Questão resolvida - Considere a composição de funções z(t)z(x(t)),y(t)_____________, em que zx2y2, xe2t e ye-2t, para determinar a derivada dz_dt, é possível efetuar composição de função para, então,

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
Considere a composição de funções , em que , e z t = z x t , y t( ) ( ( )) ( )) z = x + y2 2 x = e2t
, para determinar a derivada , é possível efetuar composição de função para, y = e-2t dz / dt
então, derivar , ou derivar pela regra da cadeia. Utilize os dois métodos para z t( ) z x, y( )
determinar . dz / dt
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos fazer a composição das funções, substituindo e em , fica;x t( ) y t( ) z
 
z t = e + e = e + e( ) 2t
2 -2t 2 4t -4t
Derivando, temos;
 
= e ⋅ 4 + e ⋅ -4 = 4e - 4e
dz
dt
4t -4t ( ) →
dz
dt
4t -4t
 
Vamos realizar a derivada pela regra da cadeia seguindo a regra abaixo;
 
= +
dz
dt
𝜕z
𝜕x
dx
dt
𝜕z
𝜕y
dy
dt
A seguir, achamos as derivadas;
 
= 2x; = 2y; = e ⋅ 2 = 2 e e = e ⋅ -2 = - 2e
𝜕z
𝜕x
𝜕z
𝜕y
dx
dt
2t 2t dy
dt
-2t ( ) -2t
Assim, substituindo, temos;
 
= 2x ⋅ 2 e + 2y ⋅ -2e = 4xe - 4ye
dw
dt
2t -2t 2t -2t
 
Mas e , com isso;x = e2t y = e-2t
 
= 4 ⋅ e ⋅ e - 4 ⋅ e ⋅ e = 4e - 4e
dw
dt
2t 2t -2t -2t
→
dw
dt
2t+2t( ) -2t-2t( )
 
 
 
(Resposta - 1)
= 4e - 4e
dw
dt
4t -4t
 
 
(Resposta - 2)