PC_2020-2_APX2_GABARITO

Prévia do material em texto

APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 23 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
APX2 – GABARITO 
_________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,6 ponto ] TIPO 1 
 Considere que sen(𝜃) =
5
13
 e 𝜃 é um ângulo do segundo quadrante. 
 Calcule cos(𝜃) e marque a opção correta em cada item. 
(a) O valor do sen(2𝜃) é igual a ___________________________ 
(b) O valor do cos(2𝜃) é igual a _________________________ 
(c) O ângulo 2𝜃 está no ______________________ 
(d) O valor de 
6
5
 tan(𝜋 − 𝜃) −
10
13
sec (
𝜋
2
− 𝜃) é igual a _______________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 – 120/169 
Opção 2 119/169 
Opção 3 120/169 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 119/169 
Opção 2 – 120/169 
Opção 3 – 119/169 
Opções de respostas para o item(c) 
Opção 1 quarto quadrante 
Opção 2 primeiro quadrante 
Opção 3 segundo quadrante 
Opção 4 terceiro quadrante 
Opções de respostas para o item(d) 
Opção 1 – 3/2 
Opção 2 – 7/4 
Opção 3 – 1/2 
RESOLUÇÃO 
Determinando 𝐜𝐨𝐬(𝜽) 
Da identidade trigonométrica fundamental sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 e dado que sen(𝜃) =
5
13
, temos 
(
5
13
)
2
+ cos2(𝜃) = 1 ⟺ cos2(𝜃) = 1 − (
5
13
)
2
 ⟺ cos2(𝜃) = 1 −
25
169
=
169−25
169
=
144
169
 
⟺ cos2(𝜃) =
144
169
 ⟺ cos(𝜃) =
12
13
 𝑜𝑢 cos(𝜃) = −
12
13
 . 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 23 
Considerando que 𝜃 é um ângulo do segundo quadrante, sabemos que cos(𝜃) < 0. 
Portanto, cos(𝜃) = −
12
13
. 
(a) Determinando 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽) 
Da identidade trigonométrica sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃) , 
e sabendo que sen(𝜃) =
5
13
, e que cos(𝜃) = −
12
13
 , temos que 
sen(2𝜃) = 2 (
5
13
) (−
12
13
) = −
120
169
. Portanto, sen(2𝜃) = −
120
169
. 
Portanto a opção correta do item (a) é a opção 1, que é −
120
169
 
(b) Determinando 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 
Da identidade trigonométrica cos(2𝜃) = cos2(𝜃) − sen2(𝜃), 
e sabendo que sen(𝜃) =
5
13
, cos(𝜃) = −
12
13
 , temos que 
cos(2𝜃) = (−
12
13
)
2
− (
5
13
)
2
=
144
169
−
25
169
=
119
169
. Portanto, cos(2𝜃) =
119
169
. 
Portanto a opção correta do item (b) é a opção 1, que é 
119
169
 
(c) Determinando o quadrante de 𝟐𝜽 
sen(2𝜃) = −
120
169
< 0 e cos(2𝜃) =
119
169
> 0 ⟹ 2𝜃 está no quarto quadrante. 
Portanto a opção correta do item (c) é a opção 1, que é quarto 
(d) tan(𝜋 − 𝜃) = tan(−𝜃) = − tan(𝜃) = −
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 e sec (
𝜋
2
− 𝜃) =
1
cos(
𝜋
2
−𝜃) 
=
1
sen(𝜃) 
 , temos 
6
5
 tan(𝜋 − 𝜃) −
10
13
sec (
𝜋
2
− 𝜃) = −
6
5
∙
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 −
10
13
∙
1
sen(𝜃)
 . 
Como sen(𝜃) =
5
13
 e cos(𝜃) = −
12
13
, temos que 
6
5
tan(𝜋 − 𝜃) −
10
13
sec (
𝜋
2
− 𝜃) = −
6
5
 ∙
5
13
− 
12
 13
 −
10
13
 ∙
1
5
13
=
6
5
 ∙
5
12
−
10
13
∙
13
5
=
1
2
− 2 = −
3
2
 
Portanto a opção correta do item (d) é a opção 1, que é −
3
2
 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,6 ponto ] TIPO 2 
 Considere que cos(𝜃) =
12
13
 e 𝜃 é um ângulo do quarto quadrante. 
 Calcule sen(𝜃) e marque a opção correta em cada item. 
(a) O valor do sen(2𝜃) é igual a ____________________________ 
(b) O valor do cos(2𝜃) é igual a _________________________ 
(c) O ângulo 2𝜃 está no ______________________ 
(d) O valor de 
5
6
tan (
 𝜋
2
− 𝜃) −
3
13
sec (𝜋 − 𝜃) é igual a _______________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 23 
Opção 1 – 120/169 
Opção 2 119/169 
Opção 3 120/169 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 119/169 
Opção 2 – 120/169 
Opção 3 – 119/169 
Opções de respostas para o item(c) 
Opção 1 quarto quadrante 
Opção 2 primeiro quadrante 
Opção 3 segundo quadrante 
Opção 4 terceiro quadrante 
Opções de respostas para o item(d) 
Opção 1 – 7/4 
Opção 2 – 3/2 
Opção 3 – 1/2 
RESOLUÇÃO 
Determinando 𝐜𝐨𝐬(𝜽) 
Da identidade trigonométrica fundamental sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 e dado que cos(𝜃) =
12
13
, temos 
 sen2(𝜃) + (
12
13
)
2
= 1 ⟺ sen2(𝜃) = 1 − (
12
13
)
2
 ⟺ sen2(𝜃) = 1 −
144
169
=
169−144
169
=
25
169
 
⟺ sen2(𝜃) =
25
169
 ⟺ sen(𝜃) =
5
13
 𝑜𝑢 sen(𝜃) = −
5
13
 . 
Considerando que 𝜃 é um ângulo do quarto quadrante, sabemos que sen(𝜃) < 0. 
Portanto, sen(𝜃) = −
5
13
. 
(a) Determinando 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽) 
Da identidade trigonométrica sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃) , 
e sabendo que sen(𝜃) = −
5
13
, e que cos(𝜃) =
12
13
 , temos que 
sen(2𝜃) = 2 (−
5
13
) (
12
13
) = −
120
169
. Portanto, sen(2𝜃) = −
120
169
. 
Portanto a opção correta do item (a) é a opção 1, que é −
120
169
 
(b) Determinando 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 
Da identidade trigonométrica cos(2𝜃) = cos2(𝜃) − sen2(𝜃), 
e sabendo que sen(𝜃) = −
5
13
, cos(𝜃) =
12
13
 , temos que 
cos(2𝜃) = (
12
13
)
2
− (−
5
13
)
2
=
144
169
−
25
169
=
119
169
. Portanto, cos(2𝜃) =
119
169
. 
Portanto a opção correta do item (b) é a opção 1, que é 
119
169
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 4 de 23 
(c) Determinando o quadrante de 𝟐𝜽 
sen(2𝜃) = −
120
169
< 0 e cos(2𝜃) =
119
169
> 0 ⟹ 2𝜃 está no quarto quadrante. 
Portanto a opção correta do item (c) é a opção 1, que é quarto 
(d) tan (
𝜋
2
− 𝜃) = cot(𝜃) =
cos(𝜃)
sen(𝜃)
 e sec(𝜋 − 𝜃) =
1
cos(𝜋−𝜃) 
=
1
− cos(𝜃) 
 , temos 
5
6
tan (
 𝜋
2
− 𝜃) −
3
13
sec(𝜋 − 𝜃) =
5
6
 ∙
cos(𝜃)
sen(𝜃)
−
3
13
 ∙
1
−cos(𝜃) 
 
 
Como sen(𝜃) = −
5
13
 e cos(𝜃) =
12
13
, temos que 
5
6
tan (
 𝜋
2
− 𝜃) −
3
13
sec(𝜋 − 𝜃) =
5
6
 ∙
12
13
− 
5
 13
 −
3
13
 ∙
1
− 
12
13
= −
5
6
 ∙
12
5
+
3
13
∙
13
12
= −2 +
1
4
= −
7
4
 
Portanto a opção correta do item (d) é a opção 1, que é −
7
4
 
 
Questão 2 [0,4] TIPO 1 
 Considere a função 𝑓(𝑥) = tan (𝜋(𝑥 − 1)), 𝑥 ∈ ℝ. 
 Escolha a opção correta para o domínio da função 𝑓. 
(1) ℝ − {
1
2
, −
1
2
,
3
2
, −
3
2
,
5
2
, −
5
2
,
7
2
, −
7
2
,
9
2
, −
9
2
, ⋯ } 
(2) ℝ − {
1
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
,
9
2
, ⋯ } 
(3) ℝ − {
𝜋
2
, −
𝜋
2
,
3𝜋
2
, −
3𝜋
2
,
5𝜋
2
, −
5𝜋
2
,
7𝜋
2
, −
7𝜋
2
,
9𝜋
2
, −
9𝜋
2
, ⋯ } 
(4) ℝ − {
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
,
7𝜋
2
,
9𝜋
2
, ⋯ } 
RESOLUÇÃO 
Única restrição para o domínio: 𝜋(𝑥 − 1) ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Resolvendo a restrição: 
𝜋(𝑥 − 1) ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 𝑥 − 1 ≠
1
2
+ 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 𝑥 ≠
1
2
+ 1 + 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ 
⟺ 𝑥 ≠
3
2
+ 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ . 
Fazendo 𝑘 = 0, 𝑘 = 1, 𝑘 = −1, 𝑘 = 2, 𝑘 = −2, 𝑘 = 3, 𝑘 = −3, ⋯ 
𝑥 ≠
3
2
, 𝑥 ≠
5
2
, 𝑥 ≠
1
2
, 𝑥 ≠
7
2
, 𝑥 ≠ −
1
2
, 𝑥 ≠
9
2
, 𝑥 ≠ −
3
2
, ⋯ ⟺ 
𝑥 ≠
1
2
, 𝑥 ≠ −
1
2
, 𝑥 ≠
3
2
, 𝑥 ≠ −
3
2
, 𝑥 ≠ 
5
2
, 𝑥 ≠ −
5
2
, 𝑥 ≠
7
2
, ⋯ . 
Portanto a opção correta é a opção 1, que é ℝ− {
1
2
, −
1
2
,
3
2
, −
3
2
,
5
2
, −
5
2
,
7
2
, −
7
2
,
9
2
, −
9
2
, ⋯ } 
 
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 5 de 23 
Questão 2 [0,4] TIPO 2 
 Considere a função 𝑓(𝑥) = tan (𝜋(𝑥 + 1)), 𝑥 ∈ ℝ. 
 Escolha a opção correta para o domínio da função 𝑓. 
(1) ℝ − {
1
2
, −
1
2
,
3
2
, −
3
2
,
5
2
, −
5
2
,
7
2
, −
7
2
,
9
2
, −
9
2
, ⋯ } 
(2) ℝ − {
1
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
,
9
2
, ⋯ } 
(3) ℝ − {
𝜋
2
, −
𝜋
2
,
3𝜋
2
, −
3𝜋
2
,
5𝜋
2
, −
5𝜋
2
,
7𝜋
2
, −
7𝜋
2
,
9𝜋
2
, −
9𝜋
2
, ⋯ } 
(4) ℝ − {
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
,
7𝜋
2
,
9𝜋
2
, ⋯ } 
RESOLUÇÃO 
Única restrição para o domínio: 𝜋(𝑥 + 1) ≠
𝜋
2
+𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Resolvendo a restrição: 
𝜋(𝑥 + 1) ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 𝑥 + 1 ≠
1
2
+ 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 𝑥 ≠
1
2
− 1 + 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ 
⟺ 𝑥 ≠ −
1
2
+ 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ . 
Fazendo 𝑘 = 0, 𝑘 = 1, 𝑘 = −1, 𝑘 = 2, 𝑘 = −2, 𝑘 = 3, 𝑘 = −3, ⋯ 
 𝑥 ≠ −
1
2
, 𝑥 ≠
1
2
, 𝑥 ≠ −
3
2
, 𝑥 ≠
3
2
, 𝑥 ≠ −
5
2
, 𝑥 ≠
5
2
, 𝑥 ≠ −
7
2
, ⋯ ⟺ 
𝑥 ≠
1
2
, 𝑥 ≠ −
1
2
, 𝑥 ≠
3
2
, 𝑥 ≠ −
3
2
, 𝑥 ≠ 
5
2
, 𝑥 ≠ −
5
2
, 𝑥 ≠
7
2
, ⋯ . 
Portanto a opção correta é a opção 1, que é ℝ− {
1
2
, −
1
2
,
3
2
, −
3
2
,
5
2
, −
5
2
,
7
2
, −
7
2
,
9
2
, −
9
2
, ⋯ } 
 
Questão 3 [1,0] TIPO 1 
 Considere a equação 2 cos2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 e −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. 
 Ao simplificar essa equação encontramos uma equação equivalente. 
(a) Uma equação equivalente à equação dada é: ___________________ 
(b) A solução de 2 cos2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 para −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 é ____________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 (sen(𝑥) − 2)(2 sen(𝑥) − 1) = 0 
Opção 2 (sen(𝑥) + 2)(2 sen(𝑥) − 1) = 0 
Opção 3 (sen(𝑥) − 2)(2 sen(𝑥) + 1) = 0 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 𝑥 = −
11𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
7𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 
Opção 2 𝑥 = −
5𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 
Opção 3 𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
4𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
2𝜋
3
 
Opção 4 𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
3
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 6 de 23 
RESOLUÇÃO 
Da identidade trigonométrica fundamental sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1, temos que cos2(𝑥) = 1 − sen2(𝑥). 
Assim, substituindo cos2(𝑥) na equação, 
2 cos2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 ⟺ 2(1 − sen2(𝑥)) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 ⟺ 
2 − 2 sen2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 ⟺ −2 sen2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 2 = 0 ⟺ 
2 sen2(𝑥) − 5 sen(𝑥) + 2 = 0. 
Mudando de variável, fazendo sen(𝑥) = 𝑦, temos que 2𝑦2 − 5 𝑦 + 2 = 0. 
𝑦 = 2𝑦2 − 5 𝑦 + 2 = 0 ⟺ 𝑦 =
5±√(−5)2−4∙2∙2
2∙2
=
5±√25−16
4
=
5±√9
4
=
5±3
4
 ⟺ 
𝑦 =
8
4
= 2 𝑜𝑢 𝑦 =
2
4
=
1
2
 ⟺ 2(𝑦 − 2) (𝑦 −
1
2
) = 0 ⟺ (𝑦 − 2)(2𝑦 − 1) = 0 . 
Substituindo de volta na variável 𝑥, 𝑦 = sen(𝑥) temos que: 
2 cos2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 ⟺ (sen(𝑥) − 2)(2 sen(𝑥) − 1) = 0 ⟺ 
sen(𝑥) − 2 = 0 𝑜𝑢 2 sen(𝑥) − 1 = 0 ⟺ sen(𝑥) = 2 𝑜𝑢 sen(𝑥) =
1
2
 . Logo, 
2 cos2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 e − 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ⟺ 
[ sen(𝑥) = 2 𝑜𝑢 sen(𝑥) =
1
2
] e − 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
Resolvendo cada equação para −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. 
• sen(𝑥) =2 não tem solução pois −1 ≤ sen(𝑥) ≤ 1 para qualquer 𝑥 ∈ ℝ. 
• sen(𝑥) =
1
2
 e −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
Observando o círculo trigonométrico ao lado para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
sen(𝑥) =
1
2
 e 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ⟺ 𝑥 =
𝜋
6
 ou 𝑥 = 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
 
Usando congruência de ângulos para −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0, 
sen(𝑥) =
1
2
 e −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0 ⟺ 𝑥 =
𝜋
6
− 2𝜋 = −
11𝜋
6
 ou 
𝑥 =
5𝜋
6
− 2𝜋 = −
7𝜋
6
. 
Portanto a solução de 2 cos2(𝑥) + 5 sen(𝑥) − 4 = 0 𝑒 − 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
 é: 𝑥 = −
11𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
7𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 . 
Sendo 𝑆 o conjunto solução 𝑆 = {−
11𝜋
6
, −
7𝜋
6
,
𝜋
6
,
5𝜋
6
} 
Portanto a opção correta do item (a) é a opção 1, que é 
(sen(𝑥) − 2)(2 sen(𝑥) − 1) = 0 
Portanto a opção correta do item (b) é a opção 1, que é: 
𝑥 = −
11𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
7𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 7 de 23 
Questão 3 [1,0] TIPO 2 
 Considere a equação 2 sen2(𝑥) − 3 cos(𝑥) = 0. 
 Ao simplificar essa equação encontramos uma equação equivalente. 
 (a) Uma equação equivalente à equação dada é: ___________________ 
 (b) A solução de 2 sen2(𝑥) − 3 cos(𝑥) = 0 para −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 é ____________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 (cos(𝑥) + 2)(2 cos(𝑥) − 1) = 0 
Opção 2 (cos(𝑥) − 2)(2 cos(𝑥) + 1) = 0 
Opção 3 (cos(𝑥) + 2)(2 cos(𝑥) + 1) = 0 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
3
 
Opção 2 𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
4𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
2𝜋
3
 
Opção 3 𝑥 = −
11𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
7𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 
Opção 4 𝑥 = −
5𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
 
RESOLUÇÃO 
Da identidade trigonométrica fundamental sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1, temos que sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥). 
Assim, substituindo sen2(𝑥) na equação, 
2 sen2(𝑥) − 3 cos(𝑥) = 0 ⟺ 2(1 − cos2(𝑥)) − 3 cos(𝑥) = 0 ⟺ 
2 − 2 cos2(𝑥) − 3 cos(𝑥) = 0 ⟺ −2 cos2(𝑥) − 3 cos(𝑥) + 2 = 0 ⟺ 
2 cos2(𝑥) + 3 cos(𝑥) − 2 = 0 = 0. 
Mudando de variável, fazendo cos(𝑥) = 𝑦, temos que 2𝑦2 + 3 𝑦 − 2 = 0. 
2𝑦2 + 3 𝑦 − 2 = 0 ⟺ 𝑦 =
−3±√(3)2−4∙2∙(−2)
2∙2
=
−3±√9+16
4
=
−3±√25
4
=
−3±5
4
 ⟺ , 
𝑦 =
2
4
=
1
2
 𝑜𝑢 𝑦 =
−8
4
= −2 ⟺ 2(𝑦 + 2) (𝑦 −
1
2
) = 0 ⟺ (𝑦 + 2)(2𝑦 − 1) = 0 . 
Substituindo de volta na variável 𝑥, 𝑦 = cos(𝑥) temos que: 
2 sen2(𝑥) − 3 cos(𝑥) = 0 ⟺ (cos(𝑥) + 2)(2 cos(𝑥) − 1) = 0 ⟺ 
cos(𝑥) − 2 = 0 𝑜𝑢 2 cos(𝑥) − 1 = 0 ⟺ cos(𝑥) = 2 𝑜𝑢 cos(𝑥) =
1
2
 . Logo, 
2 sen2(𝑥) − 3 cos(𝑥) = 0 e − 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ⟺ 
[cos(𝑥) = 2 𝑜𝑢 cos(𝑥) =
1
2
] e − 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 8 de 23 
Resolvendo cada equação para −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. 
• cos(𝑥) = 2 não tem solução pois −1 ≤ sen(𝑥 cos(𝑥)) ≤ 1 para qualquer 𝑥 ∈ ℝ. 
• cos(𝑥) =
1
2
 e −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
Observando o círculo trigonométrico ao lado para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
cos(𝑥) =
1
2
 e 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ⟺ 𝑥 =
𝜋
3
 ou 𝑥 = 2𝜋 −
𝜋
3
=
5𝜋
3
 
Usando congruência de ângulos para −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0, 
cos(𝑥) =
1
2
 e −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0 ⟺ 𝑥 =
𝜋
3
− 2𝜋 = −
5𝜋
3
 ou 
𝑥 =
5𝜋
3
− 2𝜋 = −
𝜋
3
. 
Portanto a solução de 2 sen2(𝑥) − 3 cos(𝑥) = 0 𝑒 − 2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 é: 
𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
3
 . 
Sendo 𝑆 o conjunto solução 𝑆 = {−
5𝜋
3
, −
𝜋
3
,
𝜋
3
,
5𝜋
3
} 
Portanto a opção correta do item (a) é a opção 1, que é 
(cos(𝑥) + 2)(2 cos(𝑥) − 1) = 0 
Portanto a opção correta do item (b) é a opção 1, que é: 
𝑥 = −
5𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
3
 
 
Questão 4 [1,1] TIPO 1 
 Resolva a inequação (√3 − tan(𝑥))(2 − cos(2𝑥)) ≥ 0 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
 Escolha o intervalo ou união de intervalos que representa a solução da inequação. 
Opção 1 [0,
𝜋
3
] ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
Opção 2 (0,
𝜋
3
] ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
Opção 3 (0,
𝜋
3
) ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
Opção 4 [0,
𝜋
6
] ∪ (
𝜋
2
,
5𝜋
6
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
Opção 5 (0,
𝜋
6
) ∪ (
𝜋
2
,
5𝜋
6
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
RESOLUÇÃO 
Para resolver a inequação (√3 − tan(𝑥))(2 − cos(2𝑥)) ≥ 0 podemos analisar o sinal do 
produto (√3 − tan(𝑥))(2 − cos(2𝑥)). 
• 2 − cos(2𝑥) ≥ 0 ⟺ − cos(2𝑥) ≥ −2 ⟺ cos(2𝑥) ≤ 2 
Sabemos que −1 ≤ cos(2𝑥) ≤ 1 para todo 2𝑥 ∈ ℝ, ou seja, para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
−1 ≤ cos(2𝑥) ≤ 1 para todo 𝑥 ∈ ℝ e 1 < 2 ⟹ cos(2𝑥) ≤ 2 para todo 𝑥 ∈ ℝ 
⟹ 2 − cos(2𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-CálculoPágina 9 de 23 
Logo, o sinal do produto só depende do sinal de √3 − tan(𝑥) e 
(√3 − tan(𝑥))(2 − cos(2𝑥)) ≥ 0 ⟺ √3 − tan(𝑥) ≥ 0 
• √3 − tan(𝑥) ≥ 0 e 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] ⟺ − tan(𝑥) ≥ −√3 e 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] 
⟺ tan(𝑥) ≤ √3 e 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, concluímos que 
0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
 𝑜𝑢 
𝜋
2
< 𝑥 ≤ 
4𝜋
3
 𝑜𝑢 
3𝜋
2
< 𝑥 ≤ 2𝜋 
Portanto a opção correta é a opção 1, que é: 
[0,
𝜋
3
] ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
 
Questão 4 [1,1] TIPO 2 
 Resolva a inequação (√3 − 3tan(𝑥))(2 − sen(2𝑥)) ≥ 0 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. 
 Escolha o intervalo que representa a solução da inequação. 
Opção 1 [0,
𝜋
6
] ∪ (
𝜋
2
,
7𝜋
6
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
Opção 2 (0,
𝜋
6
] ∪ (
𝜋
2
,
7𝜋
6
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
Opção 3 (0,
𝜋
6
) ∪ (
𝜋
2
,
7𝜋
6
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
Opção 4 [0,
𝜋
3
] ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
Opção 5 (0,
𝜋
3
] ∪ (
𝜋
2
,
4𝜋
3
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
RESOLUÇÃO 
Para resolver a inequação (√3 − 3tan(𝑥))(2 − sen(2𝑥)) ≥ 0 podemos analisar o sinal do 
produto (√3 − 3tan(𝑥))(2 − sen(2𝑥)) ≥ 0 . 
• 2 − sen(2𝑥) ≥ 0 ⟺ − sen(2𝑥) ≥ −2 ⟺ sen(2𝑥) ≤ 2 
Sabemos que −1 ≤ sen(2𝑥) ≤ 1 para todo 2𝑥 ∈ ℝ, ou seja, para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
−1 ≤ sen(2𝑥) ≤ 1 para todo 𝑥 ∈ ℝ e 1 < 2 ⟹ sen(2𝑥) ≤ 2 para todo 𝑥 ∈ ℝ 
⟹ 2 − sen(2𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Logo, o sinal do produto só depende do sinal de √3 − 3 tan(𝑥) e 
(√3 − 3tan(𝑥))(2 − sen(2𝑥)) ≥ 0 ⟺ √3 − 3 tan(𝑥) ≥ 0 
• √3 − 3 tan(𝑥) ≥ 0 e 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] ⟺ −3 tan(𝑥) ≥ −√3 e 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] 
⟺ 3 tan(𝑥) ≤ √3 e 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] ⟺ tan(𝑥) ≤
√3
3
 e 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] . 
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 10 de 23 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, concluímos que 
0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
6
 𝑜𝑢 
𝜋
2
< 𝑥 ≤ 
7𝜋
6
 𝑜𝑢 
3𝜋
2
< 𝑥 ≤ 2𝜋 
 
 
Portanto a opção correta é a opção 1, que é: 
[0,
𝜋
6
] ∪ (
𝜋
2
,
7𝜋
6
] ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋] 
 
 
Questão 5 [0,8] TIPO 1 
 Considere 𝑓(𝑥) = arcsen (
𝑎𝑥+1
5
), onde 𝑎 é uma constante real, 𝑎 > 0 e 𝑥 ∈ ℝ. 
 Determine o valor de 𝑎 para que o domínio de 𝑓 seja o intervalo [−18,12]. 
 O valor de 𝑎 pertence a qual dos intervalos? 
Opção 1 [0,
1
2
] 
Opção 2 (
1
2
, 1] 
Opção 3 (1, 4] 
RESOLUÇÃO 
O domínio da função arco seno é o intervalo [−1, 1], logo a restrição do domínio de 𝑓 é 
−1 ≤
𝑎𝑥+1
5
≤ 1 . Resolvendo a restrição, 
−1 ≤
𝑎𝑥+1
5
≤ 1 ⟺ −5 ≤ 𝑎𝑥 + 1 ≤ 5 ⟺ −5 − 1 ≤ 𝑎𝑥 + 1 − 1 ≤ 5 − 1 ⟺ 
−6 ≤ 𝑎𝑥 ≤ 4 
𝑎>0, 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑢 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑎
𝑛ã𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒
⇔ −
6
𝑎
≤ 𝑥 ≤
4
𝑎
 . 
Logo, o domínio, que depende do valor de 𝑎, é 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−
6
𝑎
,
4
𝑎
]. 
Para que o domínio de 𝑓 seja o intervalo [−18,12], é preciso que −
6
𝑎
= −18 e 
4
𝑎
= 12. 
−
6
𝑎
= −18 ⟺ 
−6
−18
= 𝑎 ⟺ 𝑎 =
1
3
 
4
𝑎
= 12 ⟺ 𝑎 =
1
3
 
Portanto, 𝑎 =
1
3
. 
Portanto a opção correta é a opção 1, que é: [0,
1
2
]. 
 
Questão 5 [0,8] TIPO 2 
 Considere 𝑓(𝑥) = arccos (
𝑏𝑥−3
7
), onde 𝑏 é uma constante real e 𝑥 ∈ ℝ. 
 Determine o valor de 𝑏 para que o domínio de 𝑓 seja o intervalo [−8, 20]. 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 11 de 23 
 O valor de 𝑏 pertence a qual dos intervalos? 
Opção 1 [
1
3
, 1] 
Opção 2 (
1
2
, 1] 
Opção 3 (1,
3
2
] 
RESOLUÇÃO 
O domínio da função arco cosseno é o intervalo [−1, 1], logo a restrição do domínio de 𝑓 é 
−1 ≤
𝑏𝑥−3
7
≤ 1 . Resolvendo a restrição, 
−1 ≤
𝑏𝑥−3
7
≤ 1 ⟺ −7 ≤ 𝑏𝑥 − 3 ≤ 7 ⟺ −7 + 3 ≤ 𝑏𝑥 − 3 + 3 ≤ 7 + 3 ⟺ 
−4 ≤ 𝑏𝑥 ≤ 10 
𝑏>0, 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑢 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑏
𝑛ã𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒
⇔ −
4
𝑏
≤ 𝑥 ≤
10
𝑏
 . 
Logo, o domínio, que depende do valor de 𝑏, é 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−
4
𝑏
 ,
10
𝑏
]. 
Para que o domínio de 𝑓 seja o intervalo [−8 ,20], é preciso que −
4
𝑏
= −8 e 
10
𝑏
= 20. 
−
4
𝑏
= −8 ⟺ 
−4
−8
= 𝑏 ⟺ 𝑏 =
1
2
 
10
𝑏
= 20. ⟺ 𝑏 =
10
20
 ⟺ 𝑏 =
1
2
 
Portanto, 𝑏 =
1
2
. 
Portanto a opção correta é a opção 1, que é: [
1
3
, 1]. 
 
Questão 6 [2,1] TIPO 1 
 Para 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚, 𝑘 constantes reais e variável 𝑥 ∈ ℝ, 
 a função 𝑓 pode ser definida por: 
 
 𝑓(𝑥) = {
𝑎 ln(𝑥 + 𝑏) 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ −1
𝑐𝑥 + 𝑑 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 0
𝑚 𝑒−𝑥 + 𝑘 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < ∞
 
 
 
 
 Determine as constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑,𝑚, 𝑘, se sabemos que: 
• O gráfico da função 𝑓 está esboçado acima. 
• 𝑓 (−
3
2
) = ln 2 
• A reta de equação 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 que está na definição da função 𝑓 contém os pontos (−1, 0) e (0, −1). 
• O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = −1. 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 12 de 23 
• O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑥 em 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = ln 2 
 
 Em cada item complete com a opção de resposta correta para a expressão. 
(a) O valor de 5𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 é ____________ 
(b) O valor de 7𝑎 − 𝑏 − 𝑑 é ____________ 
(c) O valor de 𝑚2 + 𝑘2 −𝑚 é _____________ 
Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 – 3 
Opção 2 11 
Opção 3 15 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 – 8 
Opção 2 4 
Opção 3 6 
Opções de respostas para o item(c) 
Opção 1 7 
Opção 2 3 
Opção 3 – 4 
RESOLUÇÃO 
Determinando 𝒂 e 𝒃 
𝑓(𝑥) = 𝑎 ln(𝑥 + 𝑏) 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ −1. 
Observando que −1 ∈ (−2,−1], concluímos que 𝑓(−1) = 𝑎 ln(−1 + 𝑏) 
Observando que o gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑥 em 𝑥1 = −1, concluímos que 𝑓(−1) = 0. 
Logo, 𝑎 ln(−1 + 𝑏) = 0. 
Pelo gráfico, 𝑎 ≠ 0, pois se 𝑎 = 0 o gráfico seria a reta de equação 𝑦 = 0. Assim, 
𝑎 ln(−1 + 𝑏) = 0 ⟺ ln(−1 + 𝑏) = 0 ⇔ −1 + 𝑏 = 1 ⟺ 𝒃 = 𝟐. 
Observando que −
3
2
∈ (−2,−1], concluímos que 𝑓 (−
3
2
) = 𝑎 ln (−
3
2
+ 𝑏) 
Como já determinamos 𝑏 = 2, 
𝑓 (−
3
2
) = 𝑎 ln (−
3
2
+ 2) = 𝑎 ln (
1
2
) = 𝑎(ln 1 − ln 2) = 𝑎(0 − ln 2) = −𝑎 ln 2 . 
Foi dado 𝑓 (−
3
2
) = ln 2, logo −𝑎 ln 2 = ln 2 e concluímos que 𝒂 = −𝟏. 
Determinando 𝒄 e 𝒅 
A reta de equação 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 que está na definição da função 𝑓 contém os pontos (−1, 0) e (0, −1). 
Substituindo 𝑥 = −1 e 𝑦 = 0, em 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 temos que 
0 = 𝑐(−1) + 𝑑 ⟺ −𝑐 + 𝑑 = 0 ⟺ 𝑑 = 𝑐. 
Substituindo 𝑥 = 0 e 𝑦 = −1, em 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 temos que 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 13 de 23 
−1 = 𝑐 ∙ 0 + 𝑑 ⟺ 𝑑 = −1 
Assim, concluímos que 𝒄 = −𝟏 e 𝒅 = −𝟏 
Determinando 𝒎 e 𝒌 
𝑓(𝑥) = 𝑚 𝑒−𝑥 + 𝑘 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < ∞ 
Observando que 0 ∈ [0,∞), concluímos que 𝑓(0) = 𝑚 𝑒−0 + 𝑘 = 𝑚 + 𝑘 
Observando que o gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = −1, concluímos que 𝑓(0) = −1. 
Logo, 𝑚 + 𝑘 = −1. 
O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑥 em 𝑥2 = ln2, concluímos que 𝑓(ln 2) = 0. 
Sabemos que ln 2 > 0, pois 2 > 1. Assim, 
ln 2 ∈ [0,∞) e 𝑓(ln 2) = 𝑚 𝑒− ln 2 + 𝑘 = 𝑚 𝑒ln( 2
−1) + 𝑘 = 𝑚 2−1 + 𝑘 = 𝑚 ∙
1
2
+ 𝑘 =
𝑚
2
+ 𝑘. 
Como 𝑓(ln 2) = 0 e 𝑓(ln 2) =
𝑚
2
+ 𝑘, concluímos que 
𝑚
2
+ 𝑘 = 0 ⟺ 𝑚 + 2𝑘 = 0. 
Precisamos resolver o sistema {
𝑚 + 2𝑘 = 0
𝑚 + 𝑘 = −1
 
Resolvendo, primeira equação menos a segunda equação, obtemos 
 𝑚 −𝑚+ 2𝑘 − 𝑘 = 0 − (−1) ⟺ 0 + 𝑘 = 1 ⟺ 𝒌 = 𝟏 
Substituindo 𝑘 = 1 na equação 1, 𝑚 + 2 = 0 ⟺ 𝒎 = −𝟐. 
Concluindo todos os valores,𝒂 = −𝟏, 𝒃 = 𝟐, 𝒄 = −𝟏, 𝒅 = −𝟏, 𝒎 = −𝟐, 𝒌 = 𝟏. 
Fazendo as contas para escolher as respostas, 
5𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 5(−1) + 2(2) + 2(−1) = −5 + 4 − 2 = −3 
7𝑎 − 𝑏 − 𝑑 = 7(−1) − 2 − (−1) = −7 − 2 + 1 = −8 
𝑚2 + 𝑘2 −𝑚 = (−2)2 + 12 − (−2) = 4 + 1 + 2 = 7 
 
Portanto a opção correta do item (a) é a opção 1, que é −3 
Portanto a opção correta do item (b) é a opção 1, que é: −8 
Portanto a opção correta do item (c) é a opção 1, que é: 7 
 
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 14 de 23 
Questão 6 [2,1] TIPO 2 
 Para 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚, 𝑘 constantes reais e variável 𝑥 ∈ ℝ, 
 a função 𝑓 pode ser definida por: 
 
 
 𝑓(𝑥) = {
𝑎 ln(𝑥 + 𝑏) 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ −1
𝑐𝑥 + 𝑑 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 0
𝑚 𝑒−𝑥 + 𝑘 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < ∞
 
 
 
 
 Determine as constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑,𝑚, 𝑘, se sabemos que: 
 
• O gráfico da função 𝑓 está esboçado acima. 
• 𝑓 (−
3
2
) = − ln 2 
• A reta de equação 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 que está na definição da função 𝑓 contém os pontos (−1, 0) e (0, 1). 
• O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = 1. 
• O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑥 em 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = ln 2 
 
 Em cada item complete com a opção de resposta correta para a expressão. 
(a) O valor de 5𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 é ____________ 
(b) O valor de 7𝑎 − 𝑏 − 𝑑 é ____________ 
(c) O valor de 𝑚2 + 𝑘2 −𝑚 é _____________ 
 
Opções de respostas para o item(a) 
Opção 1 11 
Opção 2 – 3 
Opção 3 4 
Opções de respostas para o item(b) 
Opção 1 4 
Opção 2 – 8 
Opção 3 – 4 
Opções de respostas para o item(c) 
Opção 1 3 
Opção 2 7 
Opção 3 – 2 
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 15 de 23 
RESOLUÇÃO 
Determinando 𝒂 e 𝒃 
𝑓(𝑥) = 𝑎 ln(𝑥 + 𝑏) 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ −1. 
Observando que −1 ∈ (−2,−1], concluímos que 𝑓(−1) = 𝑎 ln(−1 + 𝑏) 
Observando que o gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑥 em 𝑥1 = −1, concluímos que 𝑓(−1) = 0. 
Logo, 𝑎 ln(−1 + 𝑏) = 0. 
Pelo gráfico, 𝑎 ≠ 0, pois se 𝑎 = 0 o gráfico seria a reta de equação 𝑦 = 0. Assim, 
𝑎 ln(−1 + 𝑏) = 0 ⟺ ln(−1 + 𝑏) = 0 ⇔ −1 + 𝑏 = 1 ⟺ 𝒃 = 𝟐. 
Observando que −
3
2
∈ (−2,−1], concluímos que 𝑓 (−
3
2
) = 𝑎 ln (−
3
2
+ 𝑏) 
Como já determinamos 𝑏 = 2, 
𝑓 (−
3
2
) = 𝑎 ln (−
3
2
+ 2) = 𝑎 ln (
1
2
) = 𝑎(ln 1 − ln 2) = 𝑎(0 − ln 2) = −𝑎 ln 2 . 
Foi dado 𝑓 (−
3
2
) = − ln 2, logo −𝑎 ln 2 = − ln 2 e concluímos que 𝒂 = 𝟏. 
Determinando 𝒄 e 𝒅 
A reta de equação 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 que está na definição da função 𝑓 contém os pontos (−1, 0) e (0, 1). 
Substituindo 𝑥 = −1 e 𝑦 = 0, em 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 temos que 
0 = 𝑐(−1) + 𝑑 ⟺ −𝑐 + 𝑑 = 0 ⟺ 𝑑 = 𝑐. 
Substituindo 𝑥 = 0 e 𝑦 = 1, em 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 temos que 
1 = 𝑐 ∙ 0 + 𝑑 ⟺ 𝑑 = 1 
Assim, concluímos que 𝒄 = 𝟏 e 𝒅 = 𝟏 
Determinando 𝒎 e 𝒌 
𝑓(𝑥) = 𝑚 𝑒−𝑥 + 𝑘 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < ∞ 
Observando que 0 ∈ [0,∞), concluímos que 𝑓(0) = 𝑚 𝑒−0 + 𝑘 = 𝑚 + 𝑘 
Observando que o gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = 1, concluímos que 𝑓(0) = 1. 
Logo, 𝑚 + 𝑘 = 1. 
O gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑥 em 𝑥2 = ln2, concluímos que 𝑓(ln 2) = 0. 
Sabemos que ln 2 > 0, pois 2 > 1. Assim, 
ln 2 ∈ [0,∞) e 𝑓(ln 2) = 𝑚 𝑒− ln 2 + 𝑘 = 𝑚 𝑒ln( 2
−1) + 𝑘 = 𝑚 2−1 + 𝑘 = 𝑚 ∙
1
2
+ 𝑘 =
𝑚
2
+ 𝑘. 
Como 𝑓(ln 2) = 0 e 𝑓(ln 2) =
𝑚
2
+ 𝑘, concluímos que 
𝑚
2
+ 𝑘 = 0 ⟺ 𝑚 + 2𝑘 = 0. 
Precisamos resolver o sistema {
𝑚 + 2𝑘 = 0
𝑚 + 𝑘 = 1
 
Resolvendo, primeira equação menos a segunda equação, obtemos 
 𝑚 −𝑚+ 2𝑘 − 𝑘 = 0 − 1 ⟺ 0 + 𝑘 = −1 ⟺ 𝒌 = −𝟏 
Substituindo 𝑘 = −1 na equação 1, 𝑚 − 2 = 0 ⟺ 𝒎 = 𝟐. 
Concluindo todos os valores, 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟐, 𝒄 = 𝟏, 𝒅 = 𝟏, 𝒎 = 𝟐, 𝒌 = −𝟏. 
Fazendo as contas para escolher as respostas, 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 16 de 23 
5𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 5(1) + 2(2) + 2(1) = 5 + 4 + 2 = 11 
7𝑎 − 𝑏 − 𝑑 = 7 ∙ 1 − 2 − 1 = 7 − 2 − 1 = 4 
𝑚2 + 𝑘2 −𝑚 = 22 + (−1)2 − 2 = 4 + 1 − 2 = 3 
 ∙ 
Portanto a opção correta do item (a) é a opção 1, que é 11 
Portanto a opção correta do item (b) é a opção 1, que é: 4 
Portanto a opção correta do item (c) é a opção 1, que é: 3 
 
Questão 7 [1,4] TIPO 1 
 
 Considere a função 𝑔(𝑥) = ln(−1 + ln(𝑥2 − 1)) . 
 Escolha a opção correta para o domínio da função 𝑔 . 
 
OPÇÃO 1 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −√𝑒 + 1 ) ∪ ( √𝑒 + 1 , +∞) 
OPÇÃO 2 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( √𝑒 + 1 , +∞) 
OPÇÃO 3 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −1 ) ∪ ( 1, +∞) 
OPÇÂO 4 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( 1, +∞) 
 
RESOLUÇÃO: 
Para calcular o domínio da função 𝑔(𝑥) = ln(−1 + ln(𝑥2 − 1)) temos duas restrições, pois a função 
𝑦 = ln(𝑥) está definida para 𝑥 > 0. Portanto as duas restrições são: 
(1) 𝑥2 − 1 > 0 e 
(2) −1 + ln(𝑥2 − 1) > 0. 
Resolvendo as restrições: 
(1) 𝑥2 − 1 > 0 
∗
⇔ 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 1 . 
Em * usamos o fato que o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 1 é uma parábola de concavidade voltada para 
cima, pois o coeficiente de 𝑥2 é 1 > 0 e suas raízes são −1 e 1 . 
(2) −1 + ln(𝑥2 − 1) ⇔ ln(𝑥2 − 1) > 1 ⇔ 𝑒ln(𝑥
2−1) > 𝑒1 ⇔ 𝑥2 − 1 > 𝑒 ⇔ 
 𝑥2 − 1 − 𝑒 > 0 ⇔ 𝑥2 − (𝑒 + 1) > 0 
∗ ∗
⇔ 𝑥 < −√𝑒 + 1 𝑜𝑢 𝑥 > √𝑒 + 1 
Em * * usamos o fato que o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − (𝑒 + 1) é uma parábola de concavidade 
voltada para cima, pois o coeficiente de 𝑥2 é 1 > 0 e suas raízes são −√𝑒 + 1 e √𝑒 + 1 . 
Portanto o domínio da função 𝑔 é 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 17 de 23 
{ 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 1 } ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < −√𝑒 + 1 𝑜𝑢 𝑥 > √𝑒 + 1 }. 
Como √𝑒 + 1 ≈ √3,7 ≈ 1,9 , concluímos que 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −√𝑒 + 1 ) ∪ ( √𝑒 + 1 , +∞) 
 
 
 
Logo, 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = (−∞ , −√𝒆 + 𝟏 ) ∪ ( √𝒆 + 𝟏 , ∞) 
Portanto, a opção correta é a Opção 1, que é: 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = (−∞ , −√𝒆 + 𝟏 ) ∪ ( √𝒆 + 𝟏 , +∞). 
 
Questão 7 [1,4] TIPO 2 
 Considere a função 𝑔(𝑥) = ln(−1 + ln(𝑥2 − 4)) . 
 Escolha a opção correta para o domínio da função 𝑔 . 
 
OPÇÃO 1 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −√𝑒 + 4 ) ∪ ( √𝑒 + 4 , + ∞) 
OPÇÃO 2 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( √𝑒 + 4 , + ∞) 
OPÇÃO 3 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −2 ) ∪ (2, + ∞) 
OPÇÂO 4 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( 2, + ∞) 
 
RESOLUÇÃO: 
Para calcular o domínio da função 𝑔(𝑥) = ln(−1 + ln(𝑥2 − 4)) temos duas restrições, pois a função 
𝑦 = ln(𝑥) está definida para 𝑥 > 0. Portanto as duas restrições são: 
(1) 𝑥2 − 4 > 0 e 
(2) −1 + ln(𝑥2 − 4) > 0. 
Resolvendo as restrições: 
(1) 𝑥2 − 4 > 0 
∗
⇔ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 2 . 
Em * usamos o fato que o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 4 é uma parábola de concavidade voltada para 
cima, pois o coeficiente de 𝑥2 é 1 > 0 e suas raízes são −2 e 2 . 
(2) −1 + ln(𝑥2 − 4) > 0 ⇔ ln(𝑥2 − 4) > 1 ⇔ 𝑒ln(𝑥
2−4) > 𝑒1 ⇔ 𝑥2 − 4 > 𝑒 ⇔ 
 𝑥2 − 4 − 𝑒 > 0 ⇔ 𝑥2 − (𝑒 + 4) > 0 
∗ ∗
⇔ 𝑥 < −√𝑒 + 4 𝑜𝑢 𝑥 > √𝑒 + 4 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 18 de 23 
Em * * usamos o fato que o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − (𝑒 + 4) é uma parábola de concavidade 
voltada para cima, pois o coeficiente de 𝑥2 é 1 > 0 e suas raízes são −√𝑒 + 4 e √𝑒 + 4 . 
Portanto o domínio da função 𝑔 é 
{ 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 2 } ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < −√𝑒 + 4 𝑜𝑢 𝑥 > √𝑒 + 4 }. 
Como √𝑒 + 4 ≈ √6,72 ≈ 2,59 , concluímos que 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , −√𝑒 + 4 ) ∪ ( √𝑒 + 4 , +∞) 
 
 
 
Logo, 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = (−∞ , −√𝒆 + 𝟒 ) ∪ ( √𝒆 + 𝟒 , + ∞) 
Portanto, a opção correta é a Opção 1, que é: 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = (−∞ , −√𝒆 + 𝟒 ) ∪ ( √𝒆 + 𝟒 , + ∞). 
 
Questão 8 [1,6] TIPO 1 
 Considere a função ℎ(𝑥) = −2 +3 𝑒𝑎𝑥, onde 𝑎 é constante real, 𝑎 > 1, 𝑥 ∈ ℝ. 
 Esboce um possível gráfico para 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥. 
 Sabendo que o gráfico de ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 é obtido através de transformações no gráfico da 
 função 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 , identifique o único possível gráfico da função ℎ, dentre os cinco gráficos 
 esboçados abaixo. 
 GRÁFICO 1 GRÁFICO 2 GRÁFICO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 19 de 23 
(a) 
GRÁFICO 4 GRÁFICO 5 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) A opção correta para o possível gráfico da função ℎ é ___________________ 
 (b) Uma primeira justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que como 𝑎 > 1, 
 o gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 é _______________ 
(c) Uma segunda justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que 
a interseção do gráfico com o eixo 𝑥 ocorre em _______________________ 
 (d) Uma terceira justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que ______________________ 
Opções de respostas para o item(a) 
OPÇÃO 1 GRÁFICO 3 
OPÇÃO 2 GRÁFICO 1 
OPÇÃO 3 GRÁFICO 2 
OPÇÃO 4 GRÁFICO 4 
OPÇÃO 5 GRÁFICO 5 
Opções de respostas para o item(b) 
OPÇÃO 1 crescente e é uma redução horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 2 decrescente e é uma redução horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 3 crescente e é uma ampliação horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 4 decrescente e é uma ampliação horizontal do gráfico da função exponencial 
Opções de respostas para o item(c) 
OPÇÃO 1 x = (ln (2)-ln (3)) / a 
OPÇÃO 2 x = ln (2) / (a ln (3) ) 
Opções de respostas para o item(d) 
OPÇÃO 1 o gráfico da função ℎ não corta a reta de equação 𝑦 = −2 e está situado acima dessa reta 
OPÇÃO 2 𝑓(𝑥) = −2 para algum valor de 𝑥 ∈ ℝ 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 20 de 23 
RESOLUÇÃO: 
Buscando as interseções do gráfico com os eixos coordenados. 
Interseção com o eixo 𝒙: 
Fazendo 𝑦 = 0 em 𝑦 = ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 : 
0 = ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 ⇔ −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 = 0 ⇔ 3 𝑒𝑎𝑥 = 2 ⇔ 𝑒𝑎𝑥 =
2
3
 ⇔ 
ln(𝑒𝑎𝑥) = ln (
2
3
 ) ⇔ 𝑎𝑥 = ln(2) − ln(3) 
 𝑎>0 
⇔ 𝑥 = 
ln(2) − ln(3)
𝑎
 
Portanto, o gráfico de ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 intercepta o eixo 𝒙 no ponto (
ln(2)−ln(3)
𝑎
 , 0) 
Interseção com o eixo 𝒚: 
Fazendo 𝑥 = 0 em ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 : 
ℎ(0) = −2 + 3 𝑒𝑎 ∙0 ⇔ ℎ(0) = −2 + 3 𝑒0 ⇔ ℎ(0) = −2 + 3 ⇔ ℎ(0) = 1 
Portanto, o gráfico de ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 intercepta o eixo 𝒚 no ponto (0 ,1) 
O gráfico de 𝒚 = 𝒆𝒂𝒙 
Sendo 𝑎 > 1 , o gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 é uma compressão horizontal do 
gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑥, por um fator multiplicativo de 
1
2
 unidade. 
Um possível gráfico é 
Transformações nos gráficos 
Possíveis transformações a partir do gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 para se chegar ao gráfico de ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 
𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑘=3
→ 𝑦 = 3 𝑒𝑎𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 
 
O gráfico de 𝒉(𝒙) = −𝟐 + 𝟑 𝒆𝒂𝒙 
Após aplicar as transformações acima e identificar as interseções 
com os eixos coordenados, concluímos que o único possível gráfico 
da função ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 é o GRÁFICO 3, esboçado ao lado. 
 
Portanto, a opção correta para o item (a) é a opção 1, que é: GRÁFICO 3. 
Portanto, a opção correta para o item (b) é a opção 1, que é: é crescente e é uma redução horizontal do 
gráfico de. 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 21 de 23 
Portanto, a opção correta para o item (c) é a opção 1, que é: . x = (ln (2)-ln (3)) / a 
Portanto, a opção correta para o item (d) é a opção 1, que é: o gráfico da função ℎ não corta a reta de 
equação 𝑦 = −2 e está situado acima dessa reta. 
 
Questão 8 [1,6] TIPO 2 
 Considere a função ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 , onde 𝑎 é constante real, 𝑎 > 1 𝑥 ∈ ℝ. 
 Esboce um possível gráfico para 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥. 
 Sabendo que o gráfico de ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 é obtido através de transformações no gráfico da 
 função 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 , identifique o único possível gráfico da função ℎ, dentre os cinco gráficos 
 esboçados abaixo. 
 GRÁFICO 1 GRÁFICO 2 GRÁFICO 3 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO 4 GRÁFICO 5 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) A opção correta para o possível gráfico da função ℎ é ___________________ 
 (b) Uma primeira justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que como 𝑎 > 1, 
 o gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 é _______________ 
 (c) Uma segunda justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que 
 a interseção do gráfico com o eixo 𝑥 ocorre em _______________________ 
 (d) Uma terceira justificativa para a escolha do gráfico da função ℎ é que ______________________ 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 22 de 23 
Opções de respostas para o item(a) 
OPÇÃO 1 GRÁFICO 2 
OPÇÃO 2 GRÁFICO 1 
OPÇÃO 3 GRÁFICO 3 
OPÇÃO 4 GRÁFICO 4 
OPÇÃO 5 GRÁFICO 5 
Opções de respostas para o item(b) 
OPÇÃO 1 é crescente e é uma redução horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 2 é decrescente e é uma redução horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 3 é crescente e é uma ampliação horizontal do gráfico da função exponencial 
OPÇÃO 4 é decrescente e é uma ampliação horizontal do gráfico da função exponencial 
Opções de respostas para o item(c) 
OPÇÃO 1 x = (ln (3)-ln (4)) / a 
OPÇÃO 2 x = ln (3) / (a ln (4) ) 
Opções de respostas para o item(d) 
OPÇÃO 1 o gráfico da função ℎ não corta a reta de equação 𝑦 = −3 e está situado acima dessa reta 
OPÇÃO 2 𝑓(𝑥) = −3 para algum valor de 𝑥 ∈ ℝ 
RESOLUÇÃO: 
Buscando as interseções do gráfico com os eixos coordenados. 
Interseção com o eixo 𝒙: 
Fazendo 𝑦 = 0 em 𝑦 = ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 : 
0 = ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 ⇔ −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 = 0 ⇔ 4 𝑒𝑎𝑥 = 3 ⇔ 𝑒𝑎𝑥 =
3
4
 ⇔ 
ln(𝑒𝑎𝑥) = ln (
3
4
 ) ⇔ 𝑎𝑥 = ln(3) − ln(4) 
 𝑎>0 
⇔ 𝑥 = 
ln(3) − ln(4)
𝑎
 
Portanto, o gráfico de ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 intercepta o eixo 𝒙 no ponto (
ln(3)−ln(4)
𝑎
 , 0) 
Interseção com o eixo 𝒚: 
Fazendo 𝑥 = 0 em ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 : 
ℎ(0) = −3 + 4 𝑒𝑎 ∙0 ⇔ ℎ(0) = −3 + 4 𝑒0 ⇔ ℎ(0) = −3 + 4 ⇔ ℎ(0) = 1 
Portanto, o gráfico de ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 intercepta o eixo 𝒚 no ponto (0 ,1) 
 
O gráfico de 𝒚 = 𝒆𝒂𝒙 
Sendo 𝑎 > 1 , o gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 é uma compressão horizontal do gráfico de 
𝑦 = 𝑒𝑥, por um fator multiplicativo de 
1
2
 unidade. Um possível gráfico é 
Transformações nos gráficos 
APX2 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 23 de 23 
Possíveis transformações a partir do gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 para se chegar ao gráfico de ℎ(𝑥) = −3 + 4 𝑒𝑎𝑥 
𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑘=4
→ 𝑦 = 4 𝑒𝑎𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ ℎ(𝑥) = −3 + 3 𝑒𝑎𝑥 
 
 
O gráfico de 𝒉(𝒙) = −𝟑 + 𝟒 𝒆𝒂𝒙 
Após aplicar as transformações acima e identificar as interseções com 
os eixos coordenados, concluímos que o único possível gráfico da 
função ℎ(𝑥) = −2 + 3 𝑒𝑎𝑥 é o GRÁFICO 2, esboçado ao lado. 
 
 
Portanto, a opção correta para o item (a) é a opção 1, que é: GRÁFICO 2. 
Portanto, a opção correta para o item (b) é a opção 1, que é: é crescente e é uma redução horizontal do 
gráfico de. 
Portanto, a opção correta para o item (c) é a opção 1, que é: . x = (ln (3)-ln (4)) / a 
Portanto, a opção correta para o item (d) é a opção 1, que é: o gráfico da função ℎ não corta a reta de 
equação 𝑦 = −3 e estásituado acima dessa reta.