PC_2020-2_EP11_Trigonometricas Inversas_GABARITO

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Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 1 de 15 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
 
EP 11 – Funções Trigonométricas Inversas 
GABARITO 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 1 
(a) Desenhe o círculo trigonométrico e marque o semicírculo que corresponde aos possíveis resultados da 
função 𝜃 = arcsen 𝑥. Marque os ângulos notáveis nesse semicírculo e os correspondentes valores do seno 
desses ângulos. Confira se você acertou, esse desenho está na página 2 desse EP10. Se não acertou, corrija 
os seus erros, isso é muito importante para fazer os cálculos dos próximos exercícios. 
(b) Faça a mesma coisa que fez no exercício anterior, agora para a função 𝜃 = arccos 𝑥. 
Resolução: 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Calcule, se possível, os seguintes valores: 
(a) arcsen (
√2
2
) (b) arccos (−
√3
2
) (c) arcsen (−
1
2
) 
(d) arccos(−1) (e) sen (arccos (−
√3
2
)) (f) sen (arcsen (−
√2
2
)) 
(g) arccos (cos
7𝜋
2
) (h) sen(arcsen(0,8)) (i) cos (arccos (
2√5
5
)) 
Resolução: 
(a) arcsen (
√2
2
) =
𝜋
4
 (b) arccos (−
√3
2
) =
5𝜋
6
 (c) arcsen (−
1
2
) = −
𝜋
6
 (d) arccos(−1) = 𝜋 
(e) sen (arccos (−
√3
2
)) = sen (
5𝜋
6
) = sen (
𝜋
6
) =
1
2
 
(f) sen (arcsen (−
√2
2
)) = −
√2
2
, pois −1 < −
√2
2
< 0 < 1 e sen(arcsen 𝑥) = 𝑥 para todo −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
(g) Primeiro observe que arccos (cos
7𝜋
2
) ≠
7𝜋
2
 pois 
7𝜋
2
∉ [0, 𝜋]. 
arccos (cos
7𝜋
2
) = arccos (cos (
7𝜋
2
− 2𝜋)) = arccos (cos (
3𝜋
2
)) = arccos 0 =
𝜋
2
 
(h) sen(arcsen(0,8)) = 0,8 pois −1 < 0 < 0,8 < 1 e sen(arcsen 𝑥) = 𝑥 para todo −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 2 de 15 
(i) Primeiro precisamos verificar se −1 <
2√5
5
< 1, sabemos que 
2√5
5
> 0, verificando se 
2√5
5
< 1, 
2√5
5
< 1 ⟺ 0 < 2√5 < 5 ⟺ (2√5)
2
< 52 ⟺ 4 ∙ 5 < 25 ⟺ 20 < 25 . Com a última 
desigualdade é verdadeira, e todas são equivalentes, então, a primeira, 
2√5
5
< 1, também é verdadeira. 
Logo, cos (arccos (
2√5
5
)) =
2√5
5
, pois −1 <
2√5
5
< 1 e cos(arccos(𝑥)) = 𝑥 para todo −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 3: 
Se 𝛼 = arcsen (−
1
3
), calcule: (a) tan (𝛼) (b) sec (𝛼) (c) cot (𝛼) (d) csc (𝛼). 
Resolução: 
(a) tan(𝛼) =
sen(𝛼)
cos(𝛼)
. Precisamos calcular sen(𝛼) e cos(𝛼). 
𝛼 = arcsen (−
1
3
) ⟹ sen 𝛼 = −
1
3
 e −
𝜋
2
< 𝛼 < 0, isto é, 𝛼 é um ângulo do 4º. quadrante. 
Da relação sen2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 𝑒 sen 𝛼 = −
1
3
 ⟹ 
1
9
+ cos2 𝛼 = 1 ⟹ cos2 𝛼 = 1 −
1
9
=
8
9
. 
⟹ cos2 𝛼 =
8
9
 ⟹ cos 𝛼 = ±
√8
3
= ±
2√2
3
 . Como 𝜃 é um ângulo do 4º. quadrante, cos 𝛼 > 0, 
concluímos que cos 𝛼 =
2√2
3
. Portanto, tan(𝛼) =
−
1
3
2√2
3
= −
1
2√2
= −
√2
4
. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) sec(𝛼) =
1
2√2
3
=
3
2√2
=
3√2
2√2√2
=
3√2
4
 (c) cot(𝛼) =
2√2
3
−
1
3
= −2√2. (d) csc(𝛼) =
1
−
1
3
= −3. 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Determine o domínio das seguintes funções: 
(a) 𝑓(𝑥) = arcsen (
𝑥
2
) (b) 𝑔(𝑥) = arccos(3𝑥 + 1) 
(c) ℎ(𝑥) = √arccos(2𝑥) (d) 𝑘(𝑥) =
1
√arcsen(2𝑥)
 
Resolução: 
(a) 𝑓(𝑥) = arcsen (
𝑥
2
). Como o domínio da função arco seno é [−1, 1], temos que 
−1 ≤
𝑥
2
≤ 1 ⟺ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = [−2, 2]. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 𝑔(𝑥) = arccos(3𝑥 + 1). Como o domínio da função arco cosseno é [−1, 1], temos que 
−1 ≤ 3𝑥 + 1 ≤ 1 ⟺ −1 − 1 ≤ 3𝑥 ≤ 1 − 1 ⟺ −2 ≤ 3𝑥 ≤ 0 ⟺ −
2
3
≤ 𝑥 ≤ 0 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = [−
2
3
, 0]. 
(c) ℎ(𝑥) = √arccos(2𝑥) . Temos duas restrições: 
I) O domínio da função arco cosseno é [−1, 1], logo, temos que −1 ≤ 2𝑥 ≤ 1 ⟺ −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
. 
II) O radicando deve ser positivo ou nulo, logo, é preciso que arccos(2𝑥) ≥ 0. 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 3 de 15 
Mas, sabemos que a imagem da função arco cosseno é [0, 𝜋], logo 0 ≤ arccos(2𝑥) ≤ 𝜋, donde 
arccos(2𝑥) ≥ 0 para todo −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
 e, portanto, 𝐷𝑜𝑚 (ℎ) = [−
1
2
,
1
2
]. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(d) 𝑘(𝑥) =
1
√arcsen(2𝑥)
 Temos duas restrições: 
I) O domínio da função arco seno é [−1, 1], logo, temos que −1 ≤ 2𝑥 ≤ 1 ⟺ −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
. 
II) O radicando deve ser positivo ou nulo e denominador não nulo, donde é preciso que arcsen(2𝑥) > 0. 
Sabemos que a imagem da função arco seno é [−
𝜋
2
,
𝜋
2
], logo, precisamos que, 0 < arcsen(2𝑥) ≤
𝜋
2
. 
Para resolver essa inequação, fazemos uma mudança de variável, 
fazendo 𝑡 = 2𝑥, e, portanto temos que 0 < arcsen(𝑡) ≤
𝜋
2
. 
Observando no círculo trigonométrico ao lado, vemos que: 
arcsen(𝑡) > 0 ⟺ 0 < 𝑡 ≤ 1. 
Voltando à variável original, 0 < 2𝑥 ≤ 1 ⟺ 0 < 𝑥 ≤
1
2
 
Portanto 𝐷𝑜𝑚 (𝑘) = ( 0,
1
2
]. 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Resolva: 
(a) arcsen(2𝑥2 − 1) = −
𝜋
6
 (b) arccos (9𝑥2 −
3
2
) =
2𝜋
3
 
(c) −
π
3
≤ arcsen(2𝑥) ≤
𝜋
3
 (d) arccos(√2 𝑥 − √2) ≤
3𝜋
4
 
Resolução: 
(a) arcsen(2𝑥2 − 1) = −
𝜋
6
 
Mudando a variável, fazendo 𝑡 = 2𝑥2 − 1, temos que arcsen 𝑡 = −
𝜋
6
 , resolvendo em 𝑡, 
arcsen 𝑡 = −
𝜋
6
 ⟺ 𝑡 = −
1
2
 (ver no círculo do Exercício1a ) 
Voltando à variável original 𝑥, 
2𝑥2 − 1 = −
1
2
 ⟺ 2𝑥2 = 1 −
1
2
 ⟺ 2𝑥2 =
1
2
 ⟺ 𝑥2 =
1
4
 ⟺ 𝑥 = ±
1
2
. Solução 𝑆 = {−
1
2
,
1
2
} 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) arccos (9𝑥2 −
3
2
) =
2𝜋
3
 
Mudando a variável, fazendo 𝑡 = 9𝑥2 −
3
2
, temos que arccos 𝑡 =
2𝜋
3
 , resolvendo em 𝑡, 
arccos 𝑡 =
2𝜋
3
 ⟺ 𝑡 = −
1
2
 (ver no círculo do Exercício1b) 
Voltando à variável original 𝑥, 
9𝑥2 −
3
2
= −
1
2
 ⟺ 9𝑥2 =
3
2
−
1
2
 ⟺ 9𝑥2 = 1 ⟺ 𝑥2 =
1
9
 ⟺ 𝑥 = ±
1
3
 Solução 𝑆 = {−
1
3
,
1
3
}. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) −
π
3
≤ arcsen(2𝑥) ≤
𝜋
3
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 4 de 15 
Mudando a variável, fazendo 𝑡 = 2𝑥, temos que −
π
3
≤ arcsen 𝑡 ≤
𝜋
3
 , resolvendo em 𝑡, 
−
π
3
≤ arcsen 𝑡 ≤
𝜋
3
 ⟺ −
√3
2
≤ 𝑡 ≤ 
√3
2
 (ver no círculo do Exercício 1a) 
Voltando à variável original 𝑥, 
−
√3
2
≤ 2𝑥 ≤ 
√3
2
 ⟺ −
√3
4
≤ 𝑥 ≤ 
√3
4
 
Solução 𝑆 = [−
√3
4
,
√3
4
] 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(d) arccos(√2 𝑥 − √2) ≤
3𝜋
4
 
Mudando a variável, fazendo 𝑡 = √2 𝑥 − √2, temos que arccos 𝑡 ≤
3𝜋
4
 , resolvendo em 𝑡, 
arccos 𝑡 ≤
3𝜋
4
 ⟺ −
√2
2
≤ 𝑡≤ 1 (ver no círculo do Exercício1b) 
Voltando à variável original 𝑥, 
−
√2
2
≤ √2 𝑥 − √2 ≤ 1 ⟺ −
√2
2
+ √2 ≤ √2 𝑥 ≤ 1 + √2 ⟺ 
√2
2
≤ √2 𝑥 ≤ 1 + √2 
⟺ 
√2
2√2
≤ 𝑥 ≤
1
√2
+
√2
√2
 ⟺ 
1
2
≤ 𝑥 ≤
√2
2
+ 1 
Solução 𝑆 = [
1
2
 ,1 +
√2
2
] 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 6: Esboce o gráfico de cada função, dê o domínio e imagem, verifique se a função é par ou 
ímpar, ou nenhuma delas. 
(a) 𝑓(𝑥) =
𝜋
2
− arccos (2𝑥) (b) 𝑔(𝑥) = 2𝜋 − | arcsen 𝑥 | 
Resolução: 
(a) Abaixo apresentamos uma possível sequência de transformações em gráficos para obter o gráfico de 
𝑓(𝑥) =
𝜋
2
− arccos (2𝑥) é: 
𝑦 = arccos(𝑥)
 (1) 
→ 𝑦 = arccos(2𝑥)
 (2) 
→ 𝑦 = −arccos (2𝑥)
 (3) 
→ 𝑦 =
𝜋
2
− arccos (2𝑥) 
(1) Como 2 > 0, redução horizontal do gráfico de 𝑦 = arccos(𝑥) com fator multiplicativo 
1
2
 . 
Isso significa que o domínio da função arco cosseno, que é igual a [−1,1] também será multiplicado pelo 
fator 
1
2
 , logo 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−
1
2
,
1
2
]. 
(2) Reflexão no eixo 𝑥, do gráfico de 𝑦 = arccos(2𝑥). 
(3) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −arccos(2𝑥) de 
𝜋
2
unidades para cima. 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 5 de 15 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo gráfico, 𝐼𝑚(𝑓) = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
]. 
Observando o gráfico, vemos que há simetria em relação à origem, donde, podemos concluir que a função 
𝑓 é ímpar. 
Mas vamos fazer contas para determinar o domínio, a imagem e para provar que é ímpar. 
A expressão da função é 𝑓(𝑥) =
𝜋
2
− arccos (2𝑥) 
Domínio de 𝒇: como o domínio de arco cosseno é [−1, 1], temos que 
−1 ≤ 2𝑥 ≤ 1 ⟺ −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
 . Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−
1
2
,
1
2
] 
Imagem de 𝒇: como a imagem de arco cosseno é [0, 𝜋], temos que 
0 ≤ arccos(2𝑥) ≤ 𝜋 ⟹ 0 ≥ −arccos(2𝑥) ≥ − 𝜋 ⟹ − 𝜋 ≤ −arccos(2𝑥) ≤ 0 
⟹ − 𝜋 +
𝜋
2
≤ +
𝜋
2
− arccos(2𝑥) ≤ 0 +
𝜋
2
 ⟹ − 
𝜋
2
≤ +
𝜋
2
− arccos(2𝑥) ≤
𝜋
2
 , 
Portanto, 𝐼𝑚(𝑓) = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] 
Paridade: como o domínio é simétrico em relação à origem da reta numérica e podemos observar que o 
gráfico aparentemente é simétrico em relação à origem (0,0), parece que a função é ímpar. Para provar 
que a função 𝑓 de fato é impar, precisamos provar que 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). 
𝑓(−𝑥) = 𝑦 =
𝜋
2
− arccos(−2𝑥) ⟺ arccos(−2𝑥) =
𝜋
2
− 𝑦 ⟺ cos(arccos(−2𝑥)) = cos ( 
𝜋
2
− 𝑦) 
 
 −1≤−2𝑥 ≤1 
⇔ −2𝑥 = sen(𝑦) ⟺ 2𝑥 = −sen(𝑦) ⟺ 2𝑥 = sen(−𝑦) ⟺ 
 2𝑥 = cos ( 
𝜋
2
− (−𝑦)) ⟺ 2𝑥 = cos ( 
𝜋
2
+ 𝑦) ⟺ arccos(2𝑥) = arccos (cos ( 
𝜋
2
+ 𝑦)) 
 
 0 ≤ 
𝜋
2
+ 𝑦 ≤𝜋 
⇔ arccos(2𝑥) =
𝜋
2
+ 𝑦 ⟺ 𝑦 = − 
𝜋
2
+ arccos(2𝑥) = −𝑓(𝑥). 
 (b) 𝑔(𝑥) = 2𝜋 − | arcsen 𝑥 | 
𝑦 = arcsen(𝑥)
 (1) 
→ 𝑦 = |arcsen(𝑥)| 
 (2) 
→ 𝑦 = −|arcsen(𝑥)| 
 (3) 
→ 𝑦 = 2𝜋 − |arcsen(𝑥)| 
(1) Reflexão no eixo 𝑥, da parte do gráfico de 𝑦 = arcsen(𝑥) que está abaixo do eixo 𝑥. 
(2) Reflexão no eixo 𝑥, do gráfico de 𝑦 = |arcsen(𝑥)|. 
(3) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −|arcsen(𝑥)| de 𝜋 unidades para cima. 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 6 de 15 
Domínio: o domínio da função 𝑔 coincide com o domínio da função arco seno, pois não há nenhuma 
restrição na expressão de 𝑔. Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [−1,1]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo gráfico, 𝐼𝑚(𝑔) = [
3𝜋
2
, 𝜋]. 
Imagem de 𝒈: como a imagem de arco seno é [−
𝜋
2
,
𝜋
2
], temos que 
−
𝜋
2
≤ arcsen 𝑥 ≤
𝜋
2
 ⟹ 0 ≤ |arcsen 𝑥| ≤
𝜋
2
 ⟹ 0 ≥ −|arcsen 𝑥| ≥ −
𝜋
2
 
⟹ −
𝜋
2
≤ −|arcsen 𝑥| ≤ 0 ⟹ 2𝜋−
𝜋
2
≤ 2π − |arcsen 𝑥| ≤ 2𝜋 ⟹
 
3𝜋
2
≤ 2π − |arcsen 𝑥| ≤ 2𝜋 
Portanto, 𝐼𝑚(𝑔) = [
3𝜋
2
, 𝜋]. 
Paridade: 
Observando o gráfico, vemos que há simetria em relação ao eixo 𝑦, donde, podemos concluir que a função 
𝑔 é par. 
De fato, o domínio [−1,1] é simétrico em relação á origem, falta provar que 𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥). 
𝑔(−𝑥) = 2𝜋 − | arcsen(−𝑥) |
𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑜 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
⇒ 𝑔(−𝑥) = 2𝜋 − |−arcsen(𝑥) | 
|−𝑎|=|𝑎|
⇒ 𝑔(−𝑥) = 2𝜋 − |arcsen(𝑥)| = 𝑔(𝑥) c.q.d. 
Exercício 7 
a) Desenhe o círculo trigonométrico e marque o semicírculo que corresponde aos possíveis resultados 
da função 𝜃 = arctan 𝑥. Marque os ângulos notáveis nesse semicírculo e os correspondentes valores da 
tangente desses ângulos. Confira se você acertou, esse desenho está na página 2 desse EP10. Se não 
acertou, corrija os seus erros, isso é muito importante para fazer os cálculos dos próximos exercícios. 
b) Faça a mesma coisa que fez no exercício anterior, agora para a função 𝜃 = arccot 𝑥. 
 
Resolução: 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 7 de 15 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 8: Calcule, se possível, os seguintes valores: 
a) arctan (1) b) arctan (
√3
3
) c) arctan (sen (−
𝜋
2
)) 
d) arctan(−√3) e) sec(arctan(−1)) f) arccot (−
3
√3
) 
g) arcsec(−2) h) sen(arccsc 10) i) cos(arcsec(−10)) 
 
Resolução: 
a) arctan(1) =
𝜋
4
 b) arctan (
√3
3
) =
𝜋
6
 
 
c) arctan (sen (−
𝜋
2
)) = arctan(−1) = −
𝜋
4
 d) arctan(−√3) = −
𝜋
3
 
 
e) sec(arctan(−1)) = sec (−
𝜋
4
) =
1
cos(−𝜋/4)
=
1
√2/2
=
2
√2
=
2√2
2
= √2 
 
f) arccot (−
3
√3
) = arccot (−
3√3
3
) = arccot(−√3) =
5𝜋
6
 
 
g) arcsec(−2) = arccos (
1
−2
) =
2𝜋
3
 
 
h) sen(arccsc 10) = sen (arcsen (
1
10
)) =
1
10
 , pois 
1
10
∈ [−1,1] e sen(arcsen(𝑥)) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ [−1,1]. 
 
i) cos(arcsec(−10)) = cos (arccos (
1
−10
)) = −
1
10
 , pois −
1
10
∈ [−1,1] e 
cos(arccos(𝑥)) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ [−1,1]. 
 
Exercício 9: Resolva: 
a) arctan (
3𝑥−12
√3
) =
𝜋
3
 b) arccot(2𝑥2 + 𝑥) =
𝜋
4
 c) arcsec(sec(𝑥4)) = 1/16 
 
Resolução: 
a) arctan (
3𝑥−12
√3
) =
𝜋
3
 ⟺ 
3𝑥−12
√3
= tan (
𝜋
3
) ⟺ 
3𝑥−12
√3
= √3 ⟺ 3𝑥 − 12 = √3 √3 ⟺ 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 8 de 15 
 3𝑥 − 12 = 3 ⟺ 3𝑥 = 15 ⟺ 𝑥 = 5. Solução 𝑆 = {5}. 
 
b) arccot(2𝑥2 + 𝑥) =
𝜋
4
 ⟺ 2𝑥2 + 𝑥 = cot (
𝜋
4
) ⟺ 2𝑥2 + 𝑥 = 1 ⟺ 2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 
𝑥 =
−1±√12−4∙2∙(−1)
2∙2
=
−1±√9
4
=
−1±3
4
 ⟺ 𝑥 =
2
4
 𝑜𝑢 𝑥 = −
4
4
 ⟺ 𝑥 =
1
2
 𝑜𝑢 𝑥 = −1. 
Solução 𝑆 = {−1,
1
2
}. 
 
c) arcsec(sec(𝑥4)) =
1
16
. 
Sabemos que arcsec(sec 𝑦) = 𝑦 para todo 𝑦 ∈ [0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋]. 
Como 
1
16
∈ [0,
𝜋
2
) , temos que arcsec(sec(𝑥4)) =
1
16
 ⟹ 𝑥4 =
1
16
 . 
Resolvendo: 𝑥4 =
1
16
 ⟺ (𝑥2)2 =
1
16
 ⟺ 𝑥2 =
1
4
 ou 𝑥2 = −
1
4
. 
Mas, 𝑥2 = −
1
4
 não tem solução pois −
1
4
< 0 𝑒 𝑥2 ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Logo, só temos a opção 𝑥2 =
1
4
 , donde segue que, 𝑥2 =
1
4
 ⟺ 𝑥 =
1
2
 𝑜𝑢 𝑥 = −
1
2
. 
Portanto a solução é 𝑆 = {−
1
2
,
1
2
}. 
 
Exercício 10: Verifique que as seguintes propriedades são verdadeiras: 
a) arccot(𝑥) = arctan (
1
𝑥
) para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 0 
b) arctan(𝑥) = arccot (
1
𝑥
) para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 0 
c) arccot(𝑥) = π + arctan (
1
𝑥
) para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 0 
d) arctan(𝑥) = −π + arccot (
1
𝑥
) para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 0 
 
Resolução: 
Esse exercício é teórico, não se preocupe caso não tenha conseguido provar nenhuma das quatro 
propriedades, o importante é você conhecer cada propriedade no intervaloadequado. Observe com 
cuidado as provas das propriedades, preste atenção nos intervalos. 
a) Queremos provar: arccot(𝑥) = arctan (
1
𝑥
) , se 𝑥 > 0. 
Primeiro observe que 𝑥 ≠ 0, logo podemos calcular 
1
𝑥
 e consequentemente podemos calcular arctan (
1
𝑥
). 
Agora, se 𝑦 = arccot(𝑥) 𝑒 𝑥 > 0, então, temos que cot(𝑦) = 𝑥, 𝑥 > 0, 0 < 𝑦 <
𝜋
2
. 
Assim, temos as seguintes informações, que serão usadas a seguir: 
𝑥 > 0, 0 < 𝑦 <
𝜋
2
, tan(𝑦) > 0, cot(𝑦) > 0 e cot(𝑦) =
1
tan(𝑦)
. 
Logo, 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 9 de 15 
𝑦 = arccot(𝑥) , 𝑥 > 0 ⟹ cot(𝑦) = 𝑥 
 cot(𝑦) = 
1
tan(𝑦)
 
⇒ 
1
tan(𝑦)
= 𝑥 
 𝑥≠0 
⇒ tan(𝑦) =
1
𝑥
 ⟹ 
arctan(tan(𝑦)) = arctan (
1
𝑥
) 
 𝑦∈(0,
𝜋
2
), arctan(tan(𝑦))=𝑦 
⇒ 𝑦 = arctan (
1
𝑥
), 
Portanto, 𝑦 = arccot(𝑥) = arctan (
1
𝑥
) se 𝑥 > 0. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Queremos provar: arctan(𝑥) = arccot (
1
𝑥
) , se 𝑥 > 0. 
Primeiro observe que 𝑥 ≠ 0, logo podemos calcular 
1
𝑥
 e consequentemente podemos calcular arccot (
1
𝑥
). 
Agora, se 𝑦 = arctan(𝑥) 𝑒 𝑥 > 0, então, temos que tan(𝑦) = 𝑥, 𝑥 > 0, 0 < 𝑦 <
𝜋
2
. 
Assim, temos as seguintes informações, que serão usadas a seguir: 
𝑥 > 0, 0 < 𝑦 <
𝜋
2
, tan(𝑦) > 0, cot(𝑦) > 0 e tan(𝑦) =
1
cot(𝑦)
. 
Logo, 
𝑦 = arctan(𝑥) , 𝑥 > 0 ⟹ tan(𝑦) = 𝑥 
 tan(𝑦) = 
1
cot(𝑦)
 
⇒ 
1
cot(𝑦)
= 𝑥 
 𝑥≠0 
⇒ cot(𝑦) =
1
𝑥
 ⟹ 
arccot(cot(𝑦)) = arccot (
1
𝑥
) 
 𝑦∈(0,
𝜋
2
), arccot(cot(𝑦))=𝑦 
⇒ 𝑦 = arccot (
1
𝑥
), 
Portanto, 𝑦 = arctan(𝑥) = arccot (
1
𝑥
) se 𝑥 > 0. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Queremos provar: arccot(𝑥) = 𝜋 + arctan (
1
𝑥
) , se 𝑥 < 0. 
Primeiro observe que 𝑥 ≠ 0, logo podemos calcular 
1
𝑥
 e consequentemente podemos calcular arctan (
1
𝑥
). 
Agora, se 𝑦 = arccot(𝑥) 𝑒 𝑥 < 0, então, temos que cot(𝑦) = 𝑥, 𝑥 < 0, 
𝜋
2
< 𝑦 < 𝜋. 
Também temos que: 
𝜋
2
< 𝑦 < 𝜋 ⟹ 
𝜋
2
− 𝜋 < 𝑦 − 𝜋 < 𝜋 − 𝜋 ⟹ −
𝜋
2
< 𝑦 − 𝜋 < 0. 
Como a função cotangente tem período igual a 𝜋, sabemos que cot(𝑦) = cot(𝑦 − 𝜋). 
Assim, temos as seguintes informações, que serão usadas a seguir: 
𝑥 < 0,− 
𝜋
2
< 𝑦 − 𝜋 < 0, tan(𝑦 − 𝜋) < 0, cot(𝑦) = cot(𝑦 − 𝜋) < 0 e cot(𝑦 − 𝜋) =
1
tan(𝑦−𝜋)
. 
Logo, 
𝑦 = arccot(𝑥) , 𝑥 < 0 ⟹ cot(𝑦) = 𝑥 
 cot(𝑦)=cot(𝑦−𝜋) 
⇒ cot(𝑦 − 𝜋) = 𝑥 
 cot(𝑦−𝜋) = 
1
tan(𝑦−𝜋)
 
⇒ 
1
tan(𝑦−𝜋)
= 𝑥 
 𝑥≠0 
⇒ tan(𝑦 − 𝜋) =
1
𝑥
 ⟹ arctan(tan(𝑦 − 𝜋)) =arctan (
1
𝑥
) 
 
 (𝑦−𝜋) ∈(− 
𝜋
2
, 0), arctan(tan(𝑦−𝜋))=𝑦−𝜋 
⇒ 𝑦 − 𝜋 = arctan (
1
𝑥
) ⟹ 𝑦 = 𝜋 + arctan (
1
𝑥
), 
Portanto, 𝑦 = arccot(𝑥) = 𝜋 + arctan (
1
𝑥
) se 𝑥 < 0. 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 10 de 15 
 
d) Queremos provar: arctan(𝑥) = −𝜋 + arccot (
1
𝑥
), se 𝑥 < 0. 
Primeiro observe que 𝑥 ≠ 0, logo podemos calcular 
1
𝑥
 e consequentemente podemos calcular arccot (
1
𝑥
). 
Agora, se 𝑦 = arctan(𝑥) 𝑒 𝑥 < 0, então, temos que tan(𝑦) = 𝑥, 𝑥 < 0, −
𝜋
2
< 𝑦 < 0. 
Também temos que: −
𝜋
2
< 𝑦 < 0 ⟹ −
𝜋
2
+ 𝜋 < 𝑦 + 𝜋 < 0 + 𝜋 ⟹ 
𝜋
2
< 𝑦 + 𝜋 < 𝜋. 
Como a função tangente tem período igual a 𝜋, sabemos que tan(𝑦) = tan(𝑦 + 𝜋). 
Assim, temos as seguintes informações, que serão usadas a seguir: 
𝑥 < 0,
𝜋
2
< 𝑦 + 𝜋 < 𝜋, cot(𝑦 + 𝜋) < 0, tan(𝑦) = tan(𝑦 + 𝜋) < 0 e tan(𝑦 + 𝜋) =
1
cot(𝑦+𝜋)
. 
Logo, 
𝑦 = arctan(𝑥) , 𝑥 < 0 ⟹ tan(𝑦) = 𝑥 
 tan(𝑦)=tan(𝑦+𝜋) 
⇒ tan(𝑦 + 𝜋) = 𝑥 
 tan(𝑦+𝜋) = 
1
cot(𝑦+𝜋)
 
⇒ 
1
cot(𝑦+𝜋)
= 𝑥 
 𝑥≠0 
⇒ cot(𝑦 + 𝜋) =
1
𝑥
 ⟹ arccot(cot(𝑦 + 𝜋)) =arccot (
1
𝑥
) 
 
 (𝑦+𝜋) ∈( 
𝜋
2
, 𝜋), arccot(cot(𝑦+𝜋))=𝑦+𝜋 
⇒ 𝑦 + 𝜋 = arccot (
1
𝑥
) ⟹ 𝑦 = −𝜋 + arccot (
1
𝑥
), 
Portanto, 𝑦 = arctan(𝑥) = − 𝜋 + arccot (
1
𝑥
) se 𝑥 < 0. 
 
Exercício 11: Calcule os seguintes valores: 
a) arctan (cot (
𝜋
3
)) b) cot (arctan (−
1
15
)) c) cos(arccsc(−10)) 
Resolução: 
a) arctan (cot (
𝜋
3
)) = arctan (
√3
3
) =
𝜋
6
. 
Outra maneira de resolver é usando a propriedade cot(𝑥) = tan (
𝜋
2
− 𝑥), como está resolvido a seguir, 
 arctan (cot (
𝜋
3
)) = arctan (tan (
𝜋
2
−
𝜋
3
)) = arctan (tan (
𝜋
6
)) =
𝜋
6
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Podemos resolver esse exercício usando a propriedade provada no exercício (4d), 
cot (arctan (−
1
15
)) = cot (−𝜋 + arcot (
1
− 
1
 15
)) = ⏞
 (∗)
 cot (arcot (
1
− 
1
 15
)) = cot(arcot(−15)) = −15. 
(*) usamos cot(−𝜋 + 𝜃) = cot(𝜃). 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Podemos resolver esse exercício usando inicialmente a propriedade provada no EP10, 
arccsc(𝑥) = arcsen (
1
𝑥
) , para todo 𝑥 ∈ (−∞,−1] ∪ [1,∞). Logo, 
cos(arccsc(−10)) = cos (arcsen (
1
−10
)). 
Atribuindo uma letra para arcsen (
1
−10
), temos: θ = arcsen (
1
−10
), precisamos calcular cos(𝜃). 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 11 de 15 
θ = arcsen (
1
−10
) ⟹ sen(θ) = −
1
10
 
Da equação trigonométrica fundamental, 
cos(𝜃) = ±√1 − sen2(𝜃) = ±√1 − (−
1
10
)
2
= ±√1 −
1
100
= ±√
99
100
= ±
√99
10
 . 
Temos que decidir qual dos sinais, + ou −, devemos considerar em ±
√99
10
. 
θ = arcsen (
1
−10
), logo sabemos que θ ∈ (−
𝜋
2
, 0), isto é, θ está no 4º. quadrante, donde cos(𝜃) > 0. 
Portanto, cos(𝜃) =
√99
10
. 
Exercício 12: Determine o domínio de cada função: 
a) 𝑓(𝑥) = arccot(2𝑥 − 3) b) 𝑔(𝑥) =
1
√−arctan𝑥
 
c) 𝑝(𝑥) = arcsec(𝑥 − 3) d) 𝑞(𝑥) = √arccot 𝑥 
e) 𝑟(𝑥) =
2
π+4arccsc(2𝑥−√2)
 f) 𝑠(𝑥) = √4 − (arctan 𝑥)2 
Resolução: 
a) 𝑓(𝑥) = arccot(2𝑥 − 3). 
Sabemos que o domínio da função arco cotangente é o intervalo (−∞,∞), logo não há restrição para a 
expressão 2𝑥 − 3, portanto 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = (−∞,∞). 
 
b) 𝑔(𝑥) =
1
√−arctan𝑥
. Sabemos que o domínio da função arco tangente é o intervalo (−∞,∞) portanto 
as restrições do domínio são: 
I) O radicando deve ser positivo ou nulo, ou seja, −arctan(𝑥) ≥ 0. 
II) O denominador deve ser não nulo, ou seja, 
 √−arctan 𝑥 ≠ 0 ⟺ − arctan 𝑥 ≠ 0 
Podemos escrever as duas restrições como uma única 
restrição, − arctan(𝑥) > 0. 
Resolvendo, −arctan(𝑥) > 0 ⟺ arctan(𝑥) < 0. 
Visualizando no círculo trigonométrico ao lado, concluímos que 
arctan(𝑥) < 0 ⟺ −
𝜋
2
< arctan(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < 0. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = (−∞, 0). 
 
c) 𝑝(𝑥) = arcsec(𝑥 − 3) 
Sabemos que o domínio da função arco secante é o conjunto (−∞,−1] ∪ [1,∞). Logo, 
𝑥 − 3 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 − 3 ≥ 1 ⟺ 𝑥 ≤ 3 − 1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3 + 1 ⟺ 𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑝) = (−∞, 2] ∪ [4,∞). 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO12 de 15 
 
d) 𝑞(𝑥) = √arccot 𝑥 
Sabemos que 0 < arccot 𝑥 < 𝜋, para todo 𝑥 ∈ (−∞,∞), logo o radicando será positivo. 
Portanto 𝐷𝑜𝑚 (𝑞) = (−∞,∞). 
 
e) 𝑟(𝑥) =
2
π+4arccsc(2𝑥−√2)
. Temos duas restrições para o domínio: 
I) o domínio da função arco cossecante é o conjunto (−∞,−1] ∪ [1,∞), ou seja, 
2𝑥 − √2 ≤ −1 ou 2𝑥 − √2 ≥ 1. 
II) o denominador deve ser não nulo, ou seja, π + 4arccsc(2𝑥 − √2) ≠ 0. 
Resolvendo-as: 
I) 2𝑥 − √2 ≤ −1 𝑜𝑢 2𝑥 − √2 ≥ 1 ⟺ 2𝑥 ≤ √2 − 1 𝑜𝑢 2𝑥 ≥ √2 + 1 . 
𝑥 ≤
√2−1
2
 𝑜𝑢 𝑥 ≥
√2+1
2
 ⟺ 𝑥 ≤
√2
2
−
1
2
 𝑜𝑢 𝑥 ≥
√2
2
+
1
2
 
Logo a solução de (I) é: 𝑆𝐼 = (−∞,
√2
2
−
1
2
] ∪ [
√2
2
+
1
2
, ∞). 
 
II) π + 4arccsc(2𝑥 − √2) ≠ 0 ⟺ arccsc(2𝑥 − √2) ≠ −
𝜋
4
 ⟺ 2𝑥 − √2 ≠ csc (−
𝜋
4
) ⟺ 
 2𝑥 − √2 ≠ 
1
sen(−
𝜋
4
)
 ⟺ 2𝑥 − √2 ≠
1
− 
√2
2
 ⟺ 2𝑥 − √2 ≠ −√2 ⟺ 2𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 0. 
Logo a solução de (II) é: 𝑆𝐼𝐼 = (−∞,0) ∪ (0,∞). 
O domínio da função 𝑟 é 𝑆𝐼 ∩ 𝑆𝐼𝐼 temos que verificar se o valor 0 pertence a um dos intervalo𝑠 de 𝑆𝐼. 
Verificando, 0 <
√2
2
−
1
2
 ⟺ 
1
2
<
√2
2
 ⟺ 1 < √2 . Como a última desigualdade é verdadeira e todas são 
equivalentes, podemos concluir que a primeira é verdadeira. 
Portanto 𝐷𝑜𝑚 (𝑟) = (−∞, 0) ∪ (0,
√2
2
−
1
2
] ∪ [
√2
2
+
1
2
, ∞). 
 
f) 𝑠(𝑥) = √4 − (arctan 𝑥)2 
A única restrição é o radicando positivo ou nulo, ou seja: 4 − (arctan𝑥)2 ≥ 0. 
Resolvendo, 
4 − (arctan𝑥)2 ≥ 0 ⟺ −(arctan 𝑥)2 ≥ −4 ⟺ (arctan 𝑥)2 ≤ 4 ⟺ √(arctan 𝑥)2 ≤ 2 ⟺ 
|arctan 𝑥| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ arctan 𝑥 ≤ 2. 
Sabemos que arctan 𝑥 ∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) para todo 𝑥 ∈ ℝ e também sabemos que 3 < 𝜋 < 4. 
Logo, 3 < 𝜋 < 4 ⟹ 
𝜋
2
< 2 𝑒 −
𝜋
2
> −2 , donde (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) ⊂ (−2,2). 
Conclusão: arctan 𝑥 ∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) ⊂ (−2,2) ⟹ arctan 𝑥 ∈ (−2,2) para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Portanto 𝐷𝑜𝑚 (𝑠) = (−∞,∞). 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 13 de 15 
Exercício 13: Esboce o gráfico de cada função, dê o domínio e imagem: 
a) 𝑓(𝑥) =
1
2
(
𝜋
2
 – arccot 𝑥) b) 𝑔(𝑥) = 𝜋 − 2 arctan(𝑥) c) ℎ(𝑥) = arcsec(1 − 𝑥) 
Resolução: 
a) Sabemos que: 
𝜋
2
 – arccot 𝑥 = arctan 𝑥 para todo 𝑥 ∈ (−∞,∞), 
podemos simplificar a função: 𝑓(𝑥) =
1
2
(
𝜋
2
 – arccot 𝑥) =
1
2
arctan 𝑥. 
Domínio: como não há restrição no domínio da função arco tangente, 𝑫𝒐𝒎 (𝒇) = (−∞,∞). 
Imagem: a imagem da função arco tangente é o intervalo (−
𝜋
2
,
𝜋
2
), ou seja, , −
π
2
<arctan 𝑥 < 
π
2
. 
Agora, −
𝜋
2
< arctan 𝑥 < 
π
2
 ⟹ −
π
2
∙
1
2
<
1
2
arctan 𝑥 < 
π
2
 ∙
1
2
 ⟹ −
π
4
<
1
2
arctan 𝑥 < 
π
4
 . 
Portanto, 𝑰𝒎 (𝒇) = (−
𝝅
𝟒
,
𝝅
𝟒
). 
Como 
1
2
< 1, o gráfico de 𝑓(𝑥) =
1
2
arctan 𝑥, é obtido por uma redução vertical do gráfico de 𝑦 =
arctan 𝑥, e o fator multiplicativo é igual a 
1
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑔(𝑥) = 𝜋 − 2 arctan(𝑥) 
Domínio: como não há restrição no domínio da função arco tangente, 𝑫𝒐𝒎 (𝒈) = (−∞,∞). 
Imagem: a imagem da função arco tangente é o intervalo (−
𝜋
2
,
𝜋
2
), ou seja, , −
π
2
<arctan 𝑥 < 
π
2
. 
Agora, −
π
2
< arctan 𝑥 < 
π
2
 ⟹ −
π
2
∙ 2 < 2 arctan 𝑥 < 
π
2
 ∙ 2 ⟹ −π < 2arctan 𝑥 < π ⟹ . 
−π + π < 𝜋 + 2arctan 𝑥 < π + π ⟹ 0 < 𝜋 + 2arctan 𝑥 < 2π . 
Portanto, 𝑰𝒎 (𝒇) = (𝟎, 𝟐𝝅) 
Uma possível sequência de transformações para obter o gráfico de 𝑔(𝑥) = 𝜋 − 2 arctan(𝑥), é: 
𝑦 = arctan(𝑥)
 (1) 
→ 𝑦 = 2 arctan(𝑥) 
 (2) 
→ 𝑦 = −2arctan(𝑥) 
 (3) 
→ 𝑦 = 𝜋 − 2arctan(𝑥) 
(1) Como 2 > 1, há um alongamento vertical no gráfico de 𝑦 = arctan(𝑥), por fator multiplicativo 2. 
(2) Reflexão no eixo 𝑥, do gráfico de 𝑦 = 2arctan(𝑥). 
(3) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −2arctan(𝑥) de 𝜋 unidades para cima. 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 14 de 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ℎ(𝑥) =
arcsec(1 − 𝑥) 
Domínio: o domínio da função arco secante é o conjunto (−∞,−1] ∪ [1,∞), ou seja, 
1 − 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 1 − 𝑥 ≥ 1 ⟺ −𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≤ 0. 
Portanto, 𝑫𝒐𝒎(𝒉) = (−∞,𝟎] ∪ [𝟐,∞). 
Imagem: a imagem da função arco secante é o conjunto [0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋] , ou seja, 
0 ≤ arcsec(1 − 𝑥) <
𝜋
2
 𝑜𝑢 
𝜋
2
≤ arcsec(1 − 𝑥) < 𝜋. 
Portanto, 𝑰𝒎(𝒉) = [𝟎,
𝝅
𝟐
) ∪ (
𝝅
𝟐
, 𝝅]. 
Uma possível sequência de transformações para obter o gráfico de ℎ(𝑥) = arcsec(1 − 𝑥), é: 
𝑦 = arcsec(𝑥)
 (1) 
→ 𝑦 = arcsec(𝑥 + 1) 
 (2) 
→ 𝑦 = arcsec(−𝑥 + 1) = arcsec(1 − 𝑥) 
(1) Translação horizontal do gráfico de 𝑦 = arcsec(𝑥) de 1 unidade para esquerda. 
(2) Reflexão no eixo 𝑦, do gráfico de 𝑦 = arcsec(𝑥 + 1). 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 11 – GABARITO 15 de 15