Matrizes e Sistemas Lineares

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UNEB - Universidade do Estado da Bahia
DCET - Departamento de Ciências Exatas e da Terra
Matrizes e Sistemas Lineares
Atualizada em 24 de setembro de 2013
1 Matrizes
1.1 Conceitos Básicos
Quando uma situação envolve dados relacionados costumamos construir tabelas com a finalidade de
obtermos uma visão simplificada da mesma. Por exemplo, é comum tabelarmos as notas dos alunos
de uma classe por unidade. Veja por exemplo as notas dos alunos de uma determinada classe:
Aluno Nota 1 Nota 2 Nota 3
Aluno A 5, 0 4, 0 6, 0
Aluno B 7, 0 9, 0 8, 0
Aluno C 6, 0 8, 0 8, 0
Aluno D 4, 0 3, 0 6, 0
Se suprimirmos as informações relativas ao nome e ao tipo da avaliação encontramos a seguinte forma:








5, 0 4, 0 6, 0
7, 0 9, 0 8, 0
7, 0 8, 0 8, 0
4, 0 3, 0 6, 0








Esta representação é chamada de matriz.
Definição 1. Sejam m e n inteiros maiores ou iguais a um. Uma matriz Am×n é uma tabela
de elementos distribuidos em m linhas e n colunas, que podemos representar da seguinte forma:
Am×n =








a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn








ou Am×n = (aı)m×n
Para localizarmos um elemento em uma matriz, dizemos a linha e a coluna em que ele se encontra,
nesta ordem. No exemplo acima, temos os seguintes elementos: a22 = 9, 0; a13 = 6, 0 e a31 = 7, 0.
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 1
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Os elementos localizados na i-ésima linha e na i-ésima coluna (aıı) pertencem a diagonal da matriz. A
expressão m × n é chamada ordem da matriz Am×n. Assim, a ordem da matriz do exemplo anterior
é 4 × 3. Observemos que continuamos a escrever o número de linhas primeiro e em seguida o de
colunas. Quando o número de linhas e de colunas de uma matriz A são iguais (m = n), dizemos que
simplesmente que sua ordem é m e, nesse caso a matriz A é dita ser quadrada. Neste estudo usaremos
alguns tipos especiais de matrizes quadradas que definiremos a seguir.
Exemplo 1. A matriz A =





1 −2 3
2 0 −5
1
2 5 0





é uma matriz quadrada de ordem 3.
Definição 2. Seja A = (aı) uma matriz quadrada. Dizemos que:
(ı) A é uma matriz diagonal se aı = 0, para ı 6= ;
(ıı) A é uma matriz identidade se é diagonal e aı = 1, para ı = ;
(ııı) A é uma matriz triangular superior se aı = 0, para ı > ;
(ıv) A é uma matriz triangular inferior se aı = 0, para ı < ;
Definição 3. Duas matrizes A e B são iguais se possuem a mesma ordem e todos os seus elementos
correspondentes são iguais.
Exemplo 2. As matrizes A =





sen 45◦ 20
log22
√
9
0 cos 90◦





e B =





cos 45◦ 1
1 3
0 0





são iguais.
1.2 Operações
Vejamos agora como operar com matrizes. Neste conjunto podemos definir as operações usuais de
adição e multiplicação de matrizes, bem como a multiplicação de escalares por uma matriz. Acompanhe
cada uma das definições a seguir.
Definição 4 (Adição de Matrizes). Sejam A = (aı) e B = (bı) matrizes de mesma ordem. Chamamos
a matriz C = (cı) = (aı + bı) de soma das matrizes A e B, ou seja,
C = A+B =








a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn








Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 2
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Exemplo 3.


1 2 3
0 −4 3

+


2 −1 3
3 0 2

 =


3 1 6
3 −4 5


Sejam A, B, C matrizes de mesma ordem. Então as propriedades a seguir são válidas:
• A+B = B +A (comutativa)
• (A+B) + C = A+ (B + C)(associativa)
• A+O = A onde O = (aı), aı = 0 (elemento neutro)
• ∃(−A) tal que A+ (−A) = O( elemento oposto)
Vejamos agora como multiplicar matrizes por escalares.
Definição 5 (Produto por Escalar). Seja A = (aı) e t um escalar. Chamamos produto de t por A a
matriz
tA =








ta11 ta12 · · · ta1n
ta21 ta22 · · · ta2n
...
...
. . .
...
tam1 tam2 · · · tamn








Exemplo 4.
√
2 ·


√
2 −1
√
3
3 0 2

 =


2 −
√
2
√
6
3
√
2 0 2
√
2


Utilizando a definição 5 podemos mostrar com facilidade as seguintes propriedades. Dadas A e B
matrizes de mesma ordem e t1, t2 escalares, temos:
• t1 · (A+B) = t1A+ t1B
• (t1 + t2) ·A = t1A+ t2A
• 0 ·A = 0m×n
• (t1)t2 ·A = (t1t2) ·A
Vejamos agora como efetuar o produto entre matrizes. Aqui teremos um cuidado adicional em relação
às ordens da matriz.
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Definição 6 (Produto de Matrizes). Sejam A = (aı)m×n e B = (bı)n×p. A matriz C = (cı)m×p ,
onde cı =
n∑
k=1
aıkbk = aı1 · b1 + aı2 · b2 + · · ·+ aın · bn , é chamada produto da matriz A pela matriz
B.
Note que para poder efetuar um produto entre duas matrizes A e B, precisamos que a quantidade
de colunas de A seja igual a quantidade de linhas de B, ou seja, temos sempre que A = (aı)m×n e
B = (bı)n×p e nosso resultado sempre será uma matriz C = (cı)m×p. Sempre efetuamos o produto
de matrizes multiplicando os elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos da coluna da
segunda matriz.
Exemplo 5.





2 0
4 3
1 −2





3×2
·


2 1 7 1
4 3 0 0


2×4
=





2 · 2 + 0 · 4 2 · 1 + 0 · 3 2 · 7 + 0 · 0 2 · 1 + 0 · 0
4 · 2 + 3 · 4 4 · 1 + 3 · 3 4 · 7 + 3 · 0 4 · 1 + 3 · 0
1 · 2 + (−2) · 4 1 · 1 + (−2) · 3 1 · 7 + (−2) · 0 1 · 1 + (−2) · 0





3×4
=





4 2 14 2
20 13 28 4
−6 −5 7 1





3×4
Considerando A e B duas matrizes que possam ser multiplicadas, I a matriz identidade de ordem
correspondente e 0 a matriz nula de ordem correspondente, são válidas as seguintes propriedades:
• A · I = I ·A = A
• A · (B + C) = A ·B +A · C
• (A+B) · C = A · C +B · C
• (A ·B) · C = A · (B · C)
• A · 0 = 0 ·A = 0
Note que em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa. Verifique primeiro que ao multiplicar
A = (aı)m×n · B = (bı)n×p obtemos C = (cı)m×p e, neste caso, não será posśıvel efetuar o produto
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B = (bı)n×p · A = (aı)m×n. Caso o produto possa ser efetuado em ambos os sentidos, podemos
também não ter a igualdade A ·B = B ·A.
Exemplo 6.


2 1
0 0

 ·


−1 0
2 −2

 =


0 −2
0 0

 ;


−1 0
2 −2

 ·


2 1
0 0

 =


−2 −1
4 2


Definição 7 (Transposição de Matrizes). A transposta de uma matriz A = (aı)m×n é uma matriz
At = (bı)n×m que se obtém transformando as linhas de A nas colunas de A
t, ou seja, temos aı = bı.
Exemplo 7. Sendo A =


2 1 −3
−2 0 5

 temos At =





2 −2
1 0
−3 5





.
Considerando que as operações indicadas podem ser efetuadas, então as seguintes propriedades são
válidas:
• (At)t = A
• (A+B)t = At +Bt
• (kA)t = k(A)t; k ∈ R
• (A ·B)t = Bt ·At
Definição 8. Seja A = (aı) uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é uma matriz:
(ı) simétrica se aı = aı;
(ıı) antissimétrica se aı = −aı.
Exemplo 8. A matriz A =





2 −2 −3
−2 0 5
−3 5 1





é uma matriz simétrica pois temos a12 = a21 = −2;
a13 = a31 = −3 e a23 = a32 = 5.
Já a matriz B =





0 2 3
−2 0 −5
−3 5 0





é uma matriz antissimétrica pois temos, neste caso, a12 = 2 = −a21;
a13 = 3 = −a31 e a23 = −5 = −a32.
Utilizando a definição 8 podemos mostrar que:
(ı) Uma matriz A é simétrica se, somente se, A = At.
(ıı) Uma matriz A é antissimétrica se, somente se, A = −At .
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2 Escalonamento de Matrizes
O processo de escalonaruma matriz consiste em efetuar operações elementares sobre as linhas de uma
matriz a fim de encontrar uma matriz linha equivalente à matriz dada. Trabalhar com matrizes linha
equivalentes pode, em muitos casos, facilitar cálculos que por métodos tradicionais se tornariam mais
extensos e trabalhosos, como por exemplo a discussão e solução de sistemas lineares. Veremos agora
o que é uma matriz linha equivalente e quais operações podemos efetuar para poder encontrá-la.
2.1 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
Definição 9. Seja A uma matriz. As operações elementares que podem ser efetuadas sobre as linhas
de uma matriz são:
(ı) Multiplicação da ı-ésima linha por um escalar não nulo t. (Lı → tLı)
(ıı) Permuta da ı-ésima linha pela -ésima linha. (Lı ↔ L)
(ııı)Substituição da ı-ésima linha pela ı-ésima linha mais t vezes a -ésima linha. (Lı → Lı + tL)
Exemplo 9. (ı)





2 −2 −3
1 0 5
0 5 1





L2 → 3L2
−−−−−−−→





2 −2 −3
3 0 15
0 5 1





(ıı)


2 −2 −3
1 0 5

 L2 ↔ L1
−−−−−−→


1 0 5
2 −2 −3


(ııı)





2 −2
1 0
5 −1





L3 → L3 + 2L1
−−−−−−−−−−−→





2 −2
1 0
9 −5





Definição 10. Sejam A e B matrizes de mesma ordem. Dizemos que a matriz B é linha equivalente
a matriz A se B pode ser obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as
linhas de A.
Exemplo 10.
A =


2 −2 5
1 0 3

 L1 → 2L1
−−−−−−−→


4 −4 10
1 0 3

 L2 → −L2
−−−−−−−→


4 −4 10
−1 0 −3

 L1 → L1 + L2
−−−−−−−−−−→


3 −4 7
−1 0 −3

 = B
Usaremos a notação A → B para indicar que a matriz B é linha equivalente a A.
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 6
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Observemos que matrizes linha equivalentes possuem mesma ordem, já que operações elementares
sobre linhas de uma matriz conservam a ordem da matriz. Além disso, se A → B então B → A ,
pois para cada operação elementar sobre as linhas de uma matriz, podemos encontar uma operação
elementar inversa da mesma.
Definição 11. Dizemos que uma matriz é elementar se podemos obtê-la de uma matriz identidade
através de apenas uma operação elementar sobre linhas.
É comum identificarmos as matrizes elementares pela operação elementar pela qual ela foi obtida.
Exemplo 11. São matrizes elementares:


1 0
0 1

 L1 → L2
−−−−−−→


0 1
1 0

 = E1


1 0
0 1

 L2 → 3L2
−−−−−−−→


1 0
0 3

 = E2
Teorema 1. Seja A uma matriz e B a matriz obtida de A por apenas uma operação elementar sobre
linhas. Então B = E · A, onde a matriz E é a matriz elementar associada a operação elementar
efetuada sobre as linhas de A para obter a matriz B.
Prova]Seja A = (aı)m×n uma matriz. Seja e1 a operação elementar Lı → t · Lı com t 6= 0. Então, ao
efetuar a operação elementar e1 na matriz A, obtemos a matriz B1 como segue:
A =















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
aı1 aı2 · · · aın
.
..
.
..
. . .
.
..
am1 am2 · · · amn















Lı → t · Lı
−−−−−−−−→















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
taı1 taı2 · · · taın
.
..
.
..
. . .
.
..
am1 am2 · · · amn















= B1. Seja I a matriz identidade de ordem
m. A matriz elementar E1 associada à operação elementar e1 é dada por:
I =















111 012 · · · 01ı · · · 01m
021 122 · · · 02ı · · · 02m
.
..
.
..
. . .
.
..
. . .
.
..
0ı1 0ı2 · · · 1ıı · · · 0ım
..
.
..
.
. . .
..
.
. . .
..
.
0m1 0m2 · · · 0mı · · · 1mm















Lı → t · Lı
−−−−−−−−→















111 012 · · · 01ı · · · 01m
021 122 · · · 02ı · · · 02m
.
..
.
..
. . .
.
..
. . .
.
..
0ı1 0ı2 · · · tıı · · · 0ım
..
.
..
.
. . .
..
.
. . .
..
.
0m1 0m2 · · · 0mı · · · 1mm















= E1.
Veja que temos
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 7
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DCET - Departamento de Ciências Exatas e da Terra
E1 · A =















111 012 · · · 01ı · · · 01m
021 122 · · · 02ı · · · 02m
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
0ı1 0ı2 · · · tıı · · · 0ım
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
0m1 0m2 · · · 0mı · · · 1mm















·















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
aı1 aı2 · · · aın
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
am1 am2 · · · amn















=















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
taı1 taı2 · · · taın
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
am1 am2 · · · amn















= B1, como
queŕıamos. Seja agora e2 a operação elementar Lı ↔ L, sendo ı > . Então, ao efetuar a operação
elementar e2 na matriz A, obtemos a matriz B2 como segue:
A =


















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
aı1 aı2 · · · aın
a1 a2 · · · an
..
.
..
.
. . .
..
.
am1 am2 · · · amn


















Lı ↔ L
−−−−−−→


















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
a1 a2 · · · an
aı1 aı2 · · · aın
..
.
..
.
. . .
..
.
am1 am2 · · · amn


















= B2. Seja I a matriz identidade de ordem m.
A matriz elementar E2 associada à operação elementar e2 é dada por:
I =


















111 012 · · · 01ı 01 · · · 01m
021 122 · · · 02ı 02 · · · 02m
..
.
..
.
. . .
..
.
. . .
..
.
0ı1 0ı2 · · · 1ıı 0ı · · · 0ım
01 02 · · · 0ı 1 · · · 0m
..
.
..
.
. . .
..
.
. . .
..
.
0m1 0m2 · · · 0mı 0m · · · 1mm


















Lı → t · Lı
−−−−−−−−→


















111 012 · · · 01ı 01 · · · 01m
021 122 · · · 02ı 02 · · · 02m
..
.
..
.
. . .
..
.
. . .
..
.
01 02 · · · 0ı 1 · · · 0m
0ı1 0ı2 · · · 1ıı 0ı · · · 0ım
..
.
..
.
. . .
..
.
. . .
..
.
0m1 0m2 · · · 0mı 0m · · · 1mm


















= E2.
Veja que temos
E2 ·A =


















111 012 · · · 01ı 01 · · · 01m
021 122 · · · 02ı 02 · · · 02m
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
01 02 · · · 0ı 1 · · · 0m
0ı1 0ı2 · · · 1ıı 0ı · · · 0ım
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
0m1 0m2 · · · 0mı 0m · · · 1mm


















·


















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
aı1 aı2 · · · aın
a1 a2 · · · an
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
am1 am2 · · · amn


















=


















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
a1 a2 · · · an
aı1 aı2 · · · aın
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
am1 am2 · · · amn


















= B2, como
queŕıamos. Finalmente, seja e3 a operação elementar Lı → Lı + t · L. Então, ao efetuar a operação
elementar e3 na matriz A, obtemos a matriz B3 como segue:
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 8
UNEB - Universidade do Estado da Bahia
DCET - Departamento de Ciências Exatas e da Terra
A =


















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
aı1 aı2· · · aın
a1 a2 · · · an
..
.
..
.
. . .
..
.
am1 am2 · · · amn


















Lı → Lı + t · L
−−−−−−−−−−−−→


















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
aı1 + ta1 aı2 + ta2 · · · aın + tan
a1 a2 · · · an
..
.
..
.
. . .
..
.
am1 am2 · · · amn


















= B3. Seja I a matriz identi-
dade de ordem m. A matriz elementar E3 associada à operação elementar e3 é dada por:
I =


















111 012 · · · 01ı 01 · · · 01m
021 122 · · · 02ı 02 · · · 02m
..
.
..
.
. . .
..
.
. . .
..
.
0ı1 0ı2 · · · 1ıı 0ı · · · 0ım
01 02 · · · 0ı 1 · · · 0m
.
..
.
..
. . .
.
..
. . .
.
..
0m1 0m2 · · · 0mı 0m · · · 1mm


















Lı → Lı + t · L
−−−−−−−−−−−−→


















111 012 · · · 01ı 01 · · · 01m
021 122 · · · 02ı 02 · · · 02m
..
.
..
.
. . .
..
.
. . .
..
.
0ı1 0ı2 · · · 1ıı tı · · · 0ım
01 02 · · · 0ı 1 · · · 0m
.
..
.
..
. . .
.
..
. . .
.
..
0m1 0m2 · · · 0mı 0m · · · 1mm


















= E3.
Veja que temos
E3·A =


















111 012 · · · 01ı 01 · · · 01m
021 122 · · · 02ı 02 · · · 02m
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
0ı1 0ı2 · · · 1ıı tı · · · 0ım
01 02 · · · 0ı 1 · · · 0m
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
0m1 0m2 · · · 0mı 0m · · · 1mm


















·


















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
aı1 aı2 · · · aın
a1 a2 · · · an
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
am1 am2 · · · amn


















=


















a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
aı1 + ta1 aı2 + ta2 · · · aın + tan
a1 a2 · · · an
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
am1 am2 · · · amn


















=
B3, como queŕıamos, e assim, encerramos a prova.
Exemplo 12. Observe que a matriz B =


4 6 10
4 2 −1

 foi obtida através da matriz A =


2 3 5
4 2 −1


usando a operação elementar L1 → 2 ·L1. Assim podemos dizer que B = E ·A em que E =


2 0
0 1

;
temos então B =


2 0
0 1

 ·


2 3 5
4 2 −1

 =


4 6 10
4 2 −1

.
Podemos observar que o teorema 1 pode ser estendido para quando realizamos mais de uma operação
elementar na matriz. Quando obtemos a matriz B através de n operações elementares sobre a matriz
A, temos a seguinte expressão: B = EnEn−1 · · ·E2E1A, em que as matrizes E1, E2, · · ·En representam
as matrizes elementares associadas às operações e1, e2, · · · , en, efetuadas nesta ordem, sobre as linhas
da matriz A. Sendo assim, ao realizar mais de uma operação elementar, teremos mais de uma matriz
elementar associada e, portanto, teremos o produto de várias matrizes elementares. Acompanhe o
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 9
UNEB - Universidade do Estado da Bahia
DCET - Departamento de Ciências Exatas e da Terra
seguinte exemplo:
Exemplo 13. Seja A =





2 3
4 2
0 −1





; realizemos nesta matriz três operações elementares:





2 3
4 2
0 −1





L2 → 3L2
−−−−−−−→





2 3
12 6
0 −1





L1 → L3
−−−−−−→





0 −1
12 6
2 3





L1 → L2 − 3L3
−−−−−−−−−−−→





6 −3
12 6
2 3





= B
Segundo a extensão do teorema 1 temos que B = E3E2E1A onde E1, E2, E3 são as matrizes ele-
mentares de ordem 3 associadas as operações elementares realizadas. São elas:
E1 =





1 0 0
0 3 0
0 0 1





; E2 =





0 0 1
0 1 0
1 0 0





; E3 =





0 1 −3
0 1 0
0 0 1





Note que se B é uma matriz equivalente a A, então A também é uma matriz equivalente a B e
podemos obter A através de B, usando as operações elementares reversas correspondentes. Assim,
se e1, e2, · · · , en são as operações elementares reversas às operações e1, e2, · · · , en, que levam a matriz
A na matriz B, temos que as matrizes E1, E2, · · · , En são as matrizes correspondentes às operações
e1, e2, · · · , en e que A = E1E2 · · ·EnB.
2.2 Matriz linha reduzida à forma escada
Definição 12. Dizemos que uma matriz Am×n é linha reduzida à forma escada (LRFE) se satisfaz
as condições a seguir:
(ı) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(ıı)Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha possui todos os seus outros
elementos iguais a zero.
(ııı) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(ıv) Se as linhas 1, . . . , r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha ı ocorre
na coluna kı, então k1 < k2 < · · · < kr.
Exemplo 14. A matriz











1 0 0 4 0
0 1 0 2 0
0 0 1 5 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0











está na forma LRFE.
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 10
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DCET - Departamento de Ciências Exatas e da Terra
Observe que a quarta condição equivale a dizer que o número de zeros que precede o primeiro elemento
não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver, dando
assim a forma escada à matriz. Observe também que uma matriz quadrada que está na forma LRFE é
a matriz identidade ou possui necessariamente uma linha nula. Caso uma matriz não esteja na forma
LRFE, podemos usar as operações elementares sobre as linhas da matriz para encontrar uma matriz
linha equivalente à dada que estará escrita na forma LRFE.
Exemplo 15. A matriz A =





0 0 3 6 0
0 5 0 10 0
−1 0 1 5 −2





não esta na forma LRFE. Vamos efetuar as
operações sobre as linhas da matriz:
A =





0 0 3 6 0
0 5 0 10 0
−1 0 1 5 −2





L1 → −L3
−−−−−−−→





1 0 −1 −5 2
0 5 0 10 0
0 0 3 6 0





L2 →
1
5
L2
−−−−−−−→





1 0 −1 −5 2
0 1 0 2 0
0 0 3 6 0





L3 →
1
3
L3
−−−−−−−→





1 0 −1 −5 2
0 1 0 2 0
0 0 1 2 0





L1 → L1 + L3
−−−−−−−−−−→





1 0 0 −3 2
0 1 0 2 0
0 0 1 2 0





= B
Agora a matriz B, que é linha equivalente à matriz A, está na forma LRFE.
O teorema a seguir nos garante que é sempre posśıvel escrever uma matriz linha equivalente à uma
matriz dada, usando as operações elementares sobre linhas.
Teorema 2. Toda matriz A é linha equivalente a uma única matriz B linha reduzida à forma escada.
Prova] Seja A uma matriz m × n. Se todo elemento da primeira linha de A é zero então a condição
(ı) está satisfeita, no que diz respeito a esta linha. Se a primeira linha tem algum elemento não nulo,
seja k o menor inteiro  tal que aı 6= 0. Multiplicamos a primeira linha por
1
aı
e a condição (ı)
ficará satisfeita. Agora, para cada ı > 2 somemos (−aık) vezes a primeira linha à ı-ésima linha. Como
resultado, teremos uma matriz cujo primeiro elemento da primeira linha é 1 e ocorre na coluna k.
Além disto, todos os outros elementos da coluna k são nulos. Consideremos agora a matriz B obtida.
Se a segunda linha desta matriz for nula, nada temos a fazer. Se houver elementos não nulos, seja a
coluna k′ a primeira a conter um destes. Multiplicamos a segunda linha por
1
b2k′
e a seguir, somando
múltiplos adequados desta nova segunda linha às demais linhas, obtemos uma matriz cujo primeiro
elemento não nulo da segunda linha é 1 e todos os outros elementos da coluna em que este elemento se
encontra são nulos. repetindo o procedimento acima em relação às demais linhas, obteremos ao final
uma matriz M , que é linha equivalente a A e que estarána forma escada, a menos de permutação das
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 11
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linhas não nulas. Assim, mostramos que toda matriz A é linha equivalente a uma matriz M reduzida
à forma escada. Observe agora que duas matrizes de mesma ordem, reduzidas á forma escada, e que
são equivalentes só podem ser iguais. Suponha então que partindo da matriz A, podemos chegar a
duas matrizes linha reduzidas á forma escada M e B. teremos então que A ≈ B e A ≈ M . Como as
operações com linhas são reverśıveis, isto significa que a matriz M será linha equivalente à matriz B.
Logo, como as duas estão na forma escada, M = B.
O processo de obtenção da matriz B LRFE que é linha equivalente a matriz A, através das operações
elementares sobre linhas é chamado de escalonamento de A. Assim, no exemplo 15, dizemos sim-
plesmente que estamos escalonando a matriz A. O teorema 2 nos permite definir os conceitos a seguir,
que serão utilizados na discussão do número de soluções de um sistema de equações, na seção seguinte.
Definição 13. Seja B a matriz LRFE linha equivalente a matriz A. Chamamos posto de A, denotado
por p(A), o número de linhas não nulas da matriz B. O número n(A) obtido quando subtráımos o posto
de A do número de colunas de A é chamado de nulidade de A.
Observe que no exemplo 15 a matriz A tem posto igual a 3, ou seja, p(A) = 3 e nulidade igual a
n(A) = 5− 3 = 2.
Considerando a matriz Am×n, observemos que o posto de A é no máximo igual ao número de linhas
de A, além disso, não pode ultrapassar o número de colunas de A, ou seja, p(A) 6 m e p(A) 6 n.
Atenção: só podemos calcular o posto e a nulidade de uma matriz que esteja na forma LRFE.
2.3 Matrizes Elementares e Determinantes
Apresentaremos agora uma forma de calcular o determinante de uma matriz A usando a matriz linha
equivalente forma LRFE, usando as matrizes elementares. Alguns conceitos conhecidos de determi-
nantes serão utilizados.
Considere a matriz identidade de ordem 3, I3 =





1 0 0
0 1 0
0 0 1





, e as seguintes matrizes elementares:
E1 =





t 0 0
0 1 0
0 0 1





E1 =





1 0 0
0 0 1
0 1 0





E1 =





1 t 0
0 1 0
0 0 1





Tais determinantes são calculados com facilidade, usando as técnicas já conhecidas e assim percebemos
que: detE1 = t, detE2 = −1 e detE3 = 1.
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 12
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Lembre-se que só calculamos determinantes de matrizes quadradas.
De um modo geral, se E é uma matriz elementar, associada a operação elementar:
(ı) Lı → tLı, então detE = t;
(ıı) Lı ↔ L, então detE = −1;
(ııı) Lı → Lı + tL, então detE = 1;
Considere A uma matriz quadrada e seja B a matriz linha equivalente a A por uma quantidade n de
operações elementares. Então B = EnEn−1 . . . E2E1A. Temos que:
det(B) = det(EnEn−1 · · ·E2E1A)
= det(En) · det(En−1) · · · det(E2) · det(E1) · det(A)
det(A) =
det(B)
det(En) · det(En−1) · · · det(E2) · det(E1)
Assim, o determinante de uma matriz quadrada A , pode ser calculado a partir do determinante
de uma matriz B linha equivalente a A e dos determinantes das matrizes elementares associadas as
operações elementares efetuadas sobre as linhas de A para obter B.
Exemplo 16. Usando a técnica apresentada acima, calcule o determinante da matriz A =





3 2 12
1 −1 1
2 −3 5





.
Usando o processo de escalonamento temos:
A =





3 2 12
1 −1 1
2 −3 5





L1 ↔ L2
−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E1





1 −1 1
3 2 12
2 −3 5





L2 → L2 − 3L1
−−−−−−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E2





1 −1 1
0 5 9
2 −3 5





L3 → L3 − 2L1
−−−−−−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E3





1 −1 1
0 5 9
0 −1 3





→
L2 ↔ L3
−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E4





1 −1 1
0 −1 3
0 5 9





L2 → −L2
−−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E5





1 −1 1
0 1 −3
0 5 9





L1 → L1 + L2
−−−−−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E6





1 0 −2
0 1 −3
0 5 9





L3 → L3 − 5L2
−−−−−−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E7





1 0 −2
0 1 −3
0 0 24





→
L3 →
1
24
L3
−−−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E8





1 0 −2
0 1 −3
0 0 1





L1 → L1 + 2L3
−−−−−−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E9





1 0 0
0 1 −3
0 0 1





L1 → L1 + 3L3
−−−−−−−−−−−→
︸ ︷︷ ︸
E10





1 0 0
0 1 0
0 0 1





= B = I3.
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Assim temos:
det(A) =
detI3
detE10 · detE9 · detE8 · detE7 · detE6 · detE5 · detE4 · detE3 · detE2 · detE1
=
1
1 · 1 · (1/24) · 1 · 1 · (−1) · (−1) · 1 · 1 · (−1) = −24
2.4 Inversão de matrizes
Trabalharemos agora com uma categoria especial de matrizes: as matrizes inverśıveis. Para uma
matriz ser inverśıvel, inicialmente ela tem que ser quadrada. Além disto, ela possui uma inversa, que
a ser multiplicada por ela, de maneira comutativa, resulta na identidade de mesma ordem. Nem toda
matriz quadrada é inverśıvel, mas se a matriz for inverśıvel, necessariamente ela tem que ser quadrada.
Veremos então quando uma matriz é inverśıvel e como encontrar a sua inversa.
Definição 14. Seja I(n) a matriz identidade de ordem n. Uma matriz A de ordem n se diz inverśıvel
se, e somente se, existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que AB = BA = I(n). Neste
caso, a matriz B é única e a indicamos por A−1.
Exemplo 17. A matriz A =


1 2
0 1

 é inverśıvel e sua inversa é dada por A−1 =


1 −2
0 1

. Veja que
A ·A−1 = A−1 ·A =


1 0
0 1

.
Proposição 1. Uma matriz A quadrada possui inversa se, e somente se det(A) 6= 0.
Prova] Note que se A possui inversa, então temos que existe A−1 e que A · A−1 = I(n). Assim,
det(A ·A−1) = det(I(n)) = 1. Logo, det(A) ·det(A−1) = 1 e det(A−1) =
1
det(A)
, que faz sentido apenas
se det(A) 6= 0.
Uma matriz é inverśıvel também quando seu posto é n, ou seja, quando o posto desta matriz coincide
com sua ordem. As matrizes inverśıveis também satisfazem a algumas outras propriedades. Sejam A
e B matrizes inverśıveis. Então:
• (A−1)−1 = A
• (AB)−1 = B−1A−1
• (At)−1 = (A−1)t
Definição 15. Dizemos que a matriz A, inverśıvel, é ortogonal quando A−1 = At.
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Exemplo 18. A matriz A =


1
6
√
5
6
−
√
5
6
1
6

 é ortogonal pois A · At =


1
6
√
5
6
−
√
5
6
1
6

 ·


1
6 −
√
5
6
√
5
6
1
6

 =


1 0
0 1

 = I(2).
Vejamos agora uma forma de determinar a matriz inversa de uma matriz A inverśıvel, usando o
processo do escalonamento. Sabemos que se A é uma matriz inverśıvel, então ela é linha equivalente
à matriz identidade de mesma ordem. O próximo teorema nos mostrará como efetuar tais cálculos.
Teorema 3. Uma matriz A de ordem n é inverśıvel se é linha equivalente à matriz identidade de
mesma ordem. Neste caso, a mesma sucessão de operações elementares que levam A em I(n), trans-
formam I(n) em A
−1.
Prova] Seja A(n) uma matriz linha equivalente à matriz identidade I(n). Sejam e1, e2, · · · , en as
operações elementares realizadas nas linhas de A até obter I(n) e sejam E1, E2, · · · , En as matrizes ele-
mentares associadas às operações e1, e2, · · · , en respectivamente. Temos então que I(n) = En · · ·E2E1 ·
A e, como cada uma das matrizes elementares são inverśıveis, temos que A = E−11 E
−1
2 · · ·E−1n I(n).
Já que a matriz A é inverśıvel, então temos que A · A−1 = I(n); dáı, temos que A · A−1 = I(n) →
E−11 E
−1
2 · · ·E−1n I(n) ·A−1 = I(n). Segue que I(n) ·A−1 = En · · ·E2E1 ·I(n) e que A−1 = En · · ·E2E1 ·I(n),
ou seja, a matriz A−1 pode ser obtida com a mesma sucessão de operações elementares em I(n) que
levam Aem I(n).
Exemplo 19. A inversa da matriz A =


1 2
0 1

 será obtida pelo processo do escalonamento. já que a
sequencia de operações elementares é a mesma, colocaremos ao lado da matriz A, a matriz identidade.
teremos então:


1 2 | 1 0
0 1 | 0 1

 L1 → L1 − 2L2
−−−−−−−−−−−→


1 0 | 1 −2
0 1 | 0 1


Assim, A−1 =


1 −2
0 1

.
Exemplo 20. A matriz





1 2 2
0 1 2
1 3 4





não é inverśıvel pois não é linha equivalente à identidade. Observe:





1 2 2
0 1 2
1 3 4





L3 → L3 − L1
−−−−−−−−−−→





1 2 2
0 1 2
0 1 2





L1 → L1 − 2L2
−−−−−−−−−−−→





1 0 −2
0 1 2
0 1 2





L3 → L3 − L2
−−−−−−−−−−→





1 0 −2
0 1 2
0 0 0





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Exemplo 21. Para determinar a inversa da matriz





1 1 1
2 1 2
1 2 2





seguimos:





1 1 1 | 1 0 0
2 1 2 | 0 1 0
1 2 2 | 0 0 1





L2 → L2 − 2L1
L3→L3−L1
−−−−−−−−−−−−→





1 1 1 | 1 0 0
0 −1 0 | −2 1 0
0 1 1 | −1 0 1





L2 → −L2
−−−−−−−→





1 1 1 | 1 0 0
0 1 0 | 2 −1 0
0 1 1 | −1 0 1





L1 → L1 − L2
L3→L3−L2
−−−−−−−−−−−→





1 0 1 | −1 1 0
0 1 0 | 2 −1 0
0 0 1 | −3 1 1





L1 → L1 − L3
−−−−−−−−−−→





1 0 0 | 2 0 −1
0 1 0 | 2 −1 0
0 0 1 | −3 1 1





Assim, sua inversa é





2 0 −1
2 −1 0
−3 1 1





.
3 Sistemas Lineares
Utilizamos sistemas de equações para resolver um grande número de situações problemas e evidente-
mente você já sabe como resolver alguns sistemas de equações, utilizando os métodos da substituição,
da comparação, etc.. Esses métodos porém, em alguns casos não são convenientes, pois podemos ter
sistemas lineares com um grande número de incógnitas. Aqui, aprenderemos um método geral para a
resolução de sistemas de equações lineares. Veremos que todo e qualquer sistema linear poderá sempre
ser solucionado através deste método.
Definição 16. Uma equação linear é uma equação da forma c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn = b onde
c1, c2, . . . , cn e b são números reais e x1, x2, . . . , xn são valores a serem determinado, os quais chamamos
de incógnitas.
Os números ci são chamados de coeficientes de xi e uma solução desta equação é uma n-lista de
números reais (d1, d1, . . . , dn) tal que c1d1 + c2d2 + · · ·+ cndn = b.
Exemplo 22. A equação x+ y − 2z +w = 4 é uma equação linear pois todas as suas quatro incógnitas
x, y, z e w, possuem expoentes iguais a 1. Os coeficientes de x, y, z e w são 1, 1,−2 e 1, respectivamente,
e a lista (1, 2, 0, 1) é uma das suas soluções.
Exemplo 23. A equação x− 2y2 + z = 0 não é uma equação linear, pois a incógnita y possui expoente
igual a 2.
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Definição 17. Um sistema de equações lineares é uma coleção de equações lineares e pode ser escrito
na forma:



c11x1 + c12x2 + · · ·+ c1nxn = b1
c21x1 + c22x2 + · · ·+ c2nxn = b2
...
...
...
cm1x1 + cm2x2 + · · ·+ cmnxn = bm
A solução de um sistema linear composto de m equações, é uma solução que satisfaz todas as m
equações do sistema. Quando b1 = b2 = · · · = bm = 0, dizemos que o sistema é homogêneo. Observe-
mos que a lista (0, 0, . . . , 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo.
Definição 18. Sistemas de equações lineares cujos conjuntos soluções são iguais são chamados equi-
valentes.
Definição 19. Seja S o conjunto solução de um sistema linear. Dizemos que o sistema é:
(ı) Posśıvel e determinado se S é um conjunto unitário.
(ıı) Posśıvel e indeterminado se S é infinito.
(ııı) Imposśıvel se S é vazio.
3.1 Forma Matricial
É fácil verificar que o sistema



c11x1 + c12x2 + · · ·+ c1nxn = b1
c21x1 + c22x2 + · · ·+ c2nxn = b2
...
...
...
cm1x1 + cm2x2 + · · ·+ cmnxn = bm
também pode ser escrito na forma
a seguir:








c11 c12 · · · c1n
c21 c22 · · · c2n
...
...
. . .
...
cm1 cm2 · · · cmn








·








x1
x2
...
xn








=








b1
b2
...
bm








Denominamos a matriz C = (cı)m×n de matriz dos coeficientes, a matriz X = (xı)n×1 matriz das
incógnitas e a matriz B = (bı)m×1 de matriz dos termos independentes do sistema acima. Podemos
então rescrever o sistema através da seguinte equação matricial: CX = B.
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Abstraindo as incógnitas do sistema obtemos ainda a matriz
A =








c11 c12 · · · c1n | b1
c21 c22 · · · c2n | b2
...
...
. . .
... | ...
cm1 cm2 · · · cmn | bm








que é chamada de matriz ampliada do sistema linear.
Observemos que cada linha de A representa uma equação do sistema linear. Assim, efetuar operações
elementares sobre as linhas de A, corresponde a efetuar operações com as equações do sistema linear.
O teorema a seguir nos garante que sistemas associados a matrizes linha equivalentes são equivalentes.
Teorema 4. Se os sistemas C1X = B1 e C2X = B2, são tais que C2, B2 foram obtidas de C1, B1,
respectivamente, pelas mesmas operações elementares, então estes sistemas são equivalentes.
Prova] Sejam E1, E2, . . . , Er as matrizes elementares associadas as operações elementares efetuadas so-
bre as linhas de C1 e B1 para obtermos as matrizes C2 e B2, respectivamente. Ou seja, Er · · ·E2E1C1 =
C2 e Er · · ·E2E1B1 = B2. Consideremos também E1, E2, . . . , Er as matrizes elementares associadas
as operações elementares efetuadas sobre as linhas de C2 e B2 para obtermos C1 e B1, respectiva-
mente. Ou seja, E1E2 · · ·ErC2 = C1 e E1E2 · · ·ErB2 = B1. Vamos mostrar que toda solução de cada
um dos sistemas é também solução do outro. Consideremos inicialmente X1 uma solução do sistema
C1X = B1, ou seja que a igualdade C1X1 = B1 é verdadeira; vamos mostrar que X1 é também solução
do sistema C2X = B2. De fato, C2X1 = Er · · ·E2E1C1X1 = Er · · ·E2E1B1 = B2 e então X1 é solução
de C2X = B2.
Por outro lado, seja Y1 uma solução de C2X = B2, ou seja, a igualdade C2Y1 = B2 é verdadeira,
então: C1Y1 = E1E2 · · ·ErC2Y1 = E1E2 · · ·ErB2 = B1. Portanto Y1 é também solução de C1X = B1.
Assim, os sistemas C1X = B1 e C2X = B2 são equivalentes.
Uma consequência deste teorema é que escalonando a matriz ampliada de um sistema obtemos um
sistema equivalente ao sistema inicial, cujo conjunto solução é facilmente identificado. Este método
para determinar o conjunto solução de um sistema de equações lineares é geral e como dizemos no
ińıcio deste caṕıtulo, pode ser aplicado a todo e qualquer sistema linear.
Exemplo 24. Consideremos o sistema



x+ 2y = 3
3x+ 2y = 1
, cuja matriz ampliada é A =


1 2 | 3
3 2 | 1

.
Escalonando a matriz A obtemos a matriz B.
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A =


1 2 | 3
3 2 | 1

 L2 → L2 − 3L1
−−−−−−−−−−−→


1 2 | 3
0 −4 | −8

 L2 → −
1
4
L2
−−−−−−−−−→


1 2 | 3
0 1 | 2

 L1 → L1 − 2L2
−−−−−−−−−−−→


1 0 | −1
0 1 | 2

 = B
A matriz B representa o sistema



x = −1
y = 2
, cujo conjunto solução é S = {(−1, 2)} . Logo este sistema
é posśıvel e determinado. Observemos que o posto da matriz dos coeficiente C é dois, e sua nulidade
é zero; além disso, o posto da matriz ampliada A é dois e, portanto p(A) = p(C).
Exemplo 25. O sistema



2x− 8y = 14
−3x+ 12y = −21
possui matriz ampliada A =


2 −8 | 14
−3 12 | −21

. Temos:
A =


2 −8 | 14
−3 12 | −21

 L1 →
1
2
L1−−−−−−−→


1 −4 | 7
−3 12 | −21

 L2 → L2 + 3L1
−−−−−−−−−−−→


1 −4 | 7
0 0 | 0

 = B
A matriz B representa o sistema



x− 4y = 7
0x+ 0y = 0
↔



x = 4y + 7
0x+ 0y = 0
. Seu conjunto solução é S =
{(4y+7, y); y ∈ R} e, portanto, este sistema é posśıvel e indeterminado. Além disso, p(A) = p(C) = 1
e n(C) = 1.
Exemplo 26. Analisemos o sistema



2x− 4y = 2
3x− 6y = 1
. Escalonando a matriz ampliada desse sistema
temos:
A =


2 −4 | 2
3 −6 | 1

 L1 →
1
2
L1
−−−−−−−→


1 −2 | 1
3 −6 | 1

 L2 → L2 − 3L1
−−−−−−−−−−−→


1 −2 | 1
0 0 | −2

 = B
A matriz B representa o sistema



x− 2y = 1
0x+ 0y = −2
, cujo conjunto solução é S = ∅; logo esse sistema é
imposśıvel. Observemos que p(A) = 2 e p(C) = 1.
Podemos generalizar o resultado dos exemplos anteriores no teorema seguinte. Veremos que podemos
fazer a análise e discussão dos sistemas lineares usando o posto e nulidade da matriz dos coeficientes
e da matriz ampliada.
Teorema 5. Um sistema de m equações e n incógnitas é posśıvel se, somente se, o posto da matriz
ampliada do sistema for igual ao posto da matriz dos coeficientes, isto é: p(A) = p(C). Além disto,
se a nulidade de C é igual a zero, ou seja, n(C) = 0 então o sistema é posśıvel e determinado; se a
nulidade de C é maior que zero, então o sistema é posśıvel e indeterminado e n(C) é o número de
variáveis livres do sistema.
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 19
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Prova]******
Exemplo 27. Analisemos os sistemas seguintes dados pelas suas matrizes ampliadas:
a. A =





1 0 0 | 4
0 1 0 | 2
0 0 1 | 5





; p(A) = p(C) = 3 e n(C) = 3 − 3 = 0. Dáı este sistema é posśıvel e
determinado. O conjunto solução é S = {(4, 2, 5)}.
b. A =





1 0 7 | −10
0 1 5 | −6
0 0 0 | 1





; 3 = p(A) 6= p(C) = 2. Assim este sistema é imposśıvel.
c. A =


1 2 0 | 6
0 0 1 | 2

; p(A) = p(C) = 2 e n(C) = 3 − 2 = 1. Dáı este sistema é posśıvel e
indeterminado, o número de variáveis livre é 1 e o conjunto solução é S = {(6−2y, y, 2); y ∈ R}.
Prof. Ms. Érica N. Macêdo Pg. 20