Representação de Inteiros como soma de quadrados

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
ALUNO: SAMUEL CANTOARIA FERREIRA 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE INTEIROS COMO SOMA DE QUADRADOS 
 
1. INTRODUÇÃO 
O que estamos interessados em fazer é caracterizar quais números inteiros podem ser escritos 
como soma de dois quadrados. Além disso mostraremos o teorema de Lagrange que diz que 
todo número natural pode ser escrito como soma de quatro quadrados. 
2. SOMA DE DOIS QUADRADOS 
Vamos mostrar que vale a relação 
(𝑎2 + 𝑏2)(𝑐2 + 𝑑2) = (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)2 + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)2 (1) 
Considere os complexos 𝛼 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝛽 = 𝑑 + 𝑐𝑖, onde 𝑖 = √−1 é a unidade imaginária. 
Sabemos que 𝛼𝛼∗𝛽𝛽∗ = 𝛼𝛽(𝛼𝛽)∗, e 𝛼𝛽 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑑 + 𝑐𝑖) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 + (𝑏𝑑 + 𝑎𝑐)𝑖) daí 
temos que 
(𝑎2 + 𝑏2)(𝑐2 + 𝑑2) = (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)2 + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)2 
Essa relação nos diz que o produto de dois inteiros que são escritos como soma de dois 
quadrados é sempre a soma de dois quadrados. 
Teorema 1. Seja 𝑝 um primo, esse primo pode ser escrito como soma de dois quadrados, ou seja, 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑝 se, e somente se, 𝑝 = 2 𝑜𝑢 𝑝 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4). 
Demonstração: 
Provemos a ida. Observe que 2 = 12 + 12, agora seja 𝑝 um primo ímpar, temos só duas 
possibilidades, 𝑝 ≡ 1 𝑜𝑢 3 (𝑚𝑜𝑑 4). Sabemos também que, 𝑎 um inteiro, 𝑎2 ≡
0 𝑜𝑢 1 (𝑚𝑜𝑑 4). Então 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑝 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4). 
Provemos a volta, ou seja, se 𝑝 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4) então 𝑝 se escreve como soma de dois quadrados. 
Por 𝑝 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4), existe um 𝑥 tal que 𝑥2 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 4). Seja 𝑚 = ⌊√𝑝⌋, considere a função 
𝑓(𝑢, 𝑣) = 𝑢 + 𝑥𝑣, com 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑚 e 0 ≤ 𝑣 ≤ 𝑚. Temos 𝑚 + 1 possíveis valores para 𝑢 e 𝑚 +
1 possíveis valores para 𝑣 também, ou seja, podemos formar (𝑚 + 1)² pares com 𝑢 e 𝑣. Como 
𝑚 + 1 > 𝑝 (lembre: 𝑚 < √𝑝 < 𝑚 + 1, já que √𝑝 não é inteiro) temos que (𝑚 + 1)2 > 𝑝, e 
como o sistema completo de resíduo módulo 𝑝 tem apenas 𝑝 elementos, pelo princípio da casa 
dos pombos, existe pelo menos dois pares (𝑢1, 𝑣1), (𝑢2, 𝑣2) distintos, tal que 
𝑓(𝑢1, 𝑣1) ≡ 𝑓(𝑢2, 𝑣2) (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 
𝑢1 + 𝑥𝑣1 ≡ 𝑢2 + 𝑥𝑣2(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 
𝑢1 − 𝑢2 ≡ −𝑥(𝑣1 − 𝑣2)(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 
(𝑢1 − 𝑢2)² ≡ 𝑥²(𝑣1 − 𝑣2)²(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 
(𝑢1 − 𝑢2)
2 ≡ −1(𝑣1 − 𝑣2)
2(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 
(𝑢1 − 𝑢2)
2 − (𝑣1 − 𝑣2)² ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 
(𝑢1 − 𝑢2)
2 + (𝑣1 − 𝑣2)
2 = 𝑘𝑝 
Chame 𝑢1 − 𝑢2 = 𝑎 e 𝑣1 − 𝑣2 = 𝑏, e é claro que eles não são nulos, pois os pares 
(𝑢1, 𝑣1), (𝑢2, 𝑣2) são distintos. 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑘𝑝 
Como 0 ≤ 𝑢𝑖 ≤ 𝑚 e 0 ≤ 𝑣𝑖 ≤ 𝑚, 𝑖 = 1,2, então −𝑚 ≤ 𝑎 = 𝑢1 − 𝑢2 ≤ 𝑚 e −𝑚 ≤ 𝑏 = 𝑣1 −
𝑣2 ≤ 𝑚, ou seja, |𝑎| ≤ 𝑚 < √𝑝 e |𝑏| ≤ 𝑚 < √𝑝. Isso nos diz que 𝑎
2 + 𝑏2 < 2𝑝. 
Logo, 𝑎2 + 𝑏2 é um inteiro que é múltiplo de 𝑝 satisfazendo, 0 < 𝑎2 + 𝑏2 < 2𝑝, mas o único 
múltiplo de 𝑝 nesse intervalo é 𝑝, ou seja, 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑝 ∎ 
Teorema 2. Um inteiro n pode ser representado como soma de dois quadrados se, e somente 
se, tiver fatoração da forma 
𝑛 = 2𝛼𝑝1
𝛼1 … 𝑝𝑟
𝛼𝑟𝑞1
𝛽1 … 𝑞𝑠
𝛽𝑠 
Onde 𝑝𝑖 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) e 𝑞𝑗 ≡ 3 (𝑚𝑜𝑑 4), 𝑖 = 1,2, … , 𝑟, 𝑗 = 1,2, … , 𝑠 e todos os 𝛽𝑗 são pares. 
Demonstração: 
Sabemos que 2 = 12 + 1² e todos os 𝑝𝑖′𝑠 podem ser escritos como soma de dois 
quadrados, os 𝛽𝑗′𝑠 por serem pares podem ser escritos como 𝛽𝑗 = 2𝛽𝑗
∗, daí todos os 𝑞𝑗′𝑠 podem 
ser escritos como 𝑞
𝑗
2𝛽𝑗
∗
= (𝑞𝑗
2)
𝛽𝑗
∗
 e 𝑞𝑗
2 = 𝑞𝑗
2 + 02, ou seja, é escrito como soma de dois 
quadrados. Daí podemos concluí pela relação (1) que 𝑛 pode ser escrito como soma de dois 
quadrados. 
Provemos a volta. Suponha que 𝑛 possa ser representado como soma de dois quadrados 
e que algum 𝛽𝑗 seja ímpar. Sem perda de generalidade, podemos considerar 𝛽1 ímpar. Seja 𝑑 =
(𝑎, 𝑏), onde 𝑎 e 𝑏 são inteiros tais que 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑛. Como 𝑑|𝑎 e 𝑑|𝑏 significa que 𝑎 = 𝑘1𝑑 e 
𝑏 = 𝑘2𝑑. Sabemos que (
𝑎
𝑑
,
𝑏
𝑑
) = (𝑘1, 𝑘2) = 1. Como 𝑑
2|𝑎2 + 𝑏2 = 𝑛 ⟹ 𝑛 = 𝑑2𝑘. 
𝑘 =
𝑛
𝑑²
=
𝑎2 + 𝑏2
𝑑²
= (
𝑎
𝑑
)
2
+ (
𝑏
𝑑
)
2
= 𝑘1
2 + 𝑘2
2 
Como estamos supondo que 𝛽1 ímpar, o exponde 𝑞1 em 𝑘 será ímpar também, já que 
𝑘 =
𝑛
𝑑2
=
2𝛼𝑝1
𝛼1 … 𝑝𝑟
𝛼𝑟𝑞1
𝛽1 … 𝑞𝑠
𝛽𝑠
(𝑚1𝑚2 … 𝑚𝑡)
2
=
2𝛼𝑝1
𝛼1 … 𝑝𝑟
𝛼𝑟𝑞1
𝛽1 … 𝑞𝑠
𝛽𝑠
𝑚1
2𝑚2
2 … 𝑚𝑡
2 
Onde 𝑚1𝑚2 … 𝑚𝑡 é a fatoração em primos de 𝑑. Mesmo que algum 𝑚𝑖 = 𝑞1 o expoente de 𝑞1 
seria 𝛽1 − 2 que continua ímpar. Logo 𝑞1|𝑘 e como (𝑘1, 𝑘2) = 1 então 
(𝑞1, 𝑘1) = (𝑞1, 𝑘2) = 1 
Pois caso contrário existiria um número diferente de 1 que divide 𝑘1 e 𝑘2 ao mesmo tempo e 
isso é impossível. Por isso sabemos que existe um 𝑥 tal que 𝑘1𝑥 ≡ 𝑘2 (𝑚𝑜𝑑 𝑞1) ⇒ 𝑘1𝑥 − 𝑘2 ≡
0 (𝑚𝑜𝑑 𝑞1) e, portanto 
0 ≡ 𝑘 = 𝑘1
2 + 𝑘2
2 ≡ 𝑘1
2𝑥2 + 𝑘1
2 ≡ 𝑘1
2(1 + 𝑥2)(𝑚𝑜𝑑 𝑞1) 
Como 𝑞1 ∤ 𝑘1 então (1 + 𝑥
2) ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑞1) ⇒ 𝑥
2 ≡ −1(𝑚𝑜𝑑 𝑞1), mas 𝑞1 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4 ) então 
última congruência é impossível. Daí concluímos que os 𝛽𝑗
′𝑠 são todos pares. 
 ∎ 
 
3. SOMA DE QUATRO QUADRADOS 
 Vamos aqui mostrar o teorema de Lagrange que diz que todo inteiro positivo pode ser 
escrito como soma de quatro quadrados. Vamos aqui usar uma relação parecida com a relação 
(1). 
(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2)(𝑟2 + 𝑠2 + 𝑡2 + 𝑣2) = (𝑎𝑟 + 𝑏𝑠 + 𝑐𝑡 + 𝑑𝑣)2 + (𝑎𝑠 − 𝑏𝑟 − 𝑐𝑣 + 𝑑𝑡)2 + 
 (𝑎𝑡 + 𝑏𝑣 − 𝑐𝑟 − 𝑑𝑠)2 + (𝑎𝑣 − 𝑏𝑡 + 𝑐𝑟 − 𝑑𝑠)2 (2) 
Podemos mostrar ela usando os quaternos, que são números da forma �̂� = 𝑝𝑜 + 𝑝1𝑖 + 𝑝2𝑗 +
𝑝3𝑘, onde 𝑖
2 = 𝑗2 = 𝑘2 = 𝑖𝑗𝑘 = −1 e 𝑖𝑗 = 𝑘 = −𝑗𝑖, 𝑗𝑘 = 𝑖 = −𝑘𝑗, 𝑘𝑖 = 𝑗 = −𝑖𝑘. O conjugado 
do quaterno �̂� é o número �̂�∗ = 𝑝𝑜 − 𝑝1𝑖 − 𝑝2𝑗 − 𝑝3𝑘. Algumas propriedades dele que 
usaremos são: 
 𝑖) �̂��̂�∗ = 𝑝𝑜
2 + 𝑝1
2 + 𝑝2
2 + 𝑝3
2 
 𝑖𝑖) �̂��̂�∗�̂��̂�∗ = �̂��̂�(�̂��̂�)∗ 
Sejam �̂� = (𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑐𝑗 − 𝑑𝑘) e �̂� = (𝑟 + 𝑠𝑖 + 𝑡𝑗 + 𝑣𝑘). Temos que: 
�̂��̂�(�̂��̂�)∗ = (𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑐𝑗 − 𝑑𝑘)(𝑟 + 𝑠𝑖 + 𝑡𝑗 + 𝑣𝑘) = 𝑎𝑟 − 𝑏𝑟𝑖 − 𝑐𝑟𝑗 − 𝑑𝑟𝑘 + 
 𝑎𝑠𝑖 − 𝑏𝑠𝑖2 − 𝑐𝑠𝑗𝑖 − 𝑑𝑠𝑘𝑖 
 𝑎𝑡𝑗 − 𝑏𝑡𝑖𝑗 − 𝑐𝑡𝑗2 − 𝑑𝑡𝑘𝑗 
 𝑎𝑣𝑘 − 𝑏𝑣𝑖𝑘 − 𝑐𝑣𝑗𝑘 − 𝑑𝑣𝑘2 = 
 (𝑎𝑟 + 𝑏𝑠 + 𝑐𝑡 + 𝑑𝑣) + (𝑎𝑠 − 𝑏𝑟 − 𝑐𝑣 + 𝑑𝑡)𝑖 + (𝑎𝑡 + 𝑏𝑣 − 𝑐𝑟 − 𝑑𝑠)𝑗 + 
(𝑎𝑣 − 𝑏𝑡 + 𝑐𝑟 − 𝑑𝑠)𝑘 
 E de 𝑖𝑖 concluímos que: 
(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2)(𝑟2 + 𝑠2 + 𝑡2 + 𝑣2) = (𝑎𝑟 + 𝑏𝑠 + 𝑐𝑡 + 𝑑𝑣)2 + (𝑎𝑠 − 𝑏𝑟 − 𝑐𝑣 + 𝑑𝑡)2 + 
 (𝑎𝑡 + 𝑏𝑣 − 𝑐𝑟 − 𝑑𝑠)2 + (𝑎𝑣 − 𝑏𝑡 + 𝑐𝑟 − 𝑑𝑠)2 
 Essa relação mostra que o produto de dois inteiros com representação como soma de 
quatro quadrados também é um inteiro que pode ser escrito como soma de quatro quadrados. 
Teorema 3. (Lagrange) Todo inteiro positivo possui representação como soma de quatro 
quadrados. 
Demonstração: 
 Pela relação que vimos acima é suficiente mostrar que todo primos, pode ser escrito 
como soma de quatro quadrados. 𝑝 = 2 = 12 + 12 + 02 + 0², seja 𝑝 um primo ímpar, então 
sabemos que existem inteiros 𝑎, 𝑏 e 𝑐 tal que: 
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) 
Rescrevendo temos: 
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 𝑀𝑝 (3) 
Onde 𝑑 = 0 e 𝑀um inteiro. Da equação (3) e pelo princípio da boa ordenação, sabemos que 
existe um menor inteiro 𝑚 tal que 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 𝑚𝑝. 
 Como estamos trabalhando com módulo 𝑝 e 𝑎, 𝑏 e 𝑐 estão ao quadrado podemos tomar 
𝑎, 𝑏 e 𝑐 no intervalo [0,
𝑝
2
). Logo 
𝑚𝑝 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 < 4 (
𝑝
2
)
2
= 𝑝2, isto é, 𝑚 < 𝑝 
 Para mostrar o que queremos, basta provar que 𝑚 = 1,vamos fazer isso supondo que 
𝑚 > 1 e daí vamos concluir que existe um 𝑚′, 0 ≤ 𝑚′ < 𝑚 o qual, 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 𝑚′𝑝 o 
contraria nossa escolha de 𝑚. Vamos analisar dois casos: 𝑚 ímpar e 𝑚 par. Seja 𝑚 > 1 e 𝑚 
ímpar, podemos escolher 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 e 𝑑1 em [0,
𝑚
2
) satisfazendo, 𝑎1 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚), 𝑏1 ≡
𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚), 𝑐1 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑚) e 𝑑1 ≡ 𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑚). Desta forma temos 𝑎1
2 + 𝑏1
2 + 𝑐1
2 + 𝑑1
2 ≡
0 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) o que significa que existe um 𝑚′ tal que 
𝑎1
2 + 𝑏1
2 + 𝑐1
2 + 𝑑1
2 = 𝑚′𝑚 
Como os inteiros 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 e 𝑑1 são menores que 
𝑚
2
 temos 
𝑚′𝑚 = 𝑎1
2 + 𝑏1
2 + 𝑐1
2 + 𝑑1
2 < 4 (
𝑚
2
)
2
= 𝑚2, isto é, 𝑚′ < 𝑚 
Observe que 𝑚′ ≠ 0, pois caso contrário 𝑎1 = 𝑏1 = 𝑐1 = 𝑑1 = 0 e, portanto, 𝑎 ≡ 𝑏 ≡ 𝑐 ≡ 𝑑 ≡
0 (𝑚𝑜𝑑 𝑚), isso quer dizer que esses inteiros são divisíveis por 𝑚, logo seus quadrados serão 
divisíveis por 𝑚², consequentemente a soma de seus quadrados também serão divisíveis por 𝑚² 
e como 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 𝑚𝑝, vamos ter que 
𝑚2|𝑚𝑝 ⟹ 𝑚|𝑝 
O que é um absurdo uma vez que, 1 < 𝑚 < 𝑝. Logo, 𝑚′ ≠ 0. Das equações acima temos que 
𝑚𝑚′𝑚𝑝 = (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2)(𝑎1
2 + 𝑏1
2 + 𝑐1
2 + 𝑑1
2) = (𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1 + 𝑐𝑐1 + 𝑑𝑑1)
2 
(𝑎𝑏1 − 𝑏𝑎1 − 𝑐𝑑1 + 𝑑𝑐1)
2 + (𝑎𝑐1 + 𝑏𝑑1 − 𝑐𝑎1 − 𝑑𝑏1)² + (𝑎𝑑1 − 𝑏𝑐1 + 𝑐𝑏1 − 𝑑𝑎1)² 
Como 𝑎1 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚), 𝑏1 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚), 𝑐1 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑚) e 𝑑1 ≡ 𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ⇒ 𝑎1
2 ≡ 𝑎𝑎1,
𝑏1
2 ≡ 𝑏𝑏1, 𝑐1
2 ≡ 𝑐𝑐1 𝑒 𝑑1
2 ≡ 𝑑𝑑1 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) ⇒ 𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1 + 𝑐𝑐1 + 𝑑𝑑1 ≡ 𝑎1
2 + 𝑏1
2 + 𝑐1
2 + 𝑑1
2 ≡
0 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) ⇒ 𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1 + 𝑐𝑐1 + 𝑑𝑑1 = 𝑎′𝑚 
Fazendo o mesmo processo para as outras três expressões que estão elevadas ao quadrado do 
lado direito da equação, vamos ver que todas são múltiplas de 𝑚, ou seja, 𝑚2𝑚′𝑝 = (𝑎′𝑚)2 +
(𝑏′𝑚)2 + (𝑐′𝑚)2 + (𝑑′𝑚)2, isto é, 𝑚′𝑝 = (𝑎′)2 + (𝑏′)2 + (𝑐′)2 + (𝑑′)², onde 𝑚′ < 𝑚. 
 Caso 𝑚 seja par, necessariamente os inteiros 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 ou dois deles são pares e dos 
ímpares ou todos eles são ímpares. Em qualquer um dos casos podemos escolher 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑠 2) 
e 𝑐 ≡ 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 2), o que nos permite escrever 
𝑝
𝑚
2
= (
𝑎 + 𝑏
2
)
2
+ (
𝑎 − 𝑏
2
)
2
+ (
𝑐 + 𝑑
2
)
2
+ (
𝑐 − 𝑑
2
)
2
 
Portanto, tomando �̅� =
𝑚
2
< 𝑚, obtemos �̅�𝑝 como soma de quatro quadrados. Daí podemos 
conclui que 𝑚 = 1 e, portanto, todo primo, pode ser escrito como soma de quatro quadrados. 
 ∎ 
 
4. UM TEOREMA DE UNICIDADE DE EULER 
Vamos mostrar que alguns primos possuem representação única como soma de 
quadrados, para isso vamos precisar de algumas proposições. 
Proposição 1. Se um primo 𝑝 = 𝑐2 + 𝑑² e se existir um 𝑞 tal que 𝑝𝑞 = 𝑎2 + 𝑏², (𝑎, 𝑏) = 1 então 
𝑞 é soma de dois quadrados relativamente primos. 
Demonstração: 
 É claro que se 𝑝 = 𝑐2 + 𝑑² então (𝑐, 𝑑) = 1, pois 𝑝 é primo. Seja 𝑝𝑞 = 𝑎2 + 𝑏² temos 
𝑐2(𝑎2 + 𝑏²) − 𝑎2(𝑐2 + 𝑑2) = 𝑐2𝑝𝑞 + 𝑎2𝑝 = 𝑝𝑘 
Onde 𝑘 = 𝑐2𝑞 − 𝑎². Logo 
𝑘𝑝 = 𝑐2(𝑎2 + 𝑏²) − 𝑎2(𝑐2 + 𝑑2) = 𝑐2𝑏2 − 𝑎2𝑑2 = (𝑐𝑏 + 𝑎𝑑)(𝑐𝑏 − 𝑎𝑑) 
Isso quer dizer quer dizer que 𝑝 divide (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑) ou (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑). Note que 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 ≠ 0, pois 
caso contrário 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 o que implica que 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑 uma vez que (𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) = 1. Se 
𝑝|(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑) temos 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 = 𝑡𝑝. Sejam 
𝑟 = 𝑏 − 𝑡𝑐 ⟹ 𝑟𝑐 = 𝑏𝑐 − 𝑡𝑐² 
𝑠 = 𝑎 + 𝑡𝑑 ⇒ 𝑠𝑑 = 𝑎𝑑 + 𝑡𝑑² 
Subtraindo termo a termo da última equação temos: 
𝑟𝑐 − 𝑠𝑑 = 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 − 𝑡(𝑐2 + 𝑑2) = 𝑡𝑝 − 𝑡𝑝 = 0 ⇒ 𝑟𝑐 = 𝑠𝑑 
Daí temos que: 
𝑟 = 𝑑
𝑠
𝑐
 
Como (𝑐, 𝑑) = 1, então 𝑛 = 𝑠/𝑐 é um inteiro. E como 𝑠 = 𝑐
𝑠
𝑐
 temos que: 
𝑟 = 𝑑𝑛 
𝑠 = 𝑐𝑛 
Portanto 
𝑝𝑞 = 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑛𝑐 − 𝑡𝑑)2 + (𝑛𝑑 + 𝑡𝑐)2 
 = 𝑛2𝑐2 + 𝑡2𝑐2 − 2𝑛𝑐𝑡𝑑 + 𝑛2𝑑2 + 𝑡2𝑐2 + 2𝑛𝑑𝑡𝑐 
 = (𝑛2 + 𝑡2)(𝑐2 + 𝑑2) 
= (𝑛2 + 𝑡2)𝑝 
Daí concluímos que 𝑞 = 𝑛2 + 𝑡2. Para mostrar que (𝑡, 𝑛) = 1, basta notar que (𝑎, 𝑏) =
(𝑛𝑐 − 𝑡𝑑, 𝑑 + 𝑡𝑐) = 1, caso (𝑡, 𝑛) = 𝑑′ > 1, então (𝑛𝑐 − 𝑡𝑑, 𝑑 + 𝑡𝑐) = 𝑑′ > 1 o que é 
impossível, logo (𝑡, 𝑛) = 1. 
 Para o caso em que 𝑝|(𝑏𝑐 + 𝑎𝑑) fazemos de modo similar. Temos que (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑) ≠ 0 e 
que 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 = 𝑣𝑝. Sejam 
𝑟 = 𝑏 − 𝑣𝑐 ⟹ 𝑟𝑐 = 𝑏𝑐 − 𝑣𝑐² 
𝑠 = 𝑎 − 𝑣𝑑 ⇒ 𝑠𝑑 = 𝑎𝑑 − 𝑣𝑑² 
Somando termo a termo da última equação temos: 
𝑟𝑐 + 𝑠𝑑 = 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 − 𝑣(𝑐2 + 𝑑2) = 𝑣𝑝 − 𝑣𝑝 = 0 ⇒ 𝑟𝑐 = −𝑠𝑑 
Daí temos que: 
𝑟 = −𝑑
𝑠
𝑐
 
Como (𝑐, 𝑑) = 1, então 𝑛 = −𝑠/𝑐 é um inteiro. E como 𝑠 = 𝑐
𝑠
𝑐
 temos que: 
𝑟 = −𝑑𝑛 
𝑠 = 𝑐𝑛 
Portanto 
𝑝𝑞 = 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑛𝑐 + 𝑣𝑑)2 + (𝑛𝑑 − 𝑣𝑐)2 
 = 𝑛2𝑐2 + 𝑣2𝑐2 + 2𝑛𝑐𝑣𝑑 + 𝑛2𝑑2 + 𝑣2𝑐2 − 2𝑛𝑑𝑣𝑐 
 = (𝑛2 + 𝑣2)(𝑐2 + 𝑑2) 
= (𝑛2 + 𝑣2)𝑝 
Daí concluímos que 𝑞 = 𝑛2 + 𝑣2. Para mostrar que (𝑡, 𝑣) = 1, basta notar que (𝑎, 𝑏) =
(𝑛𝑐 + 𝑣𝑑, 𝑑 − 𝑣𝑐) = 1, caso (𝑡, 𝑣) = 𝑑′ > 1, então (𝑛𝑐 + 𝑣𝑑, 𝑑 − 𝑣𝑐) = 𝑑′ > 1 o que é 
impossível, logo (𝑡, 𝑛) = 1. 
 ∎ 
 
Proposição 2. Se 𝑝𝑞 é a soma de dois quadrados relativamente primos e 𝑞 não é soma de 
quadrados de dois inteiros relativamente primos, então pelo menos um dos fatores primos de 
𝑝 não é soma de dois quadrados. 
Demonstração: 
 Seja 𝑝 = 𝑝1𝑝2 … 𝑝𝑛 onde cada primo 𝑝𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) é soma de dois quadrados. Como 
𝑝1(𝑝2𝑝3 … 𝑝𝑛𝑞) = 𝑝𝑞 é soma de dois quadrados relativamente primos entre si, então pela 
proposição anterior 𝑝2𝑝3 … 𝑝𝑛𝑞 é soma de dois quadrados relativamente primos entre si. Se 
repetimos esse processo vamos concluir que 𝑞 é soma de dois quadrados de inteiros 
relativamente primos entre si, o que contraria nossa hipótese. Logo existe pelo menos um fator 
primo de 𝑝 que não se escreve como soma de quadrados inteiros primos entre si. 
Proposição 3. Se um primo 𝑝|𝑎2 + 𝑏² com (𝑎, 𝑏) = 1, então 𝑝 é a soma de dois quadrados. 
Demonstração: 
 Suponha que 𝑝 não seja soma de dois quadrados e que 𝑝|(𝑎2 + 𝑏2) e (𝑎, 𝑏) = 1. Como 
𝑑 ∤ 𝑎 e 𝑑 ∤ 𝑏, sabemos que existem 𝑞1, 𝑞2, 𝑟1 e 𝑟2 tais que 
𝑎 = 𝑞1𝑝 ± 𝑟1, 0 < 𝑟1 ≤
𝑝
2
 
𝑏 = 𝑞2𝑝 ± 𝑟2, 0 < 𝑟2 ≤
𝑝
2
 
Logo, 𝑟1
2 + 𝑟2
2 = (𝑎 − 𝑞1𝑝)
2 + (𝑏 − 𝑞2𝑝)
2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑞1
2𝑝2 + 𝑞2
2𝑝2 − 2𝑎𝑞1𝑝 − 2𝑏𝑞2𝑝 =
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑚𝑝 = 𝑀𝑝 ≤
𝑝2
2
 . 
Como 𝑟1 e 𝑟2 são menores que 𝑝 então qualquer divisor comum de 𝑟1 e 𝑟2 divide 𝑀. Fazendo a 
simplificação, se necessário, obtemos 
𝑎1
2 + 𝑏1
2 = 𝑛𝑝 
Pela proposição anterior 𝑛 possui um fator primo 𝑝1 que não é soma de dois quadrados e 𝑝1 <
𝑝
2
. 
 Se repetirmos o mesmo processo anterior substituindo 𝑝1 por 𝑝, 𝑎 por 𝑎1 e 𝑏 por 𝑏1 
vamos obter um novo primo 𝑝2, 𝑝2 < 𝑝1, que não é soma de dois quadrados. Mas essa 
afirmação contradiz o fato de que os fatores primos de todas as somas de todas as somas de 
dois números relativos primos e suficientemente pequenos são expressos como soma de dois 
quadrados. Como por exemplo 32 + 42 = 52. 
 ∎ 
Abaixo temos uma das demonstrações dadas por Euler para a unicidade de certos primos 
como soma de quadrados. 
 
Teorema 4. Todo primo na forma 4𝑛 + 1 possui representação única como soma de dois 
quadrados.