Matrizes em Economia III

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Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Teor´ıa Geral
Tipos
Especiais de
Matrizes
Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Matema´tica Para Economia III - GAN 00147
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2012
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Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Suma´rio
1 Teor´ıa Geral
2 Tipos Especiais de Matrizes
3 Operac¸o˜es com Matrizes
4 Matriz Transposta
5 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
6 Outros Tipos de Matrizes
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Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
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Outros Tipos
de Matrizes
Suma´rio
1 Teor´ıa Geral
2 Tipos Especiais de Matrizes
3 Operac¸o˜es com Matrizes
4 Matriz Transposta
5 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
6 Outros Tipos de Matrizes
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com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
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de Matrizes
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1 Teor´ıa Geral
2 Tipos Especiais de Matrizes
3 Operac¸o˜es com Matrizes
4 Matriz Transposta
5 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
6 Outros Tipos de Matrizes
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Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Suma´rio
1 Teor´ıa Geral
2 Tipos Especiais de Matrizes
3 Operac¸o˜es com Matrizes
4 Matriz Transposta
5 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
6 Outros Tipos de Matrizes
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com Matrizes
Matriz
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Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Suma´rio
1 Teor´ıa Geral
2 Tipos Especiais de Matrizes
3 Operac¸o˜es com Matrizes
4 Matriz Transposta
5 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
6 Outros Tipos de Matrizes
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com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Suma´rio
1 Teor´ıa Geral
2 Tipos Especiais de Matrizes
3 Operac¸o˜es com Matrizes
4 Matriz Transposta
5 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
6 Outros Tipos de Matrizes
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Outros Tipos
de Matrizes
Teor´ıa Geral de Matrizes
Definic¸a˜o
Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
· · · · · · ·
· · · · · · ·
am1 am2 am3 · · · amn

m×n
= [aij ]m×n
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Teor´ıa Geral de Matrizes
Definic¸a˜o
Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
· · · · · · ·
· · · · · · ·
am1 am2 am3 · · · amn

m×n
= [aij ]m×n
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Definic¸a˜o
Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
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
m×n
= [aij ]m×n
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Definic¸a˜o
Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
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m×n
= [aij ]m×n
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Definic¸a˜o
Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
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m×n
= [aij ]m×n
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Definic¸a˜o
Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
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
m×n
= [aij ]m×n
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Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
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= [aij ]m×n
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Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
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= [aij ]m×n
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Definic¸a˜o
Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
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m×n
= [aij ]m×n
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Teor´ıa Geral de Matrizes
Definic¸a˜o
Uma matriz de “m” linhas e “n” colunas e´ dada por:
Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
· · · · · · ·
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am1 am2 am3 · · · amn

m×n
= [aij ]m×n
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Multiplicac¸a˜o
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Outros Tipos
de Matrizes
Igualdade de Matrizes
Definic¸a˜o
Duas matrizes A e B, de mesma ordem sa˜o iguais se, e
somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posic¸a˜o
sa˜o ideˆnticos,
isto e´, se A = [aij ]m×n ,B = [bij ]m×n, enta˜o
A = B ⇔ aij = bij , ∀i , j
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Igualdade de Matrizes
Definic¸a˜o
Duas matrizes A e B, de mesma ordem sa˜o iguais se, e
somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posic¸a˜o
sa˜o ideˆnticos, isto e´, se A = [aij ]m×n ,B = [bij ]m×n, enta˜o
A = B ⇔ aij = bij , ∀i , j
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Igualdade de Matrizes
Definic¸a˜o
Duas matrizes A e B, de mesma ordem sa˜o iguais se, e
somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posic¸a˜o
sa˜o ideˆnticos, isto e´, se A = [aij ]m×n ,B = [bij ]m×n, enta˜o
A = B ⇔ aij = bij , ∀i , j
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de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz Quadrada. Quando m=n.
Exemplo
A3×3 =
 1 −2 33 0 1
4 5 6

3×3
Observac¸a˜o
Dizemos que A3×3 e´ de ordem 3. Em geral se temos uma
matriz An×n dizemos que e´ de ordem n, denotamos por An.
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Definic¸a˜o
Matriz Quadrada. Quando m=n.
Exemplo
A3×3 =
 1 −2 33 0 1
4 5 6

3×3
Observac¸a˜o
Dizemos que A3×3 e´ de ordem 3. Em geral se temos uma
matriz An×n dizemos que e´ de ordem n, denotamos por An.
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Matriz Quadrada. Quando m=n.
Exemplo
A3×3 =
 1 −2 33 0 1
4 5 6

3×3
Observac¸a˜o
Dizemos que A3×3 e´ de ordem 3. Em geral se temos uma
matriz An×n dizemos que e´ de ordem n, denotamos por An.
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Definic¸a˜o
Matriz Quadrada. Quando m=n.
Exemplo
A3×3 =
 1 −2 33 0 1
4 5 6

3×3
Observac¸a˜o
Dizemos que A3×3 e´ de ordem 3. Em geral se temos uma
matriz An×n dizemos que e´ de ordem n, denotamos por An.
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de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz nula, se
aij = 0,∀i = 1, 2, ...,m,∀j = 1, 2, ..., n
Definic¸a˜o
Matriz coluna, se possui uma u´nica coluna, ou seja n=1.
Exemplo
A3×1 =
 1−4
3

3×1
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Definic¸a˜o
Matriz nula, se
aij = 0,∀i = 1, 2, ...,m, ∀j = 1, 2, ..., n
Definic¸a˜o
Matriz coluna, se possui uma u´nica coluna, ou seja n=1.
Exemplo
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 1−4
3

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Definic¸a˜o
Matriz nula, se
aij = 0,∀i = 1, 2, ...,m, ∀j = 1, 2, ..., n
Definic¸a˜o
Matriz coluna, se possui uma u´nica coluna, ou seja n=1.
Exemplo
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 1−4
3

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Definic¸a˜o
Matriz nula, se
aij = 0,∀i = 1, 2, ...,m, ∀j = 1, 2, ..., n
Definic¸a˜o
Matriz coluna, se possui uma u´nica coluna, ou seja n=1.
Exemplo
A3×1 =
 1−4
3

3×1
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com Matrizes
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Multiplicac¸a˜o
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Outros Tipos
de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz linha, se m=1.
Exemplo
A1×3 =
(
3 0 −1 )
1×3
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Definic¸a˜o
Matriz linha, se m=1.
Exemplo
A1×3 =
(
3 0 −1 )
1×3
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Definic¸a˜o
Matriz linha, se m=1.
Exemplo
A1×3 =
(
3 0 −1 )
1×3
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Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
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de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz Diagonal e´ uma matriz quadrada, onde
aij = 0, para i 6= j
Exemplo
A3×3 =
 7 0 00 1 0
0 0 −1

3×3
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Definic¸a˜o
Matriz Diagonal e´ uma matriz quadrada, onde
aij = 0, para i 6= j
Exemplo
A3×3 =
 7 0 00 1 0
0 0 −1

3×3
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Definic¸a˜o
Matriz Diagonal e´ uma matriz quadrada, onde
aij = 0, para i 6= j
Exemplo
A3×3 =
 7 0 00 1 0
0 0 −1

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com Matrizes
Matriz
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Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz identidade e´ definida por
aii = 1, e aij = 0, para i 6= j
Exemplo
I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1

3×3
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de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz identidade e´ definida por
aii = 1, e aij = 0, para i 6= j
Exemplo
I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1

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Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz identidade e´ definida por
aii = 1, e aij = 0, para i 6= j
Exemplo
I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1

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com Matrizes
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Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz Triangular superior e´ uma matriz quadrada tal que
aij = 0 para i > j
Exemplo
A3 =
 2 −2 00 1 3
0 0 5

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com Matrizes
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de Matrizes
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de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz Triangular superior e´ uma matriz quadrada tal que
aij = 0 para i > j
Exemplo
A3 =
 2 −2 00 1 3
0 0 5

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Tipos
Especiais de
Matrizes
Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de MatrizesOutros Tipos
de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz Triangular superior e´ uma matriz quadrada tal que
aij = 0 para i > j
Exemplo
A3 =
 2 −2 00 1 3
0 0 5

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Matrizes
Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz Triangular inferior e´ uma matriz quadrada, onde
aij = 0 para i < j
Exemplo
A3 =
 2 0 07 1 0
−1 0 5

Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Teor´ıa Geral
Tipos
Especiais de
Matrizes
Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz Triangular inferior e´ uma matriz quadrada, onde
aij = 0 para i < j
Exemplo
A3 =
 2 0 07 1 0
−1 0 5

Matema´tica
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Especiais de
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Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz Triangular inferior e´ uma matriz quadrada, onde
aij = 0 para i < j
Exemplo
A3 =
 2 0 07 1 0
−1 0 5

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Matrizes
Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Definic¸a˜o
Matriz Sime´trica e´ aquela matriz quadrada que verifica
aij = aji
Exemplo
A3 =
 2 −1 1−1 1 0
1 0 5

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Definic¸a˜o
Matriz Sime´trica e´ aquela matriz quadrada que verifica
aij = aji
Exemplo
A3 =
 2 −1 1−1 1 0
1 0 5

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Definic¸a˜o
Matriz Sime´trica e´ aquela matriz quadrada que verifica
aij = aji
Exemplo
A3 =
 2 −1 1−1 1 0
1 0 5

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Definic¸a˜o
Adic¸a˜o. Dadas A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n = [bij ],
definimos a matriz soma A + B por A + B = [aij + bij ] matriz
de ordem m × n.
Propriedades :
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n, temos
que :
(i) A + B = B + A(comutativa)
(ii) A + (B + C ) = (A + B) + C (associativa)
(iii) A + 0 = A, onde 0 e´ a matriz nula de ordem n.
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Definic¸a˜o
Adic¸a˜o. Dadas A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n = [bij ],
definimos a matriz soma A + B por A + B = [aij + bij ] matriz
de ordem m × n.
Propriedades :
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n, temos
que :
(i) A + B = B + A(comutativa)
(ii) A + (B + C ) = (A + B) + C (associativa)
(iii) A + 0 = A, onde 0 e´ a matriz nula de ordem n.
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Definic¸a˜o
Adic¸a˜o. Dadas A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n = [bij ],
definimos a matriz soma A + B por A + B = [aij + bij ] matriz
de ordem m × n.
Propriedades :
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n, temos
que :
(i) A + B = B + A(comutativa)
(ii) A + (B + C ) = (A + B) + C (associativa)
(iii) A + 0 = A, onde 0 e´ a matriz nula de ordem n.
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Definic¸a˜o
Adic¸a˜o. Dadas A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n = [bij ],
definimos a matriz soma A + B por A + B = [aij + bij ] matriz
de ordem m × n.
Propriedades :
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n, temos
que :
(i) A + B = B + A(comutativa)
(ii) A + (B + C ) = (A + B) + C (associativa)
(iii) A + 0 = A, onde 0 e´ a matriz nula de ordem n.
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Definic¸a˜o
Adic¸a˜o. Dadas A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n = [bij ],
definimos a matriz soma A + B por A + B = [aij + bij ] matriz
de ordem m × n.
Propriedades :
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n, temos
que :
(i) A + B = B + A(comutativa)
(ii) A + (B + C ) = (A + B) + C (associativa)
(iii) A + 0 = A, onde 0 e´ a matriz nula de ordem n.
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Definic¸a˜o
Adic¸a˜o. Dadas A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n = [bij ],
definimos a matriz soma A + B por A + B = [aij + bij ] matriz
de ordem m × n.
Propriedades :
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n, temos
que :
(i) A + B = B + A(comutativa)
(ii) A + (B + C ) = (A + B) + C (associativa)
(iii) A + 0 = A, onde 0 e´ a matriz nula de ordem n.
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Operac¸o˜es com Matrizes
Definic¸a˜o
Produto por um escalar: Se A = [aij ]m×n e λ um nu´mero real,
podemos definir uma nova matriz tal que λ · A = [λ · aij ]m×n
Propriedades :
Dadas as matrizes A e B da mesma ordem m × n e nu´meros
α, β, temos que :
(i) α · (A + B) = α · A + α · B
(ii) (α + β) · A = α · A + β · A
(iii) 0 · A = 0m×n
(iv) α · (β · A) = (α · β) · A.
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Definic¸a˜o
Produto por um escalar: Se A = [aij ]m×n e λ um nu´mero real,
podemos definir uma nova matriz tal que λ · A = [λ · aij ]m×n
Propriedades :
Dadas as matrizes A e B da mesma ordem m × n e nu´meros
α, β, temos que :
(i) α · (A + B) = α · A + α · B
(ii) (α + β) · A = α · A + β · A
(iii) 0 · A = 0m×n
(iv) α · (β · A) = (α · β) · A.
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Produto por um escalar: Se A = [aij ]m×n e λ um nu´mero real,
podemos definir uma nova matriz tal que λ · A = [λ · aij ]m×n
Propriedades :
Dadas as matrizes A e B da mesma ordem m × n e nu´meros
α, β, temos que :
(i) α · (A + B) = α · A + α · B
(ii) (α + β) · A = α · A + β · A
(iii) 0 · A = 0m×n
(iv) α · (β · A) = (α · β) · A.
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Definic¸a˜o
Produto por um escalar: Se A = [aij ]m×n e λum nu´mero real,
podemos definir uma nova matriz tal que λ · A = [λ · aij ]m×n
Propriedades :
Dadas as matrizes A e B da mesma ordem m × n e nu´meros
α, β, temos que :
(i) α · (A + B) = α · A + α · B
(ii) (α + β) · A = α · A + β · A
(iii) 0 · A = 0m×n
(iv) α · (β · A) = (α · β) · A.
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Produto por um escalar: Se A = [aij ]m×n e λ um nu´mero real,
podemos definir uma nova matriz tal que λ · A = [λ · aij ]m×n
Propriedades :
Dadas as matrizes A e B da mesma ordem m × n e nu´meros
α, β, temos que :
(i) α · (A + B) = α · A + α · B
(ii) (α + β) · A = α · A + β · A
(iii) 0 · A = 0m×n
(iv) α · (β · A) = (α · β) · A.
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Definic¸a˜o
Produto por um escalar: Se A = [aij ]m×n e λ um nu´mero real,
podemos definir uma nova matriz tal que λ · A = [λ · aij ]m×n
Propriedades :
Dadas as matrizes A e B da mesma ordem m × n e nu´meros
α, β, temos que :
(i) α · (A + B) = α · A + α · B
(ii) (α + β) · A = α · A + β · A
(iii) 0 · A = 0m×n
(iv) α · (β · A) = (α · β) · A.
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Definic¸a˜o
Produto por um escalar: Se A = [aij ]m×n e λ um nu´mero real,
podemos definir uma nova matriz tal que λ · A = [λ · aij ]m×n
Propriedades :
Dadas as matrizes A e B da mesma ordem m × n e nu´meros
α, β, temos que :
(i) α · (A + B) = α · A + α · B
(ii) (α + β) · A = α · A + β · A
(iii) 0 · A = 0m×n
(iv) α · (β · A) = (α · β) · A.
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Matriz Transposta
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A = [aij ]m×n , podemos obter outra matriz,
denotada por At = [bij ]n×m , cujas linhas sa˜o as colunas de A,
chamada a matriz transposta de A.
Exemplo 1
A1×3 =
(
2 −1 4 )
1×3 A
t
3×1 =
 2−1
4

3×1
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Matriz Transposta
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A = [aij ]m×n , podemos obter outra matriz,
denotada por At = [bij ]n×m , cujas linhas sa˜o as colunas de A,
chamada a matriz transposta de A.
Exemplo 1
A1×3 =
(
2 −1 4 )
1×3 A
t
3×1 =
 2−1
4

3×1
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Matriz Transposta
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A = [aij ]m×n , podemos obter outra matriz,
denotada por At = [bij ]n×m , cujas linhas sa˜o as colunas de A,
chamada a matriz transposta de A.
Exemplo 1
A1×3 =
(
2 −1 4 )
1×3
At3×1 =
 2−1
4

3×1
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de Matrizes
Matriz Transposta
Definic¸a˜o
Dada uma matriz A = [aij ]m×n , podemos obter outra matriz,
denotada por At = [bij ]n×m , cujas linhas sa˜o as colunas de A,
chamada a matriz transposta de A.
Exemplo 1
A1×3 =
(
2 −1 4 )
1×3 A
t
3×1 =
 2−1
4

3×1
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Outros Tipos
de Matrizes
Exemplo 2
Exemplo 2
A3×2 =
 2 10 3
−1 4

3×2
At2×3 =
(
2 0 −1
1 3 4
)
2×3
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Exemplo 2
Exemplo 2
A3×2 =
 2 10 3
−1 4

3×2
At2×3 =
(
2 0 −1
1 3 4
)
2×3
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de Matrizes
Exemplo 2
Exemplo 2
A3×2 =
 2 10 3
−1 4

3×2
At2×3 =
(
2 0 −1
1 3 4
)
2×3
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Operac¸o˜es
com Matrizes
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Outros Tipos
de Matrizes
Propriedades
Propriedades :
(i) A matriz A e´ sime´trica se, e somente se A = At
(ii) Att = A
(iii) (A + B)t = At + Bt
(iv) (λ · A)t = λ · At , onde λ e´ um nu´mero.
Matema´tica
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Especiais de
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de Matrizes
Propriedades
Propriedades :
(i) A matriz A e´ sime´trica se, e somente se A = At
(ii) Att = A
(iii) (A + B)t = At + Bt
(iv) (λ · A)t = λ · At , onde λ e´ um nu´mero.
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de Matrizes
Propriedades
Propriedades :
(i) A matriz A e´ sime´trica se, e somente se A = At
(ii) Att = A
(iii) (A + B)t = At + Bt
(iv) (λ · A)t = λ · At , onde λ e´ um nu´mero.
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Propriedades
Propriedades :
(i) A matriz A e´ sime´trica se, e somente se A = At
(ii) Att = A
(iii) (A + B)t = At + Bt
(iv) (λ · A)t = λ · At , onde λ e´ um nu´mero.
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com Matrizes
Matriz
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Outros Tipos
de Matrizes
Propriedades
Propriedades :
(i) A matriz A e´ sime´trica se, e somente se A = At
(ii) Att = A
(iii) (A + B)t = At + Bt
(iv) (λ · A)t = λ · At , onde λ e´ um nu´mero.
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Matrizes
Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Propriedades
Propriedades :
(i) A matriz A e´ sime´trica se, e somente se A = At
(ii) Att = A
(iii) (A + B)t = At + Bt
(iv) (λ · A)t = λ · At , onde λ e´ um nu´mero.
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Matrizes
Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
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de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Definic¸a˜o
ejam A = Am×n = [aij ] e B = Bn×p = [brs ], definimos a
matriz A · B = [ckl ]m×p, onde ckl =
n∑
j=1
akj · bjl
Observac¸a˜o
Podemos efetuar o produto das matrizes
A = Am×n = [aij ] e B = Bl×p = [brs ], quando n = l . A matriz
A · B tera´ ordem m × p.
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Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Definic¸a˜o
ejam A = Am×n = [aij ] e B = Bn×p = [brs ], definimos a
matriz A · B = [ckl ]m×p, onde ckl =
n∑
j=1
akj · bjl
Observac¸a˜oPodemos efetuar o produto das matrizes
A = Am×n = [aij ] e B = Bl×p = [brs ], quando n = l . A matriz
A · B tera´ ordem m × p.
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Matriz
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Outros Tipos
de Matrizes
Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Definic¸a˜o
ejam A = Am×n = [aij ] e B = Bn×p = [brs ], definimos a
matriz A · B = [ckl ]m×p, onde ckl =
n∑
j=1
akj · bjl
Observac¸a˜o
Podemos efetuar o produto das matrizes
A = Am×n = [aij ] e B = Bl×p = [brs ], quando n = l . A matriz
A · B tera´ ordem m × p.
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Matrizes
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Exemplo
Exemplo
A = A3×2 =
 2 14 2
5 3
, B = B2×2 = ( 1 −10 4
)
 2 14 2
5 3

3×2
(
1 −1
0 4
)
2×2
=
 2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 44 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4
5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4

3×2
A · B =
 2 24 4
5 7

3×2
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Outros Tipos
de Matrizes
Exemplo
Exemplo
A = A3×2 =
 2 14 2
5 3
, B = B2×2 = ( 1 −10 4
)
 2 14 2
5 3

3×2
(
1 −1
0 4
)
2×2
=
 2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 44 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4
5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4

3×2
A · B =
 2 24 4
5 7

3×2
Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Teor´ıa Geral
Tipos
Especiais de
Matrizes
Operac¸o˜es
com Matrizes
Matriz
Transposta
Multiplicac¸a˜o
de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Exemplo
Exemplo
A = A3×2 =
 2 14 2
5 3
, B = B2×2 = ( 1 −10 4
)
 2 14 2
5 3

3×2
(
1 −1
0 4
)
2×2
=
 2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 44 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4
5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4

3×2
A · B =
 2 24 4
5 7

3×2
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Economia III -
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Matriz
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de Matrizes
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de Matrizes
Exemplo
Exemplo
A = A3×2 =
 2 14 2
5 3
, B = B2×2 = ( 1 −10 4
)
 2 14 2
5 3

3×2
(
1 −1
0 4
)
2×2
=
 2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 44 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4
5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4

3×2
A · B =
 2 24 4
5 7

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Exemplo
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A = A3×2 =
 2 14 2
5 3
, B = B2×2 = ( 1 −10 4
)
 2 14 2
5 3

3×2
(
1 −1
0 4
)
2×2
=
 2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 44 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4
5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4

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A · B =
 2 24 4
5 7

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Exemplo
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A = A3×2 =
 2 14 2
5 3
, B = B2×2 = ( 1 −10 4
)
 2 14 2
5 3

3×2
(
1 −1
0 4
)
2×2
=
 2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 44 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4
5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4

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A · B =
 2 24 4
5 7

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de Matrizes
Outros Tipos
de Matrizes
Outros Tipos de Matrizes
Definic¸a˜o (Matriz Oposta)
A matriz oposta de uma matriz A e´ a matriz obtida a partir
de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos.
Notac¸a˜o: - A.
Definic¸a˜o (Poteˆncia de uma matriz)
Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou
seja,
Ak = A · A · ...A “k”vezes
Matema´tica
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Definic¸a˜o (Matriz Oposta)
A matriz oposta de uma matriz A e´ a matriz obtida a partir
de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos.
Notac¸a˜o: - A.
Definic¸a˜o (Poteˆncia de uma matriz)
Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou
seja,
Ak = A · A · ...A “k”vezes
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Definic¸a˜o (Matriz Oposta)
A matriz oposta de uma matriz A e´ a matriz obtida a partir
de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos.
Notac¸a˜o: - A.
Definic¸a˜o (Poteˆncia de uma matriz)
Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou
seja,
Ak = A · A · ...A “k”vezes
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A matriz oposta de uma matriz A e´ a matriz obtida a partir
de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos.
Notac¸a˜o: - A.
Definic¸a˜o (Poteˆncia de uma matriz)
Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou
seja,
Ak = A · A · ...A “k”vezes
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de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos.
Notac¸a˜o: - A.
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Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou
seja,
Ak = A · A · ...A “k”vezes
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de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos.
Notac¸a˜o: - A.
Definic¸a˜o (Poteˆncia de uma matriz)
Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou
seja,
Ak = A · A · ...A “k”vezes
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de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos.
Notac¸a˜o: - A.
Definic¸a˜o (Poteˆncia de uma matriz)
Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou
seja,
Ak = A · A · ...A
“k”vezes
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de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos.
Notac¸a˜o: - A.
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Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou
seja,
Ak = A · A · ...A “k”vezes
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