ENGENHARIA ECONOMICA

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Engenharia Econômica 
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Engenharia Econômica 
Marcio Marcelo de Oliveira 
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Engenharia Econômica 
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DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Texto: Marcio Marcelo de Oliveira 
Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes 
Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos e Victor Narciso. 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliotecária: ELIZABETH FRANCO MARTINS – CRB 7/4990 
 
Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado. 
© Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma 
ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedora 
da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
 
Engenharia Econômica 
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Palavra da reitora 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSOEAD, que reúne os diferentes 
segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi 
desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero 
bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio 
dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço 
presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio 
tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se 
responsável pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que 
permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo o 
momento, ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de 
nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
 
Seja bem-vindo à UNIVERSOEAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora. 
 
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Engenharia Econômica 
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Sumário 
 
Apresentação da disciplina ................................................................................................ 07 
Plano da disciplina .............................................................................................................. 08 
Unidade 1 – Visitando a matemática financeira ............................................................. 11 
Unidade 2 – Sistemas de capitalização ............................................................................ 29 
Unidade 3 – Equivalência de capitais............................................................................... 47 
Unidade 4 – Séries de capitais .......................................................................................... 67 
Unidade 5 – Engenharia Econômica e suas aplicações ................................................. 85 
Unidade 6 – Análise de Alternativas de Investimento................................................... 101 
Considerações finais ........................................................................................................... 121 
Conhecendo o autor ........................................................................................................... 123 
Referências ........................................................................................................................... 125 
Anexos .................................................................................................................................. 127 
 
Engenharia Econômica 
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Engenharia Econômica 
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Apresentação da disciplina 
 
A Engenharia Econômica, em linhas gerais, pode ser definida como a área do 
conhecimento humano que se ocupa e dá suporte para avaliação de alternativas 
de investimento do ponto de vista de sua abordagem financeira. Como objetos a 
serem observados para que se tenha a correta, ou mais bem dizendo, a mais 
apropriada tomada de decisão; as alternativas acompanhadas devem apresentar 
condições de comparabilidade, pois se ao menos não houver mais de uma única 
alternativa viável, não haverá decisão a ser tomada. 
Como muitas das vezes, os projetos a serem avaliados apresentam-se em 
épocas diferentes no tempo, há que se utilizar como base a Ciência da Matemática 
Financeira, a qual tem o poder de descrever as relações de equivalência de capitais 
mesmo em períodos temporais não coincidentes. 
Portanto, a Engenharia Econômica baseando suas técnicas, como por 
exemplo, do Valor Presente Líquido, do Payback e da Taxa Interna de Retorno, na 
Matemática Financeira, respeita a vital premissa Financeira de que o Dinheiro tem 
valor no tempo, e desta feita há que se tomar uma decisão entendendo os 
encargos que possivelmente podem ser gerados nos mais variados cenários de 
investimentos ou de aquisições. 
Nosso objetivo, desta feita, é estimular suas percepções e sentido neste vasto 
e fascinante campo do conhecimento, logicamente ressaltando que este trabalho 
não tem e nem mesmo deveria ter a pretensão de esgotar o assunto que aqui 
aborda. Salientando que sua vontade e entusiasmo são peças chave neste processo 
de aprendizagem. 
Estaremos sempre presentes quando assim o julgar necessário. 
Boa leitura e bom aprendizado! 
 
Engenharia Econômica 
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Plano da disciplina 
 
O objetivo geral da Disciplina de Engenharia Econômica é proporcionar a você, 
aluno, um correto entendimento de como o analista de investimento propõe, 
desenvolve e apresenta as alternativas de investimento disponíveis em diferentes 
cenários e situações da vida cotidiana. Quais são as principais ferramentas 
utilizadas por estes profissionais para o primordial auxílio na tomada de decisões 
que envolvem algum processo de escolha entre investimentos a serem realizados 
ou projetos a serem aderidos ou rejeitados, desta feita, indicando dentre as 
alternativas financeiras apresentadas, qual apresenta melhores perspectivas. Assim 
esperamos conscientizá-los da importância do viés econômico-financeiro nestas 
decisões e do valordo conhecimento de sua existência e de sua operacionalização 
para sua futura profissão. 
A disciplina foi dividida em seis unidades intentando facilitar sua compreensão 
sobre os conteúdos apresentados. 
Cada Unidade é abaixo apresentada para que você tenha uma ampla visão de 
cada um de seus objetivos detalhadamente. 
 
Unidade 1: Visitando a Matemática Financeira 
Iniciaremos os nossos estudos da Disciplina apresentando os Conceitos 
básicos que envolvem o estudo da Matemática Financeira. Visto que a Engenharia 
Econômica não pode prescindir do valiosíssimo apoio oferecido por este ramo da 
Matemática, que objetiva simplificar o estudo das relações financeiras do ponto de 
vista do binômio tempo e dinheiro, através do agrupamento de algumas técnicas 
para resolver problemas que envolvem fluxos de caixa e equivalências de capitais. 
Objetivos: 
Entender e aplicar os Conceitos de operacionalização dos princípios 
demonstrados na Matemática Financeira, como Capital, Fluxo de Caixa, Juros 
Simples, Juros Compostos, Capitalização, Período de Capitalização, Taxas de 
juros, entre outras abordagens. 
 
Engenharia Econômica 
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Unidade 2: Sistemas de Capitalização 
Para as Finanças, é de fundamental importância compreender se os 
pagamentos ou recebimentos de capital apresentam alguma lei específica de 
formação. E do ponto de vista de quem disponibiliza o acesso ao Capital, deve 
ocorrer a tentativa de maximização dos lucros. Na ponta oposta, aquele que toma 
o dinheiro emprestado gostaria de pagar menos encargos. Portanto, entender o 
funcionamento dos Sistemas de Capitalização é fundamental neste sentido. 
 
Objetivos: 
 Compreender como se diferenciam os Regimes de Capitalização para a 
apuração dos Juros. Qual é mais bem indicado para cada situação específica 
de nosso cotidiano. 
 Entender os conceitos envolvidos na formação de suas fórmulas e aprender 
a utilizá-las. 
 
Unidade 3: Equivalências de Capitais 
As Taxas de Juros, em termos práticos, representam o custo financeiro do 
dinheiro, pois se o dinheiro tem valor no tempo, há que se criarem mecanismos 
para comparar seus custos. O custo do dinheiro do ponto de vista financeiro é 
dado pela Taxa de Juros (i), que indica o custo de cada unidade de Capital (C) por 
cada unidade de tempo. Portanto, a comparação das mais variadas formas das 
taxas de juros nos permite julgar sobre qual seria a melhor alternativa de 
investimento. 
Objetivos: 
 Entender e aplicar os Conceitos de Taxas de Juros, avaliando através de 
técnicas específicas, qual é a mais adequada decisão a tomar para maximizar 
suas expectativas. 
 Compreender como as taxas de juros são classificadas, de acordo com o 
tipo de avaliação percentual que será feita. 
 
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Unidade 4: Série de Capitais 
Uma série de Capitais, por definição, é caracterizada como sendo uma 
sequência de pagamentos que ocorrem de forma periódica, que são consecutivos 
e apresentam alguma lei específica em sua formação. 
Objetivos: 
 Compreender como se comportam do ponto de vista financeiro as entradas 
e saídas de capital em determinado projeto. 
Unidade 5: Engenharia Econômica e suas aplicações 
Trataremos de entender como a Engenharia Econômica e a Matemática 
Financeira se relacionam no processo de tomada de decisão de projetos de 
investimento. Para que serve o estudo da Engenharia Econômica e quais são as 
suas aplicabilidades. 
Objetivos: 
 Apresentar conceitos preliminares sobre a Engenharia Econômica, e seus 
processos de avaliação quantitativa das alternativas de investimento em 
termos de rentabilidade e custo econômico. 
Unidade 6: Análise de Alternativas de Investimento 
Veremos como e por qual motivo devemos realizar algumas análises 
financeiras para tomar uma correta decisão sobre como investir o dinheiro, ou 
como aderir a projetos que se mostrem rentáveis. Iremos entender quando um 
determinado projeto se mostra viável, ou seja, quando devemos aceitá-lo, ou 
quando devemos rejeitá-los, sempre do ponto de vista financeiro. 
Objetivos: 
 Aprender sobre como calcular os métodos mais conhecidos de análises de 
investimentos; 
 Entender o que significam os resultados apresentados em cada método e o 
que eles representam. 
Bons estudos! 
 
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Visitando a Matemática 
Financeira 1 
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Prezado (a) Aluno (a), 
Nesta primeira Unidade, abordaremos alguns dos principais conceitos que 
envolvem o estudo da Matemática Financeira. Ciência tida como primordial para o 
bom entendimento dos objetivos da Engenharia Econômica, haja vista seu vasto 
potencial de utilização de ferramentas para comparabilidade de diversas 
operações financeiras ao longo do tempo. 
 
Objetivos da unidade: 
 Entender a importância do instrumental oferecido pela Matemática 
Financeira no estudo dos fenômenos que afetam o dinheiro no dia-a-dia e 
desvendar as técnicas utilizadas nesse campo de conhecimento para 
proporcionar uma apropriada visão sobre a gestão dos interesses financeiros, 
e sua empregabilidade no campo da Engenharia Econômica. 
 
Plano da unidade: 
 O valor do dinheiro no tempo. 
 Capital e Juros. 
 Taxa de Juros. 
 Montante. 
 Capitalização e Período de Capitalização. 
 Relação entre Taxa de Juros e Capitalização. 
 Fluxo de Caixa 
 
Bons estudos! 
 
Engenharia Econômica 
 
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A Matemática Financeira é uma disciplina que se dispõe a adotar algumas 
técnicas matemáticas para resolver problemas de equiparação de valores 
monetários envolvidos em fluxos de caixa e equivalências de capitais ao longo do 
tempo. Ela possui inúmeras aplicabilidades que permeiam situações relacionadas 
ao ganho de capital, porcentagens, financiamentos, pagamentos antecipados e 
postecipados, aquisição de equipamentos, descontos comerciais, dentre outros 
produtos ofertados nos meios financeiros. 
Na busca do objetivo de permitir a comparabilidade do valor do dinheiro no 
tempo, ela cria vários modelos e procedimentos que devem ser adotados 
(calculados) para que se possa contrastar o valor do dinheiro em vários pontos do 
tempo. O que se quer abordar, é que intuitivamente temos a percepção de que 
$200 em suas mãos hoje tenham mais valor do que $200 daqui a um ano, por 
exemplo, não é mesmo? 
Portanto, caso necessitemos comparar valores monetários, temos que 
obrigatoriamente fazê-lo numa mesma data. E é aí que surge a primeira e vital 
premissa da Matemática Financeira: 
 
“Nunca devemos somar ou subtrair valores monetários sem 
antes projetá-los para um mesmo instante temporal”. 
 
Isso significa que, em termos práticos, toda vez que quisermos saber se 
determinado valor valerá mais do que outro no futuro, teremos que usar a 
matemática financeira para “transportá-los” para uma mesma data, pois somente 
desta forma será realizada a correta comparação do ponto de vista financeiro. 
Para iniciarmos nossa incursão pelo fascinante universo da Engenharia 
Econômica e da Matemática Financeira, necessitamos, primeiramente, pontuar 
alguns de seus principais conceitos a fim de nos familiarizarmos com suas 
nomenclaturas e processos de manipulação que objetivam e, principalmente, 
tornam possível percorrer os caminhos necessários para alcançar o que foi exposto 
anteriormente, ou seja, tornar viável a comparação dos “dinheiros” ao longo do 
tempo. 
Engenharia Econômica 
 
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Cabe neste momento salientar que, para todos os conceitos expostos na 
língua portuguesa, serão feitas as menções de suas respectivas nomenclaturas na 
língua inglesa, visto ser esta a que mais se associou a utilização de tal ferramenta e 
também pelo fato, que será mais bem abordado no decorrer de nossos estudos, de 
ser a linguagem utilizada nas calculadoras financeiras, e em especial, pela HP-12C, 
notoriamente a mais difundida entre os financistas pelo mundo afora e que será 
utilizada como instrumentode facilitação na abordagem dos temas e dos cálculos 
a serem propostos neste conteúdo. 
Iniciemos falando, pois, do Capital. 
 
Capital 
Capital (C), também indicado como Valor Atual é o valor expresso em unidades 
monetárias com o qual se inicia uma operação financeira. O Capital pode ser o 
valor financiado de um determinado bem, o dinheiro investido em uma 
determinada atividade econômica ou o empréstimo tomado de alguma instituição 
financeira. 
O Capital é um ativo econômico que determinado agente pode ceder a outro 
agente econômico mediante certas condições estabelecidas entre as partes. Em 
termos gerais, toda vez que o cedente do Capital realiza tal procedimento (de 
ceder algum valor), ele espera realizar algum ganho nesta operação. Ganho este 
que se materializa com a apuração dos Juros. 
 
Juros 
Os Juros (ou Juro) é a remuneração, apurada em moeda corrente, expressa em 
unidades monetárias, paga pelo uso do Capital. É auferido tanto como o 
rendimento de uma aplicação financeira, quanto dos valores a serem pagos em um 
financiamento. Diferencia-se por isso do Capital, que é o motivo da aplicação 
financeira, caracterizando-se os Juros por ser o seu resultado. 
Pode-se dizer também, que o Juro é o preço do dinheiro, seria o valor do 
aluguel a ser pago por uma determinada quantia, quando da aquisição de um 
empréstimo por determinado período de tempo. 
Engenharia Econômica 
 
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Sua nomenclatura em inglês é Interest, por isso também é conhecido como 
Interesse, sendo esta a remuneração tanto do dinheiro tomado emprestado, 
quanto do dinheiro empregado numa aplicação financeira. 
Mas então, como apurar os Juros? 
Essa resposta é dada através das Taxas de Juros 
 
Taxa de juros (i) 
 
A taxa de Juros normalmente é expressa em valores percentuais (%), e é 
responsável por calcular a rentabilidade de uma operação financeira. Pois senão 
vejamos: 
Se aplicarmos um valor percentual de 5% de juros ao mês em um valor inicial 
de R$ 1.000,00 (Mil Reais), quanto será apurado no final do primeiro mês? 
Uma das formas de se calcular é a seguinte: 
Calcula-se 5% de R$ 1.000,00 
Ou seja, 5/100X1.000= 0,05X1.000= 50, e soma-se ao Principal 
Ou seja, 50+1.000= 1.050,00, correto? 
Outra forma mais simples é a seguinte: 
Sabendo-se que 0,05 correspondem a 5% do total e que devem ser somados 
ao Valor Inicial, a conta a ser feita é 0,05+1 multiplicados pelo Valor Presente, o que 
resulta na seguinte conta→ R$ 1.000,00 X 1,05, que será igual a R$ 1.050,00. 
 
Engenharia Econômica 
 
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A taxa de Juros é representada na Matemática Financeira pela letra i. E é 
calculada de acordo com a seguinte expressão: 
 
 
 
Após serem apurados os Juros através de sua taxa, ele se junta ao Capital 
inicial exposto ao empréstimo para apuração do Montante. 
 
Montante 
 
O Montante também é chamado de Valor Acumulado, pois é o somatório do 
Capital com o Juro produzido em determinado tempo, e é definido pela expressão 
matemática a seguir: 
 
M=C+J 
 
Como evidencia o resultado de se somar o juro ao Capital, ele é calculado 
apenas no final da Capitalização. Falemos então sobre Capitalização. 
 
Engenharia Econômica 
 
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Capitalização e período de capitalização 
 
Diz-se que ocorreu uma capitalização, quando sobre um específico valor 
financeiro ocorreu a aplicação de juros determinados por sua taxa de juros, com a 
finalidade de se apurar o novo valor desta operação, ou seja, seu novo Montante. 
A apuração destes valores a serem acrescidos está intimamente relacionada 
com a questão do tempo a que está exposta tal aplicação ou dívida. 
Vejamos um exemplo de nossa vida real para auxiliar no entendimento. Uma 
aplicação financeira muito comum em nosso país é feita através do sistema de 
Poupança, nesta modalidade os juros são auferidos mensalmente, não é mesmo? 
Ou seja, todo mês é aplicada sobre o montante uma taxa de juros que resulta em 
um novo valor a cada novo mês, quando isso acontece, diz-se então que a 
capitalização ocorrida na Poupança foi mensal. 
As capitalizações podem ser diárias, semanais, mensais, bimestrais, semestrais, 
anuais e assim por diante. Aqui cabe uma importante ressalva, que é a diferença 
entre capitalização e período de capitalização, muitas vezes confundidos entre si. 
O Período de Capitalização é o tempo total ao qual o valor foi exposto a aplicação 
ou a dívida, e que também é conhecido como prazo da aplicação e a capitalização, 
como já abordado, é o tempo, geralmente periódico, ao qual se remunera o 
Capital. 
 
Relação entre taxa de juros e capitalização 
 
Um importante item a ser considerado com relação a Taxa de Juros é que ela 
deve ser expressa SEMPRE na mesma unidade de tempo da Capitalização. Se a 
Capitalização for mensal, ou seja, ocorrer uma vez a cada mês, a Taxa de Juros deve 
ser também mensal, pois senão vejamos o que aconteceria: 
Suponha que determinado valor foi colocado em uma aplicação e que a 
Capitalização seja mensal, num período de quatro meses, portanto pergunta-se: 
Engenharia Econômica 
 
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quantas seriam as remunerações que este capital sofreria? A resposta é QUATRO 
remunerações, no primeiro, segundo, terceiro e quarto meses. 
 
 
Elaborado pelo Autor 
Agora, se ao invés de colocar a Taxa de Juros mensal, para o mesmo período 
de quatro meses de aplicação, fosse dito que a Capitalização ocorreria a cada dois 
meses, ou seja, ela seria bimestral, em quantas vezes o Capital seria remunerado? 
Neste caso, somente DUAS vezes. No final do segundo mês e no final do quarto 
mês. 
 
 
Isso significa dizer, que o valor alcançado no final dos quatro meses para cada 
modalidade seria diferente, pois no 1º caso teríamos quatro remunerações e no 
segundo caso, somente duas. Mais uma vez intuitivamente percebemos a 
diferença. 
As Taxas de Juros são acompanhadas de uma expressão que indica a sua 
relação com o período de Capitalização, como por exemplo: 
 i% a.d. – que significa capitalização ao dia; 
 i% a.m. – que significa capitalização ao mês; 
 i% a.a.– que significa capitalização ao ano; 
 
Engenharia Econômica 
 
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E assim por diante. Por exemplo: 
Se em determinada compra aparecer a expressão Taxas de Juros de 3% a.s., 
isso significa dizer que os Juros serão apurados semestralmente a taxa de três por 
cento. 
Mais tarde, quando abordarmos a questão dos Sistemas de Capitalização mais 
profundamente, quaisquer dúvidas que por acaso persistam sobre o tema serão 
dizimadas. 
Agora que já iniciamos nossa incursão desvendando alguns conceitos básicos 
da Matemática Financeira, se faz interessante que tenhamos algum exemplo 
prático do que acontece na realidade para facilitar a nossa compreensão do 
assunto. Pois então, vejamos um exemplo onde todos estes conceitos supracitados 
encontram-se envolvidos e como devemos observá-los: 
Suponha que você adquiriu um empréstimo no Banco de sua preferência no 
valor de R$ 5.000,00 e ficou acordado entre você e o Banco que sua dívida seria 
paga em 10 parcelas mensais e iguais de R$ 700,00. Sem que seja necessário 
realizar cálculos muito aprofundados percebemos que você terá que devolver ao 
Banco uma quantia maior do que a que inicialmente pegou, correto? O que pode 
ser percebido nesta transação é o seguinte: 
 
 Essa operação financeira tem um valor inicial de R$ 5.000,00 que é 
denominado de Capital (C) ou Valor Presente, do inglês Present Value (PV) e 
um valor final de R$ 7.000,00, denominado de Valor Futuro do inglês Future 
Value (FV), a serem pagos em 10 parcelas de R$ 700,00, ocorrendo, portanto, 
uma variação de R$ 2.000,00 que são os Juros. Neste caso, um custo para 
você e uma Remuneração para o Banco; 
 Esses juros são incorporados no total da operação e são calculados mês a 
mês, portanto houve uma capitalização mensal, num espaço de 10 meses – 
deve-se utilizar aqui a letra n, que indica o número de períodosda 
capitalização, ou seja, n=10; 
 
Engenharia Econômica 
 
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 Quando você pegou o dinheiro emprestado junto ao Banco, isso 
representou uma entrada de dinheiro para você e você passou a ser devedor 
do Banco; 
 Quando o Banco te emprestou a quantia, isso representou uma saída de 
dinheiro para ele, que passou a ser o seu Credor. 
A precisa análise de seus termos e conceitos é fundamental para a correta 
compreensão da Matemática Financeira, pois então continuemos com um pouco 
mais. 
 
Diferença entre capital inicial e valor presente 
 
O Valor Presente, do inglês Present Value (PV), é o valor de uma operação 
financeira na data dita presente, e o que isso significa? Que ele é um valor 
intermediário entre o Capital Inicial e o Montante; e que é quando geralmente, se 
inicia o prazo para um estudo financeiro. O Valor Presente, em termos práticos, é o 
momento de onde quero iniciar o meu estudo financeiro; na maioria das vezes este 
momento é o próprio início da operação, por isso muitos acreditarem que o Capital 
Inicial é o mesmo que Valor Presente, mas nem sempre é assim. 
Vamos ver um exemplo para esclarecer esta afirmação. 
Suponha que você aplicou o seu dinheiro em uma LTN (Letra do Tesouro 
Nacional). Esses títulos do Governo Federal possuem um valor de face e uma data 
limite para realização de seu resgate. Entretanto, o investidor não é obrigado a 
comprar este título quando de seu lançamento e nem permanecer com ele até a 
data limite para resgatá-lo, existe um mercado de compradores e vendedores que 
negociam estes papéis em datas diferentes da do lançamento e da do resgate. 
Então, se você comprou este título depois da data de seu lançamento seu 
investimento não será do mesmo valor que o 1º comprador pagou e seu estudo de 
viabilidade de compra deste papel se iniciará após o investimento do Capital Inicial 
feito pelo outro comprador. Suponha, então, que a data de sua compra seja 
amanhã e que o título foi lançado 60 dias atrás. Lá atrás, há sessenta dias, o Capital 
era o Inicial, amanhã ele será o Valor Presente, ainda que você esteja realizando o 
cálculo no dia de hoje. 
Engenharia Econômica 
 
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Diferença entre Montante e Valor Futuro 
 
O Valor Futuro, do inglês Future Value (FV), é o valor de uma operação 
financeira na data dita futura, e o que isso significa? Utilizando-se do mesmo 
raciocínio empregado para diferenciar o Valor Presente do Capital Inicial, nem 
sempre o Valor Futuro será a data final da operação. Pode-se colocar uma data 
intermediária entre o início e o final da operação e considerá-la como a data limite 
que se quer calcular. 
 
Fluxo de caixa 
 
A Matemática Financeira estuda basicamente, a relação entre suas diversas 
variáveis como um problema que se origina com a entrada e saída de capitais em 
uma operação financeira qualquer ao longo do tempo. Um bom exemplo de 
ordem prática é o que acontece com um assalariado, que recebe seus vencimentos 
mensalmente, mas tem que arcar com suas despesas corriqueiras durante o 
restante do período mensal. 
Para representar, do ponto de vista financeiro, o que ocorre com o exemplo 
anterior, a matemática financeira utiliza-se do chamado Fluxo de Caixa, que 
descreve uma sucessão de entradas e saídas de numerário (dinheiro) no caixa de 
uma entidade, em nosso exemplo de um assalariado ao largo do tempo. Mas esta é 
uma situação comum também ao mundo empresarial, senão vejamos o exemplo a 
seguir: 
Você entra em uma loja e decide adquirir um novo fogão. O atendente lhe 
informa que o preço de tal mercadoria é de $400,00 à vista, ou se for de sua 
preferência, que pode realizar o pagamento em quatro parcelas iguais de $120,00. 
Você realiza a compra e faz a opção pelo pagamento financiado, de modo que 
terá que realizar quatro desembolsos (saídas de dinheiro) mensais e sucessivos de $ 
120,00. Pode-se então dizer que este é o seu Fluxo de Caixa dessa operação. Então 
do seu ponto de vista a representação gráfica do fluxo é a seguinte: 
 
Engenharia Econômica 
 
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Elaborado pelo Autor 
 
Do ponto de Vista da loja o fluxo de caixa é o seguinte: 
 
 
Elaborado pelo Autor 
Em nosso curso, utilizaremos bastante os diagramas de Fluxos de Caixa para 
nos auxiliar na solução e no entendimento dos questionamentos, pois este é um 
instrumento muito útil para visualização dos problemas em Matemática Financeira. 
Então, vamos esclarecer alguns pontos, até mesmo para compreendermos as 
diferenças e semelhanças entre os dois fluxos apresentados no exemplo da compra 
do fogão: 
Como se pôde perceber, em ambos os Fluxos de Caixa existe uma linha 
horizontal que representa os períodos de tempo. Em nosso exemplo aparecem os 
números 0,1,2,3 e 4, que representam os meses da operação, sendo, por 
convenção, adotado o instante 0 como o da compra do fogão e os meses 
subsequentes àqueles em que acontecem seu efetivo pagamento. 
Já no eixo vertical estão representadas as saídas de dinheiro, com setas 
orientadas para baixo, que significa que houve as saídas de dinheiro nos meses 1, 
2,3 e 4. Saídas para você (comprador ou devedor – 1º Fluxo de Caixa). No 2º Fluxo 
Engenharia Econômica 
 
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de Caixa, que representa o ponto de vista da loja (vendedor ou credor), estão as 
entradas, numa lógica reversa, com as setas orientadas para cima, que significa que 
houve as entradas de dinheiro nos meses 1,2,3 e 4. Perceba que no instante 0 não 
há nenhuma seta, o que significa que não houve nem entrada e nem saída de 
numerário. 
Portanto, para você, ocorreram as saídas indicadas com as setas orientadas 
negativamente, ou seja, para baixo e para a loja ocorreram as entradas indicadas 
com as setas orientadas positivamente, ou seja, para cima. Cabe salientar que a 
orientação de setas para baixo ou para cima vai depender de quem é o credor e de 
quem é o devedor de uma operação financeira. Observe o exposto abaixo: 
Se você decide investir num CDB (Certificado de Depósito Bancário) no Banco 
de sua preferência, quem será o Credor e quem será o Devedor no exato instante 
da aplicação do dinheiro? 
Resposta: Você é o Credor, pois está “emprestando” dinheiro ao Banco através 
de sua aplicação; e o Banco será o Devedor, pois ele terá que lhe devolver o 
dinheiro quando você assim o decidir. 
E então, do ponto de vista do Devedor, o Banco, como ficaria este Fluxo de 
Caixa? 
Simples, como o dinheiro está sendo colocado no Banco, a seta para ele será 
positiva (orientada para cima), pois está representando uma entrada de dinheiro 
em seu cofre. Quando você, cliente, decidir retirar o dinheiro do Banco, isso 
representará para ele uma saída, e aí sim a seta será negativa (orientada para 
baixo), representando essa retirada. 
Podemos concluir então, que uma operação financeira que envolve duas 
partes (credor e devedor) apresentará Fluxos de Caixa simétricos. A entrada de 
numerário para um representará a saída do mesmo numerário para o outro e vice-
versa. 
Uma última e importantíssima explicação se faz necessária antes de 
encerrarmos nosso primeiro capítulo. 
 
Engenharia Econômica 
 
24 
 
Os pagamentos de $120,00 realizados nos meses 1,2,3 e 4 apresentam o 
mesmo valor absoluto, chamado nas Finanças de valor nominal, entretanto, do 
ponto de vista financeiro, estes pagamentos são tidos como distintos, pois se 
referem a datas distintas no tempo. O que significa mencionar que eles não têm o 
mesmo valor, pois mais uma vez, devemos atentar para a questão primordial da 
Matemática Financeira, de que o dinheiro tem valor no tempo. Portanto, se os 
valores estão em tempos diferentes eles não podem ser comparados. 
Neste primeiro instante colocamos você em contato com os primordiais 
conceitos referentes à Matemática Financeira, que se bem dominados lhe 
permitirão uma incursão maior entre novos conceitos e conhecimentos. 
Bem, com esta afirmativa e possivelmente ainda com alguns 
questionamentos,iniciaremos nosso segundo capítulo, com o estudo dos Sistemas 
de Capitalização e como eles influenciam no processo de remuneração do dinheiro 
com o passar do tempo. 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas 
irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no 
processo de ensino-aprendizagem. 
 
 
Engenharia Econômica 
 
25 
 
Exercícios – unidade 1 
 
1.Para se calcular a Taxa de Juros? 
a) Divide-se o Capital Inicial pelos Juros 
b) Dividem-se os Juros pelo Capital Inicial 
c) Divide-se o Montante pelos Juros 
d) Dividem-se os Juros pelo Montante 
e) Soma-se o Capital Inicial com os Juros 
 
2.Normalmente expressa em percentuais é responsável por calcular a 
rentabilidade de uma operação financeira: 
a) Taxa de Juros 
b) Juros 
c) Capital Inicial 
d) Montante Final 
e) Principal 
 
3.A letra n indica o número de Capitalizações de uma operação financeira. Se 
n for igual a 36 meses e a Taxa de Juros for anual, qual deve ser o valor de n a 
se usar para efeito de cálculo? 
a) 36 
b) 24 
c) 12 
d) 6 
e) 3 
Engenharia Econômica 
 
26 
 
4.Diz-se que o Capital Inicial e o Valor Presente são iguais quando: 
a) Nunca são iguais 
b) Quando o Capital Inicial é aplicado antes do Valor Presente 
c) Quando o Capital Inicial é aplicado depois do Valor Presente 
d) Quando o Capital Inicial é aplicado junto com o Valor Presente 
e) Quando ambos indicam o início da operação 
 
5.Indica uma sucessão de entradas e saídas de numerário em uma operação 
financeira: 
a) Capital. 
b) Fluxo de Caixa. 
c) Montante. 
d) Valor Presente. 
e) Taxa de Juros. 
 
6.Entende-se, do ponto de vista financeiro, que você é Credor de um Banco 
quando: 
a) Pega uma determinada quantia emprestada 
b) Vende alguma mercadoria ao Banco 
c) Faz um depósito na sua Caderneta de Poupança 
d) Faz um depósito na Caderneta de Poupança de um amigo 
e) Você nunca vai ser o Credor de um Banco, imagina! 
 
 
Engenharia Econômica 
 
27 
7.Do ponto de vista financeiro, ao compararmos $ 100,00 hoje com $ 100,00 
daqui a seis meses: 
a) Eles terão o mesmo valor financeiro 
b) Eles não terão o mesmo valor nominal 
c) Somente podemos compará-los daqui a seis meses 
d) Não podemos compará-los, pois eles não estão na mesma data 
e) Eles terão o mesmo poder de compra, apesar da inflação 
 
8.Para se calcular o Montante: 
a) Subtrai-se o Capital Inicial dos Juros 
b) Somam-se os Juros ao Valor Futuro 
c) Subtraem-se os Juros do Capital Inicial 
d) Somam-se os Juros do Valor Futuro 
e) Somam-se os Juros ao Capital Inicial 
 
9.Porque a Taxa de Juros (i) e a Capitalização devem ser expressas na mesma 
unidade de tempo? 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
Engenharia Econômica 
 
28 
 
10.Diferencie período de Capitalização de período de aplicação: 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
Engenharia Econômica 
 
29 
 
2Sistemas de Capitalização 
Engenharia Econômica 
 
30 
Como já começamos a nos familiarizar com os conceitos básicos da 
Matemática Financeira, vamos abordar nesta segunda etapa os Regimes de 
Capitalização, conhecer suas modelagens matemáticas buscando entender qual 
regime melhor se aplica a realidade das transações financeiras e qual proporciona 
as melhores remunerações (ou Capitalizações). 
 
Objetivos da unidade: 
 
 Compreender o que são os Regimes de Capitalização, diferenciando o de 
Juros Simples do de Juros Compostos; 
 Identificar quando utilizar um ou outro; 
 Entender a importância da forma de Capitalização (através dos Juros 
apuradas) nas operações financeiras. 
 
Plano da unidade: 
 Regime de Juros Simples 
 Regime de Juros Compostos 
 
Bons estudos! 
 
Engenharia Econômica 
 
31 
 
Um dos principais conceitos apresentados no Capitulo 1, é o que se refere ao 
Juro, que é a remuneração tanto de um dinheiro tomado emprestado, quanto do 
capital empregado em uma aplicação financeira, por exemplo. 
Esta remuneração se justifica pelo fato de as pessoas entenderem, quase que 
de maneira instintiva, que se elas tiverem acesso mais rapidamente ao dinheiro, 
mais rápida será sua capacidade de adquirir bens ou serviços, o que de certa forma 
explica a preferência das pessoas em ter maior liquidez financeira. 
Acontece que nem sempre as pessoas possuem recursos financeiros 
imediatamente disponíveis para satisfazer seus desejos e necessidades, o que as 
fazem recorrer a recursos de terceiros, os quais, por sua vez, ao emprestar seus 
recursos estão, de certa forma, ‘abrindo mão’ dessa capacidade imediata de 
comprar e, por conseguinte, exigem uma compensação por esse estado de 
privação. E é aí que surge o princípio, quase que filosófico, da cobrança de Juros. 
Justo, não acha? 
Há ainda, a questão, de relevante importância financeira, do efeito de corrosão 
causado pela INFLAÇÃO no poder de compra das pessoas. Fato que será mais bem 
abordado quando falarmos de relações entre Taxas de Juros. 
Vimos também, que o Juro é o preço do aluguel do dinheiro, por determinado 
período de tempo. Pois então, surge a seguinte questão: como calcular o valor 
deste “aluguel”? 
E a resposta é: a Remuneração de um Capital pode ser efetuada de duas 
maneiras distintas. Através de dois Sistemas diferentes, conhecidos como Regimes 
de Capitalização das Taxas de Juros, que se diferenciam basicamente sob a maneira 
conforme ocorre a incidência de Juros sobre este mesmo Capital. E esses Regimes 
são de: 
 
Engenharia Econômica 
 
32 
 
Juros simples 
 
Atualmente o Regime de Capitalização dos Juros Simples é pouquíssimo 
utilizado no cotidiano das operações realizadas no mundo real. E isso se justifica 
pelo fato de que em quase todas estas operações a remuneração do Capital por 
este Regime vai resultar em ganhos menores do que os alcançados no Sistema dos 
Juros Compostos. O que não descaracteriza a importância didática de abordarmos 
o assunto. Vamos entender por quê. 
 O Regime de Juros Simples é o mais indicado para operações de curto prazo, 
por sua facilidade de cálculo e por não apresentar uma discrepância muito grande 
(em relação aos Juros Compostos), quando empregada em curtos períodos de 
tempo, como, por exemplo, no cálculo do acréscimo diário para prestações em 
atraso. 
Por definição, no Regime de Juros Simples, o sistema de remuneração é 
determinado levando-se em consideração que o Juro será calculadoSEMPRE sob o 
Capital Inicial da operação e que o total auferido com os Juros serem devidos ao 
Credor no final da operação. Acompanhe o seguinte exemplo: 
Você solicitou um empréstimo junto ao Banco de sua preferência no valor de $ 
2.000,00, que deverão ser pagos no final de três meses. Ao lhe ser entregue a 
quantia também lhe foi informado que a taxa de Juros seria de 10% a.m. numa 
operação de Juros Simples. Pergunta-se: 
 
Engenharia Econômica 
 
33 
 
Quanto você pagará ao Banco no final da operação? 
Bem, lembrando-se do Capitulo anterior, que a relação para o cálculo dos 
Juros é: 
 
Então, a cada mês você terá que pagar J= $ 2.000,00 X 0,10= $ 200,00 
Observe que a Taxa de juros (10%) foi expressa na sua forma unitária 0,10 que 
corresponde à 10/100 (dez divididos por cem ou dez por cento) 
Voltemos ao cálculo dos juros: 
Portanto, pelo fato dos juros sempre incidirem no Capital inicial, o valor alcançado 
de $ 200,00 valerá como fator de remuneração para cada um dos três meses da 
operação, correto? 
Desta maneira teremos: 
 
 
 
Agora, imagine se tivéssemos que realizar este cálculo para uma operação de 
76 prestações, por exemplo. Ficaria demasiadamente trabalhoso calcular isso 
manualmente, não acha? É por isso que através do exposto acima podemos 
deduzir a fórmula de cálculo do Regime de Juros Simples. 
 
Engenharia Econômica 
 
34 
Acompanhe o raciocínio: 
Você reparou que em todos os três meses da operação do exemplo do 
empréstimo, quando se calcula os Juros de cada mês, ele é feito com base no C (de 
Capital Inicial); e que também a taxa de juros vai ser a mesma, lá representada pela 
letra i? Então, quando vamos calcular o JT, estamos realizando, em termos 
genéricos, a seguinte conta: 
 
 
 
Observe que o número 3 é o multiplicador do fator C X i, e que este número 
representa a quantidade de vezes em que ocorreram as Capitalizações 
(remunerações). A partir desta constatação, podemos concluir que em Regime de 
Juros simples existe uma relação direta entre o número de Capitalizações, que 
indica o tempo de aplicação e que é representado pela letra n e de como ele será 
alcançado. E em que isso implica? 
A indução direta desta constatação é que se substituirmos n no lugar do 3, 
teremos a fórmula genérica para o cálculo dos Juros no Regime Simples, qual seja: 
 
J= C Xi Xn 
 
Onde ,J - é o Juro que se alcança no período total; 
C - é o Capital no início da operação; 
i - é a taxa de juros para cada período, e; 
n - é o número de Capitalizações (remunerações) 
 
Engenharia Econômica 
 
35 
 
Portanto, se tivéssemos que calcular o rendimento dos Juros depois das 76 
prestações (períodos de Capitalização) proposto como um difícil problema 
anteriormente, como se faria para calcular o valor dos Juros com a fórmula? 
Fácil, sendo: C = $ 2.000,00 
i = 0,10 (lembre-se, esta é a forma unitária de 10%) 
n = 76 
Substituindo na fórmula, 
 J = C X i X n, temos J = 2.000 X 0,10 X 76 = 
Portanto J = $ 15.200,00 
Isso significa dizer que os Juros auferidos no Regime de Juros Simples num 
Capital no início da operação de $ 2.000,00 pelo prazo de setenta e seis meses a 
uma taxa de 10% a.m. (dez por cento ao mês) renderia no final da operação a 
quantia de $ 15.200,00. 
Chegamos enfim a conclusão de que para calcular os Juros Totais de uma 
operação em Regime de Juros Simples, necessitamos saber qual o Capital Inicial 
que será empregado, a Taxa de Juros da operação e o número de vezes que 
ocorreram as Capitalizações. E que esta fórmula apresenta derivações. Se tivermos 
o C (Capital Inicial), n (o número de Capitalizações) e o J (a quantidade em dinheiro 
dos Juros), podemos calcular o i, transformando a fórmula anterior na seguinte: 
 
Ou ainda, se tivermos n (o número de Capitalizações), o J (a quantidade em 
dinheiro dos Juros) e i (a taxa de juros), se pode calcular qual é o Capital Inicial 
usando a fórmula: 
 
 
Engenharia Econômica 
 
36 
Fique atento para as seguintes recomendações quando realizar seus cálculos 
em Juros Simples: 
 A taxa de juros (i) e o tempo (n) deverão ser expressos sempre na mesma 
unidade de tempo. Desta forma, se a taxa de juros for expressa em meses 
(a.m.), o tempo também deve ser expresso em meses. Se na questão 
aparecer, por exemplo, uma taxa de 5% a.m. e perguntar qual o rendimento 
em dois anos, deveremos transformar dois anos em 24 meses (que equivalem 
a dois anos), e aí sim aplicar a fórmula para o seu cálculo. 
 Se a taxa de juro aparecer em forma percentual deve-se reduzi-la a sua 
forma unitária, por exemplo, 2%, se transforma em 0,02, que é o resultado da 
conta 2/100 (dois divididos por cem, também dito como dois por cento). 
 Diferentemente do que ocorrem com os Juros Compostos os Juros 
Simples somente serão computados ao cálculo do novo valor M (Montante) 
ao final da operação. 
Por falar nesta diferença, vamos entendê-la, assim como as outras existentes 
entre os dois Regimes. 
 
Juros compostos 
 
Bem, a grande diferença existente entre os dois Regimes de Capitalização aqui 
apresentados é que o Regime de Juros Compostos é aquele que efetivamente se 
utiliza nas transações comerciais e financeiras, tanto que ele é conhecido como o 
Regime de Capitalização. Ele representa na prática a remuneração que se espera de 
uma taxa de juros, pois se o valor de uso do Capital em um determinado período 
de tempo não for pago, ele deve imediatamente ser incorporado ao Principal para 
calcular o valor no próximo período sob o risco de ao não fazê-lo, o mesmo perder 
parte de seu valor devido a fatores como a inflação, por exemplo. 
Lembre-se, o Principal é o valor que está sendo emprestado ou investido, ou 
seja, o mesmo que Capital, Valor Presente (VP) ou Present Value (PV). 
 
Engenharia Econômica 
 
37 
 
Vamos entender um pouco mais do Regime de Juros Compostos: 
 
Os Juros compostos são mais comumente conhecidos como o Regime dos 
Juros sobre os Juros. Você já deve ter escutado esta expressão! 
Os estudos de análise de viabilidade de investimentos, que são o principal 
objetivo da Engenharia Econômica, utilizam-se da matemática dos Juros 
Compostos, até porque os investidores, e por que não dizer as empresas, há muito 
entenderam que não é interessante somente receber os Juros de suas aplicações 
somente no final do período de sua aplicação. 
E a grande vantagem dos Juros Compostos sobre os Juros Simples é que eles 
permitem a reaplicação dos lucros e dos saldos de fluxos de caixa que são gerados 
logo após cada período de capitalização diretamente após sua apuração no 
Principal, o que contribui sobremaneira, para a maximização dos lucros futuros 
esperados pelos proprietários do dinheiro. 
Para compreendermos como isso acontece, vamos entender como se chega a 
sua fórmula, utilizando um exemplo prático: 
Considere que uma pessoa aplique $ 500,00 durante 5 meses em um Banco 
que paga 5% de juros ao mês. Qual será o valor que ela receberá ao final da 
aplicação? 
A Tabela a seguir demonstrará mês a mês, ou seja, capitalização em cima de 
capitalização, como ficará a movimentação financeira no Regime dos Juros 
Compostos. 
 
Engenharia Econômica 
 
38 
 
Mês Capital $ Juros (%) 
Valor dos 
Juros 
Montante ($)= Capital + 
Juros 
1 500,00 5% de 500,00 25,00 525,00 
2 525,00 5% de 525,00 26,25 551,25 
3 551,25 5% de 551,25 27,56 578,81 
4 578,81 5% de 578,81 28,49 607,75 
5 607,75 5% de 607,75 30,39 638,14 
Elaborada pelo Autor 
No Final do 5º mês a Capitalização total foi de $ 138,14, que somados ao 
Capital Inicial representará um Montante de $ 638,14. 
Repare que se utilizássemos a fórmula dos Juros Simples 
J = C X i X n, teríamos: 
 
Que obviamente é menos do que os $ 638,14 alcançados no Regime de Juros 
Compostos, o que nos levar a concluir que normalmente os Juros Compostos são 
mais interessantes que os Juros Simples. 
E por que existe essa diferença?Vamos entender: 
Repare que no final de cada mês, os valores auferidos com os Juros foram 
automaticamente incorporados no valor que foi calculado no mês seguinte. Por 
exemplo, no primeiro mês da aplicação houve uma Capitalização de $ 25,00, que 
foram somados ao Principal (Capital Inicial) e o novo valor encontrado $ 525,00 é 
que serviu para se calcular a nova Capitalização do segundo mês, ou seja, os novos 
Juros. 
No segundo mês se fez a mesma coisa, se pegou o novo valor (Montante) - $ 
525,00 e aplicou-se a mesma Taxa de Juros 5% sobre ele, o que resultou numa 
Capitalização de $ 26,25, que também foram imediatamente somados para o novo 
cálculo e assim sucessivamente, conforme exposto na Tabela anterior: 
 
Engenharia Econômica 
 
39 
 
Para cada mês se utilizou a seguinte conta: 
M = C ( 1 + i ) 
 
Onde, M= Montante 
C= Capital Inicial 
i = Taxa de Juros 
Observe que o novo Montante de cada mês é o resultado da soma de seu 
Capital com os Juros do mês anterior, não é mesmo? E se estamos acrescentando 
Juros neste Capital não faz sentido imaginar que o valor apurado seja menor. Esse 
raciocínio é importante para entendermos que quando aplicarmos a propriedade 
distributiva na equação nos depararemos com uma importante conclusão: 
 
Esse fator C X i (C que multiplica i) não é como calculamos os Juros? Sim, é ele 
mesmo. 
Então para cada mês de Capitalização temos as seguintes expressões: 
 
 
Engenharia Econômica 
 
40 
 
Chegamos à conclusão de que para cada novo período, devemos multiplicar o 
fator (1+i) ao novo Montante encontrado. O que nos permite identificar a fórmula 
genérica dos Juros Compostos: 
M = C ( 1 + i ) n 
Onde n é o número de períodos a capitalizar 
E o que também nos permite explicar porque geralmente os Juros Compostos 
são mais vantajosos que os Juros Simples. 
Nos Juros Simples temos sempre que calcular os Juros levados em cima do 
Capital Inicial, o que não acontece nos Juros Compostos, onde a cada nova 
Capitalização surge um novo Montante que será a base do novo cálculo, daí a 
diferença entre os dois Regimes. 
No exemplo da pessoa que aplicava $ 500, durante 5 meses a uma taxa de 
Juros Compostos de 5% a.m., o cálculo seria feito da seguinte maneira: 
 
 
 
Na HP-12C, deveremos apertar as seguintes teclas para efetuar os cálculos: 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Econômica 
 
41 
O resultado que vai aparecer é = 638,14 
 
Lembrando para você, que é o Present Value, ou Valor Presente em 
português, é o número de Capitalizações, é a Taxa de Juros e 
é o Future Value, ou Valor Futuro em português. A tecla indica que o valor 
que foi colocado é negativo. E porque os $500 são colocados como negativo? Pois 
representa uma saída de caixa. 
E esse valor de $ 638,14 aparece no visor da HP-12C positivamente (sem o sinal 
de negativo), o que representa uma entrada de dinheiro. 
Lembra-se da questão do credor e do devedor, o princípio utilizado para 
inserir as variáveis ou ver os resultados na máquina é esse, ou seja, se você faz uma 
aplicação no Banco, no valor de $ 1.000,00, quando for colocar na HP-12C, esse 
valor é uma saída de dinheiro do seu bolso, e tem que ser registrada como valor 
negativo, quando você for resgatar o valor do Banco ele será positivo, ou seja, uma 
entrada de dinheiro para você. 
Não podemos finalizar esta Unidade sem mencionar que existe um único caso 
específico em que o Regime de Capitalização pelos Juros Simples é mais vantajoso 
do que no Regime de Juros Compostos. Isso acontece quando o período de 
Aplicação for menor do que o período de Capitalização. 
Nesta Unidade, foram apresentados para você os Regimes de Capitalização 
dos Juros, importante fator na decisão de quando, onde e como investir seu 
dinheiro, ou adquirir seus bens e serviços. Entendemos porque, nas transações 
realizadas comumente nos mais variados setores têm-se optado pela Capitalização 
através dos Juros Compostos e, principalmente, aprendemos como realizar os 
cálculos necessários para decidir se uma operação financeira nos será vantajosa ou 
não. 
Não deixe de se exercitar resolvendo os exercícios propostos, a Matemática é 
uma questão de prática, por mais que se domine a parte teórica é muito 
importante colocar os conceitos vistos na ponta do lápis, para aí sim perceber se 
houve o correto aprendizado do que foi abordado. 
Engenharia Econômica 
 
42 
 
Não se preocupe com a utilização da HP-12C, pois com o caminhar de nosso 
curso teremos a oportunidade de observar vários outros exemplos e conceitos 
sobre esta fascinante ferramenta de auxílio para nossos cálculos financeiros. 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Bons Exercícios e até a próxima Unidade! 
 
Engenharia Econômica 
 
43 
 
Exercícios – unidade 2 
 
1.Para uma Taxa de Juro expressa ao semestre o valor dos Juros é maior sob 
qual sistema de Capitalização? 
a) Sistema de Capitalização Simples para prazos maiores que um 
semestre 
b) Sistema de Capitalização Composta para prazos maiores que um 
semestre 
c) Sistema de Capitalização Composta para prazos menores que um 
semestre 
d) Sistema de Capitalização Composta qualquer que seja o prazo 
e) Sistema de Capitalização Simples qualquer que seja o prazo 
 
2.Os Juros em Capitalização Simples são sempre iguais ao: 
a) Prazo multiplicado pela Taxa de Juro e pelo valor do Capital Inicial 
b) Valor dos Juros somado ao Principal dividido pelo Montante Final 
c) Valor do Montante Inicial subtraído dos Juros e dividido pelo Capital 
Inicial 
d) Prazo multiplicado pela Taxa de Juro e pelo Montante Final 
e) Prazo multiplicado pela Taxa de Juro e pelo Principal 
 
3.Você fez um empréstimo de $ 8.000,00 a uma Taxa de Juros simples de 12% 
a.a. (ao ano) a ser pago em três anos. O valor a ser pago é próximo de: 
a) $ 12.240,00 
b) $ 13.240,00 
c) $ 10.240,00 
Engenharia Econômica 
 
44 
d) $ 11.240,00 
e) $ 10.880,00 
 
4.E se com estes mesmos valores o empréstimo for feito no Sistema de 
Capitalização Composta? 
a) $ 12.240,00 
b) $ 13.240,00 
c) $ 10.240,00 
d) $ 11.240,00 
e) $ 10.880,00 
 
5.Se aplicarmos a quantia de $ 50.000,00 pelo prazo de quatro meses, teremos 
como remuneração desse capital a quantia de $ 4.350,00. Qual é a taxa de 
juros simples ao mês dessa operação? 
a) 2,11% a.m. 
b) 2,18% a.m. 
c) 8,70% a.m. 
d) 1,09% a.m. 
e) 2,18% a.a. 
 
6.No Regime De Capitalização Composta o valor dos Juros é sempre: 
a) Crescente, mas não é proporcional ao prazo 
b) Crescente e proporcional ao prazo 
c) Decrescente, mas não é proporcional ao prazo 
d) Decrescente e proporcional ao prazo 
e) Igual ao do Regime de Capitalização Simples 
Engenharia Econômica 
 
45 
 
7.Uma empresa tomou um empréstimo de dois anos, a uma taxa de juros 
compostos de 12% ao ano. Sabendo que o valor devolvido após os dois anos 
foi de $ 500.000,00, então o empréstimo inicial é próximo do valor de: 
a) $ 358.957,00 
b) $ 398.597,00 
c) $ 403.226,00 
d) $ 446.429,00 
e) $ 423.550,00 
 
8.O valor dos juros em Capitalização Composta é igual a: 
a) O valor do Principal multiplicado por 1 mais a taxa de juros do 
período 
b) O valor do Capital Inicial menos o valor do Montante Final 
c) A taxa de juro por período multiplicado pelo prazo e pelo Capital 
Inicial 
d) O valor do Principal multiplicado por 1 menos a taxa de juros do 
período 
e) A taxa de juro capitalizada no período multiplicado pelo valor do 
Capital Inicial 
 
Engenharia Econômica 
 
46 
 
9.Ao realizar o cálculo de uma operação, utilizandoJuros Simples, deve-se 
fazer o adequado ajuste entre tempo e taxa. Se tivermos uma taxa ao mês e o 
tempo em anos, deve-se colocá-los na mesma unidade. Assim considere um 
Capital de $ 16.000,00 emprestado a Juros Simples de 18% a.a. pelo período de 30 
meses e responda:Qual o juro gerado neste período? 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.Numa aplicação em Caderneta de Poupança, você investiu o valor de $ 
5.000,00. Sabe-se que o rendimento mensal dela é de 1%. Quanto você deverá 
retirar daqui a três meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Econômica 
 
47 
 
Equivalência de capitais 
 3
Engenharia Econômica 
 
48 
 
Nesta Unidade trataremos de entender como a Matemática Financeira faz para 
comparar os valores monetários nos mais diferentes tempos. E isso é muito 
importante, porque como mencionado nas Unidades passadas, o dinheiro tem 
valor no tempo e não podemos comparar valores nominais em datas distintas. 
Veremos, pois, o que são Taxas de Juros nominais, equivalentes, efetivas e 
proporcionais e como elas podem nos explicitar essas diferenças de valor dos 
“dinheiros” em épocas não coincidentes. 
 
Objetivos da unidade: 
Aprofundar nossos estudos para compreender as ferramentas utilizadas para 
‘transportar’ o dinheiro no tempo, atentando para sua valorização ou 
desvalorização a fim de que possamos realizar as comparações dos valores 
monetários envolvidos com toda a correção necessária. 
 
Plano da unidade: 
 O poder da inflação. 
 Taxas de Juros: Nominal, Real, Efetiva e Equivalente. 
 Taxas de Juros e os Regimes de Capitalização. 
 Operações de Desconto. 
 Descontos simples e compostos. 
 Compras à vista ou em parcelas. 
 
Bons estudos! 
 
Engenharia Econômica 
 
49 
 
Taxas de juros 
Na segunda Unidade, em certo momento, mencionamos a questão da 
Inflação, que é um índice que avalia se em dado período de tempo houve uma 
desvalorização do poder de compra da moeda nacional. Se houver uma valorização 
da moeda entende-se que houve Deflação. 
No caso brasileiro, se houve a desvalorização ou valorização do Real, que é a 
nossa moeda padrão, ou seja, se ocorreu uma diminuição ou aumento do poder 
aquisitivo do dinheiro, fazendo com que se precise de mais ou menos dinheiro 
para a aquisição do mesmo produto. 
Acompanhe como a inflação atua através do seguinte exemplo: 
Suponha que um determinado produto custe $ 20,00 e que o salário de um 
trabalhador seja de $ 2.000,00. Com este salário ele pode comprar 100 produtos, 
não é mesmo? Acontece que exatamente no mês seguinte, a inflação medida foi 
de 5%, desta forma aumentando o preço do produto para 20 X 1,05 = $ 21,00, SEM 
que o reajuste houvesse acontecido também para o salário do trabalhador. 
Como o produto passou a custar $ 21,00 e o salário manteve-se em $ 2.000,00, 
o trabalhador somente poderá comprar $ 2.000/21produtos, ou seja, ele 
somente poderá comprar agora 95,23 produtos, menos do que os 100 produtos 
que conseguiria comprar antes da inflação. Entendeu? 
Neste exemplo o poder de compra do salário caiu 
100 – 95,23 = 0,0477 = 4,77%. 
100 100 
 
 
Engenharia Econômica 
 
50 
 
E ele já não poderia mais comprar o mesmo número de produtos. 
A inflação em nosso país é medida e regulamentada pelo Governo Federal, 
com o auxílio de outras Instituições; e os principais índices são: 
 
 INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor): que verifica o custo de vida 
médio das famílias com renda entre 1 e 6 salários mínimos residentes nas 
principais capitais brasileiras. Ele é medido pelo IBGE. Assim como o; 
 IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), que é tido como o índice 
oficial do Governo, e que abrange as famílias com ganhos entre 1 a 40 
salários mínimos, qualquer que seja a fonte de rendimento; 
 Há ainda o IGP (Índice Geral de Preços), calculado pela Fundação Getúlio 
Vargas e o IPC (Índice de Preços ao Consumidor), medido pela Fundação 
Instituto de Pesquisas Econômicas. 
Fonte: www.brasil.gov.br 
As relações entre inflação e taxas de juros se referem ao poder de compra da 
moeda, porque se houver um aumento de preços haverá um aumento da inflação, 
fazendo com o que o dinheiro equivalente para comprar um bem ou serviço hoje, 
não seja suficiente em uma data futura. 
A inflação corresponde a uma Taxa de Juros que mede a desvalorização da 
moeda a cada período de tempo. 
Pois então como entender se houve diminuição ou aumento do poder de 
compra de um mesmo valor nominal em datas distintas no tempo? E como fazer 
para comparar estes “dinheiros” em momentos diferentes? Essa questão se aplica, 
pois, pelo fato de como temos visto e podemos intuitivamente concluir, o valor de 
$ 1.000,00, provavelmente não terá o mesmo poder de compra dali a 12 meses 
posteriores. Muito por conta da provável e indesejada influência da corrosão 
causada pela inflação e também pelo fato de as pessoas preferirem ter maior 
liquidez monetária, ou seja, ter o dinheiro em suas mãos mais cedo ou poupar. 
 
Engenharia Econômica 
 
51 
 
Para entendermos esse mecanismo surgem mais uma vez os ensinamentos da 
Matemática Financeira. Vamos a eles? 
Uma das grandes virtudes da Matemática Financeira consiste na sua 
capacidade de comparar valores monetários – também os aparentemente iguais - 
em épocas distintas. E isso é de importância fundamental para a compreensão dos 
objetivos de nosso curso. Uma das primeiras formas de se realizar essa comparação 
é através das taxas de remuneração do Capital, que já conhecemos como Taxas de 
Juros. 
As Taxas de Juros são classificadas, diferentemente, de acordo com o tipo de 
avaliação que será feita, e, principalmente, elas são capazes de definir o tipo de 
remuneração que sofrerão os investimentos ou prestações, e as diferenças e 
semelhanças entre os valores monetários. Senão vejamos: 
 
Taxa nominal de juros 
A Taxa Nominal de Juros é empregada no cálculo dos pagamentos e das 
prestações, e ela é usada para demonstrar os efeitos da inflação no período a ser 
analisado tendo como base os empréstimos. 
Exemplificando: suponha que um empréstimo no valor de $ 1.000,00 seja 
pago ao final de três meses com o valor monetário de $ 1.500,00. O cálculo da taxa 
nominal de Juros é feito da seguinte maneira: Juros Pagos / Valor nominal do 
Empréstimo. 
Juros: $ 1.500,00 - $1.000,00 = $ 500,00 
Taxa Nominal de Juros: $ 500 / $ 1.000 = 50% 
 
Portanto, a Taxa Nominal de Juros de um empréstimo de $ 1.000,00 que teve 
como quitação o valor de $ 1.500,00 é de 50%. Cabe salientar que aqui não houve a 
preocupação em ‘retirar’ o efeito da inflação no resultado final, pois o cálculo 
efetuado somente considerou que no final do período haveria uma remuneração 
de 50% e ponto. 
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52 
 
Taxa real ou efetiva de juros 
No caso da Taxa Real ou Efetiva de Juros, o efeito inflacionário é 
desconsiderado, e por este motivo ela tende a ser menor que a Taxa nominal de 
Juros. A Taxa real é definida como a efetiva remuneração que o investidor deseja 
alcançar. E o que isso significa? Significa que quando forem realizados os cálculos, 
deverá se considerar o poder da inflação, ou seja, deverá se ‘retirar’ o percentual 
que a inflação retirou sobre o poder de compra inicial. E que o resultado alcançado 
refletirá o verdadeiro percentual que um investidor tem a intenção de resgatar no 
fim do período, por exemplo. 
Portanto, imagine que você deseja realizar uma aplicação financeira e obter 
um ganho REAL de 5% em um prazo de 4 meses. Para que você efetivamente 
alcance seu objetivo de ter uma remuneração de 5%, quando realizar seus cálculos 
você terá que saber qual o percentual de inflação que ocorreu neste período e 
literalmente retirar este percentual (da inflação) do montante final. 
Mas então como fazer estes cálculos? 
A Taxa real de juros pode ser calculada pela seguinte expressão matemática: 
 
(1+in) = (1+r)X (1+j) onde: 
in= taxa de juros nominal 
j= taxa de inflação do período 
r= taxa real de juros 
Vamos a um exemplo e seus cálculos: Uma financeira, ao realizar um 
empréstimo, oferece taxas de pagamento pré-estabelecidas. Se o valor do 
empréstimo foi de $ 10.000,00, por um prazo de seis meses e vai ser pago com $ 
13.000,00, apurando-se neste período um índice de inflação de 3%, qual será a taxa 
real (ou efetiva) de juros deste empréstimo? 
 
Engenharia Econômica 
 
53 
 
Bem, vamos aos cálculos: 
 
$ 13.000 - $ 10.000 = $ 3.000,00 – Juros do período 
$ 3.000 / $ 10.000,00 = 30% = taxa de juro nominal = in = 0,3 
Taxa de inflação do período = 3% = 3/100 = j = 0,03 
 
Utilizando-se a fórmula: (1+in) = (1+r) X (1+j), teremos: 
(1+0,3)= (1+r) X (1+0,03) 
(1,3) = (1+r) X (1,03) 
1,3= 1,03+1,03r 
1,3-1,03 = 1,03r 
0,27 = 1,03r 
r = 0,27/1,03 
r = 0,2621, ou seja, r = 26,21% 
 
Esse resultado significa que a taxa de juros que na realidade foi alcançada é 
de 26,21% e não a de 30% como inicialmente parecia. Esse comentário é 
importante pelo fato de que normalmente quando realizamos nossas operações 
financeiras diariamente não nos atentamos para o fato de que o dinheiro está 
sendo corroído pela inflação. Então, mais uma vez, na realidade a financeira 
ganhará 26,21% em cima do valor inicialmente emprestado e não 30% como 
sugeriam os valores iniciais. 
 
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Equivalência entre as taxas de juros em juros simples 
Para inicialmente compreendermos a diferença que ocorre com as taxas 
equivalentes entre os regimes de capitalização, vamos voltar aos juros simples. 
No sistema de capitalização pelos juros simples pode-se dizer que existe uma 
correlação direta entre as taxas de juros correspondentes a um período maior com 
aquela referente a frações inteiras deste mesmo período. Ou seja, se temos uma 
taxa de juros anual de 12%, a respectiva taxa de juros mensal será de 1%, resultado 
da divisão de 12% por 12 meses. Isso ocorre, porque neste sistema os juros sempre 
incidem sobre o mesmo capital inicial, ocasionando uma relação direta entre essas 
duas taxas de juros, como as do exemplo. 
Assim como o seria se quiséssemos saber qual a taxa bimestral com uma taxa 
anual de 12%. Simples, devemos dividir 12% por seis períodos de capitalização, já 
que a remuneração ocorre bimestralmente, correto? Então, teremos uma taxa de 
juros bimestral de 2%, que será equivalente tanto com a taxa anual de 12%, como 
com a taxa mensal de 1%. Diz-se, portanto que estas taxas são Taxas Equivalentes. 
Duas taxas de juros são tidas como equivalentes quando elas produzem juros 
iguais depois de aplicados a um mesmo volume de capital e elas estão sujeitas a 
diferentes períodos de capitalização. 
No sistema de juros simples, como demonstrado anteriormente, se 
aplicarmos certo valor a taxa de 2% ao mês, ela produzirá em doze meses o mesmo 
valor de uma aplicação realizada num único período com sua respectiva taxa 
equivalente para os doze meses. Por exemplo: se tivermos um valor inicial de $ 
1.000,00 e aplicarmos por doze meses a uma taxa de 2% teremos ao final o 
seguinte valor: J= C X i X n (lembram) = $1.000,00 X 0,02 X 12, o que resulta num 
juro de $ 240,00, não é mesmo? 
Se fizermos a conta J= C X i X n, para i (taxa de juros ao ano) = 24% e n 
(período de capitalização) = 1, teremos J= $ 1.000,00 X 0,24 X 1, o valor encontrado 
resultará nos mesmos $ 240,00 de juros. O que nos prova que as taxas 
apresentadas são equivalentes no regime de capitalização por juros simples. 
 
Engenharia Econômica 
 
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Taxas de juros equivalentes em juros compostos 
As Taxas de Juros equivalentes no sistema de juros compostos, 
diferentemente do que acontece no caso do sistema de capitalização pelos juros 
simples não proporcionam uma relação direta entre as taxas de juros de períodos 
que representem uma fração inteira do período maior. 
Isso acontece porque no regime de capitalização pelos juros compostos, a 
incorporação dos juros é realizada imediatamente após seu cálculo, apurando-se 
logo em seguida o novo montante, o qual servirá como base para o novo cálculo 
dos juros. Por isso o regime ser conhecido como de juros sobre juros. 
Portanto se deve ter muito cuidado com o cálculo das taxas proporcionais no 
regime dos juros compostos porque, mais uma vez, diferentemente dos juros 
simples que apresentam uma relação direta, o mesmo não ocorre com este 
sistema. Uma expressão matemática que nos fornece a equivalência entre duas 
taxas equivalentes no regime de juros compostos é expressa da seguinte forma: 
 
(1 + ia) = (1 + p)n, onde: 
ia= taxa anual de juros 
p= taxa do período 
n= número de períodos 
 
Vejamos um exemplo prático para auxiliar em nosso entendimento da 
diferença entre os dois regimes: 
Qual a taxa de juros anual equivalente a 2% ao mês. 
Cabe aqui relatar uma convenção que existe em Finanças: todas as vezes em 
que não se mencionar qual o regime de capitalização na questão proposta, adota-
se que este regime é o de Juros Compostos. Portanto, se não vier escrito que a 
questão é de juros simples, automaticamente se admite que ela se trate de um 
cálculo com juros compostos. 
Engenharia Econômica 
 
56 
 
Temos então: 
2% = 2/100 = 0,02 
n = 12 períodos de capitalização 
 
Utilizando-se a fórmula: (1+ ia) = (1+ p)n, teremos: 
(1+ ia)= (1+0,02)12 
(1+ ia) = (1,02)12 
(1+ ia) = 1,2682 
ia= 1,2682 - 1 
ia= 0,2682 
ia = 0,2682, ou seja, ia = 26,82% 
 
Portanto, a taxa anual equivalente a 2% mensais no regime de juros 
compostos é de 26,28% e não de 24% (que resultaria da conta 2% X 12 meses) 
como o é no regime de juros simples. Repare que obviamente o valor nos juros 
compostos é maior, pois como sempre foi comentado este regime é auferido na 
modalidade de juros sobre juros. 
Caso seja necessário converter outras taxas, utilize as seguintes expressões de 
acordo com a conversão entre os períodos desejados: 
(1+ im) = (1+ d)30, onde 1 mês = 30dias 
(1+ ia) = (1+ b)6, onde 1 ano = 6 bimestres 
(1+ ia) = (1+ s)2, onde 1 ano = 2 semestres 
(1+ is) = (1+ m)6, onde 1 semestre = 6 meses 
Repare que as fórmulas para as conversões na verdade podem ser ilimitadas, 
bastando saber a relação que ocorrerá entre os períodos a serem analisados. 
 
Engenharia Econômica 
 
57 
 
Na vida prática, o que acabamos de ver no item anterior, faz uma diferença 
enorme. Pois normalmente as pessoas imaginam que se forem pagar uma 
prestação em que determina loja, por exemplo, menciona que os juros mensais são 
de ‘somente’ 2% ao mês, automaticamente imaginamos que vamos pagar 24% no 
ano. Entretanto, como vimos não é bem assim, a verdade é que pagaremos uma 
taxa anual de 26,82%, ou seja, 2,82% a mais do que inicialmente imaginávamos. E é 
neste momento que as pessoas são literalmente ludibriadas. 
Fiquem atentos e façam seus cálculos para não passarem por isso! 
 
Operações de desconto 
Outra operação financeira que é muito comum de ser realizada no mercado 
financeiro e que é de fundamental importância para o entendimento da 
Engenharia Econômica é denominada de desconto ou de deságio em transações 
financeiras. 
 
Desconto simples comercial 
Quando uma pessoa decide comprar algo de que necessita sem que realize o 
efetivo pagamento à vista, automaticamente ela contrai uma dívida que gera para 
o seu credor (a pessoa que emprestou os valores monetários) um título de crédito, 
e que representa para a pessoa anterior uma obrigação. Ou de outra feita, 
determinada pessoa desejando fazer uma aplicação financeira, poderá ter como 
forma de comprovação desta operação os mesmos títulos. 
Normalmente, estes títulos possuem datas de vencimento que são pré-
determinadas, mas que sobremaneira, não impedem que a pessoa realize o seu 
pagamento ou venda antes de seu vencimento. 
Caso ocorra esta antecipação no pagamento, haverá um abatimento queé 
mais conhecido como desconto. Vários são os produtos financeiros utilizados 
nestas operações, como por exemplo: a duplicata, a nota promissória, as letras de 
câmbio, entre outros. E todos apresentam algumas características em comum: 
Engenharia Econômica 
 
58 
 
Dia do vencimento: dia estabelecido para o vencimento do título 
Tempo ou prazo: diferença entre o dia do vencimento e o dia de negociação, que 
pode ou não ser o dia do lançamento. 
Valor Nominal ou Valor de Face: valor mostrado na face do título e que deve ser 
pago no dia de seu vencimento. 
Valor Atual: valor a ser pago ou recebido em data anterior ao desconto, caso ocorra 
uma negociação para quitação do valor antes do prazo de vencimento. 
 
Importante! 
Aspecto a ressaltar para o decorrer de nossa abordagem na Engenharia 
Econômica é a possibilidade de negociação destes títulos de forma antecipada, 
pois se uma instituição financeira faz jus em receber juros pelo fato de 
disponibilizar capital para quem necessita; também é correto que o devedor 
tenha algum benefício se o pagamento de sua dívida ocorrer de forma 
antecipada. 
 
Para embasar alguns ensinamentos que serão abordados posteriormente, é 
necessário atentar para o fato de que os juros e os descontos se regem pelo 
mesmo princípio, que por várias vezes foi comentado nesta obra, de que o dinheiro 
tem valor no tempo. E por isso, se um devedor adia um pagamento ele deve pagar 
por isso, através da cobrança de juros; e se ele o antecipa merece receber algum 
desconto. Atentando para o fato de que o ferramental disponibilizado pela 
Matemática Financeira é importantíssimo para obtenção dos corretos valores 
nestas operações financeiras. 
 
 
Engenharia Econômica 
 
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Desconto composto racional 
O mecanismo utilizado atualmente no sistema financeiro é o do juro 
composto, pois é este o que quase sempre proporciona uma melhor rentabilidade 
para o dono do Capital; obviamente que para quem tem que pagar uma dívida o 
sistema de juros simples seria mais adequado, mas não é o caso. 
Conforme pudemos ver nos sistemas de capitalização, ao realizarmos uma 
aplicação financeira, nosso dinheiro é submetido a um fator de capitalização, que 
denominamos de taxas de juros, lembra-se? Este fator irá remunerar este capital de 
acordo com o período da aplicação. 
Já nas situações de desconto, o que acontece é o efeito contrário, ao invés de 
ocorrer uma remuneração do capital, que conhecemos melhor como capitalização, 
o valor da aplicação sofrerá um processo de descapitalização, ou seja, com a 
antecipação do pagamento ocorrerá um desconto no valor previamente 
estabelecido. 
E se as remunerações são feitas, normalmente, através dos juros compostos, 
as descapitalizações também devem obedecer ao mesmo critério. 
 
Comprar à vista ou em parcelas 
Quando se decide adquirir determinado produto ou serviço, o consumidor 
tem outra decisão importante a tomar, se vai comprá-lo à vista ou parcelado. A 
venda a prazo é uma opção para quem não pode ou não quer desembolsar de uma 
só vez o valor total de sua compra. 
Nesse tipo de negociação as empresas financiadoras cobram os Juros 
baseadas no valor do bem ou do serviço e costumam embuti-los no valor das 
prestações. Dessa forma, deve-se tomar muito cuidado com as Taxas de Juros 
utilizadas pelas empresas, pois o valor a ser pago em Juros pode ser bem maior do 
que aquele aparentemente expresso nas vitrines das lojas, ou o consumidor pode 
ter alternativas melhores do ponto de vista financeiro. 
 
Engenharia Econômica 
 
60 
 
Vamos realizar um comparativo diante da seguinte situação: 
 
Um computador está sendo vendido por uma loja à vista pelo valor de $ 
1.200,00 ou ele pode ser pago em 5 prestações mensais de $ 260,00 cada. Um 
consumidor até possui o dinheiro para o pagamento à vista, no entanto ele está na 
dúvida entre comprar o equipamento nesta modalidade ou investir seu dinheiro 
em uma aplicação financeira de um banco que lhe promete o rendimento mensal 
de 1,5%, e ir pagando o bem em parcelas. Desta forma qual é a melhor opção, 
comprar à vista ou investir o dinheiro e comprar a prazo? 
Observe a simulação na planilha a seguir: 
 
Mês 
Compra 
Saldo 
Inicial 
Juros Retirada 
Saldo 
Final 
 1.200,00 0,00 0,00 0,00 
1 1.200,00 0,015*1200,00 = 18,00 - 260,00 958,00 
2 958,00 0,015*958,00 = 14,37 - 260,00 712,37 
3 712,37 0,015*712,37 = 10,68 - 260,00 463,05 
4 463,05 0,015*463,05 = 6,94 - 260,00 209,99 
5 209,99 0,015*209,99 = 3,14 - 260,00 -46,87 
Elaborada pelo Autor 
O que pode ser constatado através dos cálculos demonstrados na planilha é 
que o pagamento à vista é mais vantajoso para o consumidor, visto que se ele 
realizasse o investimento no banco, e alcançasse a remuneração acordada para 
cada mês, ele ainda teria que desembolsar $ 46,87 para quitar a última prestação 
para aquisição do computador. 
 
Engenharia Econômica 
 
61 
 
Nesta Unidade foram apresentados para você como as Taxas de Juros se 
relacionam entre si e entre os períodos de capitalização, tanto para os juros 
simples, quanto para os Juros compostos. Percebemos, obviamente, que na 
modalidade dos Juros compostos a equivalência entre as taxas acontece 
diferentemente do que ocorre com os juros simples, onde existe uma relação direta 
e os cálculos são mais fáceis de realizar. 
Normalmente nas operações financeiras que realizamos em nosso dia a dia 
não nos atentamos para essa diferença e é aí que os donos do Capital se 
beneficiam, pois se não tivermos este conhecimento, continuaremos a acreditar 
que pagaremos as dívidas em um valor menor do que realmente acontece. 
Vimos também que o processo reverso da capitalização é a descapitalização. E 
esse conceito é muito importante para o prosseguimento de nossas abordagens, 
pois como veremos mais tarde as comparações que serão feitas requerem o 
conhecimento de como o dinheiro pode ‘caminhar’ durante o tempo para que 
possamos compará-lo. 
Mais uma vez, não deixe de se exercitar resolvendo os exercícios propostos, a 
Matemática é uma questão de prática, e por mais que se domine a parte teórica é 
muito importante colocar os conceitos vistos na ponta do lápis, para aí sim 
perceber se houve o correto aprendizado do que foi abordado. 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Bons Exercícios e até a próxima Unidade! 
 
Engenharia Econômica 
 
62 
 
Exercícios – unidade 3 
 
1.Uma duplicata de seis meses de valor nominal igual a $ 200.000,00 foi 
descontado sob o regime de juros simples a uma taxa de desconto igual a 20% ao 
ano. Neste caso, o valor remanescente já descontado é de: 
a) $ 160.000,00 
b) $ 180.000,00 
c) $ 220.000,00 
d) $ 181.800,00 
e) $ 190.000,00 
 
2.Para uma periodicidade de capitalização de juro menor que um ano, a 
comparação de uma taxa nominal ao ano com a equivalente taxa efetiva (ou real) 
ao ano aponta que: 
a) A taxa nominal é sempre maior que a taxa efetiva. 
b) A taxa nominal é sempre menor que a taxa efetiva. 
c) A taxa nominal é sempre igual à taxa efetiva. 
d) Dependendo do prazo a taxa nominal pode ser maior que a efetiva. 
e) Não se podem comparar as duas taxas. 
 
Engenharia Econômica 
 
63 
 
3.A taxa nominal ao ano de uma operação de empréstimo: 
a) Sempre indica o real custo da operação de empréstimo. 
b) Indica o real custo da operação de empréstimo apenas se esta tiver 
prazo de um mês. 
c) Indica o real custo da operação de empréstimo apenas se a frequência 
de capitalização for igual a 2. 
d) É igual a taxa nominal mensal de uma operação de empréstimo. 
e) Nunca indica o real custo da operação de empréstimo. 
 
4.Considere uma taxa nominal de 19% ao ano e sua respectiva taxa real de 
20,75% ao ano. Neste caso, a capitalização