Ficha 2- Correntes de Trafego

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ENGENHARIA DE TRÁFEGO 
TEMA 2 
CORRENTES DE TRÁFEGO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Docentes: 
Eng.ª Paulette Silva 
Eng.º Sidílio Alamo 
 
Índice 
 
1 Introdução .................................................................................................................................................. 3 
2 Parâmetros de corrente de tráfego ............................................................................................................ 4 
2.1 Caracterização Microscópica ............................................................................................................. 4 
2.1.1 Tempo entre veículos ................................................................................................................. 4 
2.1.2 Distância entre veículos ............................................................................................................. 5 
2.1.3 Velocidade individual .................................................................................................................. 5 
2.2 Caracterização Macroscópica ............................................................................................................ 6 
2.2.1 Volume de tráfego ...................................................................................................................... 6 
2.2.2 Velocidade .................................................................................................................................. 8 
2.2.3 Densidade ................................................................................................................................. 10 
2.3 Relação entre Volume, Velocidade e Densidade ............................................................................. 10 
3 Modelos de Correntes de Tráfego ........................................................................................................... 12 
3.1 Modelo de Greenshields ................................................................................................................... 13 
3.2 Modelo de Greenberg ....................................................................................................................... 14 
3.3 Modelo de Underwood ..................................................................................................................... 15 
3.4 Resumo ............................................................................................................................................ 16 
4 Tipos de fluxos ......................................................................................................................................... 17 
4.1 Condições de Oferta e Variáveis de Oferta no Tráfego ................................................................... 17 
4.2 Fluxo de veículos em intersecções semaforizadas .......................................................................... 17 
5 Teoria de filas .......................................................................................................................................... 19 
5.1 Elementos fundamentais para a caracterização .............................................................................. 19 
5.2 Modelos determinísticos de filas de espera ..................................................................................... 19 
5.3 Padrões de Filas de Espera ............................................................................................................. 20 
5.4 Formulação Matemática ................................................................................................................... 20 
5.5 Filas de espera em semáforos ......................................................................................................... 21 
5.5.1 Capacidade de uma aproximação ............................................................................................ 22 
5.5.2 Dimensão de uma fila de espera .............................................................................................. 24 
5.5.3 Parâmetros de funcionamento de filas de espera (intersecções semaforizadas) ................... 25 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO 
 
Os fluxos de tráfego são constituídos pelos condutores e pelos veículos interactuando de forma diferenciada 
entre si assim como com outros elementos da via e do ambiente em redor. E compreendem frequentemente a 
caracterização de correntes de tráfego constituídas por veículos que se deslocam, durante um período de 
tempo, num determinado sentido ao longo dum percurso, levando a necessidade de se recorrer às 
probabilidades e à estatística, dado o carácter predominantemente aleatório de algumas variáveis relacionadas 
com o escoamento de tráfego. 
 
Três variáveis básicas - volume ou taxa de fluxo, velocidade e densidade - podem ser usadas para descrever o 
tráfego em qualquer estrada. O volume ou o fluxo de tráfego é um parâmetro comum aos recursos de fluxo 
ininterrupto e interrompido, mas a velocidade e a densidade se aplicam principalmente ao fluxo ininterrupto. 
Alguns parâmetros relacionados à vazão, como espaçamento e headway, também são usados para ambos os 
tipos de instalações. Outros parâmetros, como fluxo de saturação ou gap, são específicos para o fluxo 
interrompido. 
 
Diagrama espaço-tempo 
O movimento dos veículos definido pela função x(t), sendo x a distância percorrida pelo veículo desde um 
ponto de referência e t o tempo gasto, o diagrama espaço-tempo (Figura 1). 
A visualização das trajectórias dos veículos, recorrendo a este tipo de diagrama é uma ferramenta muito útil na 
análise de vários problemas de tráfego, tais como a coordenação de sinais luminosos, a ultrapassagem entre 
veículos, a interacção dos veículos em passagens estreitas, etc. 
 
Figura 1 – Diagrama espaço-tempo 
 
Da observação das curvas representadas na Figura 1 é muito fácil ficar a conhecer certos aspectos 
relacionados com o movimento dos veículos tais como a sua velocidade e aceleração, tendo em conta que 
estas variáveis correspondem à 1ª e segunda 2ª derivada da trajectória x(t). Assim, conforme a velocidade for 
constante ou variável a trajectória será, respectivamente, uma recta ou uma curva, tendo neste último caso 
uma aceleração positiva ou negativa (desaceleração) se a curva for convexa ou côncava. Na Figura 1 ainda é 
possível mostrar que o veículo B foi ultrapassado pelo veículo A e na secção X os veículos passaram muito 
próximo uns dos outros entre os instantes t1 e t2. 
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2 PARÂMETROS DE CORRENTE DE TRÁFEGO 
 
Há essencialmente dois tipos de abordagem no estudo das correntes de tráfego. Um nível microscópico onde 
os veículos são considerados isoladamente e um nível macroscópico em que se caracteriza um grupo de 
veículos. 
 
Os Parâmetros Microscópicas mais importantes são o tempo entre veículos, a distância entre veículos e a 
velocidade individual. Em relação aos Parâmetros Macroscópicas há o débito, a densidade, a taxa de 
ocupação e a velocidade média. 
 
2.1 CARACTERIZAÇÃO MICROSCÓPICA 
 
2.1.1 Tempo entre veículos 
O tempo entre veículos h é o intervalo de tempo, registado num local fixo, que decorre entre os instantes de 
passagem de pontos homólogos dos veículos sucessivos. Em geral, é utilizado como ponto de referência o 
pára-choques ou a roda dianteira dos veículos, admitindo-se que o tempo entre veículos h, associado ao 
veículo i, diz respeito ao intervalo existente antes da sua passagem, isto é, à diferença entre os instantes de 
passagem dos veículos de ordem i-1 e i. 
 
No diagrama espaço-tempo da Figura 2 pode observar-se as trajectórias de dois veículos e, para a secção X, o 
tempo entre veículos referido ao veículo i+1, dado por: 
ℎ𝑖+1 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖(1) 
onde, 
ℎ𝑖+1– Tempo entre veículos do veículo i+1 
𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1– instante de passagem do veículo i, i+1 
 
Figura 2 – Tempo e distância entre veículos 
 
O valor de hi+1 inclui o tempo que demora a passar o veículo i e o intervalo de tempo que decorre entre a 
passagem do pára-choques traseiro do veículo i e o pára-choques dianteiro do veículo i+1. 
 
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O tempo entre veículos reflecte a sua proximidade, sendo útil nos estudos de segurança rodoviária, na 
distinção entre veículos que circulam em regime livre e em regime congestionado, na regulação dos sinais 
luminosos, nos estudos de capacidade em cruzamentos prioritárias, etc. 
 
A distribuição deste parâmetro depende de vários factores (volumes de tráfego, tipo de estrada, composição da 
corrente de tráfego, condições de visibilidade, etc.). No que respeita ao volume de tráfego pode-se considerar 
três casos que a seguir são descritos: 
a) Os veículos circulam praticamente independentes uns dos outros, com reduzida ou nula interacção 
entre eles. Os volumes de tráfego são pequenos, sendo o escoamento fluido. Neste caso o tempo 
entre veículos h segue uma lei exponencial negativa. 
b) Os volumes de tráfego são intensos havendo uma forte interacção entre os veículos que passam com 
uma cadência praticamente regular. 
c) O caso mais frequente e mais difícil de analisar situa-se entre os dois casos limites atrás apresentados, 
caracterizando-se por haver uma mistura de veículos constrangidos e veículos livres. 
 
2.1.2 Distância entre veículos 
A distância entre veículos S é dada pelo comprimento medido, num determinado instante, entre os pontos 
homólogos dos veículos sucessivos. Tal como anteriormente utilizam-se como pontos de referência os pára-
choques (ou rodas) dianteiros, compreendendo conforme se pode observar na Figura 2, o espaço livre entre os 
veículos i e i+1 e o comprimento do veículo i, isto é: 
𝑆𝑖+1 = 𝑋𝑖+1 − 𝑋𝑖 (2) 
onde, 
𝑆𝑖+1 – Distância entre veículos associada ao veículo i+1 
𝑋𝑖, 𝑋𝑖+1 – distância à origem do veículo i,i+1 
As variáveis s e h estão relacionadas através de: 
𝑆𝑖+1 = ℎ𝑖+1 ∙ 𝑢𝑖+1 (3) 
onde, 
 𝑢𝑖+1 – Representa a velocidade do veículo i+1 durante o tempo hi+1 
 
Um aspecto importante relacionado com este parâmetro consiste na determinação da distância a respeitar 
entre veículos, imposta por razões de segurança. 
 
2.1.3 Velocidade individual 
A velocidade (espaço percorrido por unidade de tempo) é uma das variáveis mais importantes associadas às 
correntes de tráfego. É a partir do seu conhecimento que se define o nível de serviço duma estrada, que se 
realizam estimativas do consumo de combustível ou das emissões de poluentes, que se elaboram estudos 
económicos, que se analisa certos aspectos relacionados com a segurança rodoviária, etc. 
Distingue-se entre velocidade de percurso (ou velocidade de operação) e velocidade de marcha conforme se 
tem ou não em conta, respectivamente, o tempo em que o veículo está parado, isto é, no caso da velocidade 
de marcha é apenas considerado o tempo em que o veículo está em movimento. 
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2.2 CARACTERIZAÇÃO MACROSCÓPICA 
 
2.2.1 Volume de tráfego 
Definido como o número de veículos que circulam num determinado ponto da via durante um intervalo de 
tempo. É geralmente expresso em veículos por unidade de tempo. 
 
É necessário explicitar alguns conceitos e definições que serão usados com frequência nesta cadeira: 
• Fluxo de Tráfego – ou volume de tráfego é o número total de veículos que passam em um 
determinado ponto durante um dado intervalo de tempo. O fluxo pode ser expresso em períodos 
anuais, diários, horários. 
• Taxa de fluxo ou Débito (q ou v) – é a taxa horária equivalente de veículos que passam por um dado 
ponto durante um intervalo de tempo menor que uma hora, geralmente 15 minutos, expresso em 
(veic/h). 
• Densidade - é definida como o número de veículos que ocupa uma certa extensão de uma faixa ou de 
uma rodovia. 
• Capacidade – capacidade de uma via é o máximo fluxo de veículos que ela pode acomodar. 
Corresponde a oferta máxima da via e depende das características da via (características geométricas 
da rodovia) e do tráfego (características da corrente de tráfego). 
 
2.2.1.1 Volumes diários e sua utilização 
É frequente utilizar-se como intervalo de tempo para a definição dos volumes o dia. São usados geralmente 
como base para o planeamento de novas estradas e observação das tendências de crescimento de tráfego. 
Entre estes volumes diários destacam-se dois: 
 
a) Tráfego médio diário anual (TMDA) – média dos volumes de tráfego medidos num determinado local 
nas 24 horas do dia e ao longo de 365 dias por ano, ou seja, é o número total de veículos que 
atravessou uma dada secção, dividido por 365; 
b) Tráfego médio diário (TMD) – média dos volumes de tráfego medidos num determinado local nas 24 
horas do dia, mas ao longo de um período inferior a um ano. Enquanto o TMDA é para um ano inteiro 
um TMD pode ser medido para seis meses, uma estação, um mês, uma semana ou até para dois dias. 
Um TMD é válido apenas para o período de tempo em que é medido. 
 
2.2.1.2 Volumes horários e sua utilização 
Os volumes de tráfego variam consideravelmente ao longo de um dia, geralmente com picos ao longo da 
manhã e da noite devidos à existência de grande número de viagens casa-trabalho. A hora do dia com maior 
volume de tráfego, normalmente definida como a ponta horária, é de extrema importância para os engenheiros 
de tráfego. 
 
Em fase de projecto considera-se normalmente o volume horário de projecto, VHP, correspondente ao volume 
da 30ª hora de ponta (volume horário que é excedido, durante um ano, 29 vezes). Este volume representa um 
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compromisso entre questões do tipo económico e operacional, isto é, se os volumes de projecto considerados 
forem mais elevados estes conduzirão a características da estrada mais exigentes, enquanto que se os 
volumes considerados forem menores existe o risco da ocorrência frequente de congestionamento. 
 
As estradas devem ser concebidas para servirem, adequadamente, os volumes horários de ponta (VHP) na 
direcção principal. Como o tráfego de manhã é geralmente mais intenso numa direcção e à noite na outra, as 
duas direcções devem ser consideradas aquando da elaboração do projecto da via. 
Por vezes os volumes horários de ponta são estimados a partir de projecções de volumes diários recorrendo à 
seguinte relação: 
VHP = TMDA × K1 × K2 (4) 
Onde: 
K1 – Fracção do TMDA que ocorre na hora de ponta; 
K2 – Fracção do tráfego da hora de ponta correspondente ao sentido mais carregado. 
 
Tipo de Via K1 K2 
Rural 0.15-0.25 0.65-0.80 
Suburbana 0.12-0.15 0.55-0.65 
Urbana 
Via radial 0.07-0.12 0.55-0.60 
Via circular 0.07-0.12 0.50-0.55 
Quadro 1: Valores usuais para as constantes K1 e K2 
 
A relação entre o TMDA e o Tráfego Médio Diário para Dias Úteis (TMDDU) é dada por: 
TMDA = 
TMDDU
1.07
 (5) 
 
2.2.1.3 Volumes sub-horários e débitos 
Enquanto os volumes são a base de inúmeras formas de análise de tráfego, as variações em cada hora são 
também muito importantes. A via poderá ter capacidade para responder à procura nas horas de ponta, mas 
durante pequenos instantes esta poderá ser superior à capacidade dando origem a congestionamentos. 
 
Débito (q ou v) 
Volumes observados em períodos inferiores a 1 hora [veic/h]. Esta diferença entre débito e volume de tráfego 
reside, pois, no facto de o débito referir-se a períodos mais curtos do que a hora, embora sejam ambos 
expressosnas mesmas unidades (veic/h). 
 
Este parâmetro está relacionado com o valor médio do tempo entre veículos, por: 
v = 
1
h̅
 (6) 
 
Mas então qual é o intervalo de tempo que deverá ser utilizado nas análises de tráfego? Não existe uma 
resposta inequívoca, mas o Highway Capacity Manual – HCM sugere que se utilizem intervalos de 15 minutos 
por razões de estabilidade estatística. A variação de débitos em intervalos mais pequenos é demasiado 
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instável e consequentemente as relações com outras grandezas tornam-se difíceis de estabelecer com grau 
mínimo de confiança. 
 
Factor de Ponta Horária (FPH) 
Assinale-se que em estudos de capacidade e níveis de serviço recomenda-se a utilização do débito referente 
ao período de ponta de 15 minutos, que poderá ser obtido através do Factor de Ponta Horária (FPH), dado pelo 
quociente entre o volume horário e o débito máximo de ponta de 15 minutos, isto é, 
FPH = 
V60
4 × V15
 (7) 
Onde V15 e V60 representam o volume de ponta de 15 minutos e o volume horário respectivamente. 
O valor de FPH está, em geral, compreendido entre 0,75 e 0,95, embora em termos teóricos possa variar entre 
0,25 e 1,00. 
 
Quando se sabe o valor do FHP este pode ser utilizado para converter o VHP num débito máximo estimado 
para uma hora: 
v = 
V
FHP
 (8) 
onde: 
v – Débito numa hora (veíc./hora); 
V – Volume horário máximo numa hora (veíc./hora); 
FHP – Factor horário de ponta. 
 
O coeficiente de equivalência (ou de homogeneização) 
As correntes de tráfego são normalmente heterogéneas compreendendo veículos de características diversas. 
É, assim, importante que, de uma forma inequívoca, se possa dispor de uma única unidade de medida do 
volume de tráfego ou débito, que será obtida a partir do conceito de coeficiente de equivalência (ou de 
homogeneização), que permite transformar o volume real num outro equivalente constituído apenas por 
veículos ligeiros. Representa o número de veículos ligeiros que, nas mesmas condições, produz o mesmo 
efeito que um veículo duma certa classe. 
 
Se for 𝑞𝑟 o débito real compreendendo veículos ligeiros e pesados numa percentagem de (1-p) e p, 
respectivamente e sendo E o coeficiente de equivalência dos veículos pesados o débito homogeneizado 𝑞ℎ é 
dado por: 
qh = qr(1 − p + p ∙ E) (9) 
Generalizando para o caso de dispor de vários tipos de veículo resulta: 
qh = qr (1 − ∑p +∑ p ∙ E) (10) 
 
2.2.2 Velocidade 
Velocidade é definida como a distância percorrida numa unidade de tempo. 
 
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Num dado fluxo de tráfego, cada veículo viaja a uma determinada velocidade o que implica que não haverá 
uma só velocidade homogénea, mas sim uma distribuição de velocidades individuais de cada veículo. Dessa 
distribuição discreta de velocidades recorre-se então à média para caracterizar o fluxo como um todo. 
A média das velocidades poderá ser vista sob dois pontos de vista fornecendo dois valores com explicações 
físicas diferentes: 
 
Velocidade média no tempo - definida como a velocidade média de todos os veículos que atravessam um 
ponto da via em determinado período. 
u̅t =
1
n
∑
L
ti
n
i=1
 (11) 
Atendendo a que se pretende uma velocidade média ao longo do tempo, a ponderação, neste caso, será feita 
pelos débitos, ou seja: 
u̅t =
∑qi × ui
∑qi
 (12) 
 
Velocidade média no espaço - definida como a velocidade média de todos os veículos que percorrem uma 
secção da via em determinado período. 
u̅s =
n ∙ L
∑ ti
n
i=1
 (13) 
Onde: 
L – Distância atravessada (km); 
n – número de observações; 
𝒕𝒊 – tempo de viagem do veículo i (h). 
u𝒊 – velocidade de viagem do veículo i (km/h). 
 
A velocidade média no espaço �̅�𝑠 também corresponde, num dado instante, à média ponderada pelas 
concentrações das velocidades dos veículos observadas num dado segmento da estrada. Esta velocidade 
pode, então, ser calculada por: 
u̅s =
∑ki × ui
∑ki
 (14) 
 
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Figura 3: tempo de viagem do veículo i (h) 
 
A velocidade média no espaço é mais sensível à presença de veículos lentos na corrente de tráfego, reflectindo 
o tempo que os veículos ocupam um determinado segmento de estrada. 
 
2.2.3 Densidade 
A densidade diz respeito à repartição dos veículos no espaço, reflectindo a liberdade de manobra dos 
condutores e mede-se pelo número de veículos por unidade de comprimento. 
k =
n
L
 (15) 
onde: 
n – número de veículos presentes no troço observado; 
L – Extensão; 
A densidade está relacionada com o valor médio da distância entre veículos “s” em metros, através de: 
k =
1
s
 (16) 
A densidade é de difícil observação (a menos de recurso a instrumentos fotográficos posicionados em 
pontos sobre-elevados à via) mas poderá obtida a partir da velocidade e do volume segundo a relação: 
q = u̅s × K (17) 
onde: 
q – fluxo (ou volume) (veíc/hora); 
u̅s – Velocidade média no espaço (km/h); 
K – densidade (veíc./km). 
 
A densidade é uma grandeza importante para medir a qualidade do escoamento de tráfego, na medida 
em que quantifica a proximidade entre veículos, factor esse que influencia a liberdade de movimentos e 
o conforto psicológico dos condutores. 
 
2.3 Relação entre Volume, Velocidade e Densidade 
 
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Figura 5: Relações fundamentais de parâmetros macroscópicos 
 
De salientar que um fluxo zero ocorre em duas situações: 
• Quando não existem veículos na estrada e a densidade é zero e não se observam veículos a 
atravessar um determinado ponto. Teoricamente, a velocidade assume assim o valor máximo a que um 
veículo pode circular em condições de segurança nessa via; 
• Quando a densidade é tão alta que não existe movimento dos veículos, ou seja, existe um 
congestionamento. Nessa situação a densidade designa-se por densidade de congestionamento. 
 
Os pontos máximos das curvas Velocidade - Fluxo e Densidade – Fluxo são os pontos onde ocorrem os 
máximos fluxos, ou seja, representam a capacidade. À velocidade e densidade a que isso ocorre dá-se o nome 
de velocidade crítica e densidade crítica. 
 
Esses pontos são relativamente instáveis. Quando o escoamento se dá em capacidade, os intervalos entre 
veículos são os mínimos que permitem um escoamento estável. A partir daí, no sentido da maior densidade 
(menores intervalos entre veículos), os condutores passam a alternar entre fases de aceleração e de 
desaceleração, com forte perda de eficiência no escoamento devida à não sincronização dessas fases 
individuais. De notar ainda que qualquer fluxo inferior à capacidade pode ocorrer em duas diferentes 
condições: 
• Velocidade elevada e baixa densidade; 
• Baixa velocidade e densidade elevada; 
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Os pontos A e B das figuras representam essas situações. Obviamente que o ponto A é mais desejável. Mas a 
verdade é que o facto de um dado volume de tráfego poder ocorrer em duas situações operacionais 
completamente distintas é muito importante. Isso explica porque um volume ou um débito de tráfego não 
podem ser utilizados como única medida qualitativa da corrente de tráfego. A velocidade e a densidade, por 
seu lado são medidas que poderão ser úteis nesse sentido pois descrevem o estado da corrente de tráfego. 
Alémdisso são facilmente sentidas pelo condutor enquanto o volume de tráfego é uma medida que não o 
interessa directamente. 
 
 
3 MODELOS DE CORRENTES DE TRÁFEGO 
 
Tendo em conta a relação fundamental das correntes de tráfego definida por q=k×us, será possível, em teoria, 
obter um mesmo resultado de uma das variáveis para um número infinito de combinações das outras duas. No 
seu conjunto estas relações são redundantes, bastando conhecer apenas uma delas para que, com a ajuda da 
relação fundamental, se chegue facilmente às outras duas. 
 
Embora já tenham sido publicadas diversas teorias e análises relativas às relações entre as grandezas que 
caracterizam as correntes de tráfego, não existem formulações conclusivas nesta matéria. De facto a 
circulação rodoviária é um processo estocástico, com variações aleatórias nas características dos veículos, dos 
seus condutores e das suas interacções, e, portanto, de difícil modelação. Desta forma, pretende-se aqui 
apresentar alguns dos modelos empíricos de correntes de tráfego, avançados por diversos autores. A relação 
mais simples para basear esta apresentação é a Velocidade - Densidade (U-K), por apresentar um andamento 
monótono. 
 
Modelos de regime simples: 
• Greenshields (1935) – [Modelo S]; 
• Greenberg (1959) – [Modelo B]; 
• Underwood (1961) – [Modelo U]; 
• Drew (1968); 
• Drake (1967) – [Modelo D]. 
 
Modelos multi-regime: 
• Edie; 
• Northwester University; 
• Greenberg modificado. 
 
Dentre os vários modelos de correntes de tráfego, só estudaremos três modelos: Modelo de Greenshields, 
Modelo de Greenberg e Modelo de Underwood. 
 
Condições de fronteira 
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• Os modelos são empíricos e assentam na relação velocidade - densidade 
• Fluxo nulo implica velocidade nula; 
• A Velocidade é nula quando a densidade é máxima (𝑲𝒋) 
• A Velocidade livre (𝑽𝒇 ou Uf) ocorre quando a densidade é nula 
• A Curva Fluxo - Densidade é convexa, ou seja, tem um ponto onde o fluxo é máximo (𝐐𝐦) 
 
3.1 Modelo de Greenshields 
Greenshields propõe a relação mais simples que pode ser encontrada entre a Velocidade e a Densidade: a 
relação linear. 
 
Figura 5: Modelo de Greenshields 
 
Este modelo tem a vantagem da simplicidade, mas observações de campo revelaram que o comportamento 
linear da curva velocidade-densidade acontece apenas nas faixas intermediárias de u e k. 
 
Hipótese base: 
A relação entre a Densidade e a velocidade é linear: U = a + b. K 
Donde: 
Uf = a + b. 0 ↔ Uf = a & 0 = a + b ∙ Kj ↔ Kj = −
a
b
 
A relação U-K é dada por: 
U = Uf −
Uf
Kj
× K K = Kj −
Kj
Uf
× U 
Considerando a relação fundamental Q=U.K, e resolvendo em ordem a U e K, têm-se: 
 Q = U. K =
{
 
 
 
 Q = Uf × K−
Uf
Kj
×K2
Q = Kj ×U−
Kj
Uf
×U2
 
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O Q máximo Qm é determinado pelo ponto onde a derivada em ordem a K é nula 
∂Q
∂K
= 0 ↔ Km =
Kj
2
 logo Um =
Uf
2
 (18) 
Qm =
Uf × Kj
4
 (19) 
 
3.2 Modelo de Greenberg 
Surge devido à verificação de que a relação entre a densidade e a velocidade não é linear: 𝐔 = 𝐚 × 𝐥𝐧(𝐛𝐊). 
 
Figura 6: Modelo de Greenberg 
Apresenta um maior ajustamento aos dados reais. No entanto viola uma das condições de fronteira definida 
dado que a densidade nula só é atingida a uma velocidade infinita. Funciona melhor para densidades baixas e 
densidade máxima corresponde a U=0. 
 
Seguindo o raciocínio utilizado no ponto anterior, podemos determinar a Densidade máxima, igualando a zero a 
expressão que relaciona a Velocidade e a Densidade: 
0 = a × ln(bK𝑗) ↔ b × K𝑗 = 1 ↔ K𝑗 =
1
𝑏
 
A relação U-K é dada por: 
U = a × ln
K
K𝑗
 ou K = K𝑗 × 𝑒
𝑈
𝑎 
As relações Q-V e Q-K resultam 
Q = U. K =
{
 
 
 
 Q = K ∙ a ∙ ln
K
Kj
Q = U× Kj × 𝑒
𝑈
𝑎
 
 
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Pegando na segunda relação, podemos determinar a Velocidade para a qual ocorre a Capacidade: 
∂Q
∂U
= 0 ↔ Um = −a 
Obtêm-se finalmente as relações pretendidas: 
U = Um × ln(
Kj
K
) ou K = Kj × e
− 
U
 Um 
Q = K ∙ Um ∙ ln
Kj
K
 e Q = U × Kj × e
− 
U
 Um 
A Capacidade e a respectiva Densidade podem então ser encontradas utilizando as expressões anteriores: 
K𝑚 =
Kj
𝑒
 (20) 
Q𝑚 =
Um ∙ Kj
𝑒
 (21) 
 
3.3 Modelo de Underwood 
Como se pode observar, esta formulação resulta da proposta de Greenberg trocando as variáveis U e K, 
violando também uma das restrições anteriormente indicadas, visto que, neste caso, a Velocidade nula só pode 
ser atingida a uma Densidade infinita e também funciona melhor para densidades baixas. O modelo de 
Underwood propõe uma relação exponencial negativa: 𝐔 = 𝐚 × 𝐞−𝐛∙𝐊 
 
Figura 7: Modelo de Underwood 
 
De acordo com dedução semelhante à realizada para o modelo de Greenberg, obtêm-se as seguintes relações: 
 
K = 0 ↔ U = Uf ↔ Uf = a 
U = Uf × e
− 
K
Km ou K = Km × ln
Uf
U
 
Q = K × Uf × e
− 
K
 Km e Q = U × Km × ln
Uf
U
 
 
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∂Q
∂U
= 0 ↔ Um =
Uf
𝑒
 (22) 
 Q𝑚 =
Uf ∙ Km
𝑒
 (23) 
 
3.4 Resumo 
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4 TIPOS DE FLUXOS 
 
4.1 Condições de Oferta e Variáveis de Oferta no Tráfego 
 
Em termos concretos, as variáveis de oferta são as características físicas (número de faixas, alinhamento 
vertical e horizontal, existência de acostamentos ou baias, de cruzamentos ou travessias em nível ou desnível) 
e de controle (definição de preferência de circulação, regulamentação de velocidade, restrições de 
estacionamento junto à via, utilização e programação de semáforos) que interessam para determinar o 
desempenho potencial dos elementos viários. Alterar a oferta viária significa modificar algum destes fatores 
concretos. 
 
As variáveis de oferta podem ser vistas como: 
• fatores concretos que afetam o potencial de desempenho da via (as características físicas e de 
controle de tráfego de um trecho da via, relevantes para determinar seu desempenho); 
• variáveis-síntese que medem o potencial de desempenho da via, tais como o máximo fluxo de tráfego 
veicular que um trecho de via pode escoar ou a máxima velocidade praticada pelos usuários de um 
trecho de via (podem ser melhor expressas em curvas de operação da via). 
A relação entre os fatores concretos e as curvas de operação é um aspecto empírico fundamental. 
 
Os dois contextos operacionais típicos no sistema viário são chamados de condições de oferta, sendo definidos 
por: 
• operação em fluxo contínuo (ou ininterrupto), no qual as condições operacionais são determinadas pela 
interação entre veículos dentro da corrente de tráfego; 
• operação em fluxo descontínuo (ou interrompido), no qual as condições operacionais são dominadas 
por interrupções periódicas causadas por elementos externos à corrente de tráfego (usualmente 
dispositivos de sinalização ou outras correntes de tráfego preferenciais). 
 
Um fluxo de tráfego contínuo é aquele em que não existem interrupções periódicas na corrente de tráfego 
(tipo de fluxo encontrado em autoestradas e outras vias com acesso limitado, onde não existem semáforos, 
sinais de parada obrigatória ou de preferencial à frente e nem interseções em nível). Pode-seadmitir fluxo 
contínuo em trechos de rodovias onde as interseções em nível estejam separadas por distâncias 
consideráveis. 
 
Os fluxos de tráfego interrompidos são encontrados nos trechos de vias onde existem dispositivos que 
interrompem o fluxo de veículo periodicamente. O fluxo de veículos, neste caso, não depende apenas da 
interação entre os veículos, mas também do intervalo entre as interrupções do tráfego, como será visto adiante. 
 
4.2 Fluxo de veículos em intersecções semaforizadas 
 
Intersecção é uma área em que duas ou mais vias se cruzam ou se unem e assim possa ter diversos 
movimentos de tráfego. O número de conflitos é muito alto e tem alto risco de acidentes. 
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As intersecções podem ser: 
• Semaforizadas 
Acesso e cruzamento controlado pelo uso de semáforos 
• Paragem obrigatória 
Acesso e cruzamento controlados pelo sinal de “PARE” ou “Dê a prioridade” 
• Sem controlo 
Não há controlo de acesso e cruzamento 
Prioridade de quem vem da direita 
 
Intersecções semaforizadas podem ser: 
• Isoladas 
A operação de um semáforo não interfere no semáforo seguinte (semáforos distantes) 
• Interconectadas 
Controlados de forma coordenada por um sistema central ou local (semáforos congruentes) 
Semáforos Electrónicos 
Semáforos Inteligentes 
 
 
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5 TEORIA DE FILAS 
 
Há formação de filas quando as chegadas aguardam, numa “área de serviço”, pelo momento de serem 
servidas. O serviço aguardado pode consistir de: 
• Surgimento de uma folga aceitável no fluxo de uma via principal; 
• Pagamento de portagem; 
• Entrada ou saída de uma área de estacionamento; ou 
• Observação de sinalização corrente numa via. 
 
5.1 Elementos fundamentais para a caracterização 
Para se estudarem as características matemáticas do sistema de formação de filas de espera, há que referir as 
seguintes características e parâmetros do sistema: 
• Mecanismo de chegadas - a forma como os clientes chegam ao sistema é caracterizado por uma 
cadência de chegadas (q) e por uma distribuição (normalmente é uma distribuição Poisson) 
• Mecanismo de serviço - é descrito pela taxa de serviço (s), a distribuição, o número de postos de 
serviço. 
• Disciplina de fila - é constituído pelas regras de escolha do próximo cliente a ser servido (FIFO - first 
in first out, LIFO - last in first out) 
 
Para caracterização das filas de espera recorre-se a Modelações Determinísticas ou Estocásticas. 
Modelo Determinístico: não contém nenhuma variável aleatória, trabalha com valores médios ou usa o 
próprio valor colectado no sistema de tráfego como dado de entrada, para um conjunto conhecido de dados de 
entrada tem-se um único conjunto de dados de saída. 
Modelo Estocástico: possui uma ou mais variáveis aleatórias como dados de entrada, utilizada quando pelo 
menos uma das características operacionais é dada por uma função de probabilidade, as saídas são tratadas 
como como estimativas estatísticas das características reais de um sistema. 
 
5.2 Modelos determinísticos de filas de espera 
 
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5.3 Padrões de Filas de Espera 
 
 
5.4 Formulação Matemática 
A função que traduz as chegadas e/ou partidas acumuladas é obtida através da primitiva da função de 
chegadas e/ou partidas: 
fa(t) = ∫ fr(t) × t (24) 
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Considerando a - cadência de chegadas e b - ordenada de origem, se: 
• O ritmo de chegadas for constante: 
fr(t) = a ↔ fa(t) = b + a ∙ t (25) 
• O ritmo de chegadas variar linearmente: 
fr(t) = b + a ∙ t ↔ fa(t) = c + a ∙ t +
b
2
∙ t2 (26) 
 
5.5 Filas de espera em semáforos 
 
Intersecções Semaforizadas Isoladas 
• Estudo feito com o uso da teoria das filas 
• FIFO – First In First Out 
• Modelo D/D/1 
• Chegadas em intervalos iguais e constantes 
• Partidas em intervalos iguais e constantes 
• Um único canal 
• Headway de chegada e partida podem ser diferentes 
 
 
• Pode ser abordado recorrendo a metodologias determinísticas. 
• A taxa de serviço assume alternadamente os valores de débito de saturação da via (tempo de verde) e 
zero (tempo de vermelho). s representa o débito de saturação e q o ritmo de chegadas. 
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O comprimento da fila é representado pela distância vertical através do triângulo. No início do vermelho, o 
comprimento da fila é zero e aumenta para o valor máximo no final do período vermelho. Em seguida, o 
comprimento da fila diminui até que a linha de chegada cruze a linha de partida, quando o comprimento da fila 
é igual a zero. 
 
Durante o período vermelho, a taxa de partida é zero, portanto, a partida é mostrada como uma linha horizontal 
no diagrama inferior. No início do período verde, uma fila está presente e a taxa de partida (serviço) é igual à 
taxa de fluxo de saturação. Isso forma uma série de triângulos, com a linha de chegada cumulativa como o lado 
superior de cada triângulo e a linha de partida cumulativa formando os outros dois lados. 
 
Cada triângulo representa um comprimento de ciclo e pode ser analisado para calcular a duração de tempo da 
fila. Começa no início do período vermelho e continua até que a fila se dissipe. 
 
5.5.1 Capacidade de uma aproximação 
C = s ×
g
c
 (27) 
Onde: 
C - Capacidade de aproximação (veic/h) 
s - Fluxo de saturação (veic/h) 
g - Tempo de verde efectivo (s) 
c - ciclo (s) 
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 Figura 8: Aproximação semaforizada 
 
Fluxo de saturação: s (veic./h) 
• Volume máximo que poderia passar pela intersecção se o sinal ficasse sempre aberto e se a fila não 
terminasse – a partir da aproximação estudada 
• Corresponde ao headway (Tempo entre veículos) mínimo observado entre os veículos da fila formada 
• É a capacidade da via (qm) 
Por definição, é calculado pela Equação: 
s =
3600
h̅
 (28) 
Onde 
s = Fluxo de saturação (veic/h) e 
h̅ = headway médio de saturação (s). 
 
Ciclo semafórico c (s): Tempo necessário para completar um ciclo (verde-amarelo-vermelho) 
 
O tempo de verde efetivo g (s): tempo efetivamente disponível para os veículos atravessarem a interseção. O 
tempo de verde efetivo é dado por: 
g = G + A – p (29) 
 
Onde: 
G = tempo durante o qual a luz verde está acesa [s]; 
A = tempo durante o qual a luz amarela está acesa [s]; 
p = tempo perdido no início do verde e no final do amarelo [s]. 
 
O período de tempo perdido em cada ciclo, p, é causado pela demora dos motoristas reagirem à mudança da 
indicação semafórica e o tempo necessário para os veículos que estão no cruzamento liberarem 
completamente a interseção [Denatran, 1979]. Estes tempos podem ser medidos in situ e sua soma é da 
ordem de 4 segundos. 
 
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Tempo de vermelho efetivo, r (s): tempo em que os carros não podem cruzar a interseção e pode ser 
calculado por: 
r = c − g (30) 
Ou seja, é a diferença entre o tempo de ciclo (c) e o tempo de verde efetivo (g). 
 
Grau de Congestionamento: é a razão entre o volume de uma aproximação V, e a sua capacidade, C. Se a 
relação V/C ≥ 1, diz-se que a aproximação está saturada. Neste caso, se o volume na aproximação se 
mantiver, o comprimento da fila cresce continuamente. Na maior parte dos casos V/C ≥ 1 só ocorre 
esporadicamente,durante alguns minutos; a capacidade de uma aproximação é sempre maior que o volume, 
na maior parte do tempo. 
ρ =
q × c
s × g
 (31) 
Níveis de saturação: 
• Sobressaturado: ρ> 1 => Leva à fila 
• Não saturado: ρ <1 
• Saturado: ρ = 1 => Pode levar à fila (na presença de flutuações) 
 
Em filas sobressaturadas, a taxa de chegada é maior que a taxa de serviço; em filas não saturadas, a taxa de 
chegada é menor que a taxa de serviço. O comprimento de uma fila não saturada pode variar, mas atingirá um 
estado estável com a chegada de veículos. Em contraste, o comprimento de uma fila supersaturada nunca 
atingirá um estado estável, mas aumentará com a chegada de veículos. 
 
A taxa de utilização (ocupação) de um sistema de enfileiramento pode ser calculada por: 
γ =
q
s
 (32) 
 
5.5.2 Dimensão de uma fila de espera 
 
 
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A variação da dimensão da fila de espera resulta da diferença de ordenadas entre os gráficos acumulados de 
chegadas e partidas 
A Fila Máxima = q × r (33) 
Onde: 
q é o ritmo de chegadas; 
r é o tempo de vermelho 
 
Durante o tempo de verde o ritmo de chegadas mantém-se igual a q e o ritmo de partidas toma o valor de s. A 
fila de espera diminui a um ritmo de s-q. 
O instante em que a fila se dissipa (t0) é dado pela soma do tempo de vermelho (r) com o tempo de dissipação 
(tDES) durante o período de verde. 
t0 = r + tDES ↔ t0 = r +
q × r
s − q
 ↔ t0 =
s × r
s − q
 (34) 
 
5.5.3 Parâmetros de funcionamento de filas de espera (intersecções semaforizadas) 
 
Parâmetro Expressão de cálculo 
Duração da fila t0 =
s × r
s − q
 
Proporção do tempo com fila pF =
t0
C
 (%) 
Número de veículos atrasados Nva = q × t0 
Proporção de veículos atrasados Prva =
q × t0
q × C
 
Comprimento máximo da fila Lmax = q × r 
Comprimento médio da fila em to Lmed =
q × r
2
 
Comprimento médio da fila por ciclo (C) LmedC =
q × r × t0
2C
 
Atraso total dt =
q × r × t0
2
 
Atraso médio por veículo por ciclo (C) dmC =
r × t0
2C