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Gabarito das Autoatividades
TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS
(MAD)
2012/1
Módulo III
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Escreva o que representam as letras a, b, c, h, s e t no triângulo retângulo 
abaixo. 
R.: - a e b são medidas dos catetos;
- c é a medida da hipotenusa; 
- h é a medida da altura relativa à hipotenusa;
- s é a medida da projeção ortogonal do cateto sobre a hipotenusa;
- t é a medida da projeção ortogonal do cateto .
2 Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles (possui 
dois lados de mesma medida), com catetos de 1 cm.
R.:
R.: A hipotenusa mede cm.
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3 A área de um terreno quadrangular é igual a 128 m². Quanto mede a diagonal 
desse terreno? (Lembre que a área de uma região quadrangular é dada por: 
R.:
R.: A diagonal desse terreno quadrangular mede 16 m.
4 As raízes da equação x² - 10x + 24 = 0 expressam, em cm, as medidas 
dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa 
desse triângulo. 
R.: 
Utilizando a fórmula de Bháskara, obtemos:
Teorema de Pitágoras:
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R.: A hipotenusa desse triângulo retângulo mede, aproximadamente, 
5 Um triângulo STU, retângulo em Ŝ, tem catetos com medidas iguais a 5 
cm e 12 cm. Calcule: 
a) a medida da hipotenusa;
R.:
b) a medida da altura relativa à hipotenusa;
R.:
c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
R.: 
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6 Determine num triângulo retângulo ABC, de catetos com medidas iguais a 
3 e 4, a medida da hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa.
R.:
R.: A hipotenusa mede 5 unidades de medida e a altura relativa à hipotenusa 
mede u. m. 
7 Calcule, em cada figura, a medida de y. 
a) b)
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c) d)
R.:
8 Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam 
em direções que formam um ângulo reto. Depois de uma hora de viagem, a 
distância entre os dois navios é de 13 milhas. Se um deles é 7 milhas mais 
rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio.
R.:
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Como estamos nos referindo à medida, 
R.: Um dos navios viaja a uma velocidade de 5 milhas por hora e o outro 
viaja a 12 milhas por hora. 
9 No triângulo retângulo da figura a seguir temos que m = x, n = x + 5,6 e 
a = 20. Sabendo que as medidas são dadas em centímetros, determine as 
medidas b, c e h indicadas.
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10 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e a área é de 54 
cm². Calcule a medida da altura relativa à hipotenusa.
R.:
Considerando a hipotenusa como base do triângulo, temos:
Assim, a altura do triângulo relativa à hipotenusa mede 7,2 cm.
TÓPICO 2
1 Um barco encontra-se a 200 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do 
barco sob um ângulo de 10º, calcule sua altura.
R.:
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R.: A altura do farol é de 35,2 m.
2 Uma tábua está apoiada numa árvore, formando um ângulo de 60º. 
Determine o comprimento da tábua, sabendo que ela se apoia na árvore a 
uma distância de 1,5 m do chão.
R.:
R.: A tábua tem 3 metros de comprimento.
3 Para alcançarmos o primeiro pavimento de um prédio, subimos uma rampa 
de 5 m que forma com o solo um ângulo de 25º. Qual é a distância do solo 
ao primeiro pavimento?
R.: 
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R.: O primeiro pavimento está a 2,115 m de distância do solo.
4 Uma pipa se encontra empinada a 18 m de altura do solo. Sabendo que 
o ângulo formado pela linha esticada com a horizontal é de 60º, calcule o 
comprimento da linha.
R.:
R.: A linha mede
5 Determine a sombra projetada por um poste de 3,75 m quando os raios de 
sol que incidem sobre ele formam, com a rua, um ângulo de 77º. 
R.:
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R.: A sombra projetada pelo poste mede aproximadamente 0,866 metros.
6 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 279) Deseja-se construir uma 
estrada ligando as cidades A e B, separadas por um rio de margens paralelas, 
como nos mostra o esquema abaixo. 
R.:
FIGURA 1 – ESTRADA LIGANDO AS CIDADES 
A E B, SEPARADAS POR UM RIO DE MARGENS PARALELAS
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 279)
Sabe-se que a cidade A está distante 30 km da margem do rio, a cidade 
B está a 18 km da margem do rio e a ponte tem 3 km de extensão. Qual a 
distância de A até B, pela estrada, em quilômetros? (Desconsidere a largura 
da estrada.)
R.: 
Distância da cidade A até o rio:
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Distância da cidade B até o rio:
7 Uma escada rolante de 11.000 cm de comprimento liga dois andares de 
um shopping e tem inclinação de 45º. Qual é, em metros, a altura h entre um 
andar e outro desse shopping?
R.: 
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8 Calcule o valor de x em cada triângulo retângulo: 
a)
b) c)
R.:
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9 (FACCHINI, 1996, p. 285) Quando o Sol se encontra a 54° acima da linha 
do horizonte, a sombra de uma árvore, projetada no chão, mede 12 m. Qual 
é a altura dessa árvore?
10 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 280) A escada de um carro de 
bombeiros pode estender-se a um comprimento de 30 m, quando levantada 
a um ângulo de 70º. Sabe-se que a base da escada está sobre um caminhão, 
a uma altura de 2 m do solo. Qual é a maior altura que essa escada poderá 
alcançar em relação ao solo? 
FIGURA 2 - A ESCADA DE UM CARRO DE BOMBEIROS
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 280)
R.: 
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TÓPICO 3
1 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 286) São cada vez mais frequentes 
construções de praças cujos brinquedos são montados com materiais rústicos. 
A figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporciona à criançada 
excelente atividade física.
FIGURA 3 - BRINQUEDO SIMPLES QUE PROPORCIONA
À CRIANÇADA EXCELENTE ATIVIDADE FÍSICA
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 286)
Sabendo que as distâncias AB e AC são iguais a 2 m e o ângulo BÂC 
corresponde a 120º, calcule a distância B a C.
R.:
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2 Use os dados da Tabela Trigonométrica (no Quadro 8) e calcule os valores 
aproximados de x.
R.:
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 Se e 
, então 
3 (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., 2002, p. 55) Um barco 
de pescadores A emite um sinal de socorro que é recebido por dois 
radioamadores, B e C, distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos 
AB̂ C e AĈB medem, respectivamente, 64º e 50º, determine qual radioamador 
se encontra mais próximo do barco. A que distância ele está do barco? 
R.: 
a = distânciaentre os radioamadores B e C 
x = distância entre o radioamador B e o barco A
y = distância entre o radioamador C e o barco A
km (distância do radioamador C ao barco A)
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 km (distância do radioamador B ao barco A)
R.: O radioamador mais próximo do barco é o B e ele está a km de 
distância.
4 O ângulo agudo de um losango mede 20º e seus lados medem 6 cm. Calcule 
as medidas das diagonais (maior e menor) do losango. 
R.:
Se cada ângulo agudo mede , logo cada ângulo obtuso mede .
A diagonal menor dividirá os ângulos obtusos ao meio (bissetriz), formando 
dois triângulos iguais.
A diagonal principal dividirá os ângulos agudos ao meio. 
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A diagonal menor mede, aproximadamente, cm e a diagonal maior 
mede, aproximadamente, cm.
5 Num triângulo ABC, são dados A = 45º, B = 30º e a + b = . Determine 
o valor de a.
R.: 
A mede unidades de medida.
6 (CASTRUCCI; GIOVANNI JR., 2009, p. 286) Numa fazenda o galpão fica 
50 m distante da casa. Considerando que x e y são, respectivamente, as 
distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme mostra 
a figura a seguir, calcule as medidas x e y indicadas. 
R.:
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FIGURA 4 – CALCULANDO AS MEDIDAS X E Y DA FIGURA
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 286)
R.:
As medidas de x e y são, respectivamente, m e m.
7 No triângulo ABC abaixo, sabe-se que cos  Nessas condições, 
calcule o valor de x.
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R.: 
Como estamos nos referindo à medida, x mede, aproximadamente, 
unidades de medida.
TÓPICO 4
1 Converta em radianos: 
a) 1040º
b) 156º 
c) 210º
d) 15º 52’ 
R.: 
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2 Determine a medida, em graus, equivalente a:
R.:
Sabendo que podemos escrever: 
3 Calcule, em graus, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, 
nos seguintes casos: 
a) 2h 15min
b) 9h 10min
R.:
a) Vamos considerar:
medida do ângulo pedido 
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medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 15 minutos, a 
partir das 2 horas.
O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco 
compreendido entre dois números consecutivos mede 
Assim,
Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 
Tempo ângulo descrito 
60 min 
15 min x
Vamos considerar:
medida do ângulo pedido 
medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 10 minutos, a
partir das 9 horas.
O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco 
compreendido entre dois números consecutivos mede
Assim, 
Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 30º:
Tempo ângulo descrito
60 min
10 min
30º
 x
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4 Determine, em radianos, a medida de um arco de circunferência cujo 
comprimento mede 60 m e o diâmetro dessa circunferência, 40 m.
R.:
O arco mede 3 rad.
5 Determine os quadrantes a que pertencem as extremidades dos seguintes 
arcos:
a)
b)
c)
d)
e)
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6 Identifique se os seguintes arcos são congruentes:
a)
b)
R.: São congruentes.
R.: São congruentes.
7 Calcule a determinação principal dos arcos de medida: 
a) 4 120º
b) -4 550º
c)
d)
R.: 
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R.: A determinação principal é 160º.
R.: A determinação principal é 130º.
8 Dê os valores de seno e cosseno dos seguintes arcos: 
a) 390º
b) 10 305º
c)
d)
R.:
rad
rad
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9 Simplifique a expressão (360º - x)com sen 
R.:
Sabemos que:
Substituindo na expressão: 
10 Determine o valor da tangente dos seguintes arcos:
a) tg 135º
b) tg 210º
c) tg
d) tg 
R.: 
rad
rad
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Indique o valor de: 
a) cotg 60 b) sec 180 c) cossec 30
d) cotg 225 e) sec 210 f) cossec 270
g) cotg 330 h) sec 120 i) cossec 225
R.: 
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2 Calcule o valor das expressões (FACHINI, 1996):
R.: 
3 Verifique se são verdadeiras ou falsas as igualdades:
a)
c)
e)
b)
d)
f)
g)
i)
h)
j)
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RESOLUÇÃO:
R.: Falsa R.: Verdadeira
R.: Verdadeira
R.: Falsa
R.: Verdadeira
R.: Verdadeira
R.: Falsa
R.: Verdadeira
 
R.: Verdadeira
R.: Falsa
4 Determine o domínio das seguintes funções: 
a)
b)
c)
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R.: 
a) 
b)
A condição de existência é 
c)
A condição de existência é :
5 Para que valores reais de m a equação sen x = 2m + 1 admite solução?
R.: 
Devemos ter 
Substituindo:
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6 Calcule B = sen 2x +cos 4x – tg 3x, para 
R.: 
7 Que número é maior: sen 70º ou sen 760º?
R.: 
O ângulo 760° é congruente ao ângulo 40°, então
8 Determine 
R.: 
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9 Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das funções:
R.: 
x f(x)
0 1
0
-1
0
1
x sen x f(x)
0 0 0
0
0
a)
b)
a)
b)
c)
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c)
2x x f(x)
0 0 0
TÓPICO 2
1 Encontre o valor do número real y, tal que sen2 y – 3 sen y = – 2, para 0
R.: 
Fazendo , temos:
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X
O
S
Reescrevendo em função de y:
Mas o valor máximo do seno no ciclo trigonométrico é 1. Portanto, x = 2 
não é uma solução.
2 Resolva as equações trigonométricas abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
R.:
a)
38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
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S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
b)
c)
d)
39UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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M
P
L
E
X
O
S
e)
f)
3 Sabendo que x calcule as seguintes inequações:
a)
Primeira volta, 
40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
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X
O
S
Solução geral:
b)
Primeira volta, 
Solução geral:
Solução geral:
Primeira volta, 
41UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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X
O
S
Solução geral:
Primeira volta, 
Solução geral:
TÓPICO 3
1 Dado com calcule cos x.
R.: 
Usando a relação temos:
42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
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X
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S
2 Dado com calcule tg x.
R.: 
Para calcular a tg x devemos conhecer o valor de sen x.
Como , o seno é positivo. 
E assim,
43UNIASSELVI
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GABARITODAS AUTOATIVIDADES
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L
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X
O
S
3 Sabendo , calcule:
a) cossec x
b) sen x
c) tg x
d) cos x 
e) sec x 
R.: 
44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
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S
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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L
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X
O
S
4 Qual o valor numérico da expressão
R.: 
e cossec x tem o mesmo sinal de sen x. 
Então: 
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
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C
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P
L
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X
O
S
5 Quais são os valores de sen x e cos x, sendo 
R.: 
47UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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P
L
E
X
O
S
Obs.: Existem outras maneiras de obter a solução. Aqui se apresenta 
apenas uma sugestão.
6 Essa questão pode ser vista como um ótimo quebra-cabeça trigonométrico!
Demonstre que as seguintes igualdades são identidades:
a) tg2 x . sen2 x = tg2 x sen2 x
b) (1 + cotg x)2 + (1 cotg x)2 = 2 cossec2 x 
c) cos x . tg x . cossec x = 1 
d)(tg x + 1)(1 tg x) = 2 sec2 x 
R.: 
a)
tg2 x . sen2 x = tg2 x sen2 x
48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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E
X
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S
c. q. d.
49UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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S
 TÓPICO 4
1 Utilizando as fórmulas de adição ou subtração de arcos, calcule:
a) sen 135º b) cos 15º
c) tg 75º d) cos 225º
e) sen 195º f) tg 105º
R.:
50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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L
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X
O
S
2 Sabendo que e x quadrante, calcule:
a) sen 2x
b) cos 2x
c) tg 2x
R.: 
51UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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X
O
S
3 Sabendo que e x quadrante, determine:
a) sen 2x
b) cos 2x
c) tg 2x
R.: 
52 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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53UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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S
4 Dado cos com calcule 
R.: 
5 Sabendo que sen com determine
54 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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X
O
S
R.: 
6 Transforme em produto:
a) sen 90º + sen 30º
b) sen 80º sen 40º
c) cos 35º cos 25º
d) 1 + cos 40°
55UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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X
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S
R.: 
56 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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X
O
S
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Para cada número complexo a seguir, qual o valor da parte real e da parte 
imaginária?
a)
R.: 
a) Parte real: 7
Parte imaginária: -5
b) Parte real: 
Parte imaginária: 3
c) Parte real: 
Parte imaginária: 
d) Parte real: 0
Parte imaginária: 0
2 Resolva as seguintes equações, sabendo que U = C:
a) x² - 4x + 8 = 0
b) x² - 2x + 5 = 0
R.:
a) 
x² - 4x + 8 = 0
a = 1
b= -4
c = 8
57UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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P
L
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X
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S
3 Determine o valor de x e y nas igualdades:
R.: 
58 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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E
X
O
S
4 Dados os números complexos z1= 3 + 4i e z2 = a + bi, sendo que z1 = z2, 
defina o valor de a e b. 
R.: 
5 Escreva o conjugado dos seguintes números complexos:
a) z = – i – 3
b) z = 5i + 8
c) z = – 12i 
d) z = 6i – 4 
R.: 
59UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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X
O
S
6 Qual o oposto do conjugado do número complexo z = 3 + 10i?
R.: 
7 Considerando o número complexo z = (a – 5) + (b2 – 36)i, determinar os 
números reais a e b de modo que z seja:
a) um número real; 
b) um número imaginário puro.
R.: 
a)
Para que z seja um número real, devemos ter:
b) Para que z seja imaginário puro, devemos ter:
a - 5 = 0
a = 5
8 Seja z = a + bi, com {a, b} demonstre que 
R.:
60 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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G
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C
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X
O
S
TÓPICO 2
1 Realize as seguintes operações e calcule o inverso em cada uma delas:
2 Considerando os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, prove as seguintes 
propriedades do conjugado:
a) 1ª propriedade: o conjugado da soma é igual à soma dos conjugados
b) 2ª propriedade: o conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados: 
c) 3ª propriedade: o produto de um número complexo pelo seu conjugado é 
um número real não negativo:
R.: 
61UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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S
62 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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X
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S
Logo, x = a² + b². Como a, b ∈ R, temos x ∈ R.
3 Efetue as multiplicações com números complexos:
4 Calcule os seguintes quocientes:
63UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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X
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S
R.: 
5 Sendo calcule:
64 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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X
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S
R.:
65UNIASSELVI
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X
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S
6 Resolva as potências de i:
R.: 
7 Efetue:
66 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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X
O
S
8 Sendo i a unidade imaginária, calcule (1 – i)44.
R.: 
TÓPICO 3
1 Determine os números complexos correspondentes aos afixos A, B, C, D, 
E, F e G no plano de Argand-Gauss a seguir:
67UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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X
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S
R.: 
2 Determine o módulo e o argumento dos seguintes números complexos:
R.: 
68 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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S
 
C
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M
P
L
E
X
O
S
Como os valores de seno e cosseno são positivos, o ângulo encontra-se 
no 1° quadrante. Consultando as tabelas trigonométricas encontramos 
Como os valores de seno e cosseno são negativos, o ângulo encontra-se 
no 3° quadrante. Consultando as tabelas trigonométricas encontramos
69UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
Como os valores de seno e cosseno são positivos, o ângulo encontra-se 
no 1° quadrante. Consultando as tabelas trigonométricas encontramos 
Como o seno é 1 e o cosseno é 0, temos 
70 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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M
P
L
E
X
O
S
Como os valores de seno e cosseno são positivos, o ângulo encontra-se 
no 1° quadrante. Consultando as tabelas trigonométricas encontramos 
3 Represente graficamente os afixos dos seguintes números complexos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
R.:
i
71UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
O
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P
L
E
X
O
S
4 Determine o módulo de
R.: 
5 Encontre o valor de z, sabendo que possuem o mesmo módulo.
R.: 
72 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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S
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C
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X
O
S
6 Calcule o módulo, o argumento e faça a representação geométrica do 
complexo: 
R.: 
74 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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X
O
S
TÓPICO 4
1 Escreva na forma trigonométrica os seguintes números complexos:
Forma trigonométrica 
75UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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X
O
S
2 Represente na forma algébrica os complexos:
76 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVINEAD
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C
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E
X
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S
3 Sabendo que obtenha
R.: 
4 Dados os complexos
e calcule:
77UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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P
L
E
X
O
S
R.: 
5 Calcule na forma trigonométrica o produto sabendo que 
e
R.:
6 Dado o número determine
R.: 
7 Determine o produto e o quociente para
e
R.: 
b
78 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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E
X
O
S
8 Usando a fórmula de Moivre, calcule as potências:
R.: 
79UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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C
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P
L
E
X
O
S
9 Calcule as raízes quadradas de 
R.: 
Aplicando a 2ª Lei de Moivre, temos:
10 Calcule as raízes cúbicas de 27. 
R.: 
80 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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X
O
S
Logo, as raízes cúbicas de 27 são: e