1ª Lista de Exercícios VGA 2021-2

Prévia do material em texto

1ª Lista de Exercícios de Vetores e Geometria Analítica 
 
1) Sejam u⃗ , v⃗ e w⃗⃗⃗ vetores representados nas figuras abaixo. 
Represente os vetores a seguir com origem no ponto O. 
a) (u⃗ + v⃗ − w⃗⃗⃗ ) 
 
 
 
 
 
 
b) (2v⃗ − u⃗ + 
5
4
 w⃗⃗⃗ ) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Na figura abaixo ABCDEFGH é um paralelepípedo retângulo. 
Sejam u⃗ = AB⃗⃗⃗⃗ ⃗, v⃗ = AD⃗⃗⃗⃗ ⃗ e w⃗⃗⃗ = AE⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Expresse os vetores HB⃗⃗⃗⃗ ⃗ e DF⃗⃗⃗⃗ ⃗ como combinação linear de u⃗ , 
v⃗ e w⃗⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
3) Num triângulo ABC, M divide AB e N divide CB na mesma razão r. Prove que MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ é paralelo a 
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗, e calcule o quociente entre as normas dos vetores MN⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( isto é, calcule 
‖MN⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖
‖AC⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖
 ) 
 
4) Num triângulo ABC, sejam M, N e P os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. 
Prove que AN⃗⃗⃗⃗ ⃗ + BP⃗⃗⃗⃗ ⃗ + CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ . 
u⃗ 
v⃗ 
w⃗⃗⃗ 
O 
u⃗ 
v⃗ 
w⃗⃗⃗ 
O 
F 
C 
B 
H
D
A 
E 
G 
5). Sejam B e C pontos distintos e M o ponto médio de BC. Prove que, se A é um ponto qualquer, 
então AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ + AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2 AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
6) Sejam ABC um triângulo e M o ponto médio de AB. Represente o vetor CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em função de CA⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 
CB⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
7) Sejam A, B, C e X quatro pontos tais que A, B e C não são colineares e AX⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ∝ . XB⃗⃗⃗⃗ ⃗. Exprima 
CX⃗⃗ ⃗⃗ em função de CA⃗⃗⃗⃗ ⃗, CB⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ∝. (Sugestão: Na relação AX⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ∝ . XB⃗⃗⃗⃗ ⃗., faça aparecer C em ambos os 
membros.) 
 
8) São dados um triângulo ABC e os pontos X, Y e Z tais que 
AX⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ∝ . XB⃗⃗⃗⃗ ⃗. , BY⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝛽 . YC⃗⃗ ⃗⃗ . e CZ⃗⃗⃗⃗ = 𝛾 . ZA⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
Exprima CX⃗⃗ ⃗⃗ , AY⃗⃗⃗⃗ ⃗. e BZ⃗⃗ ⃗⃗ em função de CA⃗⃗⃗⃗ ⃗, CB⃗⃗⃗⃗ ⃗, ∝ , 𝛽 e 𝛾. 
 
9) Seja OABC um tetraedro e X o ponto da reta BC definido por BX⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ∝ . BC⃗⃗⃗⃗ ⃗. Exprima OX⃗⃗⃗⃗ ⃗ e AX⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
em função de OA⃗⃗⃗⃗ ⃗ ,. OB⃗⃗⃗⃗ ⃗ e OC⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
10) Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é 
paralelo às bases, e sua medida é a metade da soma das medidas das bases. 
 
 
Além da lista apresentada faça os exercícios dos Capítulos 2 e 3 do livro indicado nas Referências 
Bibliográficas do Plano de Ensino de VGA. Alguns exercícios selecionados aqui podem ser iguais 
aos do livro. 
BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3ªEdição. 
Ed. Pearson, 2005, São Paulo. 559 pág ISBN 9788587918918. (disponível On Line no 
Pergamum UFMS)