AULA 5 - FÍSICA I

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I 
 
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Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
CAPÍTULO 4 – AULA 5 
 
4. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES 
 
4.1 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO 
 
De forma geral, a localização de uma partícula pode ser especificada através 
do vetor posição ( 𝑟 ),um vetor que liga um ponto de referencia (origem) à partícula. O 
vetor posição pode ser escrito em função de seus vetores unitários como: 
 
𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂� 
 
Onde, 𝑥𝑖̂, 𝑦𝑗̂ 𝑒 𝑧�̂� são as componentes vetoriais do vetor deslocamento e x, y, 
z são as componentes escalares que fornecem a localização da partícula ao longo 
dos eixos coordenados em relação a origem. 
Quando uma partícula se move, seu vetor posição varia de tal forma que sem-
pre ligara a partícula ao ponto de referência (origem). Se uma partícula varia sua po-
sição de uma posição 𝑟1 para a posição 𝑟2, durante um intervalo de tempo, o deslo-
camento da partícula nesse tempo pode ser calculado por: 
 
∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 
 
Exemplo 4.1 
 
Uma partícula se move da posição 1 dada por 𝑟1 = 3𝑖 ̂ + 4𝑗 ̂ − 2�̂�, para a posição 2 
dada por 𝑟2 = 2𝑖 ̂ − 𝑗 ̂ + 6�̂�. Calcule o deslocamento da partícula. 
 
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Para determinar o vetor deslocamento, basta realizar a subtração entre as componen-
tes vetoriais dos vetores posição. Lembrando que só poderá realizar essa operação 
entre componentes que estiverem sobre os mesmos eixos cartesianos. Assim temos: 
 
∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 
∆𝑟 = (2𝑖̂ − 𝑗̂ + 6�̂�) − (3𝑖̂ + 4𝑗̂ − 2�̂�) 
∆𝑟 = (2𝑖̂ − 3𝑖̂) + (−𝑗̂ − 4𝑗̂) + (6�̂� − −(2�̂�)) 
∆𝑟 = (−𝑖̂ − 5𝑗̂ + 8�̂�) 
 
4.2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
 
Se um corpo ou uma partícula se move de um ponto para outro, podemos 
determinar sua velocidade média ou sua velocidade instantânea. Em casos de movi-
mentos em duas ou três dimensões, devemos considerar essas grandezas como ve-
tores. 
Se uma partícula sofre um deslocamento ∆�⃗⃗⃗� em um intervalo de tempo ∆𝑡 
sua velocidade média é dada por: 
 
�⃗�𝑚é𝑑 =
∆𝑟
∆𝑡
 , onde: 
 
�⃗�𝑚é𝑑 , é o vetor velocidade média, ∆𝑟 o vetor deslocamento e ∆t a variação de 
tempo. 
 
Exemplo 4.2 
 
Uma partícula se move da posição 1 dada por 𝑟1 = 3𝑚𝑖 ̂ + 4𝑚𝑗 ̂ + 2𝑚�̂�, para a posi-
ção 2 dada por 𝑟2 = 5𝑚𝑖 ̂ + 2𝑚𝑗 ̂ + 6𝑚�̂� , em um intervalo de tempo de 2s.Calcule a 
velocidade média da partícula nesse deslocamento. 
 
 
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Comece calculando o deslocamento da partícula e em seguida use a equação de ve-
locidade média. 
 
∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 
∆𝑟 = (5𝑚𝑖̂ + 2𝑚𝑗̂ + 6𝑚�̂�) − (3𝑚𝑖̂ + 4𝑚𝑗̂ + 2𝑚�̂�) 
∆𝑟 = (5𝑚𝑖̂ − 3𝑚𝑖̂) + (2𝑚𝑗̂ − 4𝑚𝑗̂) + (6𝑚�̂� − 2𝑚�̂�) 
∆𝑟 = 2𝑚𝑖̂ − 2𝑚𝑗̂ + 4𝑚�̂� 
 
�⃗�𝑚é𝑑 =
∆𝑟
∆𝑡
 
 
�⃗�𝑚é𝑑 =
2𝑚𝑖̂ − 2𝑚𝑗̂ + 4𝑚�̂�
2𝑠
 
 
�⃗�𝑚é𝑑 =
2𝑚𝑖̂
2𝑠
−
2𝑚𝑗̂
2𝑠
+
4𝑚�̂�
2𝑠
 
 
�⃗�𝑚é𝑑 =
1𝑚
𝑠
𝑖̂ −
1𝑚
𝑠
𝑗̂ +
2𝑚
𝑠
�̂� 
 
No geral, quando falamos sobre velocidade, normalmente estamos nos refe-
rindo à velocidade instantânea. Esta velocidade é o valor para o qual a velocidade 
média tende a zero, quando o intervalo de tempo tende para zero. Assim temos: 
 
�⃗� =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
A direção da velocidade instantânea de uma partícula é sempre tangente à 
trajetória da partícula na posição da partícula. Logo, podemos dizer que a velocidade 
de uma partícula é a derivada da função de posição da partícula em relação do tempo. 
 
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�⃗� =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
�⃗� =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂�) 
�⃗� =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖̂ +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗̂ +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
�̂� 
�⃗� = 𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ + 𝑣𝑧�̂� 
 
Exemplo 4.3 
 
Um objeto se move sobre uma superfície plana. As posições do objeto no plano em 
função do tempo são: 𝑥𝑡 = −0,31𝑡
2 + 7,2𝑡 + 28 e 𝑦𝑡 = 0,22𝑡
2 − 9,1𝑡 − 30. Calcule a 
velocidade do objeto no instante 15 segundos. 
 
Resolução: 
 
Comece calculando as velocidades do objeto nas direções x e y através da derivada 
da função de posição. 
�⃗�𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖̂ 
�⃗�𝑥 =
𝑑
𝑑𝑡
(−0,31𝑡2 + 7,2𝑡 + 28)𝑖̂ 
�⃗�𝑥 = (−0,62𝑡 + 7,2)𝑖̂ 
�⃗�𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗̂ 
�⃗�𝑦 =
𝑑
𝑑𝑡
(0,22𝑡2 − 9,1𝑡 − 30)𝑗 ̂
�⃗�𝑦 = (0,44𝑡 − 9,1)𝑗 ̂
 
 
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Em termos dos vetores unitários a velocidade no instante t = 15s é: 
 
�⃗� = (−0,62𝑡 + 7,2)𝑖̂ + (0,44𝑡 − 9,1)𝑗 ̂
�⃗�15 = (−0,62(15) + 7,2)𝑖̂ + (0,44(15) − 9,1)𝑗 ̂
�⃗�15 = (−9,3 + 7,2)𝑖̂ + (6,6 − 9,1)𝑗 ̂
�⃗�15 = (−2,1𝑚/𝑠)𝑖̂ + (−2,5𝑚/𝑠)𝑗 ̂
 
Essa velocidade possui modulo igual a: 
 
|�⃗�| = √(𝑣𝑥𝑖̂)² + (𝑣𝑦𝑗)̂² 
|�⃗�15| = √(
−2,1𝑚
𝑠
𝑖̂) ² + (
−2,5𝑚
𝑠
𝑗̂) ² 
|�⃗�15| = √4,41𝑚
2/𝑠² + 6,25𝑚2/𝑠² 
|�⃗�15| = √10,66𝑚
2/𝑠² 
|�⃗�15| = 3,26𝑚/𝑠 
 
A direção e o sentido da velocidade podem ser determinados encontrando o ângulo 
do vetor velocidade com o eixo x positivo. 
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑣𝑦
𝑣𝑥
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
−2,5𝑚/𝑠
−2,1𝑚/𝑠
= 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔1,19 = −130° 
Logo: 
𝜃 = 180° − 130° = 50° 
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4.3 ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 
 
Quando a velocidade de uma partitura ou objeto varia de �⃗�1 para �⃗�2 em um 
intervalo de tempo ∆𝑡 ,sua aceleração média pode ser determinada por: 
 
�⃗�𝑚é𝑑 =
�⃗�2 − �⃗�1
∆𝑡
=
∆�⃗�
∆𝑡
 
 
Se ∆𝑡 tende a zero no entorno de um certo instante, a aceleração média tende para 
a aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) �⃗� neste instante, ou seja: 
 
�⃗� =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 
 
Se o módulo ou a orientação da velocidade variar, a partícula irá possuir aceleração. 
 
𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ + 𝑣𝑧�̂� 
�⃗� =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ + 𝑣𝑧�̂�) 
�⃗� =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖̂ +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗̂ +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
�̂� 
�⃗� = 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗̂ + 𝑎𝑧�̂� 
 
Assim, podemos dizer que o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em 
função do tempo. 
 
 
 
 
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Exemplo 4.4 
 
Retornando ao exemplo 4.3, determine a aceleração do objeto no instante 15 segun-
dos. 
 
Resolução: 
 
No exemplo 4.3 encontramos �⃗�𝑥 = (−0,62𝑡 + 7,2)𝑖̂ para a velocidade do objeto na 
direção do eixo x e �⃗�𝑦 = (0,44𝑡 − 9,1)𝑗̂ para a velocidade da partícula na direção do 
eixo y. Assim basta derivar essas funções nos seus respectivos eixos para determinar 
a aceleração do objeto. 
 
�⃗�𝑥 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑖̂ 
�⃗�𝑥 =
𝑑𝑑𝑡
(−0,62𝑡 + 7,2)𝑖̂ 
�⃗�𝑥 = (−0,62𝑚/𝑠²)𝑖̂ 
�⃗�𝑦 =
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
𝑗 ̂
�⃗�𝑦 =
𝑑
𝑑𝑡
(0,44𝑡 − 9,1)𝑗 ̂
�⃗�𝑦 = (0,44𝑚/𝑠²)𝑗 ̂
 
Assim a aceleração do objeto será dada pelo vetor: 
 
�⃗� = 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗 ̂
�⃗� = (−0,62𝑚/𝑠²)𝑖̂ + (0,44𝑚/𝑠²)𝑗 ̂
 
 
 
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O módulo da aceleração no tempo t = 15 s é dado por: 
 
|�⃗�| = √(𝑎𝑥𝑖̂)² + (𝑎𝑦𝑗)̂² 
 
|�⃗�15| = √(
−0,62𝑚
𝑠²
𝑖̂) ² + (
0,44𝑚
𝑠²
𝑗)̂ ² 
|�⃗�15| = √0,38𝑚
2/𝑠4 + 0,2𝑚2/𝑠4 
|�⃗�15| = √0,58𝑚²/𝑠
4 
|�⃗�15| = 0,76𝑚/𝑠² 
 
O ângulo do vetor aceleração com o eixo x positivo é dado por: 
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑎𝑦
𝑎𝑥
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
0,44𝑚/𝑠²
−0,62𝑚/𝑠² 
= 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 − 0,71 = −35,36° 
 
Logo: 
 
𝜃 = 180° − 35,36° = 144,64° 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva os EXERCÍCIOS PROPOSTOS DO CAPÍTULO 4 que estão em ATI-
VIDADE COMPLEMENTAR.