APOSTILA - MATEMATICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROF. ME. FÁBIO OLIVEIRA VAZ
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-reitor: 
Prof. Me. Ney Stival
Gestão Educacional:
Prof.a Ma. Daniela Ferreira Correa
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Gabriela de Castro Pereira
Letícia Toniete Izeppe Bisconcim 
Luana Ramos Rocha
Produção Audiovisual:
Heber Acuña Berger 
Leonardo Mateus Gusmão Lopes
Márcio Alexandre Júnior Lara
Pedro Paulo Liasch
Gestão de Produção: 
Kamila Ayumi Costa Yoshimura
Fotos: 
Shutterstock
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande 
responsabilidade sobre as escolhas que 
fazemos, e essas nos guiarão por toda a vida 
acadêmica e profissional, refletindo diretamente 
em nossa vida pessoal e em nossas relações 
com a sociedade. Hoje em dia, essa sociedade 
é exigente e busca por tecnologia, informação 
e conhecimento advindos de profissionais que 
possuam novas habilidades para liderança e 
sobrevivência no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino a 
Distância, a proporcionar um ensino de qualidade, 
capaz de formar cidadãos integrantes de uma 
sociedade justa, preparados para o mercado de 
trabalho, como planejadores e líderes atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................................................4
1 - CONJUNTURA ECONÔMICA BRASILEIRA ..........................................................................................................5
2 - MATEMÁTICA COMERCIAL .................................................................................................................................6
3. REGRA DE TRÊS .....................................................................................................................................................7
3.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES ..................................................................................................................................7
3.1.1. DIRETAMENTE PROPORCIONAL ....................................................................................................................7
3.1.2. INVERSAMENTE PROPORCIONAL .................................................................................................................8
3.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA .............................................................................................................................9
4 - PORCENTAGEM ................................................................................................................................................... 12
5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................................................... 13
A ECONOMIA NO BRASIL E CÁLCULOS BÁSICOS
PROF. ME. FÁBIO OLIVEIRA VAZ
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), trabalhar com números e cálculos é sempre algo que causa certo espanto, 
porém não podemos trabalhar nossas ações estratégicas sem entender de mercado financeiro e 
sua importância em nossas ações.
Neste material, pretendemos ampliar seus conhecimentos sobre esta área, com a 
compreensão de conceitos básicos, porém essenciais, para entender e aplicar conhecimentos 
financeiros à gestão dos negócios.
O mercado possui variações constantes e precisam ser analisadas com muito critério para 
evitar surpresas ao adquirir bens ou serviços, pois reflete um grande investimento por parte de 
quem o adquire.
Todos esses cálculos e teorias são essenciais para utilização no cotidiano, além de fornecer 
formas para facilitar suas análises e decisões com base em números e informações financeiras.
Ao falarmos da situação econômica de nosso país precisamos entender que existe e 
sempre haverá uma variação constante, sendo positiva e negativa, e isso deve ser levado em conta 
no momento de uma tomada de decisão de investimento.
Aqui começamos a compreender alguns termos pertinentes ao conteúdo de finanças, que 
devem fazer parte de sua realidade de trabalho, pois falar de imóveis é falar de vendas, juros, 
parcelamentos, comissões e outros assuntos em torno do tema financeiro.
Começaremos esta Unidade falando da economia brasileira, na sequência entendendo 
um pouco sobre cálculos comerciais e conceitos da matemática básica. 
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1 - CONJUNTURA ECONÔMICA BRASILEIRA
A economia nos cerca, por isso precisamos entendê-la, pois nossas decisões do uso do 
dinheiro, como investimentos, influenciarão no futuro dos nossos negócios e na perpetuidade da 
empresa no mercado.
Figura 01 – Crescimento Econômico. Fonte: o autor.
Segundo Raymundo (2006), a alternância do dólar em frente à nossa moeda, o real, é 
algo comum e rotineiro no mercado financeiro, pois dependendo do risco que o país oferece para 
os investidores, menos dólares temos em nosso país, logo, o valor do dólar acaba subindo. Fato 
que o inverso também é verdade pois quanto menos risco o país oferece, mais dólares entram, 
fazendo a moeda americana diminuir de valor frente ao real.
Uma outra questão que merece nossa atenção é que variações no dólar podem causar 
aumento ou diminuição da inflação, mudança na autonomia de compra das pessoas e variação 
dos custos envolvidos em insumos ou outros materiais importados.
Por isso, busque conhecer ainda mais sobre o mercado de bolsas, dólar, sociedades 
anônimas, mercado de ações, que podem ser grandes fontes de investimento e mudança de 
realidade do mercado das finanças, e as empresas.
Temos como exemplo o mercado da bolsa no Brasil, que se mantém firme mesmo 
passando por algumas crises na economia mundial e que demonstra claramente como o mercado 
é volátil e incerto, por isso, entender o que acontece e como tomar decisões é essencial.
O site Fundamentus disponibiliza informações financeiras e fundamentalistas das 
empresas com ações listadas na Bovespa. Possui um completo banco de dados 
apresentado de forma acessível para auxiliar o investidor a encontrar as melhores 
opções de investimento.
Fonte: Fundamentus (2017, on-line). 
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Um grande alerta é que, no Brasil, temos uma carga tributária muito alta em relação a 
outros países, o que dificulta a sobrevivência das empresas. Para termos uma ideia, esses tributos 
em nosso país podem alcança 36% do Produto Interno Bruto (PIB), e isso pouco se reflete em 
benefícios ao país, as pessoas e aos negócios. Além disso, temos um elevado valor de juros, em 
que o Brasil detém a fama de ter os maiores juros do mercado, se comparado com o resto do 
mundo.
Um bom planejamento passa por análise de cada detalhe do mercado, principalmente do 
financeiro, pois a empresa depende de decisões que envolvam dinheiro e que sejam lucrativas e 
se perpetuem no mercado.
2 - MATEMÁTICA COMERCIAL
Todos nós, que queremos ter visão estratégica de negócios, precisamos conhecer os 
conceitos básicos dos cálculos voltados ao comércio, entendendo os cálculos básicos que são 
extremamente úteis nos negócios.
Figura 02 – Matemáticae finanças. Fonte: o autor.
Na visão de Francisco (1999), a atual economia, que é vista como globalizada, exige que 
os profissionais busquem conhecer os aspectos financeiros e comerciais dos cálculos, para melhor 
compreender questões de juros, taxas, impostos e outros assuntos que interferem em nosso dia 
a dia.
Imagine quando você precisa comprar um bem e financiá-lo em 120 vezes, com 
determinado valor de juros, que resultará em um valor futuro maior, e que a vista poderia ser 
mais barato, isso pode interferir em nossas decisões.
Francisco (1999) reforça que os cálculos financeiros oferecem ferramentas para que 
consigamos calcular e tomar decisões embasadas em informações corretas, isso nos dá mais 
segurança para avaliar como investir nosso precioso dinheiro.
Por isso, acompanhe todo esse material para compreender as questões financeiras e, com 
isso, estar melhor preparado para tomadas de decisão em um mercado altamente complexo.
Neste momento, iremos rememorar conceitos essenciais e básicos para, posteriormente, 
nos aprofundarmos nos cálculos financeiros.
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Quem nunca enfrentou dificuldades em cálculos ao menos uma vez na vida? 
Tenha foco para compreender e vencer esses desafios.
3. REGRA DE TRÊS
Na visão de Gremaud (2003), esta regra ajuda a conhecer o valor desconhecido em uma 
proporção. Podendo ter duas razões, chamada de simples, ou com mais valores, sendo conhecida 
como composta. Podem, ainda, ter uma relação direta ou, até mesmo, podem ser inversas, como 
iremos compreender na sequência.
3.1. Regra de Três Simples
Gremaud (2003) enfatiza que ela será simples no momento que avalia duas grandezas 
comparadas, em que são aplicadas de modo diretamente ou inversamente proporcional.
3.1.1. Diretamente proporcional 
Gremaud (2003, p. 35) afirma que essas grandezas serão diretamente proporcionais 
devido a sua ligação feita diretamente. Quando uma diminui, a outra faz a mesma diminuição 
ou, ainda, se uma aumenta a outra também aumenta.
Vamos entender através de um exemplo:
1. Imaginemos que é necessário nos preparar para uma obra, em que 5 construtores 
fazem 550 metros de reboco por mês. Desta forma, quantos construtores são necessários para 
a produção de 1650 metros de reboco por mês?
As grandezas têm relação direta, ou seja, quanto mais betoneiras, mais lajes produzidas, 
como a seguir:
Essa relação acontece da seguinte maneira: X construtores estão para 1.650 metros de 
reboco, assim como 5 construtores estão para 550 metros de reboco.
Precisamos encontrar o valor de X, em que as razões são proporcionais e utilizando a 
regra com multiplicação cruzada. Veja a resolução a seguir:
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Resposta: são necessários 15 construtores. 
3.1.2. Inversamente proporcional 
Neste caso existe uma relação inversa, ou seja, quando uma grandeza diminui a outra 
aumenta, e o contrário também é verdadeiro. Vamos entender isso através de um exemplo:
1. A empresa Z contrata 24 operários para erguer um prédio em 48 meses. Quantos 
operários são necessários para erguer esta mesma obra em 36 meses? 
Como a relação é inversa: se aumentar o número de operários, diminui o tempo necessário 
para erguer o prédio. Para a resolução deste cálculo precisamos inverter uma das grandezas para 
utilizar a regra de 3, como apresentado a seguir:
Perceba que agora fica fácil fazer o cálculo, como se apresenta na resolução a seguir:
Resposta: são necessários 32 operários. 
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2. Pensemos em um avião que, mantendo a velocidade de 256 km/h, faz um percurso 
em 6 horas. Qual deveria ser a velocidade para percorrer essa distância em 4 horas?
Resposta: a velocidade será de 384 Km/h.
3.2. Regra de Três Composta
Esta regra de 3 é assim chamada por existirem 3 ou mais grandezas para analisarmos e 
calcularmos, podendo ter as mesmas regras anteriormente vistas, sendo diretas ou inversamente 
proporcionais.
Vamos fazer um exemplo para melhor compreender?
1. Uma organização contratada consegue construir, em 90 dias, uma residência com 
200m², utilizando-se de 10 operários. Nesse sentido, quantos dias seriam necessários para 
construir 300m² com 30 operários?
Aqui temos 3 grandezas relacionadas. Com base nas informações fornecidas, vamos 
montar uma tabela para facilitar a compreensão e o cálculo. 
Dias M2 Número de Operários
X 300 30
90 200 10
Tabela 01 – Regra de 3. Fonte: o autor.
A dúvida aqui é encontrar o número de dias, logo ele será nosso “X”. Lembrando que com 
mais operários, menos tempo de construção, porém quanto mais metros construídos, mais tempo 
de construção. Número de operários e dias são inversamente proporcionais, vamos a resolução:
 
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Dias M2 Número de Operários
X 300 10
90 200 30
Tabela 02 – Regra de 3. Fonte: o autor.
Resposta: seriam necessários 45 dias.
2. Com 9 operários, uma empresa executou um buraco de 9 metros de comprimento, 
5 metros de profundidade e 4,5 metros de largura, em 8 dias de 7 horas de trabalho. Em 
quantos dias esta mesma empresa demoraria tendo 8 trabalhadores, com o dobro de poder de 
trabalho, para abrir um buraco de 6 metros de comprimento, em que a dificuldade é o triplo 
do primeiro buraco?
DIAS OPERÁRIOS GRAU DE ATIVIDADE COMPRIMENTO
GRAU DE 
DIFICULDADE
X 8 2 6 3
8 9 1 9 1
Tabela 03 – Regra de 3. Fonte: o autor.
Observação: como a atividade não fala a largura e profundidade do buraco levemos em 
consideração as mesmas medidas apresentadas anteriormente.
Primeiro passo: verificar as grandezas que são inversamente proporcionais à “Dias”.
Operários: é inversamente proporcional, pois quanto mais operários menos dias.
Grau de atividade: é inversamente proporcional, pois quanto mais ativos, menos dias se 
leva para realizar o trabalho.
Comprimento: é diretamente proporcional, pois quanto mais comprido, mais dias são 
necessários.
Tempo é dinheiro. 
(Benjamim Franklin)
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Grau de dificuldade: é diretamente proporcional, pois quanto mais difícil mais dias são 
necessários.
Segundo passo: vamos inverter as grandezas inversamente proporcionais.
DIAS OPERÁRIOS GRAU DE ATIVIDADE COMPRIMENTO
GRAU DE 
DIFICULDADE
X 9 1 6 3
8 8 2 9 1
Tabela 04 – Regra de 3. Fonte: o autor.
Resposta: seriam necessários 9 dias.
A Regra de Três Simples ajuda a encontrar um Quarto valor que não conhecemos 
apenas usando outros três valores que temos. É uma ferramenta que pode te 
ajudar em vários cálculos e facilitar sua vida.
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4 - PORCENTAGEM
Figura 03 – Porcentagem. Fonte: o autor.
Conforme Raymundo (2006), dá-se o nome de percentagem ou porcentagem à parte 
calculada sobre uma quantidade de 100 unidades, ou seja, é uma parte de 100, ou 0,01 (1÷100).
Toda razão a/b, na qual b = 100, é uma porcentagem e o símbolo que a representa é %.
Para Puccini (2009), existem vários meios para se resolver um problema que necessite do 
uso de porcentagem como, por exemplo, regra de três simples e o cálculo direto por calculadoras. 
Vamos entender, por meio de um exemplo, sobre porcentagem de um número (%).
1. Se um bem é vendido por R$ 200.000,00 e o vendedor tem uma comissão de 5%, 
qual será o valor dessa comissão?
5% de 200.000,00
5 ÷ 100 x 200.000,00
0,05 x 200.000,00
R$ 10.000,00
2. Você acaba de receber R$ 30.000,00 de comissão por vender um imóvel. Sendo sua 
comissão de 6% sobre valor de venda. Mas qual é esse valor de venda?
Aqui você precisa entender a aplicação da regra de 3, veja:
6 está para 100, assim como 30 mil está para X
 6 30.000
100 X
X = 500.000,00
Assim,o valor da venda é R$ 500.000,00 e 6% desse valor é R$ 30.000,00. 
500.000,00 x 0,06 = 30.000,00.
Então você poderia, simplesmente, dividir 30.000,00 por 0,06 e chegaria à resposta de R$ 
500.000,00. 
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5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS
Percebemos até aqui que a matemática financeira não é um “bicho de sete cabeças”. É 
possível aplicar esses cálculos básicos de forma simples e rápida. Claro que não estamos aqui 
tentando esgotar tudo sobre esses assuntos, mas sim apresentando o que será útil para o seu 
cotidiano no trabalho como gestor.
Para você, que recebe comissões, a porcentagem é algo essencial e usual para os cálculos 
do seu rendimento após uma venda comissionada. Além da Regra de Três que pode ajudar a 
encontrar valores que não estão explícitos ou que precisam ser encontrados a partir de outros 
dados.
Segundo Fallet (2011), tudo isso não funciona sem inserirmos a realidade econômica 
brasileira no contexto de tomada de decisão financeira, pois essa realidade influenciará diretamente 
os juros e o valor de nossa moeda perante outros países.
Esses cálculos que foram apresentados nesta Unidade precisam ser compreendidos para 
a evolução da compreensão da matemática financeira, principalmente a forma de lidar com a 
porcentagem em sua forma normal ou transformada em índice, que agiliza posteriores cálculos 
após encontrado.
Para fixar os conteúdos, refaça os exemplos apresentados e faça a atividade de estudo 
proposta na sequência, isso o o levará ao desenvolvimento dos conhecimentos sobre matemática 
financeira.
Não tenha medo de crescer, evolua constantemente, pois quem busca alcança e quem luta 
pode chegar à vitória. Quem fica parado começa a andar para trás.
Hirschfeld (2000) enfatiza que aquele que domina as informações pode dominar o 
mercado, por isso é essencial entender esse conteúdo, para que sua análise crítica possa ser bem 
mais apurada e possa levá-lo a uma tomada de decisão bem mais assertiva. 
O sucesso é para aqueles que buscam e lutam. Por isso, é extremamente importante que 
você busque por ele incansavelmente.
Nos vemos na próxima Unidade. Até lá!
 
Como lidar com aumento do financiamento imobiliário
Para quem acompanha nossos relatórios, isto não é novidade. Houve uma 
sequência de aumentos nas taxas dos financiamentos imobiliários em 2015, o 
que representou uma alta entre 12% e 17% em relação às taxas praticadas ao fim 
de 2014.
Mas esse não foi o único aumento no componente dos custos. A correção 
monetária por meio da Taxa Referencial (TR) subiu bastante, passando de um 
patamar de 0,19% ao ano, em 2013, para 0,86%, em 2014, e 1,80%, em 2015.
O efeito duplo é relevante no bolso do comprador. O custo total de juros e de 
correção monetária esperado subiu entre 32% e 42%, dependendo do tipo de 
financiamento (a exceção é o programa Minha Casa Minha Vida, que quase não 
teve aumento).
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Um comprador que financiar R$ 100 mil em 30 anos pelo Sistema Financeiro 
da Habitação (SFH), modalidade de crédito da Caixa Econômica Federal (CEF) 
voltado para a aquisição de imóveis de até R$ 750 mil, pagará R$ 41 mil A MAIS de 
juros e de correção monetária.
Para os financiamentos fora do SFH, a situação é pior. Um financiamento de R$ 
100 mil terá um adicional de juros e de correção monetária de R$ 58 mil.
E, nesse contexto, uma pergunta frequente que recebo é: vale a pena esperar os 
financiamentos abaixarem para fazer um negócio melhor?
O mais importante é reparar que há uma correlação direta entre os custos de 
financiamento e os preços dos imóveis.
Um aumento dos custos de financiamento aumenta a prestação do empréstimo, 
diminui o poder de compra e, dependendo da situação geral da economia, força 
uma queda nos preços dos imóveis.
Essa redução do valor dos imóveis pode vir disfarçada por um longo período de 
corrosão dos preços em comparação com a inflação, ou seja, preços parados em 
um ambiente de inflação, o que significa uma perda real.
Ao mesmo tempo, há liquidações pontuais de empresas e pessoas com a corda 
no pescoço, o que os índices não capturam.
Este é o ambiente de negócios no momento. Preços pressionados para baixo por 
conta de financiamentos mais caros e de renda per capita decrescente.
O maior perigo de esperar que as taxas de juros caiam para fazer um financiamento é 
que, na mesma hora em que o financiamento cair e apresentar preços convidativos, 
deve-se esperar um movimento de aumento dos preços dos imóveis.
O cenário mais provável é aquele em que se economiza de um lado – financiamento 
– para gastar no outro – imóvel mais caro.
Outro ponto importante é que não há nenhum fator indicando que possa haver 
uma queda na taxa de juros de financiamento.
Os imensos saques da poupança – principal fonte de financiamento do setor 
imobiliário – só aumentam os custos dos bancos, que são devidamente repassados 
ao consumidor.
Além disso, a persistente inflação não abre espaço para uma redução da taxa de 
juros.
As oportunidades de descontos em imóveis no momento e a ausência de algum 
sinal de que as taxas vão cair formam um cenário em que não faz sentido segurar 
o financiamento de uma compra de imóvel.
Se, no futuro, os juros forem reduzidos, você sempre terá a opção de realizar a 
portabilidade de seu financiamento para conseguir juros menores.
Essa é uma alternativa grátis que o sistema possibilita – de trocar seu financiamento 
facilmente, então, é seu dever aproveitá-la de forma inteligente.
Ficar esperando taxas menores de financiamento não faz sentido se o sistema 
permite que você se aproveite de taxas menores por meio da portabilidade.
Entretanto, mais inteligente do que usar a portabilidade é minimizar ao máximo o 
uso de financiamento na sua vida financeira.
Se você só comprar imóveis que caibam em seu bolso, começando com um muito 
pequeno, se necessário, e aos poucos fazendo upgrades, sem usar financiamento, 
a diferença final será assustadora.
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Se o imóvel dos seus sonhos custa R$ 500 mil e você deu a sorte de achar uma 
taxa amiga de TR + 8% (geralmente reservada para o servidor público), você vai 
pagar R$ 940 mil em 30 anos, incluindo juros e correção monetária.
Ao adquirir um imóvel menor e aplicar o dinheiro que seria usado nas prestações, 
você pode comprar o mesmo imóvel desembolsando um total de R$ 529 mil em 
cerca de 11 anos.
É uma diferença de R$ 411 mil entre as opções.
Fonte: Fenelon (2016, on-line). 
Título: A Magia Da Matemática
Autor: Ilydio Pereira de Sá
Editora: Ciência Moderna
Ano: 2007
Sinopse: o livro pretende mostrar – por meio de 
atividades lúdicas, histórias sobre a Matemática 
e os matemáticos, desafios diversos e estudo 
de importantes conteúdos matemáticos – que a 
Matemática não é uma ciência difícil, árida, pesada, 
pronta, sem utilidade ou destinada apenas a um 
seleto grupo de ‘iniciados’.
A Matemática é para todos e pode ser estudada (e 
entendida!) de forma agradável e contextualizada. O autor, com mais de 30 anos 
de experiência em classes da Educação Básica e do Ensino Superior, é mestre em 
Educação Matemática e tem se dedicado, entre outras atividades, à formação de 
profissionais na área.
O vídeo mostra uma aula de matemática de Marcos Aba, na qual ele ensina a 
calcular porcentagem, dando também ênfase na conta de “divisão”.
Para saber mais detalhes, acesse o conteúdo disponível em: <https://www.
youtube.com/watch?v=ZZXcTQpbdaE>. Acesso em: 12 jul. 2017. 
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................ 18
1 - JURO SIMPLES ....................................................................................................................................................19
1.1. ENTENDENDO JUROS E TAXA DE JUROS ......................................................................................................... 19
1.2. FÓRMULA PARA CALCULAR O JURO SIMPLES ............................................................................................. 20
2 - MÉTODO HAMBURGUÊS ................................................................................................................................... 23
3 - DESCONTO SIMPLES ......................................................................................................................................... 25
3.1. O DESCONTO COMERCIAL SIMPLES .............................................................................................................. 25
3.2. DESCONTO RACIONAL SIMPLES .................................................................................................................... 26
4 - JUROS COMPOSTOS .......................................................................................................................................... 27
4.1. COMPARANDO OS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ........................................................................................ 27
JUROS E DESCONTOS
PROF. ME. FÁBIO OLIVEIRA VAZ
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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4.2. A UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C ............................................................................. 28
4.3. CÁLCULO DO MONTANTE ................................................................................................................................ 30
5 - EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS DE JUROS ....................................................................................................... 32
5.1. CAPITALIZAÇÃO ................................................................................................................................................. 32
5.2. DESCAPITALIZAÇÃO ......................................................................................................................................... 33
5.3. CÁLCULO DO PERÍODO .................................................................................................................................... 34
6 - DESCONTO COMPOSTO .................................................................................................................................... 34
6.1. DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL ............................................................................................................. 35
6.1.1. CÁLCULO DO DESCONTO ................................................................................................................................ 36
6.1.2. CÁLCULO DO VALOR NOMINAL .................................................................................................................... 36
6.1.3. CÁLCULO DA TAXA ......................................................................................................................................... 37
6.1.4. CÁLCULO DO PERÍODO ................................................................................................................................. 37
6.2. DESCONTO COMPOSTO RACIONAL ............................................................................................................... 38
6.2.1. CÁLCULO DO VALOR ATUAL ................................................................................................................... 38
6.2.2. CÁLCULO DO DESCONTO .............................................................................................................................. 39
6.2.3. CÁLCULO DO VALOR NOMINAL ...................................................................................................................40
6.2.4. CÁLCULO DA TAXA .........................................................................................................................................40
6.2.5. CÁLCULO DO PERÍODO ................................................................................................................................. 41
7 - CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................................................................. 41
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INTRODUÇÃO
A partir daqui iremos nos aprofundar em cálculos financeiros, compreendendo sobre os 
juros e suas influências sobre o capital, além de entender sobre os conhecidos descontos.
Fique atento, pois esses são os cálculos que você mais irá utilizar no seu cotidiano de 
trabalho na gestão de empresas, pois envolvem os cálculos sobre juros, descontos e valor futuro 
de dinheiro investido.
O dinheiro passa por valorização durante o tempo que é investido e precisamos entender 
com clareza para que consigamos tomar decisões estratégicas envolvendo investimentos.
Claro que não queremos torná-lo um matemático, mas sim alguém capaz de olhar as 
informações e compreender os contextos que estão inseridos e, com isso, facilitar uma decisão 
coerente.
Além disso, nesta Unidade ficará mais fácil entender e usar a HP12C como ferramenta 
essencial para cálculos financeiros, pois ela facilita sua vida para que não precise utilizar fórmulas 
complexas em uma calculadora científica.
Aliás, o que menos queremos é perder tempo com cálculos maçantes e complexos, o 
que acaba transformando a matemática financeira em algo ruim de estudar, pelo contrário, aqui 
veremos que é muito simples aplicar os conhecimentos utilizando a calculadora HP12C como 
sua parceira.
Neste momento, abra sua mente e busque compreender cada cálculo e sua importância 
dentro da sua profissão ou, até mesmo, para melhor controlar suas finanças pessoais.
Vamos começar essa Unidade falando sobre os juros conhecidos como “simples”, passando 
pelos “compostos” e uma breve explanação sobre a utilização da HP12C.
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1 - JURO SIMPLES
Figura 01 – Juros simples. Fonte: Freepik (2018).
Ao pensar em Juros, entendemos que é a valorização de um capital, ou seja, dinheiro 
remunerado. Desta forma, o juro é o retorno sobre um empréstimo durante seu tempo de uso, 
quase como um aluguel.
1.1. Entendendo Juros e Taxa de Juros
Pensando em Juro, ele sempre é visto em forma de valor monetário, podemos usar 
como exemplo um juro de R$ 50,00 ao mês ou R$ 4.000,00 gerados no final de um período de 
empréstimo.
Já na visão de Fallet (2011), a taxa de juro é representada no formato de percentual e, 
dentro das fórmulas, você irá ver essa taxa com a letra “i”, inclusive na HP-12C.
Podemos ver a taxa através do exemplo a seguir:
• Forma percentual: 12% ao mês, 28% ao ano, 0,7% ao dia.
• Forma unitária: 0,12 ao mês; 0,28 ao ano; 0,007 ao dia.
Para transformar uma taxa percentual em unitária basta dividir por 100. Desta forma, 
25% é igual a 25 ÷ 100, ou 0,25. 
Observação: cuidado com as fórmulas, sempre que for aplicar um cálculo utilizando 
fórmulas, trabalhe no formato unitário. Desta forma, quando a taxa, for de 8%, o “i” na fórmula 
será substituído por 0,08 (8÷100). 
Apenas na HP12C é que utilizamos o valor na forma percentual.
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1.2. Fórmula para Calcular o Juro Simples
Quando trabalhamos com juros simples entendemos que não existe a capitalização dos 
juros, ou seja, não é o chamado juros sobre juros, isso será visto nos juros compostos.
Desta forma, temos uma fórmula para calcular os juros simples, da seguinte forma: 
Na tabela a seguir percebemos como funciona o cálculo dos juros simples, em que 
trabalhamos com uma taxa de 10% ao período.
N C J Juros Acumulados Montante (M)
0 100,00 - - 100,00
1 100,00 10,00 10,00 110,00
2 100,00 10,00 20,00 120,00
3 100,00 10,00 30,00 130,00
Tabela 01 – Juros simples com taxa de 10%ao período. Fonte: o autor.
Na tabela temos o cálculo dos juros que representam, no final do período, um acréscimo 
de R$ 30,00:
J = C x i x n
J = 100,00 x 0,10 x 3
J = 30,00
 
A partir daqui, iremos entender que diversos cálculos podem ser feitos através da 
calculadora HP12C. Pense nela como um facilitador de processos e iremos entender um pouco 
mais sobre ela na sequência de nossos estudos.
Figura 02 - Calculadora HP12C. Fonte: Epx (2017).
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Com base no exemplo anterior, podemos calcular utilizando a HP12C, iniciando com 
o zerar de sua memória, teclando em sequência f CLx para zerar todas as suas memórias. Em 
seguida digite, da seguinte forma, na HP12C para obter o resultado:
100 CHS PV 120 i 90 n f int R x<>y
Tabela 02 – Exemplo na HP-12C. Fonte: o autor.
Observação: é importante que para utilização da HP12C em juros simples, a taxa deve 
ser anual e o período sempre em dias, como a seguir:
Portanto: 10% ao mês = 120% ao ano e 3 meses = 90 dias. 
A Calculadora Financeira HP12C foi desenvolvida para facilitar os cálculos 
financeiros, juros, depreciação, valor do dinheiro no tempo, entre outros cálculos. 
Por ser preparada para isso, se torna muito mais eficiente e rápido utilizá-la.
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor 
referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo 
empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de 
juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas 
situações de curto prazo. Hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime 
simples, mas, de qualquer forma, vamos entender como ele funciona.
Os juros simples são calculados com base no capital inicial (C), período a período. 
Por isso o valor dos juros simples é constante em cada período de tempo.
Exemplo 1
Fernando aplicou R$ 1.200,00 em uma instituição bancária que paga juros simples 
de 2,5% ao mês. Qual será o montante no final de 10 meses?
O montante do juro simples e dado pela expressão: M = C + J
Fórmula para o cálculo de juros simples: J = C * i * n , em que:
J = juros
C = capital
i = taxa
n = tempo (período de aplicação)
M = montante
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Dados do exercício:
J = ?
C = 1.200
i = 2,5% = 2,5/ 100 = 0,025 (taxa unitária)
n = 10 meses
Desenvolvendo
J = 1200 * 0,025 * 10
J = 300
M = 1200 + 300
M = 1500
O montante ao final de 10 meses será de R$1.500,00.
Exemplo 2
Um capital de R$ 2.000,00, aplicado no sistema de juros simples, produziu um 
montante de R$ 2.720,00 após 12 meses de aplicação. Qual foi a taxa de juros?
Dados:
C = 2.000
M = 2.720
J = M – C = 2720 – 2000 = 720
n = 12 meses
i = ?
J = C * i * n
720 = 2000 * 12 * i
720 = 24000 * i
i = 720/24000
i = 0,03 ou 3%
A taxa de juros usada foi de 3%.
Exemplo 3
Um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao 
mês, resultou no montante de R$ 1.300,00 após certo tempo. Qual o tempo da 
aplicação?
C = 1.000
M = 1.300
J = 1300 – 1000 = 300
i = 2% = 2/100 = 0,02
n = ?
J = C * i * n
300 = 1000 * 0,02 * t
300 = 20 * t
n = 300/20
n = 15 meses
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O tempo de aplicação foi de 15 meses.
Fonte: Mundo Educação (2018).
2 - MÉTODO HAMBURGUÊS
Figura 03 – Método Hamburguês. Fonte: Freepik (2018).
Neste método percebemos a utilização da cobrança de juros através do regime de juros 
simples para créditos rotativos bancários, segundo Gremaud (2003). Isso é aplicado em limites 
de contas bancárias e cheques especiais que tem cálculos de juros diários e apresentados ao final 
de cada mês, gerando um montante.
Desta forma, precisamos avaliar quantos dias determinado valor ficou sendo utilizado 
no limite e, assim, encontrar, ao final do mês, o saldo médio que, multiplicado pela taxa de juros 
diária, resulta no saldo devedor diário, como o exemplo a seguir: 
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1) Através do Método Hamburguês, encontre e calcule o juro que o banco irá cobrar 
no mês, com uma taxa de 6% ao mês sobre a utilização do limite da conta. 
DATA Depósitos Cheques Saldo Saldo(D) x nº de dias
01/11 0,00
02/11 2.000,00(D) 2.000,00(D) x 10 20.000,00
12/11 4.000,00(C) 1.800,00(D) 200,00(C) - -
15/11 1.200,00(C) 4.500,00(D) 3.100,00(D) x 11 34.100,00
26/11 200,00(C) 2.600,00(D) 5.500,00(D) x 4 22.000,00
= ∑ 76.100,00
∑/30 2.536,67
Tabela 03 - Cálculo do saldo médio devedor pela Método Hamburguês. Fonte: o autor.
Observação: perceba que as letras D = Débito (ou saldo negativo) e C = Crédito (ou 
saldo positivo).
Cálculo:
J = C . i . n
Na qual:
J: é o juro do período 
C: é a somatória sempre dividida por 30, porque o mês comercial tem 30 dias (76.100,00/30 
= 2.536,67), ou seja, é a média diária do saldo devedor.
i: 6% a.m.
n: como é um só período (um mês) = 1
J = 2.536,67 × 0,06 × 1 
j = 152,20
Através do cálculo, descobrimos que o juro que será cobrado no mês pela utilização 
do limite da conta, conforme a Tabela 3 é de R$ 152,20 com taxa de 6% ao mês.
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3 - DESCONTO SIMPLES
Figura 04 – Desconto Simples. Fonte: Freepik (2018).
Segundo Hirschfeld (2000), desconto é visto como o abatimento sobre um valor que será 
pago de forma antecipada, ou seja, retirando o juro pelo adiantamento do pagamento.
A fórmula do desconto simples é similar a dos juros simples, apenas com alterações de 
nomenclatura, ou seja: 
• Valor Nominal (VN) é o valor referente ao vencimento do pagamento.
• Valor atual (VA) é o valor pela antecipação, sem os juros.
Com isso temos a seguinte fórmula para o cálculo: 
 
D = VN - VA
 
Existem dois tipos de descontos simples, o Desconto Comercial Simples e o Desconto 
Racional Simples. Veremos cada um a seguir.
3.1. O Desconto Comercial Simples
É conhecido como Bancário ou “por fora”, é o desconto mais usado pelos bancos ou pelo 
comércio. 
Para Hirschifeld (2000), esse desconto deve ser aplicado com o seguinte cálculo:
VAcs = VN [1 – (i x n )]
Onde: VAcs = Valor Atual com desconto comercial simples.
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Vamos aplicar em um exemplo:
Temos uma duplicata no valor de R$ 100,00 que teve uma quitação antecipada em 
3 meses antes do seu vencimento. Se a taxa de juros cobrada é de 10% ao mês, qual será o 
desconto pela antecipação? 
VAcs = VN [1 – (i . n)]
VAcs = 100 [1 – (0,10 . 3)]
VAcs = 100 (1 – 0,30)
VAcs = 100 (0,70) = 70,00
Ela foi quitada por R$ 70,00. Seu desconto foi de R$ 30,00 (100,00 – 70,00).
Perceba que o valor do desconto é o valor nominal menos o valor atual.
D = VN – VA
D = 100 – 70 = 30,00
3.2. Desconto Racional simples
É mais conhecido como desconto real ou “por dentro”:
Seu cálculo se dá com base no Valor Atual (VA):
Onde: VArs é o Valor Atual com desconto racional simples.
Vejamos sua aplicação: 
Em um desconto racional simples, de uma duplicata de R$ 100,00, a taxa de 10% ao 
mês, antecipado 3 meses, qual o novo valor a ser pago?
VAr s = 76,92
As empresas que querem fazer boas negociações precisam estar prontas para 
conceder descontos ou parcelamentos diferenciados? 
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Para calcular de forma direta, também é possível utilizar a seguinte fórmula:
Com base nos dados do exemplo:
Drs = 23,08
4 - JUROS COMPOSTOS
Nos juros compostos, ou capitalização composta, todos os juros são capitalizados a cada 
período. Desta forma, temos a formação do conhecido “juros sobre juros”, na visão de Raymundo 
(2006).
Figura 05 – Juros compostos. Fonte: Freepik (2018).4.1. Comparando os regimes de capitalização 
Para entendermos as diferenças entre juros simples e juros compostos, vamos aplicar um 
exemplo e simular suas diferenças.
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Se temos um capital de R$ 1.000,00, que será aplicado com juros de 10% ao mês, durante 
3 meses, teremos os seguintes resultados em comparação:
 Capitalização simples ou linear Capitalização Composta 
Período Juros Montante Período Juros Montante
1º mês 100,00 1.100,00 1º mês 100,00 1.100,00
2º mês 100,00 1.200,00 2º mês 110,00 1.210,00
3º mês 100,00 1.300,00 3º mês 121,00 1.331,00
Tabela 04 - Comparação entre juros simples e composto. Fonte: o autor.
Com base neste exemplo percebemos que, ao fim do período, temos uma diferença de 
R$ 31,00 a mais na capitalização composta, o que reflete a formação dos juros através dos juros 
sobre juros.
4.2. A Utilização da Calculadora Financeira Hp-12c
Figura 06 – Juros compostos. Fonte: o autor.
A calculadora HP-12C é possivelmente a máquina financeira mais popular no mundo das 
finanças. Ela possui até três funções por tecla: brancas, laranjas e azuis. 
As funções brancas são automáticas, ou seja, apertando-se a tecla esta função será ativada 
e as amarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas. Para ativar estas outras é necessário que 
se pressione, antes, a tecla (f) para ativar as funções laranjas e (g) para as funções azuis.
 Algumas operações básicas na HP-12C:
• Ligar e desligar a calculadora: on.
• Apagar o que tem no visor: CLX.
• Apagar o conteúdo de todos os registros: (f) REG.
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• Apagar o conteúdo das memórias financeiras: (f) FIN.
• Introduzir um número: número + ENTER.
• Operações básicas: (número) ENTER (número) operação; 
Ex.: 12 ENTER 43 + = 55.
• Potenciação: (número) ENTER (potência) (yx); 
Exemplo: 5 elevado a 3, 5 ENTER 3 yx 125.
• Raiz – qualquer raiz pode ser transformada em uma potência de índice fracionário: 
(número) ENTER (número) (1/x) (yx); 
Ex.: raiz sétima de 2.187 > 2187 ENTER 7 (1/X) (YX) 3.
• Armazenar um número na memória: (número) ENTER (número da memória onde 
quer armazenar de 0 a 9 ou ainda de .0 a .9).
• Buscar um número na memória: (RCL) (número da memória onde foi armazenado).
• Fixar quantidade de casas decimais: (f) (número de casas decimais desejados).
Figura 07 - Funções e teclas da HP12C. Fonte: Google Store (2018).
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4.3. Cálculo do Montante
Nos juros compostos teremos uma forma diferente de calcular o montante, que veremos 
a seguir:
Exemplo: Calcule o montante de uma aplicação de R$ 100,00, a uma taxa de 10% ao 
mês, durante um período de 4 meses.
 
Número de perí-
odos (n) Capital (C) Juros (J) Juros acumulados Montante (M)
0 R$ 100,00 - - R$ 100,00
1 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 10,00 R$ 110,00
2 R$ 110,00 R$ 11,00 R$ 21,00 R$ 121,00
3 R$ 121,00 R$ 12,10 R$ 33,10 R$ 133,10
Tabela 05 – Cálculo do montante. Fonte: o autor.
Com isso, percebemos que a taxa de 10% gera juros a cada período, formando um 
montante de R$ 133,10.
Para esse cálculo não podemos esquecer, porém, que a taxa e o período precisam estar 
em uma mesma medida de tempo, em que se a taxa estiver ao mês o período também deve ser 
ao mês.
 O valor futuro ou montante deve ser calculado através da seguinte fórmula:
M = C . (1+ i)n ou FV = PV . (1+ i)n
Onde: M = montante ou valor futuro.
 C = capital ou valor presente.
 i = taxa.
 n = período.
Exemplo: calcule o montante ou valor futuro de um valor de R$ 100,00 aplicados 
durante 3 meses com uma taxa de 10% ao mês.
M = C . (1+ i)n
M = 100,00 . (1+ 0,10)3
M = 133,10
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A HP 12c calcula juros simples com base em um período de 360 ou 365 dias. 
Além disso, com o juro acumulado no visor, a quantia total pode ser calculada 
(principal somado ao juro acumulado) pressionando  .
Para calcular os juros em um período de 360 ou 365 dias:
1. Digite ou calcule o número de dias e pressione  .
2. Digite a taxa de juros anual e pressione  .
3. Digite a quantia do principal e pressione  .
4. Pressione:
•	  para calcular e exibir o juro acumulado em um período de 
360 dias.
•	  para calcular e exibir o juro acumulado em um 
período de 365 dias.
1. Pressione   para calcular o total do principal e o juro acumulado agora no 
visor.
Os valores de n, i e PV podem ser inseridos em qualquer ordem.
Fonte: HP (2018).
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5 - EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS DE JUROS
Em juros compostos existem as questões relacionadas às taxas equivalentes, em que um 
capital que é aplicado em certo tempo gerará montantes equivalentes, mesmo com variação de 
tempo.
5.1. Capitalização
Figura 8 – Capitalização. Fonte: o autor.
Nos juros compostos à equivalência de taxas dependerá do período de capitalização. 
Desta forma, quando temos uma taxa de capitalização em um período menor e 
buscamos a equivalência no período maior, ou seja, temos ao mês e queremos encontrar ao 
ano, utilizamos a seguinte fórmula:
ip> = (1+ip<)
n – 1
Na qual: 
i p> , é a taxa do período maior e ip<, é a taxa do período menor
Vejamos o exemplo: uma taxa de 1% ao mês equivale a qual taxa em um ano? 
i p> = (1+ip<)
n – 1
i p> = (1+0,01)
12 – 1 = 12,68% ao ano.
Com a hp 12c 
1 ENTER 0,01 +
12 yx
1 - 
100 x 
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5.2. Descapitalização
Figura 9 – Descapitalização. Fonte: Freepik (2018).
Neste caso, temos uma taxa que foi capitalização em um período maior e queremos 
encontrar o período menor. Aqui, a fórmula tem uma pequena mudança:
ip< = (1+ip>)
(1/n) – 1
Veja o exemplo: Temos uma taxa de 12% ao ano, encontre a taxa equivalente ao mês.
ip< = (1+ip>)
(1/n) – 1
ip< = (1+0,12)
(1/12) – 1
ip< = 0,95% ao mês.
 Na HP12C, utilizamos as seguintes funções:
1 ENTER 0,12 +
1 ENTER 12 ÷ yx
1 -
100 x 
 
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5.3. Cálculo do período
A letra “n” representa o período de aplicação de um capital, esse período pode ser 
encontrado tendo o capital, o montante gerado e a taxa, desta forma podemos utilizar a seguinte 
fórmula:
 
n = ou n = 
 
Vamos entender essa aplicação através do exemplo: para obter um montante de R$ 
133,10, a uma taxa de 10% ao mês e um capital de R$ 100,00, quanto tempo esse capital deve 
ser aplicado?
n = 
 
n =
n = 
 
n = 3
Resposta: 3 meses, pois a taxa está expressa em meses.
 Na HP12C esse cálculo se torna mais simples, sendo da seguinte forma:
100 CHS PV 
133,10 FV 
10 i 
n (Resposta, 3)
Importante: o exemplo gerou um resultado 3, um número inteiro, quando acontecer de 
gerar um número fracionado a HP arredonda automaticamente para o número superior. 
6 - DESCONTO COMPOSTO
Como vimos no estudo dos juros simples, o desconto é visto como a redução do valor 
dos juros devido a um pagamento antecipado, o que muda é a forma de calcular isso nos juros 
compostos, pois os juros são capitalizados período a período.
Com isso encontramos dois tipos de descontos compostos, a saber:
a) o comercial, também chamado de bancário ou “por fora”.
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b) o racional, também chamado de real ou “por dentro”. 
 
6.1. Desconto Composto Comercial
Esse desconto é calculado sobre o valor nominal, também conhecido como desconto 
bancário.
Para encontrar o valor atual vamos aplicar um exemplo: uma duplicata no valor de R$ 
100,00 foi paga 3 meses antesda data de vencimento, tendo como taxa de desconto 10% ao 
mês. Calcule o valor a ser pago.
 VN = 100,00
0 1 2 3 
72,90 VA
Este valor pode ser calculado com a aplicação da fórmula a seguir:
VAcc = VN . (1 – i)
n
Onde:
VAcc = valor atual com o desconto comercial composto, é o valor do pagamento com 
abatimento devido à antecipação.
VN = valor nominal, valor escrito no título. É o valor no seu vencimento.
VAcc = 100,00(1- 0,10)
3
VAcc = 100,00 (0,90)
3
VAcc = 100,00 . 0,729 = 72,90
 
Lembre-se que na HP12C esse cálculo se torna mais fácil e rápido, apenas informando 
a taxa de forma negativa para que o desconto seja aplicado ao valor do montante e gere o novo 
valor. Para isso basta seguir os passos a seguir:
f REG f 2
100,00 CHS PV (VN negativo = - 100,00)
10 CHS i ( taxa negativa = - 10%) 
3 n FV (VA ou valor atual = 72,90)
Perceba que as fórmulas não são diferentes das dos juros compostos, o que muda é apena 
os nomes, porém a lógica é a mesma.
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6.1.1. Cálculo do desconto
 O valor do desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
D = VN – VA
D = 100,00 – 72,90 = 27,10
Pode ser calculado com a fórmula:
Usando o mesmo exemplo:
Dcc = 100,00[1-(1-0,10)
3]
Dcc = 100,00[1-(0,90)
3]
Dcc = 100,00 (1-0,729)
Dcc = 100,00 . 0,271 
Dcc = 27,10
Com a hp 12c:
100,00 CHS PV 
10 CHS i (taxa negativa = - 10%) 
3 n FV RCL PV + 
6.1.2. Cálculo do valor nominal
O valor nominal (VN) é o valor expresso no título. Se forem informadas as outras variáveis, 
é possível calculá-lo com a seguinte fórmula:
Exemplo: encontre o valor nominal de uma duplicata que foi antecipada em 3 meses, 
sendo pago R$ 72,90, e a taxa de desconto comercial composto é de 10% ao mês.
Com a hp 12c:
72,90 CHS FV 
10 CHS i (taxa negativa = - 10%) 
3 n PV
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6.1.3. Cálculo da taxa 
Para encontrar a taxa, siga a seguinte fórmula:
Exemplo: qual é a taxa de desconto de um título de R$ 100,00 que, na antecipação, 
ficou por R$ 72,90, sendo essa antecipação de 3 meses?
i = 1- (72,90/100,00)1/3
i = 1- (0,7290)0,3333
i = 1 – 0,90 = 0,10 ou 10% ao mês.
Com a hp 12c 
f REG f 2 
100,00 CHS PV 
72,90 FV 
3 n 
i
Resposta: –10 ou 10% ao mês negativo, porque esse é o percentual retirado do valor 
nominal.
6.1.4. Cálculo do período 
Para encontrar o período do desconto basta utilizar a fórmula a seguir:
Exemplo: qual foi o período de antecipação de um título de R$ 100,00, com taxa de 
10% ao mês que gerou um valor com desconto de R$ 72,90?
Resposta: 3 meses, pois a taxa está expressa em mês.
Com a hp 12c
f REG f 2 
100,00 CHS PV 
72,90 FV 
10 CHS i 
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6.2. Desconto Composto Racional
Figura 10 – Desconto Racional. Fonte: Freepik (2018).
Esse tipo de desconto é conhecido como “real” e é baseado no valor atual. Nele temos a 
equivalência com a capitalização composta, em que temos apenas mudanças de nomes dos itens 
na fórmula, porém mantendo a forma de cálculo.
6.2.1. Cálculo do valor atual 
Exemplo: uma duplicata com valor de R$ 100,00, tendo sido paga 3 meses antes de 
vencer, em um desconto racional, com taxa de 10% ao mês, gera qual valor para pagamento?
 VN = 100,00
 
 0 1 2 3
VArc=75,13
Neste caso, utilizamos a fórmula a seguir para seu cálculo:
Onde:
VArc = valor atual com desconto racional composto, é o valor do pagamento com desconto 
pela antecipação. Pode ser considerado como o Capital.
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VN = valor nominal, valor que está escrito no título. É o valor no seu vencimento. Nesse 
caso, também pode ser entendido como o montante.
Com a hp 12 c 
 f REG f 2 100,00 CHS FV 10 i 3 n PV 
6.2.2. Cálculo do desconto
O desconto nada mais é do que o valor nominal menos o valor atual.
D = VN – VA
D = 100,00 – 75,13 = 24,87
Neste caso podemos utilizar a seguinte fórmula:
Usando o exemplo anterior:
Drc = 100,00 ( 1 - 0,7513 )
Drc = 100,00 . 0,2487
Drc = 24,87
Com a hp 12 c 
 100,00 FV 3 n 10 i PV RCL FV + (Resposta = 24,87)
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6.2.3. Cálculo do valor nominal
O valor nominal nada mais é do que o valor que se encontra em uma duplicata, a partir 
desse dado, e com a fórmula a seguir, podemos encontrar esse valor nominal, tendo as outras 
informações para aplicação do cálculo:
VN rc = VA (1+i)
n
Exemplo: calcule o valor nominal de uma duplicata paga 3 meses antes de seu 
vencimento pelo valor de R$ 75,13, tendo uma taxa de desconto racional de 10% ao mês.
VN rc = 75,13 (1,1)
3
VN rc = 100,00
Com a hp 12 c:
f REG f 2
75,13 CHS PV
10 i
3 n
FV (Resposta 100,00)
6.2.4. Cálculo da taxa
A taxa no desconto racional utiliza a mesma fórmula dos juros compostos, apenas com 
alguns nomes diferentes, veja:
Exemplo: encontre a taxa de desconto racional de um título de R$ 100,00, pago com 
desconto por R$ 75,13, com 3 meses de antecipação.
i = 0,10 ou 10% ao mês
Com a hp 12 c
f REG f 2 
75,13 CHS PV 
100,00 FV 
3 n 
i (resposta 10% ao mês) 
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6.2.5. Cálculo do período
O cálculo do período do desconto racional composto também é feito com a mesma 
fórmula do período dos juros compostos:
Exemplo: calcule o tempo que foi antecipado um título com valor nominal de R$ 
100,00, com pagamento de antecipação de 10% ao mês, gerando um valor de R$ 75,13.
n = 3 (três meses, pois a taxa está expressa em meses)
Com a hp 12c
f REG f 2 
75,13 CHS PV 
100,00 FV 
10 i 
n (resposta 3)
Lembre-se da dica: a HP12C é uma ferramenta importantíssima para facilitar todos esses 
cálculos, como já foi demonstrado. Por isso, indico a aquisição de uma, como forma de melhorar 
a sua visão faz finanças.
7 - CONSIDERAÇÕES FINAIS
Não se limite apenas a esses estudos, a internet possui vários exemplos para que você 
possa praticar e desenvolver, ainda mais, seus conhecimentos em matemática financeira.
Além disso, com a aplicação do método hamburguês você poderá ter uma prévia de 
quanto pagará se precisar usar o limite de sua conta ou o cheque especial. Tomara que nunca 
precise, mas isso o ajudará a se preparar e evitar surpresas.
Perceba que cada teoria até aqui apresentada busca o levar a entender o uso do dinheiro 
e sua variação através do tempo. Isso é algo que todos nós deveríamos compreender, pois, nos 
ajudaria muito a controlar nosso dinheiro e não permitir que paguemos juros desnecessários por 
falta de controle.
Apenas um lembrete: fuja das fórmulas, use a HP como sua aliada, é bem mais fácil e 
simples após compreender como ela funciona.
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A matemática financeira não é do mal, apenas incompreendida pela cultura de não 
valorizar as questões que envolvem valores e cálculos. A questão é que sem esse conhecimento não 
teremos uma vida financeira controlada, chegando até a gerar endividamentos por desconhecer 
essa realidade.
Faça e refaça as atividades para fixar o conhecimento, não há uma maneira de aprender 
sobre juros e descontos mais efetiva do que usar a prática a seu favor.
Esperamos que tenha gostado do conteúdo.
Nos vemos na próxima Unidade!
Desconto Comercial ou Racional? Qual a diferença e como calcular
Saber o que são o desconto racional e o desconto comercial é importante para 
quem precisasaber matemática financeira e também muito útil na prática, no dia 
a dia de quem faz negócios – quem não faz?
Aparentemente difícil de entender, a diferença entre desconto racional e desconto 
comercial na verdade é bastante simples – pode ser compreendida para “nunca 
mais” ser esquecida.
Para quem ainda não conhece ou nunca ouviu falar, desconto racional e desconto 
comercial são simplesmente duas formas usuais – bem diferentes entre si 
– de calcular um desconto, um abatimento, sobre um valor a ser liquidado 
antecipadamente.
Mais importante que saber seus nomes ou definições (ver no fim do artigo) é 
ter toda a atenção e cuidado ao usá-los, ao fazer cálculos de “desconto” para 
pagamentos ou recebimentos antecipados – a diferença entre os critérios pode 
ser a diferença entre o lucro e o prejuízo.
Muito bem. Vamos ver e entender como calcular os dois tipos e avaliar a diferença 
entre eles. De uma só vez, com um só exemplo:
Você tem uma conta de R$ 100,00 para pagar daqui a 60 dias. Sabendo que ela 
foi calculada com juros de 10% a.m. Qual o valor “certo” para pagá-la já? - Não 
responda ainda.
Seu credor informa que calcula usando o “desconto racional” e propõe R$ 83,33. 
Você está de acordo? Aceita?
Você pede um tempo para analisar:
Raciocínio 1: 10% de 100 é 10. Dois meses seriam 20. Eu deveria pagar 80,00. 
Porque não?
Raciocínio 2: qual o valor que tomado hoje a 10% a.m. daria 100 daqui a 60 dias? 
Fácil, é só calcular qual o valor que com 20% de juros dá 100. Você faz a conta ( 
100 / 1,20 ) e encontra exatamente os 83,33.
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Raciocínio 3: você pensa um pouco mais e verifica que 83,33 daqui a um mês já 
seria 91,67.
(83,33 x 1,10) e com mais um mês 100,83. Confere as contas dividindo 100,83 por 
1,10 duas vezes e bate com o 83,33. Verifica de outra forma, agora dividindo 100 
por 1,10 também duas vezes, e encontra 82,64.
80,00 ou 83,33 ou 82,64? Qual o “certo”?
Na prática, os 3 modos de calcular são usados. O “certo” será o “negociado” e 
aceito pelas partes. 
Só falta saber o nome de cada um:
Desconto Comercial: é o “raciocínio” 1.
Desconto Racional: é o “raciocínio” 2.
Desconto Racional Composto: “raciocínio” 3.
Diferença entre o Comercial e o Racional
Desconto Comercial é calculado sobre o valor nominal e Desconto Racional é 
calculado sobre o valor atual.
Qual usar? Você escolhe, negocia – decide.
Para quem precisa ou quer saber, seguem as definições:
Definições e Fórmulas:
Desconto: é a diferença entre o valor nominal (Vn = valor indicado no título ou 
valor no vencimento) e o valor atual (Va = valor do título calculado para antes do 
vencimento).
D = Vn – Va
Desconto Racional: é o equivalente ao juro simples produzido pelo valor atual no 
período correspondente. Também chamado de “desconto por dentro”.
Dr = Vn – Va = Vn - Vn / ( 1 + i . n ) = Vn . i . n / ( 1 + i . n )
Desconto Comercial: é o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal 
no período correspondente. Também chamado de “desconto por fora”. Alguns o 
chamam de “desconto irracional”.
Dc = Vn . i . n
Desconto Racional Composto: é o Desconto Racional calculado com juro 
composto.
Drc = Vn - Vn / ( 1 + i ) ^ n
Sendo “i” a taxa de desconto (ou taxa de juro), “n” o número de períodos antes do 
vencimento e “^” o símbolo de potência).
Fonte: Charbel Atalla Antonio ([2017], on-line). 
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Título: Juros Bancários. Limites e Possibilidades
Autor: Alcio Manoel de Sousa Figueiredo
Editora: Juruá
Ano: 2007
Sinopse: Juros Bancários: Limites e Possibilidades é 
obra de grande valor. Não só pela forma didática, como 
é exposta a matéria, mas também pelo seu conteúdo, 
profundo, meticuloso, com suporte na mais abalizada 
doutrina e jurisprudência. Normalmente, temas desse jaez, 
num primeiro momento, não aguçam muito a curiosidade 
dos operadores jurídicos não envolvidos diretamente 
no tema, pois “juros”, “capitalização”, “spread” etc., são 
assuntos costumeiramente mais relacionados às Ciências 
da Administração, Economia ou da Matemática Financeira.
Aqui, você verá dicas importantes sobre o cálculo dos juros simples e do juro com-
posto. Ótima para prática a aplicação dos conceitos e das fórmulas.
Acesse o conteúdo disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=fBqfut-
C1MmY>. Acesso em: 14 jul. 2017.
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U N I D A D E
03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................ 47
1 - RENDAS OU ANUIDADES ................................................................................................................................... 48
1.1. CALCULANDO A RENDA: VALOR ATUAL ..........................................................................................................50
2 - RENDA PERPÉTUA ............................................................................................................................................. 52
2.1. VALOR ATUAL DA RENDA PERPÉTUA .............................................................................................................. 52
2.2. CÁLCULO DA TAXA DE UMA RENDA PERPÉTUA ........................................................................................... 52
3 - INFLAÇÃO, DEFLAÇÃO E ÍNDICES DE PREÇO ................................................................................................. 54
3.1. ÍNDICE DE PREÇOS – IGP - M .......................................................................................................................... 55
4 - EMPRÉSTIMOS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ........................................................................................... 57
RENDAS E EMPRÉSTIMOS
PROF. ME. FÁBIO OLIVEIRA VAZ
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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5 - SAC (SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE) ........................................................................................... 58
5.1. SISTEMA PRICE OU SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO .......................................................................60
6 - CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................................................................. 63
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INTRODUÇÃO
Nesta Unidade, veremos a importância de compreender o tema renda e como ele é 
utilizado para gerar montantes para retirada futura, como é o caso das aposentadorias, aluguéis 
etc.
Além disso, passaremos pelo tema mais receado e que impacta nossas finanças, a 
INFLAÇÃO. Compreender seu funcionamento é essencial para perceber seu impacto em nosso 
dinheiro. Aliás, veremos como ela é calculada e com base em que é gerada.
Outro assunto que abordaremos são as taxas de juros, parcelas e empréstimos, tema que é 
comum no meio empresarial, principalmente para os financiamentos que envolvem valores altos 
e parcelas por um longo período de tempo.
Por isso, quando dizemos que iremos parcelar algo com juros, por um longo período, 
precisamos compreender que para a dívida ser liquidada é necessário amortizar o débito após o 
pagamento de cada parcela, isso nos leva a buscar entender os tipos de amortizações existentes e 
onde são aplicadas.
Termos complexos? Por isso, iremos compreendê-los nesta Unidade e veremos como 
aplicar cada teoria na prática.
Mais uma vez, veremos que a complexidade está mais no medo da disciplina e iremos 
perceber que esse medo é mais lenda do que realidade. Falaremos de renda, juros, amortização, 
empréstimos e inflação de maneira simples e didática.
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1 - RENDAS OU ANUIDADES
 
Figura 1 – Rendas. Fonte: Freepik (2018).
Ao pensar em rendas temosque entender que elas servem para duas coisas:
a) o pagamento de uma dívida parcelada ou a compra de um bem em prestações.
b) a constituição de um montante em dinheiro no futuro como, por exemplo, uma série 
de depósitos em caderneta de poupança que é capitalizada.
Figura 2 - Classificação das rendas. Fonte: adaptado de Francisco (1999).
Se em algum momento da sua vida você realizou uma compra parcelada ou guardou 
dinheiro em poupança, você está diante de uma anuidade ou renda certa. Quando nosso objetivo 
é constituir um capital em uma data futura, temos um processo de capitalização. Se, por outro 
lado, nosso objetivo é pagar uma dívida temos um processo de amortização. Veja que a discussão 
gira em torno de entradas e saídas de recursos de forma sucessiva que é a característica principal 
desse assunto, o processo de repetição de um pagamento ou recebimento. Veremos adiante os 
principais tópicos do tema e suas aplicações.
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O tópico a ser abordado agora tratará das rendas certas ou anuidades, que representam 
uma importante aplicação da Matemática Financeira e que percebemos facilmente no nosso 
cotidiano, desde o pagamento dos aluguéis até as compras parceladas.
Renda, também conhecida como anuidade, é todo valor utilizado sucessivamente 
para compor um capital ou pagar uma dívida. As rendas são um dos principais 
conceitos que baseiam os financiamentos ou empréstimos. Nessas rendas são 
realizadas uma série de pagamentos (parcelas ou termos) para arrecadar um 
fundo de poupança, pagar dívidas, financiar imóveis etc.
No caso da poupança, para acumularmos determinado valor, realizamos 
vários pagamentos que geram um montante ao final, chamado de montante 
equivalente da renda.
Já no pagamento de uma dívida, os débitos são feitos posteriormente, ou seja, 
as prestações são pagas ao credor com períodos e parcelas determinadas. 
Um exemplo, é o pagamento de um aluguel. Esse pagamento de dívidas é 
chamado de amortização. Existem diversos tipos de sistemas de amortização, 
são eles: Sistema de Amortização Francês, Sistema de Amortização Constante 
(SAC), Sistema de Amortização Alemão etc., sendo que cada um têm sua 
particularidade.
Dentro da renda, são trabalhados os seguintes conceitos:
• Número de prestações ou termos de renda: quantidade de pagamentos ou 
recebimentos feitos;
• Valores dos termos de renda: valor de cada termo da renda;
• Período de Vencimento: data de vencimento ou pagamento dos termos 
da renda.
As rendas, de acordo com as formas de pagamento, podem ser divididas em:
Rendas Certas
As rendas certas, também chamadas de séries periódicas uniformes, são 
aquelas em que todos os elementos já estão pré-determinados e podem ser 
classificados de acordo com o tempo, a variação dos elementos, o valor, o 
período do vencimento etc., que por sua vez podem ser divididas em:
• Rendas Postecipadas: Rendas em que o pagamento é feito apenas ao final de 
cada período. Ex.: faturas de cartão de crédito, empréstimos e financiamentos, 
etc.
• Rendas Antecipadas: Rendas em que há a exigência do pagamento ser feito 
no início de cada período. Ex.: financiamentos pagos à vista.
• Rendas Diferidas: O período de pagamento está num prazo entre o início 
da compra do período de pagamento da primeira parcela. Ex.: Essas séries são 
utilizadas em promoções de “Compre hoje e comece a pagar em tal dia”.
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1.1. Calculando a Renda: Valor Atual 
A atualidade do valor de uma renda pode ser encontrada através da aplicação de algumas 
fórmulas, como veremos a seguir:
a) Quando as parcelas ou pagamentos são feitos sem entrada, também chamados de 
postecipados:
Nesta fórmula temos: 
Ap: que é o valor nas parcelas postecipadas, visto como Capital.
PMT: é o valor de cada parcela ou prestação.
Rendas Aleatórias
As rendas aleatórias são utilizadas quando alguns de seus elementos não 
podem ser previamente determinados. Ex.: o seguro de vida, com relação ao 
valor do seguro (de acordo com a causa da morte) e a data do recebimento 
(data da morte) que não podem ser determinados durante o fechamento do 
contrato.
Classificação das rendas
Como foi dito, as rendas são uma sucessão de pagamentos ou depósitos em 
determinado período e tempo. Mas, ainda de acordo com cada tipo de elemento 
que estiver determinado no contrato, elas podem ser classificadas de formas 
diferentes. Veja:
• Rendas Temporárias: quando os pagamentos possuem um prazo para 
acabar.
• Rendas Perpétuas: quando os pagamentos são infinitos.
• Rendas Fixas ou Uniformes: quando os pagamentos são iguais.
• Rendas Variáveis: quando os pagamentos mudam.
• Rendas Constantes: quando os termos são constantes. Ex.: Prestações.
• Rendas Variáveis: quando as rendas são variáveis. Ex.: Depósitos 
crescentes na poupança.
• Rendas Imediatas: quando o primeiro pagamento é feito no primeiro 
período (mês) da série.
Fonte: Ok Concursos (2018).
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Vejamos um exemplo de aplicação:
Para achar o valor na atualidade de uma dívida, que foi adquirida em 7 pagamentos 
mensais, postecipados, a um valor de R$ 500,00, e a taxa sendo de 4,5% ao mês, faremos da 
seguinte forma:
Ap= 5,89267 . 500 = 2.946,34
b) Quando as parcelas ou pagamentos são feitos com uma entrada, também conhecidos 
como antecipados. 
 
Neste caso o Aa são as parcelas que serão quitadas de forma antecipada.
Vejamos o exemplo:
Encontre o valor atualizado de uma pendência financeira, paga em 7 meses, de forma 
antecipada, com o valor de R$ 500,00 a uma taxa de 4,5% ao mês.
Aa= 6,15784 . 500 = 3.078,92
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2 - RENDA PERPÉTUA
Esta renda leva esse nome pois não existe uma previsão para seu término, é considerado 
um número de parcelas ou pagamentos infinitos. Temos como exemplo os aluguéis, condomínio, 
Netflix, internet etc. As parcelas ou prestações utilizam a função PMT (Periodic Payment Amount).
2.1. Valor atual da renda perpétua
Utilizamos a seguinte fórmula para seu cálculo:
Na qual:
VARP = valor atual de uma renda perpétua
PMT = Valor das parcelas
Exemplo: 
Se temos uma taxa de 1,2% ao mês e uma renda perpétua de R$ 100,00, qual será o 
valor atual dessa renda perpétua?
Seria a mesma coisa de perguntar qual o valor que preciso para sacar R$ 100,00 por mês 
com uma taxa de 1,2% ao mês.
VArp = 8.333,33
2.2. Cálculo da taxa de uma renda perpétua
A taxa pode ser encontrada da seguinte forma:
 
1) Um bem que tem seu valor estimado em R$ 60.000,00 e tem um aluguel no valor de 
R$ 900,00, tem qual taxa correspondente?
i = 0,015 ou 1,5% (taxa ao mês considerando que o aluguel seja mensal)
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2) Veja esse exemplo: se você quer se aposentar daqui 25 anos e ter uma renda perpétua 
de R$ 1.500,00, qual deve ser o valor dos depósitos e qual o montante necessário (postecipado), 
sabendo que a taxa de juro é de 1,5% ao mês?
a) Primeiro Passo: é preciso encontrar quanto você precisa daqui a 25 anos para conseguir 
uma renda perpétua de R$ 1.500,00? 
Ela precisará de R$ 100.000,00.
b) Segundo Passo: qual o valor dos depósitos mensais nos próximos 25 anos (n = 300 
meses) para juntar os R$ 100.000,00?
Com os depósitos postecipados (sem entrada)
100.000,00 = 5.737,25 . PMT
PMT = 100.000 PMT = 17,43
 5.737,25
Com a hp 12c
G 8 (Para cálculo dos pagamentos sem entrada ou postecipados)
f CLX f 2 
100.000 CHS FV 
1,5 i 
300 n 
PMT (Resposta 17,43)
Veja que as rendas ou anuidades são formas de pensar no futuro, como o dinheiro pode 
gerar benefícios ao longo do tempo, e isso o ajudaa planejar seu futuro de sua aposentadoria 
dentro de um mercado financeiro.
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3 - INFLAÇÃO, DEFLAÇÃO E ÍNDICES DE PREÇO
Na visão de Gremaud (2003), a inflação é vista como o aumento dos preços de diversos 
itens dentro de um determinado tempo. Porém, não podemos dizer que se um único produto 
sofre aumento, temos uma inflação.
Figura 3 – Inflação. Fonte: Freepik (2018).
Já a deflação acontece quando os preços reduzem de forma generalizada, ou seja, os 
juros não ocorrem. Isso pode acontecer devido ao excesso de produtos no mercado ou falta de 
consumidores.
Na visão de Gremaud (2003, p. 54) temos os seguintes tipos clássicos e inflação:
• a inflação de demanda, devido ao excesso de procura em relação à produção. 
• a inflação de custos, resultante do aumento dos custos de produção, como salários e 
matéria-prima, que podem ter sido elevados por pressões de sindicatos ou de grupos econômicos 
ou, ainda, pela inflação de demanda preexistente.
• a inflação inercial, causada pela indexação ou correção monetária, regida pela ideia de 
que simplesmente porque houve inflação no período atual, no período seguinte também haverá.
• a inflação estruturalista, sobretudo nos países em desenvolvimento, nos quais as 
condições econômicas são deficientes e há conflitos distributivos de renda.
• a inflação causada pela desvalorização cambial, que eleva o custo das importações que 
deve ser repassado ao produto final.
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3.1. Índice de Preços – IGP - M
Segundo Hazzan e Pompeo (2010), o Índice Geral de Preços de Mercado (IGP-M) é um 
dos mais populares indicadores de inflação utilizado no Brasil, calculado pela Fundação Getúlio 
Vargas (FGV) e publicado mensalmente na revista Conjuntura Econômica.
O IGP-M é calculado da seguinte maneira:
• IPA (Índice de preços por atacado, isto é, um indicador que mede as variações de preços 
de produtos em transações feitas no atacado) com peso 0,6.
• IPC (Índice de preço ao consumidor, que mede as variações dos preços dos produtos de 
consumo e famílias) do Rio de Janeiro (local onde fica a FGV) com peso 0,3.
• INCC (Índice Nacional do Custo da Construção) com peso 0,1.
 
O IGP-M foi concebido no final de 1940 para ser uma medida abrangente do movimento 
de preços. Entendia-se por abrangente um índice que englobasse não apenas diferentes atividades, 
como também etapas distintas do processo produtivo. 
Índices de preço
Como a inflação deve ser medida de forma contínua e generalizada, necessária 
se faz a elaboração de índices desses aumentos. No Brasil, são vários esses 
medidores, os quais serão citados o INPC e o IGP-M.
O INPC – Índice nacional de preços ao consumidor – é elaborado pelo Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e considera a variação do custo de 
vida dos assalariados que recebem de 1 a 8 salários mínimos por mês, nas 
seguintes regiões metropolitanas: Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, 
Curitiba, Salvador, Fortaleza, Belém, São Paulo, Recife, Brasília e Goiânia. O 
período é o mês calendário.
O IGP-M – Índice Geral de Preços de Mercado – é medido pela Fundação Getúlio 
Vargas e considera a média ponderada de outros três índices: o Índice de Preços 
por Atacado – Disponibilidade Interna, o Índice de Preços ao Consumidor e o 
Índice Nacional do Custo da Construção. O período da pesquisa compreende 
do dia 21 do mês anterior ao dia 20 do referido mês. 
O INCC – Índice Nacional do Custo da Construção – também é elaborado 
pela Fundação Getúlio Vargas e mede a evolução dos custos de construções 
habitacionais. Ele é mensal e envolve 18 capitais: Aracaju, Belém, Belo 
Horizonte, Brasília, Campo Grande, Curitiba, Florianópolis, Fortaleza, Goiânia, 
João Pessoa, Maceió, Manaus, Porto Alegre, Recife, Rio de Janeiro, Salvador, 
São Paulo e Vitória.
Fonte: Instituto Brasileiro de Economia (2018). 
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Construído dessa forma, o IGP poderia ser usado como deflator do índice de evolução 
dos negócios, daí resultando um indicador mensal do nível de atividade econômica.
Veja sua utilização através da Tabela 1:
Mês IGP-M
janeiro 1.092,1834
fevereiro 1.103,1052
março 1.109,9445
abril 1.114,9392
maio 1.119,7334
Tabela 1 - Simulação de IGP-M. Fonte: o autor.
Vamos usar os dados da tabela para calcularmos a inflação do mês de fevereiro, março e 
abril.
Inflação = (Mês atual ÷ Mês anterior) –1
fevereiro = inflação = (1.103,1052 ÷ 1.092,1834) -1 = 0,009999 = 0,9999%
março = inflação = (1.109,9445 ÷ 1.103,1052) -1 = - 0,006200 = 0,6200%
abril = inflação = (1.114,9392 ÷ 1.109,9445) -1 = - 0,004494 = 0,4494%
Se quisermos calcular a taxa acumulada trimestral de fevereiro, março e abril teremos que 
fazer a soma das inflações:
Inflação acumulada = 0,9999 + 0,6200 + 0,4494 = 2,069% ao período.
O Índice de Preços no Consumidor (IPC) é um índice que quantifica o custo de 
um determinado cabaz fixo de bens de consumo em diferentes momentos. Este 
cabaz é constituído por diversos tipos de bens, sendo atribuído aos respectivos 
preços uma determinada ponderação de acordo com os hábitos de consumo 
da população.
A utilidade do IPC reside no facto de ser através dele que é calculada a taxa de 
inflação: algebricamente, a taxa de inflação é calculada como a taxa de variação 
do IPC entre dois períodos.
Fonte: Knoow ([2017], on-line). 
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4 - EMPRÉSTIMOS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Figura 4 – Empréstimos. Fonte: Freepik (2018).
Provavelmente que, em algum momento de sua vida, você já tenha realizado alguma 
operação de empréstimo. Senão, vejamos o seguinte: você tem cartão de crédito? Caso tenha, é 
provável que você já tenha emprestado dinheiro à operadora do seu cartão de crédito objetivando 
devolvê-lo na data do pagamento da fatura. Então estas operações nos acompanham muito mais 
do que podemos imaginar.
Neste tópico, veremos as modalidades e os conceitos sobre a temática. O empréstimo 
é uma modalidade de dívida e surge quando uma determinada quantia é emprestada por um 
período de tempo determinado.
Quem contraiu a dívida é obrigado a devolver (restituir) o valor tomado (principal) 
acrescidos dos juros devidos. Os empréstimos podem ser de curto, médio ou longo prazo. As 
formas de cálculo são, na maioria das vezes, semelhantes, mas, nas operações de longo prazo, 
temos algumas características específicas que os diferenciam das características de curto e médio 
prazo.
O principal tópico de diferença entre os prazos dos empréstimos reside na forma de 
reembolso adotado e a forma de determinação dos juros efetivamente cobrados nos empréstimos 
de longo prazo. Vale ressaltar que tratamos aqui de juros compostos e os juros sempre serão 
calculados sobre o saldo devedor.
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Por fim, é importante ressaltar que os juros sempre serão calculados sobre o saldo devedor.
Vejamos alguns termos importantes que precisamos conhecer:
• Credor: pessoa ou instituição que fornece o empréstimo.
• Devedor: pessoa ou instituição que recebe o empréstimo.
• Encargos Financeiros: custo da operação (juros) para o devedor que retorna para o 
credor.
• Amortização: pagamento do principal (capital emprestado), geralmente por meio de 
parcelas periódicas.
• IOF: imposto sobre Operações Financeiras.
• Saldo Devedor: valor da dívida em um determinado momento, depois de deduzido o 
valor já pago ao credor a título de amortização.
• Prestação: é composta pela soma do valor da amortização mais os encargos financeiros 
devidos em determinado período.
• Carência: é o período concedido ao credor para início do pagamento do principal. Pode 
também ser utilizada para postergar o início do pagamento