Lista4 - gabarito

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Lista de exerćıcios - Semana 4
QUESTÃO 1 - Ache a derivada f ′(x) para cada função f(x) abaixo:
(a) f(x) = (2x2 − x + 1)7;
Resp.: Pela regra da cadeia,
f ′(x) = 7 · (2x2 − x + 1)6 · (2x2 − x + 1)′
= 7 · (2x2 − x + 1)6 · (2 · 2x− 1 + 0)
= 7 · (2x2 − x + 1)6 · (4x− 1)
= (2x2 − x + 1)6 · (28x− 7).
(b) f(x) =
5
√
15x− x5;
Resp.: Como
f(x) =
5
√
15x− x5 = (15x− x5)1/5
então, pela regra da cadeia,
f ′(x) =
1
5
· (15x− x5)
1
5
−1 · (15x− x5)′
=
1
5
· (15x− x5)−
4
5 · (15− 5x4)
=
1
5
· 1
(15x− x5) 45
· (15− 5x4)
=
15− 5x4
5 5
√
15x− x5
=
3− x4
5
√
15x− x5
.
(c) f(x) = x2(5x− 6)7;
Resp.: Como f é um produto, devemos primeiro aplicar a regra do produto:
f ′(x) = (x2)′ · (5x− 6)7 + x2 · ((5x− 6)7)′
= 2x · (5x− 6)7 + x2 · ((5x− 6)7)′
Aplicando agora a regra da cadeia para achar ((5x− 6)7)′, temos
f ′(x) = 2x · (5x− 6)7 + x2 · ((5x− 6)7)′
= 2x · (5x− 6)7 + x2 · 7(5x− 6)6 · (5x− 6)′
= 2x · (5x− 6)7 + x2 · 7(5x− 6)6 · 5
= 2x(5x− 6)7 + 35x2(5x− 6)6.
(d) f(x) =
3
x2
+ 4 ln(x) + 5;
Resp.: Temos
f(x) = 3x−2 + 4 ln(x) + 5
1
e logo
f ′(x) = 3 · (−2)x−2−1 + 4 · 1
x
+ 0 =
−6
x3
+
4
x
.
(e) f(x) =
3
√
x2 − 2ex.
Resp.: Temos
f(x) = x2/3 − 2ex
e logo
f ′(x) =
2
3
· x
2
3
−1 − 2ex = 2
3
· x−
1
3 − 2ex
=
2
3
· 1
x
1
3
− 2ex = 2
3 3
√
x
− 2ex.
QUESTÃO 2 - Na lista 3 definimos a derivada de segunda ordem f ′′(x) de uma
função f(x) como a derivada da derivada de f(x). Ache a derivada de segunda
ordem de
f(x) = 3x2 − 4 ln(x) + 2.
Resp.: Temos
f ′(x) = 3 · 2x− 4 · 1
x
+ 0 = 6x− 4
x
e logo a derivada de segunda ordem de f é
f ′′(x) = (f ′(x))′ =
(
6x− 4
x
)′
=
(
6x− 4x−1
)′
= 6− 4(−1)x−2 = 6 + 4
x2
.
2