoRcentagem
A porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação 
equivalente a ela.
Método 1: utilizando a forma fracionáriada taxa:
45% = 45 ___ 
100
 = 9 ___ 
20
 
 9 ___ 
20
 · 60 = x ⇒ x = 27
Método 2: utilizando a forma decimal da taxa:
45% = 0,45
0,45 · 60 = x ä x = 27
Método 3: utilizando a proporção na qual 60 corresponde a 100% (inteiro) e a parte x corresponde a 45%:
 60 ___ 
100
 = x ___ 
45
 ä 100x = 2700 ä x = 27
Portanto, 45% de 60 é 27.
41
fator de atualização
Exemplo de fator i > 1
Sejam A e B dois números tais que:
 A __ 
B
 = 1,05.
Há duas interpretações:
1. A é 5% maior que B; ou
2. A é 105% de B (portanto, 5% maior).
Exemplo de fator i < 1
Sejam A e B dois números tais que:
 A __ 
B
 = 0,90.
1. A é 10% menor que B ou
2. A é 90% de B (portanto, 10% menor)
aumentos e desContos
f = valor novo _________ 
valor antigo
 
f > 1 é aumento, ganho, acréscimo
f < 1 é desconto, queda, perda, decréscimo
f = 1 é não houve variação
Aumentos e descontos sucessivos
Para compor vários aumentos e/ou descontos, basta multiplicar os vários fatores individuais e, assim, obter o fato 
“acumulado”, que nada mais é que o fator de atualização entre o primeiro e o último valor considerado, indepen-
dentemente dos valores intermediários.
facumulado = f1 · f2 · f3 · f4 ...
O fator acumulado é também um fator de atualização e deve ser interpretado como tal.
PoRcentagem
Uma razão percentual pode ser representada também na forma decimal ou como taxa:
 1 ___ 
100
 = 0,01 = 1%
 10 ___ 
100
 = 0,1 = 10%
 25 ___ 
100
 = 0,25 = 25%
42
Vimos, também, que um aumento percentual pode ser calculado facilmente através do fator de atualiza-
ção f, na qual:
f = (1 ± i)
Um valor A é atualizado para outro valor B da seguinte forma:
B = f · A
 § Para aumentar o valor A e obter B, temos:
B = (1 + i ) · A
 § Para diminuir o valor A e obter B, temos:
B = (1 – i ) · A
juros
Os juros em um período de tempo são calculados da seguinte forma:
J = C · i · t
No caso de um empréstimo, o valor total a ser pago, chamado montante M, é calculado pela soma do capital 
com os juros:
M = C + J
Observe que:
J = C · i · t
M = C + J ⇒ M = C + C · i ⇒ M = C(1 + i)
Juros simples
Um capital aplicado a um regime de juros simples possui seus juros calculados sempre em relação à quantia 
inicial, os juros gerados em cada período são sempre iguais.
M = C + C · i · t = C(1 + i · t)
Juros compostos
O regime de capitalização mais utilizado atualmente é o de juros compostos. Nele, os juros são aplicados sempre 
ao montante do período imediatamente anterior.
Se um capital C é aplicado a juros compostos à taxa de juros i por t períodos de tempo, o montante M final 
será de:
M = C(1 + i)t
A principal característica do regime em juros compostos é seu crescimento exponencial.
43
u.t.i. - sala 
 1. Na figura abaixo, determine a medida de AB.
 2. Sendo x um número real, tal que x + 1 __ x = 3, obtenha os valores numéricos de:
a) x2 + 1 __ 
x2
 .
b) x4 + 1 __ 
x4
 .
 3. (Unesp) Uma gráfica possui 5 máquinas iguais que produziram juntas uma encomenda de 1.200 
cartelas de adesivos em 4 horas. Essa gráfica recebeu uma encomenda de 1.300 cartelas desse 
adesivo, porém, 3 dessas máquinas não poderão ser utilizadas por estarem em manutenção. Por-
tanto, o tempo necessário para produzir essa nova encomenda será maior do que as anteriores em 
quantas horas, minutos e segundos?
 4. (Fuvest) A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem 
de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12800. Calcule:
a) o número de fumantes da cidade;
b) o número de habitantes da cidade.
 5. (UERJ) Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispõe da quantia X, em reais. O 
preço do produto A corresponde a 2 __ 3 de X, e o do produto B corresponde à fração restante.
No momento de efetuar o pagamento, uma promoção reduziu em 10% o preço de A.
Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 na compra dos produtos A e B, calcule o 
valor, em reais, que o cliente deixou de gastar. 
 6. (Ufes) Uma associação de moradores arrecadou 2160 camisas, 1800 calças e 1200 pares de sapatos, 
que serão todos doados. As doações serão dispostas em pacotes. Dentro de cada pacote, um item 
poderá ter quantidade diferente da dos demais itens (por exemplo, a quantidade de camisas não 
precisará ser igual à de calças ou à de pares de sapatos); porém, a quantidade de camisas, em todos 
os pacotes, deverá ser a mesma, assim como a quantidade de calças e a de pares de sapatos. 
a) Determine o maior número possível de pacotes que podem ser preparados e qual a quantidade de ca-
misas, de calças e de pares de sapatos que, nesse caso, haverá em cada pacote. Justifique. 
b) Pedro recebeu um pacote de doações com ℓ camisas diferentes, m calças diferentes e n pares de sapa-
tos diferentes. Calcule a quantidade de escolhas, que ele pode fazer, de um conjunto contendo apenas 
1 camisa, 1 calça e 1 par de sapatos do pacote. 
44
u.t.i. - e.o.
 1. (CP2) Viajar de avião pode ser nada confortável! Uma das razões é o pouco espaço existente entre 
as poltronas, o chamado seat pitch.
A Anac (Agência Nacional de Aviação Civil) classifica as poltronas das aeronaves de acordo com a 
distância entre seus assentos. No entanto, para fazer essa classificação, a inclinação das poltronas 
não é considerada.
Suponha uma aeronave, cuja distância entre as poltronas (seat pitch) seja 73,6 cm e que a medida 
do comprimento do encosto do assento seja 70 cm. Quando a poltrona da frente se inclina 30° em 
relação ao seu eixo vertical, o espaço entre os assentos diminui, conforme a figura a seguir.
Essa disposição está representada abaixo:
a) Determine a medida AB na figura acima, entre o topo da poltrona inclinada e a poltrona de trás. Utilize: 
sen 30º = 1 __ 2 , cos 30º = 
 √
__
 3 ___ 2 , tg 30º = 
 √
__
 3 ___ 3 
b) Determine a altura BC. 
 2. (CFT-RJ) Três triângulos equiláteros de lado 1 cm estão enfileirados, como indicado na figura abai-
xo. Nessas condições, determine o seno do ângulo θ.
 3. Desenvolva:
a) a(a – 1)
b) (a2 – b3)(ab – b)
c) (a2 – b)(a2 + b)
d) (a2 + 1)2
45
e) (a2 – 1)2
f) (x + 1 __ x )
2
g) (1 – 1 __ x )
2
h) ( x2 – 1 __ x2 ) 2
 4. (UTF-PR) Simplificando a expressão
 
(x + y)2 – 4xy
 _____________ 
x2 – y2
 com x ≠ y, obtém-se:
 5. (Cefet) Se x + 1 __ x = 3 e 8x
6 + 4x3 y2 ≠ 0, então 
o valor numérico da expressão
 
4x9 + 2x6 y2 + 4x3 + 2y2
 _____________________ 
8x6 + 4x3 y2
 é:
 6. Desenvolva as seguintes expressões:
a) (x + y)3
b) (x – y)3
c) (x + 1)3
d) (x – 1)3
e) (x + 1 __ x )
3
f) (x – 1 __ x )
3
 7. (UFF-RJ) Calcule o valor numérico de 1 __ M , sendo
M = –2 + √
__________
 a
2
 __ 
b2
 + b
2
 __ 
a2
 + 2 , a = 0,998 e b = 1.
 8. (UFSC) Você sabe por que as folhas que uti-
lizamos para impressão são chamadas A4? 
Esta denominação está formalizada na nor-
ma ISO 216 da International Organization 
for Standartization. Pela norma, a série de 
formatos básicos de papel começa no A0, o 
maior, e decresce até o A10. Os formatos são 
construídos de maneira a obter o formato 
de número superior dobrando ao meio uma 
folha, na sua maior dimensão. Por exemplo, 
dobrando-se o A3 ao meio, obtém-se o A4. 
Em todos os formatos, a proporção entre as 
medidas dos lados se mantém. Sabe-se que o 
formato inicial A0 tem 1 m2 de área.
Com estas informações, responda às pergun-
tas a seguir, apresentando os cálculos.
a) Qual é a razão entre a medida do lado maior e 
a medida do lado menor, em qualquer formato 
de folha? Expresse o resultado usando radicais.
b) Quais são as dimensões do formato A0? 
Efetueas operações e expresse o resultado 
usando radicais.
c) A gramatura do papel exprime o peso, em 
gramas, de uma folha com 1 m2. Sabendo que 
a gramatura do A0 é 75 gramas por metro 
quadrado, qual é o peso exato, em gramas, 
de uma resma (500 folhas) de papel A4? 
 9. (Fuvest) Numa certa população, 18% das 
pessoas são obesas, 30% dos homens são 
obesos e 10% das mulheres são obesas. Qual 
a porcentagem de homens na população?
 10. (ESPM – Adaptado) Um artigo de revista es-
pecializada informa que um fabricante de sa-
patos, situado na cidade de Franca, produziu, 
em 2000, 15% a mais de pares de sapatos que 
no ano de 1999, quando ele exportou 20% de 
sua produção. Já em 2000, exportou 25% dela. 
Em 2000, essa fábrica exportou 7000 pares de 
sapatos produzidos a mais que no ano ante-
rior. Qual foi o número de pares de sapatos 
produzidos por essa fábrica no ano de 1999?
 11. Com 50 trabalhadores, com a mesma produ-
tividade, trabalhando 8 horas por dia, uma 
obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 tra-
balhadores, trabalhando 10 horas por dia, 
com uma produtividade 20% menor que os 
primeiros, em quantos dias a mesma obra fi-
caria pronta?
 12. (FGV) Carolina planeja passar suas férias no 
Japão. Suas opções para adquirir ienes japo-
neses (JPY) em espécie a partir de suas eco-
nomias, em reais (R$) são:
I. Comprar dólares americanos (USD) em 
espécie antes de viajar e, ao chegar ao 
Japão, trocar esses dólares por ienes.
II. Levar seus reais em espécie e trocá-los 
por ienes ao chegar ao seu destino.
No Brasil, as condições de câmbio de reais 
por dólares são as seguintes:
 § Tarifa fixa de R$ 50,00 por operação; taxa 
de câmbio de R$ 2,50 : 1,00 USD.
No Japão, as condições de câmbio são:
 § R$ 1,00 : 38,00 JPY, sem taxa por operação.
 § USD 1,00 : 100,00 JPY, sem taxa por ope-
ração.
a) Carolina planeja usar R$ 5.000,00 para ad-
quirir ienes. Qual das duas alternativas (I ou 
II) é mais vantajosa? Justifique.
b) Para qual valor, em reais, a ser trocado por 
ienes, as alternativas I e II são equivalentes?
c) Suponha que Carolina gaste todo o seu dinhei-
ro em espécie antes do final da viagem e pre-
cise pagar uma conta de JPY 1.000,00 usando 
seu cartão de crédito. Considere que transações 
com cartão de crédito no exterior são taxadas 
com 7% de IOF e que a operadora do cartão 
utiliza a taxa de conversão de JPY 40,00 por 
real. Nessas condições, qual terá sido a taxa de 
câmbio efetiva paga por Carolina nessa transa-
ção, expressa em ienes por real?
Quando necessário, aproxime as respostas 
para duas casas decimais.
 13. (UFSJ) Assinale a alternativa que indi-
ca quantos são os números inteiros de 1 a 
21.000, que NÃO são divisíveis por 2, por 3 e 
nem por 5.
a) 6.300
b) 5.600
c) 7.000
d) 700
46
 14. (Epcar) Uma fábrica vende por mês 30 camisas ao preço de 25 reais cada. O custo total de cada 
camisa para a fábrica é de R$ 10,00.
O gerente da fábrica observou que, a cada redução de R$ 0,50 no preço unitário de cada camisa, 
são vendidas 5 camisas a mais.
Considerando essas observações, se a fábrica vender 150 camisas, o lucro obtido na venda de cada 
camisa é de y%.
O número de divisores de y é: 
a) 6.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
 15. (Unesp) O gráfico representa a distribuição percentual do Produto Interno Bruto (PIB) do Brasil 
por faixas de renda da população, também em percentagem.
Baseado no gráfico, pode-se concluir que os 20% mais pobres da população brasileira detêm 3,5% 
(1% + 2,5%) da renda nacional. Supondo a população brasileira igual a 200 milhões de habitantes 
e o PIB brasileiro igual a 2,4 trilhões de reais (Fonte: IBGE), a renda per capita dos 20% mais ricos 
da população brasileira, em reais, é de: 
 16. (Epcar) A quantidade de suco existente na cantina de uma escola é suficiente para atender o con-
sumo de 30 crianças durante 30 dias.
Sabe-se que cada criança consome, por dia, a mesma quantidade de suco que qualquer outra crian-
ça desta escola. Passados 18 dias, 6 crianças tiveram que se ausentar desta escola por motivo de 
saúde.
É correto afirmar que, se não houver mais ausências nem retornos, a quantidade de suco restante 
atenderá o grupo remanescente por um período de tempo que somado aos 18 dias já passados, 
ultrapassa os 30 dias inicialmente previstos em:
a) 10%.
b) 20%.
c) 5%.
d) 15%.
 17. (FGV) Como resultado de um processo ganho na justiça, Hélio deveria ter recebido, no início de 
2006, a quantia de R$ 4.000,00 da empresa Alfa. No mesmo período (início de 2006), Hélio devia 
R$ 1.000,00 em sua fatura de cartão de crédito. Nenhuma dessas quantias foi quitada à época. 
Para atualizar (corrigir) valores monetários ao longo do tempo, pode-se utilizar o regime de capi-
talização de juros compostos. É válida a seguinte relação matemática: 
M = C · (1 + i)n, em que M é o montante; C é o capital; i é a taxa de juros; e n é o número de perí-
odos de capitalização. Por exemplo, aplicando-se o capital de R$ 1.000,00 à taxa de 5,00% ao mês, 
por um mês, obtém-se o montante de R$ 1.050,00 
A tabela abaixo contém valores para o termo (1 + i)n, para i e n selecionados.
n (meses)
i (% meses) 1 12 108 120 132
1,00 1,0100 1,1268 2,9289 3,3004 3,7190
2,00 1,0200 1,2682 8,4883 10,7652 13,6528
3,00 1,0300 1,4258 24,3456 34,7110 49,4886
4,00 1,0400 1,6010 69,1195 110,6626 177,1743
5,00 1,0500 1,7959 194,2872 348,9120 626,5958
47
Utilize as informações do enunciado para 
responder às seguintes questões:
a) Suponha que a taxa de juro utilizada para 
atualizar o valor que Hélio tem a receber da 
empresa Alfa seja igual a 1,00% ao mês. Qual 
será o valor que a empresa Alfa deverá pagar 
a Hélio no início de 2016, ou seja, após exa-
tos 10 anos?
b) Suponha que a taxa de juro utilizada para 
atualizar a dívida da fatura de cartão de cré-
dito seja igual a 4,00% ao mês. No início de 
2016, ou seja, após exatos 10 anos, qual é o 
valor atualizado dessa dívida de Hélio?
c) Suponha que Hélio receba da empresa Alfa, 
no início de 2016, o valor devido. Quanto, 
no máximo, poderia ter sido a dívida de Hé-
lio em sua fatura de cartão de crédito, em 
valores do início de 2006, de forma que ele 
pudesse quitá-la, no início de 2016, com o 
valor recebido da empresa Alfa?
Nota: taxa de juro utilizada para atualizar: 
 § o valor recebido por Hélio da empresa 
Alfa: 1,00% ao mês. 
 § a dívida da fatura de cartão de crédito: 
4,00% ao mês. 
 18. (IFAL) Marque a alternativa INCORRETA. 
a) Todo número NATURAL é também INTEIRO. 
b) Todo número NATURAL é também RACIONAL. 
c) Todo número NATURAL é também IRRACIO-
NAL. 
d) Todo número NATURAL é também REAL. 
e) Todo número IRRACIONAL é também REAL. 
 19. (UEL) Os povos indígenas têm uma forte 
relação com a natureza. Uma certa tribo in-
dígena celebra o Ritual do Sol de 20 em 20 
dias, o Ritual da Chuva de 66 em 66 dias e o 
Ritual da Terra de 30 em 30 dias.
A partir dessas informações, responda aos 
itens a seguir.
a) Considerando que, coincidentemente, os três 
rituais ocorram hoje, determine a quantida-
de mínima de dias para que os três rituais 
sejam celebrados juntos novamente.
 Justifique sua resposta apresentando os cál-
culos realizados na resolução deste item.
b) Hoje é segunda-feira. Sabendo que, daqui 
a 3.960 dias, os três rituais acontecerão no 
mesmo dia, determine em que dia da sema-
na ocorrerá esta coincidência.
 Justifique sua resposta apresentando os cál-
culos realizados na resolução deste item. 
 20. (UFPR) A velocidade de impressão de uma 
impressora é calculada em páginas por mi-
nuto. Suponha que determinada impressora 
tem velocidade de impressão de 15 ppm em 
preto e branco e de 8 ppm em cores. 
a) Quanto tempo essa impressora gasta para 
imprimir 230 páginas em preto e branco? Dê 
sua resposta no formato  min  seg. 
b) Trabalhando ininterruptamentedurante 30 
minutos, essa impressora imprimiu 366 pá-
ginas entre preto e branco e colorida. Quan-
tas dessas páginas eram coloridas? 
Matemática 3
U.T.I. 1
51
Introdução à geometrIa plana
Ângulos opostos pelo vértice (OPV)
Bissetriz
Dado um ângulo A 
 ^ 
 O B, dizemos que a semirreta 
 _____
 
›
 OP é bissetriz de A 
 ^ 
 O B se, e somente se, A 
 ^ 
 O P > P 
 ^ 
 O B. Ou seja, uma 
bissetriz divide um ângulo em dois ângulos congruentes.
Ângulos suplementares adjacentes
52
Ângulo reto
Ângulos determinados por duas retas e uma transversal
Alternos externos: Alternos internos:
Colaterais internos:
53
Retas paRalelas coRtadas poR uma tRansveRsal
Observação: a e b são congruentes.
Consequências
Ângulos num trIÂngulo e 
Ângulos numa cIrcunferêncIa 
Ângulos num tRiÂngulo
Soma dos ângulos internos
Considere um triângulo DABC e uma reta r paralela ao lado 

 BC , contendo o vértice A:
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°.
54
Teorema do ângulo externo
u = a + b
Em um triângulo ABC qualquer, o ângulo externo relativo a um determinado vértice equivale à 
soma dos outros dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Teorema da soma dos ângulos externos
ae + be+ ge = 360°
Ângulos numa ciRcunfeRência
Circunferência
É o conjunto dos pontos do plano situado à mesma distância de um ponto fixo. O ponto fixo é chamado centro.
Tangentes (um único ponto comum) Secantes (dois pontos comuns) Externas (nenhum ponto comum)
55
Propriedade da reta tangente à circunferência
Caso a reta seja tangente à circunferência, o segmento determinado pelo raio e a reta tangente formam, no ponto 
de tangência, um ângulo reto.
Propriedade da reta secante à circunferência
Considere uma circunferência de centro C e uma reta r secante à circunferência, que forma os pontos A e B.
Sendo M o ponto médio de 

 AB , temos que o segmento 

 CM será perpendicular à reta secante r.
Ângulos na circunferência
Ângulo central
É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela.
56
Ângulo inscrito
É aquele cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência.
Propriedade
Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma mesma circunferência têm o mesmo arco correspondente, então 
a medida do ângulo central equivale ao dobro da medida do ângulo inscrito.
Ângulo de segmento
É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, em um lado secante à circunferência e outro tan-
gente a ela.
Na figura, como a reta t é tangente à circunferência e o segmento AB é secante, a é um ângulo de segmento.
Propriedade
A medida do ângulo de segmento é metade de medida angular do arco determinado na circunferência por um de 
seus lados.
57
razão proporcIonal, teorema de tales e 
teorema da bIssetrIz Interna
Razão pRopoRcional
Quatro segmentos 

 AB , 

 CD , 

 EF e 

 GH , nessa ordem, são segmentos proporcionais, se 
existe a proporção AB ___ 
CD
 = EF ___ 
GH
 .
teoRema de tales
Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, os segmentos deter-
minados sobre a primeira transversal são proporcionais a seus correspondentes determi-
nados sobre a segunda transversal.
Por Tales, AB ___ 
BC
 = PQ ___ 
QR
 e AC ___ 
AB
 = PR ___ 
PQ
 .
teoRema da bissetRiz inteRna
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto a esse ân-
gulo em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes a esses segmentos.
58
pontos notáveIs de um trIÂngulo
mediana, bissetRiz, altuRa e mediatRiz
Mediana
É o segmento que contém um dos vértices e o ponto médio do lado oposto.
Na figura, o segmento 
——
 AM é a mediana relativa ao lado 

 BC , pois BM = CM.
Em função da mediana
Em função da distância GM 
(distância do baricentro ao lado)
Bissetriz
Segmento com uma extremidade em um vértice e que divide o ângulo interno formado por ele em dois ân-
gulos congruentes.
59
Todo triângulo possui três bissetrizes que se encontram em um ponto denominado incentro, simbolizado na 
figura pela letra I.
O centro da circunferência inscrita ao triângulo 
ABC coincide com seu incentro.
Altura
Segmento cuja extremidade é um vértice do triângulo e que é perpendicular ao seu lado oposto (ou do prolonga-
mento dele).
Todo triângulo possui três alturas que se encontram em um ponto denominado ortocentro, simbolizado 
na figura pela letra H.
60
Mediatriz
Qualquer segmento de reta que é a reta perpendicular a um lado do triângulo, passando em seu ponto médio.
Todo triângulo possui três mediatrizes que se encontram em um ponto denominado circuncentro, simbo-
lizado na figura pela letra C.
O circuncentro de um triângulo é o centro da circunferência circunscrita a ele.
O centro da circunferência circunscri-
ta ao triângulo ABC coincide com seu 
circuncentro.
61
semelhança de trIÂngulos
Casos de semelhança
1º caso: Ângulo – Ângulo (AA)
Conhecemos dois ângulos dos triângulos em que:
C 
 ^ 
 A B ≅ C' 
 ^ 
 A 'B' e A 
 ^ 
 B C ≅ A' 
 ^ 
 B 'C'
DABC ~ DA'B'C'
Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
2º caso: Lado – Ângulo – Lado (LAL)
Conhecemos dois lados dos triângulos e o ângulo formado por eles, em que: AB ____ 
A'B'
 = CA ____ 
C'A'
 e C 
 ^ 
 A B ≅ C' 
 ^ 
 A 'B'.
DABC ~ DA'B'C'
3º caso: Lado – Lado – Lado (LLL)
Conhecemos os três lados dos triângulos em que:
 AB ____ 
A'B'
 = CA ____ 
C'A'
 = BC ____ 
B'C'
 .
DABC ~ DA’B’C’
Se dois triângulos têm os três pares de lados correspondentes proporcionais, então esses triângulos são 
semelhantes.
62
relação métrIcas no trIÂngulo retÂngulo
teoRema de pitágoRas
c
b
a
a² + b² = c²
Segunda relação métrica
b · c = a · h
Terceira relação métrica
c2 = a ∙ m
b2 = a ∙ n
Quarta relação métrica
h2 = m ⋅ n
63
trIgonometrIa num trIÂngulo qualquer
lei dos cossenos
a2 = b2 + c2 – 2bc cosa
lei dos senos
 a ____ 
sen 
 ^ 
 A 
 = b ____ 
sen 
 ^ 
 B 
 = c ____ 
sen 
 ^ 
 C 
 = 2R
Área de um D ABC qualquer (fórmula trigonométrica)
área (DABC) = c ⋅ bsen 
 ^ 
 A _______ 
2
 = a ⋅ bsen 
 ^ 
 C ________ 
2
 = a ⋅ csen 
 ^ 
 B _______ 
2
 
áreas de trIÂngulos
áRea de um tRiÂngulo em função da base e da altuRa
área (∆ABC) = S = 
a ⋅ ha ____ 
2
 = 
b ⋅ hb ____ 
2
 = 
c ⋅ hc ____ 
2
 
Área de um triângulo equilátero
área (DABC) = S = a² ⋅ 
dXX 3 ______ 
4
 
Área de um triângulo em função dos três lados
área (∆ABC) = S = dXXXXXXXXXXXXXXXXXX p(p – a) (p – b) (p – c) (fórmula de Heron)
Área de um triângulo em função de dois lados e 
o ângulo formado entre eles
área (∆ABC) = S = b ⋅ c ⋅ sena _________ 
2
 = b ⋅ c ⋅ sen 
 ^ 
 A _________ 
2
 
64
Área de um triângulo em função dos lados e 
do circunraio(raio da circunferência circunscrita)
 § O: centro do círculo
 § P: ponto da circunferência
 § OP = R (circunraio)
 § a, b, c: medidas dos lados do DABC
área (DABC) = S = a ⋅ b ⋅ c ______ 
4R
 
Área de um triângulo em função dos lados e do inraio
 § O: centro do círculo
 § P: ponto da circunferência
 § OP = r (inraio)
 § a, b, c: medidas dos lados do DABC
 § p: semiperímetro
área (∆ABC) = S = p ⋅ r.
65
u.t.I. - sala
 1. (FGV) Na figura, os pontos A e B estão no mesmo planoque contém as retas paralelas r e s. Res-
ponda qual é o valor de a.
 2. (Fuvest)
a) Na figura 1, calcular x. 
b) Na figura 2, calcular y.
 3. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, AD = BD, C = 60° e DÂC é o dobro de 
 ^ 
 B .
Qual é a a razão AC/BC ?
 4. (Unirio) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma 
de disco, que estaciona a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a 
aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura a 
seguir. Sendo assim, quanto mede o diâmetro do disco-voador em metros?
66
 5. (UFPR) Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a 
uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema a seguir. Observe que o ponto 
mais alto dessa polia está 1,5 m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 
1,4 m, na direção indicada abaixo, qual será a distância x que o bloco deslizará?
 6. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.
Qual é a medida do ângulo θ?
67
u.t.I. - e.o. 
 1. Determine x, y, z nas figuras a seguir:
a)
b)
c)
 2. (UFMG) Observe a figura:
Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, 
QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 
18° e 38°, respectivamente. Qual é a medida 
do ângulo PQS, em graus?
 3. (UEL) Na figura a seguir, tem-se os ângulos 
XYW, XZW e XTW, inscritos em uma circunfe-
rência de centro O.
Se a medida do ângulo XOW = 80°, então 
qual é a soma da medida do ângulo XYW com 
a medida do ângulo XTW?
 4. (UFMG) Na figura, os segmentos BC e DE são 
paralelos, AB = 15 m, AD = 5 m e AE = 6 m. 
Qual é a medida do segmento CE?
 5. (Fuvest) No triângulo acutângulo ABC, a 
base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa 
base também mede 4 cm. MNPQ é um retân-
gulo cujos vértices M e N pertencem ao lado 
AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. 
Quanto mede o perímetro desse retângulo, 
em cm?
C 
 Q P 
A M N B
 6. (ESPM) Um mastro vertical é mantido nes-
sa posição por 3 cabos esticados que partem 
da extremidade P e são fixados no chão nos 
pontos A, B e C, conforme a figura abaixo. 
Sendo x, y e z as distâncias respectivas des-
ses pontos ao pé do mastro, determine o va-
lor de z em função de x e y.
68
 7. Na figura a seguir, as retas r e s são parale-
las. Qual a medida do ângulo b?
t
r
s
2x
4x
120º
b
 8. Considerando as medidas indicadas na figu-
ra e sabendo que o círculo está inscrito no 
triângulo, determine x.
 9. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto 
A de uma planície, às margens de um rio e 
vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de 
uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de 
determinar a altura h do mastro, ela anda, 
em linha reta, 50 m para a direita do pon-
to em que se encontrava e marca o ponto C. 
Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângu-
los BÂC e B 
 ^ 
 C D valem 30°, e o A 
 ^ 
 C B vale 105°, 
como mostra a figura:
Dê a medida da altura h do mastro.
 10. (Mackenzie) Na figura, ABCDEF é um hexá-
gono regular de lado 1 cm. Qual é a área do 
triângulo BCE, em centímetros quadrados?
 11. (PUC-MG) Na figura, o triângulo ABC é equi-
látero e está circunscrito ao círculo de centro 
O e raio 2 cm. AD é altura do triângulo. Sen-
do E ponto de tangência, qual é a medida de 
AE, em centímetros?
 12. (Unifesp) Tem-se um triângulo equilátero 
em que cada lado mede 6 cm. Qual é a medi-
da do raio do círculo circunscrito a esse tri-
ângulo, em centímetros?
 13. (Unifesp) Na figura, o ângulo C é reto, D é 
ponto médio de AB, DE é perpendicular a AB, 
AB = 20 cm e AC = 12 cm. Quanto mede a 
área do quadrilátero ADEC, em centímetros 
quadrados?
 14. No terreno ABC da figura, uma pessoa pre-
tende construir uma residência, preservando a 
área verde da região assinalada. Se BC = 80 m, 
AC = 120 m e MN = 40 m, qual é a área livre 
para a construção, em metros quadrados?
69
 15. (FGV) Na figura abaixo, o triângulo AHC é re-
tângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz 
do ângulo CÂH. Se c = 30° e b = 110°, então 
qual é o valor de x?
 16. No triângulo abaixo, temos AB = BC e CD = AC. 
Se x e y são as medidas em graus dos ângulos 
 
^ 
 A e 
 ^ 
 B , respectivamente, então qual é o valor 
de x + y ?
 17. Considerando que os segmentos AD e AE são, 
respectivamente, bissetrizes interna e exter-
na do ângulo  do triângulo ABC abaixo, cal-
cule a medida BD, se DC = 10 cm e CE = 18 cm.
 18. (FGV – Adaptado) Na figura, AN e BM são 
medianas do triângulo ABC, e ABM é um tri-
ângulo equilátero, cuja medida do lado é 1. 
Qual é a medida do segmento GN?
 19. (FEI – Adaptado) Considere o triângulo re-
tângulo ABC dado a seguir. Sabe-se que a 
medida do segmento AB é igual a 3 cm, a do 
AC é igual a 4 cm, a do BC é igual a 5 cm e a 
do BM é igual a 3 cm.
Neste caso, qual é a medida do segmento 
AM?
 20. (Fuvest) Uma bola de bilhar, inicialmente 
em repouso em um ponto P situado na borda 
de uma mesa de bilhar com formato circu-
lar, recebe uma tacada e se desloca em um 
movimento retilíneo. A bola atinge a borda 
no ponto R e é refletida elasticamente, sem 
deslizar. Chame de Q o ponto da borda dia-
metralmente oposto a P e de θ a medida do 
ângulo Q 
 ^ 
 P R.
a) Para qual valor de θ, após a primeira refle-
xão, a trajetória da bola será paralela ao di-
âmetro PQ?
b) Para qual valor de θ, após a primeira refle-
xão, a trajetória da bola será perpendicular 
a PQ? 
c) Supondo agora que 30° < θ < 60°, encontre 
uma expressão, em função de θ, para a me-
dida a do ângulo agudo formado pela reta 
que contém P e Q e pela reta que contém a 
trajetória da bola após a primeira reflexão 
na borda.