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SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
o Sistema Internacional de Unidades - SI - é o sistema oficial utilizado
em todo o mundo.
O Sistema Internacional, como todo sistema de unidade, baseia-se em
um grupo de unidades básicas.
Desse Sistema as unidades que interessam às estruturas são: massa, com-
primento e tempo.
A unidade fundamental de medida de massa é o quilograma, de compri-
mento, o metro e de tempo, o segundo.
Seus símbolos:
massa
comprimento
tempo
kg
m
s
quilograma
metro
segundo
Nas estruturas, prevalece a utilização das seguintes unidades derivadas:
força e tensão ou pressão.
A força é medida em Newton (símbolo N), que corresponde à força
necessária para acelerar de um metro por segundo ao quadrado uma massa
de um quilograma.
Outra unidade derivada é a tensão, medida em Pascal (símbolo Pa), que
corresponde à força - em Newton - dividida por uma área - em metro
quadrado.
Essas unidades normalmente são apresentadas pelos seus múltiplos e
submúltiplos.
Assim, temos:
Múltiplos
deca da 10'
hecto h 102
quilo k 10.1
mega M 106
glga G 109
tera T 10'2
peta P JO'-í
exa E 10'8
Submúltiplos
deci d 10-1
eenti c 10-2
mili m 10-3
miero J1 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
Em estruturas, normalmente usamos os seguintes múltiplos:
quilo
mega
giga
k
M
G
103
106
109
1.000
1.000.000
1.000.000.000
Assim, temos:
kN
MPa
Gpa
quilo Newton
mega Paseal
giga Paseal
Existem outros sistemas, não oficiais. O mais intensivamente usado é o
sistema chamado técnico, no qual se define a força como sendo o peso de
uma massa de um quilograma submetida a uma gravidade padrão de 9,8
metros por segundo ao quadrado, constituindo o quilograma-força (símbolo
kgf), a sua unidade de medida. Nesse sistema, a tensão é normalmente
medida em quilograma-força por centímetro quadrado (kgf/crnê).
A relação entre os sistemas SI e técnico é estabelecida a seguir.
Para simplificar, fazendo o arredondamento da aceleração de 9,8 para
m
10 --2 temos:
seg
1 N = 0,1 kgf
1 kN = 1000 N = 100 kgf
No que concerne às tensões, a relação é a seguinte:
N 0,1 -5 kgf
1 Pa =1 m2 = 10.000 =1 x 10 em2
1 Mpa = 1.000. OOOPa 1.000.000 x 0,1 kgf
10.000 em2
1Mpa =10 kgf
em2
No sistema técnico, designamos a força por kgf, para não confundir com
a unidade de massa - kg - do Sistema Internacional.
Fórmulas e propriedades mecânicas
Fórmulas Básicas da Álgebra, da Geometria, da
Trigonometria, da Diferenciação, de Integração e
de séries
1. ÁLGEBRA
1.1. Expoentes
a/ll ali = dn+n
(a b)" = d' b"
m
a fII-11-=a
ali
(:r= :::
(am'J = allllJ
a:: = ~ = tfa)"
1.2. Binômio de Newton
(a+b/=a2+2ab+b2
(a + b)3 = 03 + 3a2b + 3ab 2 + b3
2. Geometria
Retângulo Dh Area = b h
b
Triângulo
Círculo
Cilindro
Cone
Esfera
~, 1'L Area =-bh-- b 2
f?\
Ú
gh8
8
8
Area = 7t'; ou 7t1
Circunferência = 27tr ou 7td
Volume = 7t r 2h
Área Lateral = 27t r h
h
1
Volume = "3 rt r2 h
Área lateral = rt r s
4
Volume = "3 11: r3
Àrea = 47t r2
3. Trigonometria - raio unitário
sen O =y
cos e =x
tge = r
x
(-1,0)
(0,1) (x,y)
sec e = 1
x
(1,0) x
cotg e = y
1
cosec e = y
Consequências
sen e
tg e = cos e
cos e
cotg e = sen 8
1
sec e = cos 8
1
cosec e = sen e
1
cotg e = t9 e
sen? 8 + cos? e = 1
4. Diferenciação
Regra do Produto
d dv du
-(uv) =u- +v-
dx dx dx
Regra do Quociente
du dv
vd;-udx
i!(~)
Regra da Cadeia
dy dy du
-=--
dx du dx
d
_.~ldxA. =n x":'
d
dx eX =e'
d
dx
1nx=-
x
d
dx sen x =cos x
d
dx cos x =- sen x
d
dx tgx =sec 2 X
d
dx cotg x = - cosec x
5. Integração
11+1
Uf u'ídu = n +1
f du-=!nuu
f eUdy=ell
f cos u du = sen u
f sen u dy = - cos u
f sec 2udu = tgu
f cos ec2 u du = -cotg u
d n _ 11_1du-u -nu -dx dx
6. Séries
d du+r -e=dx dx
3 5 7
X X X
sen x = x - 3!+ 5!- 7!+. ....
d 1du-f.nu =--
dx u dx
2 4 6
X X X
cos x =1- 2!+ 41 - 6!+.....
d du
dx sen u =cos u dx
2 3 4
x 1 x x x
e = +x+ 21+ 31+ 41+.... ·
d du
dx cos u = - sen u dx
d ) du-tgu =sec - u-
dx dx
d 2 du--cotgu =- cosec u-
dx dx
7. Alfabeto Grego
-
Letras Nomes Letras 11 Nomes
A a alpha N v 11 nu- -
B ~ beta •... ç 11 xi•.....- -r y gamma o o 11 omicron- -
~ 8 delta TI 11: 11 pi- -
E E epsilon P P 11 rho-
Z ç zeta L c 11 sigma- -
H 11 eta T r 11 tau. -
0) 8 theta Y U
11-
upsilon. -
I t iota <l> ~ phi- -
K K kappa X X 11 chi- -
A À lambda 'I' '"
II psi-
M ~ mu o CO 11 omega
Propriedades mecânicas - Valores médios
densidade escoamento Futura m6dulode coeficienteelasticidade de dilatação
Material
103 kg MPa I MPa I GPa (10~)~",. ·C
Aços
!-- --Aço A-36 7,85 250 400 200 11,7- -Aço Ar Cor 7,85 350 500 200 11,7-Aço Inoxidável 301 7,92 280 760 193 17,3Aço Inoxidável temperado 7,92 760 1030 193 17,3
Ferro Fundido~ - - -~
7,21 - 510 a 103 12,1
Compressão . -
990 138 12,1- -
7,21 - 210 a 103 12,1
Tração
410 138 12,1
Alum{nlo t t t 1- - .Alumínio - H12 2,71 103 110 70 23,5- - . +T4 2,77 320 470 74,5 22,5--- ___ o TT6 2,77 500 570 72,0 22,5
Ligas de cobre t-- -
Latão 8,91 62 220 117 17,6
· - t
Latão temperado 8,91 290 320 117 17,6
· - +
Bronze 8,84 90 270
t
110 18- .
Bronze temperado 8,84 280 330 110 18
Títaníum 4,54 890 930 r 114 9,5
Madeiras·
o.es s o.eo ' =t- -Mole - 100 a 125 -- -l TDura 0,60 a 1,20 I -- ~- - 150 -
Concreto· l .t. j· I
Resistência média 2,35 - 25 25 10,0
ReSistência alto desempenho 2,40 a 2,50 - 50 a 120 f 30a50 10,0
Polfmero·
Poliéster com Abra de Vidro 1,50 a 1,80 100 a 750 100 a 750 8a 30 -
Epóxi com Fibra de Carbono 1,60 1500 1500 140 -
Kevlar (Carbono) 1,40 t 1600 t 1600 t 50 I -
• As propriedades mecânicas da Madeira, do Concreto e dos Potlmeros com fibra apresentam uma grande
gama de variações em seus valores, portanto, precisam ser considerados com cautela.