TMV e Derivadas

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Profª Ana Scardino 
 
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FACULDADE DE TECNOLOGIA DA ZONA LESTE 
 
CURSO: 
ANÁLISE E 
DESENVOLVIMENTO 
DE SISTEMAS e 
LOGÍSTICA 
 
2016 
 
 
 
 
Prof.ª ANA SCARDINO 
TMV E 
DERIVADAS 
 Profª Ana Scardino 
 
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Introdução 
 
 Iniciemos o estudo da TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO lembrando 
as funções de primeiro e segundo grau. 
 Para isso vamos analisar uma situação, por exemplo, de uma função 
demanda, que relaciona o preço unitário de certo produto em função da 
quantidade demandada. 
 Em geral, à medida que a quantidade aumenta o preço unitário cai. A 
tabela abaixo mostra esta relação, além de apresentar a coluna da receita 
total, onde supõe-se que toda a produção seja vendida e, a receita é o produto 
da quantidade pelo preço unitário. 
 
 
 
 
 Determinando-se a função para a relação quantidade x preço unitário, 
percebe-se que é uma função de primeiro grau, onde o coeficiente angular 
coincide com o cálculo da tangente do ângulo alfa e o coeficiente linear é a 
ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y, ou seja, quando x for 
igual à zero. Já a relação entre a receita total e a quantidade segue uma 
função de 2º grau. 
 Para determinar essas funções, construa inicialmente o gráfico 
correspondente aos dados da tabela preço unitário x quantidade e, determine 
o coeficiente angular e linear da reta: 
 
 Resp: y(x) = -0,02x +12 
 
 Verificamos que a tangente mostra a relação 
��
��
, que representa nesse caso, 
a variação unitária do preço por unidade do produto. Esse valor mede a taxa 
de variação média da função preço. 
 
 
 
Quantidade Preço unitário Receita total 
 x y(R$) R(R$) 
 0 12 0 
 100 10 1.000,00 
 200 8 1.600,00 
 300 6 1.800,00 
 400 4 1.600,00 
 500 2 1.000,00 
 600 0 0 
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 Quando y e x têm variações diretamente proporcionais, ou seja, 
quando ao variar x de uma unidade , o valor correspondente de y varia 
sempre de um valor constante de unidades, temos uma função de 1º grau, 
cujo coeficiente angular mede a taxa de variação da função. 
 Lembrando que o coeficiente angular pode ser obtido calculando-se a 
tgα , Então, ao calcular a inclinação da reta estamos calculando a taxa de 
variação da função .Essa taxa de variação pode ser dada pela fórmula 
abaixo: 
 
tgα = 
������ �
���� �� â
���� ∝
������ ������
�� �� â
���� ∝
, 
 
Ou ainda, podemos escrever: 
 
∆�
∆�
= 
�(�� + ∆�) − �(��)
∆�
 
 
 
 Se considerarmos, agora, uma função que não seja do 1º grau, as 
grandezas x e y não têm variações diretamente proporcionais. Portanto a 
rapidez com que y varia com x depende do intervalo de x considerado. 
 
 Seja a função receita total do exemplo acima, que podemos obter 
multiplicando a função y(x) por x : 
 
R(x) = (-0,02x+12) . x = -0,02x2 + 12x 
 
 Para obtermos a TMV (taxa de variação média) no intervalo de 100 a 
300 unidades, por exemplo, temos o resultado: 
��
��
 = 
���� ����
!�� ���
 = 4 
 
 
Ou seja, nesse intervalo a receita cresce R$4,00 a cada unidade produzida a 
mais. 
 Mas, se considerarmos, o intervalo de 400 a 500 peças produzidas, a 
TMV é igual a 
��
��
= 
���� �"��
#�� $��
= −6. 
 
Ou seja, a receita cai R$6,00 a cada unidade produzida. 
 
Outros exemplos: 
 
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a) y = 2x, onde x pode representar o deslocamento na horizontal e o y o 
deslocamento na vertical de uma pessoa subindo uma rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
A taxa média de variação vai ser dada como 2, ou seja a cada uma unidade 
na horizontal, a pessoa sobe 2 na vertical. A função cresce 2 unidades para 
cada unidade acrescida em x 
 
b) f(x) = 2000x, onde y(x) represente a receita de um produto e x 
representa a quantidade. 
 
 Então, temos que a cada 1 unidade vendida ,há um crescimento na 
receita de R$2000,00, e que a taxa de variação da função é igual ao 
coeficiente angular , que é igual a 2000. 
 
c) f(x) = x +1 
Sejam x0 =1 e x0 + ∆x = 4 → ∆x = 3 
 
TMV =
∆�
∆�
= 
&(�'( ∆�) &(�')
∆�
 = 
# )
!
= 1 
 
 
d) f(x) = x2 + 5 
 
Se x0 = 2 e X0 + ∆X = 4 temos ∆X=2 
 
∆�
∆�
= 
&(�'( ∆�) &(�')
∆�
 = 
)� +
)
= 
�)
+
= 2 
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e) y = 3x2 
 
Vamos construir uma tabela das variações de x0 e ∆x 
x0 x1 ∆x=x1-x0 f(x0) f(x1) 
∆y=f(x1)-f(x0) 
0 1 1 0 3 3 
1 2 1 3 12 9 
2 3 1 12 27 15 
0 3 3 0 27 27 
 
Para x0=0 e ∆x =3 
 
∆y = 1/3(3 +9 +15) =9 
∆x 
 
 
 Comparando, o que muda em relação à função de 1º grau é que para 
a função de primeiro grau basta conhecer o coeficiente angular pois o valor 
da TMV é o mesmo em qualquer intervalo. Já para as demais funções é 
necessário determinar o intervalo que se deseja obter a TMV. 
 
 Para uma função f(x) qualquer, a TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO 
entre 2 pontos quaisquer x0 e x ( com x maior que x0) é a taxa de variação 
da função determinada pela reta que passa pelos pontos considerados: 
 
TMV = 
X
Y
∆
∆ = f(X0 + ∆X|) - f(x0) 
 ∆x 
f) f(x) = x2 ,onde podemos considerar uma espécie de bactérias que tem 
seu crescimento dado pela função de 2º grau 
 
 Nº de bactérias 
 
 
 
 
 
 
 
 Tempo(dias) 
Vamos estudar a taxa média de variação no intervalo: 
t= 1s até t =3 s 
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t = 1s e t=2 s 
t= 1s e t= 4s 
 
Resp: a)4; b) 3; c) 15 
 
g) Foram registradas as temperaturas (ºC) a cada hora, na cidade de São 
Paulo, começando à meia noite, em um dia. O tempo foi medido em horas, 
conforme tabela abaixo: 
 
Tempo (h) Temperatura(ºC) 
0 4.3 
1 4,0 
2 3,2 
3 3,0 
4 4,6 
5 6,8 
6 9,1 
 
Encontre a TMV: 
a) Entre meia noite e 2h 
b) Entre 2h e 6h 
c) Entre 2h e 4h 
d) Entre 0 e 4h 
 
Resp: a) -0,55; b) 1,48; c)0,7; d) 0,08 
 
 
Exercícios 
 
1- Um tanque contém, inicialmente, 10 litros de água. Uma torneira ao ser 
aberta despejará água no tanque a uma razão constante de 5 l a cada 
minuto. Escreva a função que representa o volume (litros) x 
tempo(minutos), e determine a TMV. 
 
 
2- Determine a TMV em cada caso : 
a) y = x+1 entre os pontos 1 e 4 
b) y = -4x entre os pontos 2 e 3 
c) y= 2x2 + 3x + 4 entre os pontos 0 e 2 
d) f(x) = x3 -1 entre 0 e 2 
e) y = -x, entre -1 e 12 
 
 
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DERIVADAS 
 
 
Para caracterizar a rapidez com que uma função y = f(x) varia em um 
ponto x0, utilizamos a noção de taxa média de variação no ponto ou 
DERIVADA. 
 Nas proximidades de um ponto x0, a curva ,que representa o gráfico 
de uma função, pode ser aproximada por uma reta . 
A derivada de f no ponto x0 pode ser definida como: 
É o valor aproximado da taxa média de variação da função f para valores 
pequenos de ∆x. 
 
0
)()(
lim 00
→∆
∆
−∆+
=
∆
∆
x
x
xfxxf
x
y
 
 
Indicações da derivada: f'(x0) ; df(x0) ; dy(x0) ; y'(x0) 
 dx dx 
 
Podemos entender a idéia da rapidez com que uma função varia em um 
ponto, através da definição geométrica da derivada, que é a medida da 
inclinação da reta tangente à curva no ponto x0. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 TMV no ponto x0 = y’ = coeficiente angular da reta = cat.oposto a α 
 cat.adj. a α 
 
Exemplos: 
 
a) Calcular a taxa média de variação da função y = x2 entre os intervalos: 
 
 
 i) 1 e 2 
∆y = 4-2 = 2 
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∆x 1 
 
ii) 2 e 3 
 
∆y = 9-4 = 5 
∆x 1 
 
b) Calcular o valor da derivada da função y = x2 no ponto x0 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y'(2) = tgα = cateto oposto ao ângulo alfa = 4 
 cateto adjacente ao ângulo alfa 
 
Interpretação: A taxa média da variação de uma função nas proximidades 
do ponto x0 =2 é aproximadamente 4 
 
c) Calcular o valor da derivada no ponto x0= 4 
 Podemos calcular a TMV algebricamente utilizando a fórmula : 
lim
∆�→�
Δ�
Δ�
= lim
∆�→�
�(�� + ∆�) − �(��)
∆�
= lim
∆�→�
 
(�� + ∆�)
) − ��
)
∆�
= lim
∆�→�
��
) + 2�� ∆� + (∆�)
) − ��
) 
∆�
 
= lim
∆�→�
2�� ∆� + (∆�)
) 
∆�= lim
∆�→�
 ∆� ( 2�� + ∆�) 
∆�
= 2�� 
 
No ponto x0 = 2, temos �
’(x) = 2x4 =8 
 
 
 
Exercícios: 
 
 Calcule a derivada em cada ponto da função: 
a) y =5 ; x0 =4 
b) y=3x; x0 =2 
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c) y = x2 + 4 ; x0 = 1/2 
d) y = 3x2 + 10x -1 ; x0 = 1 
O cálculo das derivadas através do gráfico ou pelo limite é um processo 
demorado. Para agilizar essa operação pode-se decorar as chamadas regras 
de derivação, que facilitam muito a obtenção das funções derivadas. 
 
ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO : 
 
 
FUNÇÕES SIMPLES DERIVADA y' 
k(constant) 0 
xα αxα-1 
ax+b a 
lnx 1/x 
ax axlna 
ex ex 
log� � 1
�456
 
senx cosx 
cosx -senx 
tgx 1 + 78)�
= 9:;)� 
 
Exemplos: 
a) y = x3 � y’ = 3x2 
b) y= x2 � y’ = 2x 
c) y= x10� y’ = 10x9 
d) y = x� y’ = 1 
e) � = � ) 
f) � = �
<
= 
g) � = √� 
h) � =
�
�<
 
i) � = 2�! 
j) � = 5 √�
@' 
k) � = 3 sin � 
l) � = −2;D9� 
m) � = 545� 
n) � = 12:� 
o) � = 378� 
p) � = −94D8� 
 
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OPERAÇÕES DE DERIVAÇÃO 
 
Sejam f(x) = u e g(x) = v, então, 
(ku)' = k u' 
(u + v)' = u' + v' 
(u.v)' = uv' + u'v 
(u/v)' = v u' - uv' 
 v2 
 
 
Exercícios: 
Calcular as derivadas: 
 
1- y =x2 -3x +5.......................y' = 2x -3 
2- y =20..................................y'=0 
3- y = 3x3 + 2........................y' =9x2 
4- y = 12 .x0,5........................y' =12.0,5.x-0,5 = 6/x1/2 
5- y =x4 -3x2+6x-5.................y'=4x3 -6x +6 
6- y = 5ex..............................y' = 5ex 
7- y= 5 lnx...........................y' = 5.1/x =5/x 
8- y = x2lnx.........................y'=2x.lnx + x2.1/x = 2xlnx + x 
9- y = 2x/x2+1 ..................y' = (x2+1).2 - 2x(2x) = 2x2+2 -4x2 
(x2+1)2 (x2+1)2 
 
10- y=(2+3x)(1-4x) 
11- � = �. :� 
12- � = 2�45� 
13- y= x3.cosx 
14- � =
�
�(�
 
15- � =
#
�G()� !
 
16- � =
�H
$�
 
 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
 
Seja h = g(f(x))= gof(x); onde y = f(x), então h’ = g’(y).f’(x) 
 
Exemplos: 
 
a)ℎ = √�) + 1 
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b) � = :$�(! 
 
a) � = sen(2� + 1) 
b) � = 9:5(45�) 
 
EXERCÍCIOS 
 
DERIVADAS 
 
1- Calcule a derivada de f(x) = 5x2 – 3 nos pontos onde : 
a) x= 2 
b) x=3 
c) x=-1 
 
2- Calcule as derivadas: 
a) y = -3x2 +11 
b) y = 10 – 4x4 
c) y = 3x7 – 7x3 
d) y = ex 
e) y = lnx 
f) y = 3 ex + 4. 2x 
g) y = x2 –5x + 6 
h) y = 3x+2 
i) y = 3 lnx – 2x 
j) � = 
)H
�G
 
k) � =
�G
$� �
 
l) � = �!. ;D9� 
 
 
 
REGRA DE L’HÔPITAL 
 
 Se 
&(�)
�(�)
 7:K 6 �DLK6 M5N:7:LKM56N6 ND 7MOD 
�
�
 DP 
Q
Q
, :K � =
; : lim�→�
&(�)
�(�)
 :�M97:, :57ãD lim�→�
&(�)
�(�)
= lim�→�
&T(�)
�T(�)
. 
 
Obs. Vale também para lim�→Q
&(�)
�(�)
 
 
Exemplos: 
Calcular os limites: 
a) lim�→!
�G "�(+
�G U�(�)
 
b) lim�→�
�H �VH
WX (�(�)
 
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c) lim�→�
)�
�H �
 
 
 
ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES 
 
Para uma função de 1º grau: 
Se a derivada primeira é positiva, então a função é crescente 
Se a derivada primeira é negativa, então a função é decrescente 
Se a derivada é nula, então a função é constante. 
Para uma função f qualquer as conclusões são análogas se consideramos a 
derivada positiva ou negativa em todo o intervalo considerado. 
 
CONCAVIDADE DAS FUNÇÕES: 
 
 Duas funções podem ter derivadas positivas em todos os 
pontos de um intervalo, embora seu crescimento possa ter características 
diferentes. 
Exemplo: 
 
 
 
1º caso 2º caso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se que no 1º caso o crescimento é mais rápido que no 2º caso. 
No 1º caso, quando o valor de x cresce, o valor da derivada também cresce 
No 2º caso, quando o valor de x cresce, o valor da derivada decresce. 
 Quando uma função cresce a taxas crescentes, seu gráfico tem 
concavidade para cima, e quando a função cresce a taxas decrescentes, seu 
gráfico tem concavidade para baixo. A SEGUNDA derivada avalia o 
crescimento ou decrescimento da primeira derivada, determinando 
portanto a concavidade da função. 
 Se a derivada segunda por positiva, a concavidade da função será 
para cima. Se a derivada segunda por negativa, a concavidade da função 
será para baixo. 
 
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Exemplos: 
Estudar a variação das funções : 
 
a) f(x) =2x+10 
b) f(x) =x2-6x 
c) y= x3-12x2+6 
 
Aplicação: 
 
 Considere a função lucro de um empresa como sendo 
L(x) = R(x) –C(x), onde L(x) representa a função lucro, R(x) receita e C(x) 
custo. Uma micro empresaria vende 3000 salgados por R$0,50 cada. 
Pretendendo aumentar seu lucro fez um estudo e, percebeu que a cada 
aumento de R$0,10 no preço unitário vendia 230 salgados a menos. O 
custo de cada salgado é R$0,27. Qual o valor de cada salgado que torna o 
lucro máximo? Qual o lucro máximo? 
 
 
 
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.--.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. 
Tabela de Derivadas 
FUNÇÃO DERIVADA DA FUNÇÃO 
01) y = c y' = 0 
02) y = x y' = 1 
03) y = cu y' = cu' 
04) y = u + v y' = u' + v' 
05) y = uv y' = u'v + uv' 
06) 
 
07) y = un, y' = n.u
n - 1.u' 
08) y = au (a > 0, ) 
 
09) y = eu y' = eu. u' 
10) y = 
y' = 
11) y = uv (u > 0) 
 
12) y = ln u 
 
13) y = sen u y' = cos u.u' 
14) y = cos u y' = - sen u.u' 
15) y = tg u y' = sec2u.u' 
16) y = sec u y' = sec u . tg u . u' 
17) y = cotg u y' = - cosec2u.u' 
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18) y = cosec u y' = - cosec u . cotg u . u' 
19) y = arc sen u 
 
20) y = arc cos u 
 
21) y = arc tg u 
 
22) y = arc cotg u 
 
23) y = arc cosec 
u, , |u| > 1 
24) y = arc sec u, 
, |u| > 1 
25) y = senh u y' = (cosh u).u' 
26) y = cosh u y' = (senh u).u' 
27) y = tgh u y' = (sech2 u).u' 
28) y = cotgh u y' = (-cosech2 u).u' 
29) y = sech u y' = (-sech u).(tgh u).u' 
30) y = cosech u y' = (-cosech u).(cotgh u).u' 
31) y = arg senh u 
 
32) y = arg cosh u 
, u > 1 
33) y = arg tgh u 
, |u| < 1 
34) y = arg cotgh u 
, |u| > 1 
35) y = arg sech u 
, 0 < u < 1 
36) y = arg cosech u 
, 
37) y = f(g(x)) y' = f ' (g(x)). g'(x) 
38) y = loga |u| 
 
 
 
Bibliografia: 
 Profª Ana Scardino 
 
15 
 
 
• STEWART,JAMES,CÁLCULO,VOL.1,São Paulo: Cengage Learning, 2010 
• FLEMMING,D.M. e GONÇALVES, M.B., Cálculo A, São Paulo: Pearson 
Prentice Hall,2007. 
• HAZZAN, S; MORETTIN, P; BUSSAB, W. Introduçao ao Cálculo para 
Administração, Economia, São Paulo: Saraiva, 2009. 
• ANGELA LEITE, Aplicações da Matemática, Administração, Economia e 
ciências contábeis, 2ª edição, São Paulo: Cengage Learning, 2016.