Resumo aula numeros complexos parte 2

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–
 
CONJUGADO 
 
→ O conjugado de um número complexo se dá quando 
muda o sinal da parte imaginária 
Z = a + b i Z = a – b i 
   
 
 
 
→ Exemplos: 
 Z = 2 + 3 i  Z = 2 – 3 i 
 Z = - 5 + 4 i  Z = - 5 – 4 i 
 Z = 1 – i  Z = 1 + i 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM CONJUGADO 
 
→ Dados Z = 2 + 2 i e Z = 2 – 2 i , represente estes 
pontos no gráfico: 
 
 
→ Podemos verificar que, no plano Argan – Gauss, o 
conjugado será a forma espelhada do número 
complexo original 
 
PROPRIEDADES DO CONJUGADO 
 
→ Considere: Z = a + b i , e também, Z = a – b i 
 
 Z . Z = a² + b² 
Por quê? 
Z . Z = ( a + b i ) . ( a – b i ) = a² - a b i + a b i - b² i² 
= a² - b² i²  i² = -1 
= a² - b² . (-1) = a² + b² 
 
 Z = Z  Z é real 
Por quê? 
Z = a + b i ; Z = a – b i 
Para que a + b i = a – b i , é necessário que b seja igual a 
0. Logo, ficaremos só com a parte real  Z = a 
Parte 
Imaginária 
Conjugado 
–
 
 
 
 Z1 + Z2 = Z1 + Z2 
 Por quê? 
 Digamos que Z1 = 2 – 3 i e que Z2 = 4 + 2 i 
 Z1 + Z2 = 6 – i  Z1 + Z2 = 6 + i 
Agora, vamos somar os conjugados de Z1 e Z2 
separadamente:  Z1 = 2 + 3 i e Z2 = 4 – 2 i 
 Z1 + Z2 = 6 + i 
 
 Z1 . Z2 = Z1 . Z2 
Por quê? 
Digamos que Z1 = 5 + 2 i e que Z2 = 3 – 4 i 
 Z1 . Z2 = (5 + 2 i) . (3 – 4 i)  
15 – 20 i + 6 i – 8 i²  i² = -1  
15 – 20 i + 6 i -8 . (-1)  15 – 20 i + 6 i + 8 
 - 20 i + 6 i = - 14 i e 15 + 8 = 23 
 Z1 . Z2 = 23 – 14 i  Z1 . Z2 = 23 + 14 i 
 Z1 = 5 + 2 i e Z1 = 5 – 2 i ; Z2 = 3 – 4 i e 
Z2 = 3 + 4 i  Z1 . Z2 = (5 – 2 i) . (3 + 4 i) 
 15 + 20 i + 6 i – 8 i²  i² = -1 
 15 + 20 i + 6 i -8 . (-1)  15 + 20 i + 6 i + 8 = 
23 + 14 i 
 
 
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
→ 
𝑍1
𝑍2
 = 
𝑍1 .𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑍2
𝑍2 .𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑍2
 
 
Digamos que Z1 = 1 + 2 i ; Z2 = 2 + 5 i 
 Z2 = 2 – 5 i 
 
𝑍1
𝑍2
 = (1 + 2 i) . (2 – 5 i) 
 (2 + 5 i) . (2 – 5 i) 
 (1 + 2 i) . (2 – 5 i) = 2 – 5 i + 4 i – 10 i² 
 (2 + 5 i) . (2 – 5 i) = 4 – 10 i + 10 i – 25 i² 
 - 10 i² = ( - 10) . ( -1) = + 10 
 - 25 i² = ( - 25) . ( -1) = + 25 
 
2−𝑖+10
4+25
 = 
12
29
 – 
𝑖
29
 ou 
12
29
 – 
1
29
 i 
 
MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO |𝑧| 
 
→ Dado que Z = a + b i , o módulo do número complexo 
será a distância de 0 até o ponto Z no plano Argan – 
Gauss 
 
–
→ Para calcular o módulo de um número complexo, 
vamos pegar o teorema de Pitágoras 
 
→ Z² = a² + b²  Z = √𝑎2 + 𝑏2 
 
→ Exemplos: 
 
 Z = 2 – 3 i  |𝑧| = √22 + 32 = √13 
 Z = 3 i |𝑧| = √0 + 3² = √9 = 3 
 Z = 
1
2
  |𝑧| = √(
1
2
)
2
 = 
1
2