APX2-ALI-2020-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
APX2 – Álgebra Linear I  1009EAD – 2/2020 
Gabarito 
 
Questão 1  0.2 
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. 
(a) O operador linear 33: T definido por    zyxyxxzyxT  ,,,, é sobrejetor. 
(b) Seja a um vetor fixo não nulo em 2 . Uma função 22: L definida por   auuL  é chamada 
de translação. A translação é uma transformação linear. 
(c) O operador linear 33: D definido por    0,,,, yxzyxD  é injetor. 
(d) A transformação linear 
2222
:
xx
MMT  definida por   TAAT  é bijetora. 
(e) Sejam VWT : e WUL : transformações lineares. Se VULT : é injetora, então L é 
também injetora. 
Solução. 
(a) Verdadeira. Observe que      mostreTN 0,0,0 ou seja   .0dim TN Logo pelo Teorema do 
Núcleo e da Imagem,   .3Imdim T Ou seja   .Im 3T Logo T é sobrejetor. 
(b) Falsa.       .0,  aauauuLauuL  
(c) Falsa. Observe que         .0,0,0/,0,0  mostrexxDN Logo D não é injetor. 
(d) Verdadeira. Observe que    ,00
00 MostreTN









 ou seja   .0dim TN Logo T é injetora. Mas 
pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,   .4Imdim T Como   ,Im
22x
MT    .Im
22x
MT  Daí T é 
sobrejetora. Sendo T injetora e sobrejetora, T é bijetora. 
(e) Verdadeira. Suponha VULT : injetora e u um vetor do espaço V, tal que  LNu . Então 
  ,0uL onde 0 é o vetor nulo do espaço W. Sendo T uma função,      00  TuLT . Mas por 
hipótese LT  é injetora, logo .0u Logo    0LN . Mas como    LN0 ,    0LN . Ou seja, 
L é injetora. 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 2  5.1 
A transformação linear 23: T tem matriz   ,312
311
, 




BAT em relação às bases A, base 
canônica do 3 , e     0,1,1,1B do 2 . Determine: 
(a) A expressão de  .,, zyxT 
(b) A matriz canônica de T. 
Solução. 
(a) Dada   ,,BAT temos        1,10,1.21,1.10,0,1 T         ,1,20,1.11,1.10,1,0, T
         .3,00,1.31,1.31,0,0 T 
Mas        .1,0,00,1,0.0,0,1.,, zyxzyx  
Daí          1,0,00,1,0.0,0,1.,, zTTyTxzyxT        .3,23,01,2.1,1 zyxyxzyx  
(b) Sendo    ,1,10,0,1 T    ,1,20,1,0 T    .3,00,0,1 T 
Logo a matriz canônica de T é a matriz   .311
021





T 
 
Questão 3  0.2 Considere 22: T a rotação de 
4

 radianos, no sentido anti-horário, B a matriz 
canônica do 2 e     .4,3,1,2 C Encontre: 
(a) A matriz de mudança da base de B para C. 
(b) A matriz de mudança da base de C para B. Qual a relação dessa matriz com a encontrada no item (c) 
(c) A matriz de T em relação a B. 
(d) A matriz de T em relação a C. 
Solução. 
(a) Dado   ,, 2yx        .4,3.1,2., 1121134   xyyxyx Então        ;4,3.1,2.0,1 111114  
       .4,3.1,2.1,0
11
2
11
3  Logo   .
11
2
11
1
11
3
11
4
,








 CBI 
(b) Sabemos que     .. ,, III BCCB  Ou seja,   BCI , é a matriz inversa da matriz   .,CBI Daí 
     .41 321,, 


  CBBC II 
(c)   .
2
2
2
2
2
2
2
2







 
BT 
(d) Como         .41
32....
22
29
22
25
22
225
22
213
2
2
2
2
2
2
2
2
11
2
11
1
11
3
11
4
,, 










 







 










BCBCBC ITIT 
 
Questão 4  5.1 Considere as transformações lineares 34
1
: T e 3
2
:T definidas por 
   tzxyxxtzyxT  ,,,,,
1
e   .,,
2
zyxzyxT  
Determine, em relação à transformação linear 
12
TT  : 
(a) O núcleo. 
(b) A imagem. 
(c) A matriz canônica. 
Solução. (a) Temos que        .,,,,,,,,)(
21212
tzyxtzxyxxTtzyxTTtzyxTT  
 
  .0,,,
12
tzxytzyxtzyxTT  Daí     .,,/,,,
12
 zyxzyzyxxTTN  
(b) Como   ,3dim
12
TTN  pelo Teorema da Dimensão e da Imagem   .134Imdim
12
TT  
 
Logo   .Im
12
TT  
(c)    .1111
12
TT  
 
Questão 5  5.1 
Considere a transformação linear 35: T definida por    ptzzyxptzyxT  ,,,,,,
1
. Encontre uma 
base e uma dimensão para o núcleo de T. 
Solução. Para determinarmos o núcleo de T, façamos      .0,0,0,,,,,,  ptzzyxptzyxT 
Obtemos o sistema 







.
0
0
0
ptz
zy
x
Logo      .,/,,,,0  yxyxyxyxTN 
Uma de suas bases é o conjunto     1,0,1,1,0,0,1,1,1,0  e sua dimensão igual a 2. 
 
Questão 6  5.1 Seja 33: T o operador linear tal que        0,1,00,1,1,0,0,10,1,1  TT e 
   .1,1,01,2,1 T Verifique se T é inversível e, caso seja determine  .,,1 zyxT  
Solução. 
O conjunto       1,2,1,0,1,1,0,1,1  é uma base de .3 
Dado   ,,, 3zyx           .1,2,10,1,10,1,1,, 22 3   zzyx zyxzyx 
Daí           .1,1,00,1,00,0,1,, 22 3   zzyxT zyxzyx 
   .,,,, 22 3 zzyxT zyxzyx   
Logo   .
100
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1











 T Como   ,0
2
1
det T T é inversível. 
Calculemos a inversa da T. 
 





















100
010
001
100
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1


















100
020
002
100
111
311




















100
022
002
100
220
311



















100
011
002
100
110
311



















100
011
011
100
110
201



















100
111
211
100
010
001
 
   .
100
111
211
1









T 
Então    .,,2,,1 zzyxzyxzyxT 