znfm m04 _encontro_de_partículas pdf

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1. (Pucrj) Dois objetos saem no mesmo 
instante de dois pontos A e B situados a 100 
m de distância um do outro. Os objetos vão 
se encontrar em algum ponto entre A e B. O 
primeiro objeto sai de A em direção a B, a 
partir do repouso, com uma aceleração 
constante igual a 2,0 m/s2. O segundo objeto 
sai de B em direção a A com uma velocidade 
constante de v = 15 m/s. 
Determine: 
a) o tempo que levam os objetos para se 
encontrar; 
b) a posição onde ocorre o encontro dos dois 
objetos, medido a partir do ponto A. 
c) Esboce o gráfico da posição versus tempo 
para cada um dos objetos. 
 
2. (G1 - cftce) Um policial rodoviário, 
estacionado com uma MOTO às margens de 
uma estrada e munido de um radar, observa 
a passagem de uma FERRARI, cuja 
velocidade é registrada no aparelho como 
108 km h. Sendo de 80 km/h a velocidade 
máxima permitida no local, o policial parte do 
repouso, no instante t=0 e com aceleração 
escalar constante de 1,0 m/s² em 
perseguição à FERRARI que, nesse instante, 
já se encontra a 600 m de distância. 
 
 
 
Se a máxima velocidade que a MOTO pode 
imprimir é de 144 km/h qual o menor intervalo 
de tempo gasto pelo policial para alcançar a 
FERRARI, supondo que a velocidade da 
mesma não se altera durante a perseguição? 
3. (Fuvest) Marta e Pedro combinaram 
encontrar-se em certo ponto de uma 
autoestrada plana, para seguirem viagem 
juntos. Marta, ao passar pelo marco zero da 
estrada, constatou que, mantendo uma 
velocidade média de 80 km/h, chegaria na 
hora certa ao ponto de encontro combinado. 
No entanto, quando ela já estava no marco do 
quilômetro 10, ficou sabendo que Pedro tinha 
se atrasado e, só então, estava passando pelo 
marco zero, pretendendo continuar sua 
viagem a uma velocidade média de 100 km/h. 
Mantendo essas velocidades, seria previsível 
que os dois amigos se encontrassem 
próximos a um marco da estrada com 
indicação de a) km 20 
b) km 30 
c) km 40 
d) km 50 
e) km 60 
 
4. (Upe 2015) Duas partículas, 1 e 2 se 
movem ao longo de uma linha horizontal, em 
rota de encontro com velocidades iniciais de 
módulos iguais a v1 = 10 m/s e v2 = 14 m/s e 
acelerações contrárias às suas velocidades de 
módulos a1 = 1,0 m/s² e a2 = 0,5 m/s². 
 
 
 
Sabendo que o encontro entre elas ocorre, 
apenas, uma vez, o valor da separação inicial, 
d, entre as partículas vale: 
a) 4 m 
b) 8 m 
c) 16 m 
d) 96 m 
 
e) 192 m 
 
5. (ITA-SP) Um trem e um automóvel 
caminham paralelamente e no mesmo 
sentido, num trecho retilíneo. Os seus 
movimentos são uniformes e a velocidade do 
automóvel é o dobro da velocidade do trem. 
Supondo desprezível o comprimento do 
automóvel e sabendo que o comprimento do 
trem é de 100 m, qual é a distância percorrida 
pelo automóvel desde o instante em que 
alcança o trem até o término da 
ultrapassagem? 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 a) Teremos: 
( )( )
( )
2 2 2
2A A A
A B
B 0 B
2
2
enc
a 2
S t S t S t
 S S t 100 15 t 2 2
S S v t S 100 15 t
15 15 4 1 100 15 625
t 15 t 100 0 t t 
2 1 2
15 25
t 
2
t 20 s (não convém); 
 t 5 s.
t 5 s.

=  =  =
=  = − 
 = +  = −
−  − − − 
+ − =  =  = 
− 
= 
= −
 =
= 
 
b) Determinando a posição de encontro: 
( )
2
A
enc
B
S 5 25 m.
t 5 s S 25 m .
S 100 15 5 25 m.
 = =
=  =
= − = 
 
c) o gráfico da posição versus tempo do 
movimento dos dois objetos é dado por: 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
Os gráficos a seguir mostram os 
deslocamentos da moto e da Ferrari. 
 
 
 
Quando da partida da moto a Ferrari já estava 
600 m à frente, portanto: 
 
moto ferrariS S 600Δ Δ= + 
( )
T T 40
40 30 T 600 2T 40 20 30T 600 40T 800 30T 600 
2
10T 1.400 T 140s.
+ −
 =  +  − = +  − = + 
=  = 
 
Resposta da questão 3: 
[D] 
 
Resolução 
Marta → S = 10 + 80.t 
Pedro → S = 0 + 100.t 
O encontro ocorrerá no instante → 100.t = 
10 + 80.t → 100.t – 80.t = 10 → 20.t = 10 
t = 
10
20 = 0,5 h 
A posição será S = 100.t = 100.0,5 = 50 km 
 
Resposta da questão 4: 
[E] 
 
Tomando as equações horárias das posições 
de cada móvel, temos: 
2
1
1
s 0 10t t
2
= + −
 e 
2
2
1
s d 14t t
4
= − +
 
 
 
Em que 
S = posição de cada móvel (m) no instante t 
(s) 
 
No encontro dos móveis, as posições são 
iguais. 1 2s s= 
2 21 110t t d 14t t
2 4
− = − +
 
 
Rearranjando os termos 
23t 96t 4d 0− + = (1) 
 
Sabendo que o encontro ocorre apenas uma 
vez, temos um choque totalmente inelástico, 
isto é, a velocidade final das duas partículas é 
a mesma. 
1v 10 t= − e 2
t
v 14
2
= − +
 
1 2v v
t 48
10 t 14 t t 16 s
2 3
=
− = − +  =  =
 
 
Substituindo o tempo encontrado na equação 
(1), obtemos: 
23 16 96 16 4d 0 d 192m −  + =  = 
 
Outra forma de pensar a resolução desta 
questão a partir da equação (1) é que o 
encontro dos móveis significa as raízes da 
equação quadrática. Como esse encontro se 
dá uma única vez, temos duas raízes reais 
iguais, ou seja, 0,Δ = então: 
2( 96) 4 3 4d 0
9216 48d 0
9216
d d 192 m
48
− −   =
− =
=  =
 
Resposta da questão 5: 
[200 m] 
 
Como visto: 
𝑣𝑎𝑢𝑡 = 2 ∙ 𝑣𝑡𝑟𝑒𝑚 
 
Além disso, podemos considerer o automóvel 
sendo uma partícula e o trem um corpo 
extenso de comprimento 100 m. 
 
Queremos determinar a distância percorrida 
pelo automóvel até ele ultrapassar o trem. 
 
1) Determinamos a velocidade do automóvel 
em relação ao trem: 
 
𝑣𝑎/𝑡 = 𝑣𝑎 − 𝑣𝑡 
𝑣𝑎/𝑡 = 2 ∙ 𝑣𝑡 − 𝑣𝑡 = 𝑣𝑡 =
𝑣𝑎
2
 
 
2) Determinamos o interval de tempo para o 
automóvel ultrapassar o trem. Nesse caso, 
consideramos o comprimento do trem e a 
velocidade relativa. 
 
∆𝑡 =
𝐷𝑡𝑟𝑒𝑚
𝑣𝑎/𝑡
=
100
𝑣𝑎
2
=
2 ∙ 100
𝑣𝑎
=
200
𝑣𝑎
 
 
3) Utilizando a formula da velocidade media, o 
interval de tempo encontrando em (2) e a 
velocidade do automóvel, determinamos a 
distância percorrida pelo carro até ele 
ultrapassar o trem. 
 
∆𝑠 = 𝑣𝑎 ∙ ∆𝑡 = 𝑣𝑎 ∙
200
𝑣𝑎
= 200𝑚